Асимптоматическая устойчивость однородных сингулярных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

http://vestnik.mrsu.ru

ISSN Print 0236-2910 ISSN Online 2313-0636

УДК 517.9

DOI: 10.15507/0236-2910.027.201704.546-554

Асимптотическая устойчивость однородных сингулярных систем

М. В. Козлов*, В. Н. Щенников

ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (г. Саранск, Россия)

* kozlov. [email protected]

Введение. В статье исследуются сингулярно возмущенные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с однородной правой частью рациональной степени. Предметом исследования является асимптотическая устойчивость нулевого решения указанных систем при достаточно малых значениях параметра. Материалы и методы. В качестве основного приема исследования применяется декомпозиция возмущенной системы на редуцированную и пограничную системы меньшей размерности. Для анализа устойчивости используются теоремы В. И. Зубова об устойчивости однородных систем, относящиеся ко второму методу Ляпунова.

Результаты исследования. В ходе работы получены условия, при выполнении которых асимптотическая устойчивость нулевого решения сингулярно возмущенной системы является следствием аналогичного свойства редуцированной и пограничной систем. Данный вывод справедлив при достаточно малых значениях возмущающего параметра. Для проверки условия теоремы требуется построение однородных функций Ляпунова.

Обсуждение и заключения. В статье приведен числовой пример, показывающий, что класс систем, удовлетворяющих полученной теореме, не является пустым. Получена оценка верхней границы изменения малого параметра, в рамках которой нулевое решение будет гарантированно асимптотически устойчиво.

Ключевые слова: сингулярность, малый параметр, устойчивость, декомпозиция, однородная функция

Для цитирования: Козлов М. В., Щенников В. Н. Асимптотическая устойчивость однородных сингулярных систем // Вестник Мордовского университета. 2017. Т. 27, № 4. С. 546-554. DOI: 10.15507/0236-2910.027.201704.546-554

Asymptomatic Stability of Homogeneous Singular Systems

M. V. Kozlov*, V. N. Shchennikov

National Research Mordovia State University (Saransk, Russia)

* kozlov. [email protected]

Introduction. The paper provides an overview of singularly perturbed systems of ordinary differential equations with a homogeneous right-hand side of rational degree. The subject of the study is the asymptotic stability of the zero solution of these systems for sufficiently small values of the parameter.

Materials and Methods. Decomposition of the perturbed system into a reduced and a boundary system of smaller dimension is used as the main method of investigation.

© Козлов М. В., Щенников В. Н., 2017

For the stability analysis, Zubov's theorems on the stability of homogeneous systems are applied to Lyapunov second method.

Results. In the course of research, the authors have obtained the conditions under which the asymptotic stability of the zero solution of a singularly perturbed system is a consequence of the analogous property of the reduced and boundary systems. This conclusion is valid for sufficiently small values of the perturbing parameter. To verify the hypothesis of the theorem, it is required to construct homogeneous Lyapunov functions. Discussion and Conclusions. The paper gives a numerical example showing the class of systems satisfying the obtained theorem is not empty. An upper bound for the variation of a small parameter has been obtained, within which the zero solution is guaranteed to be asymptotically stable.

Keywords: singularity, small parameter, stability, decomposition, homogeneous function

For citation: Kozlov M. V., Shchennikov V. N. Asymptomatic Stability of Homogeneous Singular Systems. Vestnik Mordovskogo universiteta = Mordovia University Bulletin. 2017; 27(4):546-554. DOI: 10.15507/0236-2910.027.201704.546-554

Введение

Сингулярно возмущенные системы обыкновенных дифференциальных уравнений применяются при математическом моделировании систем, содержащих быстрые и медленные переменные. Примером могут служить системы гироскопической стабилизации, рекуррентные нейронные сети, биологические и электрические системы и пр. Достаточно широкий обзор сферы применения сингулярных систем можно найти в работах1 [1-3].

Базовым результатом в теории сингулярных возмущений считается работа А. Н. Тихонова [4], в которой были получены достаточные условия предельного перехода по малому параметру в задаче Коши. При этом также был предъявлен основной подход к исследованию сингулярных систем - декомпозиция исходной системы на систему быстрых и медленных движений. Данный подход нашел широкое применение в различных задачах исследования сингулярных систем (устойчивость, стабилизация, управление).

Обзор литературы

В рамках приложений важнейшим свойством решений сингулярных систем является устойчивость по Ляпуно-

ву. Данной задаче посвящено немало работ1 [1-3]. Первой в данном направлении является работа [5], в которой исследовались, соответственно, линейные сингулярные системы вида:

х = Ап (г) х + Ап (г)у, еу = А21 (г) х + ^22 (г) У.

и квазилинейные системы вида

X = Аи ()х + А ()У + /(),

£У = А21 () х + А22 (г) у.

Кроме того, в данной работе рассматривались системы, допускающие выделение линейного приближения.

В дальнейшем исследования проводились в направлении нелинейных систем. В данном направлении выделено два ведущих метода, широко применяемые при исследовании нелинейных динамических систем: метод интегральных многообразий [3] и метод функций Ляпунова1. В работе данного автора представлены условия асимптотической устойчивости нулевого решения нелинейных сингулярных систем общего вида

1 Халил К. Х. Нелинейные системы. М. ; Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. 832 с. URL: http://mirknig.su/knigi/tehnicheskie_nauki/4747l-nelineynye-sistemy.html

х = / х> У) £у = g ((, х у ),

однако данный результат неприменим к однородным системам, которые рассматриваются в настоящей статье. С задачей об устойчивости тесно связана задача стабилизации программного движения, в которой в качестве методов построения стабилизирующих управлений используются результаты решения задачи об устойчивости. В работах [6-8] были исследованы вопросы стабилизации нелинейных сингулярных систем.

Материалы и методы

В данной работе для исследования сингулярных систем с однородной правой частью применяются методы и теоремы из работы2. Приведем необходимые определения и теоремы.

Определение 1

Непрерывная функция f (,..., хп) называется однородной порядка р е 0 , если для произвольного сеR справедливо равенство

/ (сх^..., схп ) = с*1/(,..., хп), Ух е Rn.

Однородные функции удовлетворяют следующей двусторонней оценке:

X < f (x) < a2x al = max f (x),

a2 = max f (x).

(1)

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида

X = X ),

(3)

где х еRn, X* (х) - непрерывная вектор-функция, элементы которой являются однородными порядка да функциями.

Теорема 1

Если нулевое решение системы (3) асимптотически устойчиво, то существует однородная порядка М, положительно определенная функция V (х), удовлетворяющая условию

dv dt

= VT v (x )X W(x ) = -w (x).

(3)

где м (х) - однородная порядка; (М -1 + ^ - положительно определенная функция.

Результаты исследования Рассмотрим сингулярно возмущенную систему

i = X y)

ey = Y" (x, y),

(4)

где x e R"1 тор-функции,

y e R"2; xИ, Y^ - век-однородные порядка

Кроме того, если однородная порядка да функция непрерывно дифференцируема, то ее частные производные также являются однородными функциями порядка ¡л -1, а следовательно, справедлива оценка

|| V/ (х) ||< a3 || x a3 = const > 0. (2)

ц = — > 1; р, q - нечетные числа; е > 0 -Я

малый параметр. Предположим, что существует единственная вектор-функция ф(х), удовлетворяющая тождеству

Y"(х,ф(х)) 0 , Ух е Rи^ . (5)

В силу однородности Yц вектор-функция ф(х) должна быть однородной первого порядка. Теперь для системы (4) можно записать редуцированную систему

x = X м(х,ф(х))

(6)

2 Александров А. Ю. Устойчивость движений неавтономных динамических систем. СПб. : Изд-во Санкт-Петербургского ун-та, 2004. 186 с.

и пограничную систему

7 = ¥ "(х, 7 + ф(х)), (7)

где х е Rnl играет роль параметра.

Сформулируем и докажем одно вспомогательное утверждение.

Лемма 1

Функция f (г, г2) = гаг2в , где а,в> 1, при г1,г2 > 0 и любом 8> 0 удовлетворяет неравенству

Гаг2в <Н(двга+в +д-аг2а+в). (8)

Доказательство

Функция f (г1, г2) является однородной порядка а + в и, следовательно, удовлетворяет верхней оценке

где

r1ar2ß < H (a+ß+ r2a+ß) H = max f (г,, r ), S =

H=

а + ß

ß

а+ß

dv1 dt

(6)

= VTv1 (x )• Х

•(ф(х))<- У x У

m .

|vrVj (x) ■ (Xw (x, z + ф(x))- X(x,ф(x)))| <

< k Z У

i iM +ß-\-at

(11)

где kl,ai = const > 0, s - некоторое число.

Для системы (7) найдена однородная порядка M функция v2 (x, z), удовлетворяющая оценкам

с, II z IIм< v2 (x,z)< c2 (II x IIм + II z Г), (12)

dv2 dt

(7)

= VIV2 ^ Z )■

= {, г): гГв+ гГв = 1, г„ г2 > о}.

После подстановки г1 =82 г1, г2 = 8т2 и сокращения обеих частей неравенства на множитель §2а+в , получаем неравенство (8). Методами математического анализа нетрудно получить формулу для вычисления величины Н:

■Y("\х, z + ф(х))<- У z Г+^-1 , |vXv2 (x, z)■ ХM(x, z + ф(х))|<

< k2 ¿ У x f ■ У z Ум, i=1

Vz4 (x,z)■DФXW (x,z + ф(х))

< k

Dx

|M ^ I

(13)

(14)

(15)

(9)

Теорема 2

Пусть выполнены следующие условия:

Для системы (6) найдена однородная четного порядка М положительно определенная функция v1 (х), удовлетворяющая неравенствам

(10)

где c12,k 2в, Yi = const > 0.

Тогда существует такое s > 0, что при s < s0 нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво.

Доказательство

Сделаем в системе (4) замену y =z+ф(х), которая сохраняет асимптотическую устойчивость нулевого решения. В результате получим более удобную для исследования систему

x = X{"] (x, z + ф(х)),

z = 1 YM(x, z + ф (x)) — (16)

£

—DXx M(x, z+ф(х )).

i=1

а

а

a

Доказательство теоремы будем видно, является положительно опреде-проводить при помощи функции ленной. Запишем ее полную производ-V (х, г ) = v1 (х) + v2 (х, г), которая, оче- ную в силу системы (16):

ау

л

(16)

= Уту1 (х)• Х{"> (х, z + ф(х)) +

+VTxv2 (х, z) • X(х, + ф (х)) + - V(х, z)■ ■ ¥(") (х, z + ф(х)) -(х, z) ■ ■ X(") (х, z + ф(х)).

(17)

Для того чтобы оценить правую неравенствами (8; 10; 11; 13-15), в ре-часть выражения (17), воспользуемся зультате чего получим:

dt

(16)

<- II х||м+"-1 -11| г ||м+"-1 +к1 £ || х |

I |М+^-1-аг-

(18)

+k21 £ 1

||М+Р-1-0,

+kзl \ г ||М+kзl £ 1

Согласно лемме 1, неравенство (18) можно продолжить следующим образом:

6V Л

< - II х |Г"-1 -I - - к, III 2 |Г"-1 +£, ^ (-1-а II X1Г"-1 II 2 |Г"-1) + (16) и ) и (19)

+к2^ || х |Г"-1 || 2 |Г"-1) + к,£*,, (+*-1-г- II х |Г"-1 +8;? || 2 |Г"-1),

где §ц,82!,8г, >0 - произволь- с формулой (9) определяются соот-ные числа; ^, h2i, К.1 в соответствии ношениями

К =

Кг =

И31 =

м- +ц-1

в

м + ц-1

Уг

М+ ц-1-а,

М + ц -1- -а1 \ М+ц-1

м + ц- 1 )

М+ц-1-в

М + ц -1 -в \ М+ц-1

М + ц- 1 )

М+ц—1—

М + ц -1 ~Г г \ М+ц-1

(20)

М + ц-1) ^ м+ ц-1 ) После перегруппировки слагаемых в правой части неравенства (19) получим:

(16)

\ - к ±КАГ+и-1-а' - К ТКАТ"-1-13' - К £+"-1-

\

V '=1 С л

'=1 р

--кз - к1 Т^АГ' - к2 Т^А?' - кз £М:

£ 1=1

'=1 у

1 \

(21)

\\М +"-1

3''

=1 =1 у

Очевидно, что можно подобрать 8и,821,83,, чтобы выполнялось нера-такие достаточно малые числа, венство:

1 - k ZhAM^1" - k2 Jb^"-1-* - k y^AT"-1-" > о.

(22)

Тогда правая часть выражения (21) ной при е <е0, где е0 определяется по становится отрицательно определен- формуле

k3 + kl Z \Jhh'8^' + k2 Z "¡Л'8^' + k3 Z Ihi'5-'

(23)

Таким образом, функция У^^) при Редуцированная система имеет вид е <е0 удовлетворяет теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости. Следовательно, нулевое решение системы (16), а значит, и (4) при таких значениях е будет асимптотически устойчивым.

Теорема доказана.

Пример

Рассмотрим систему

X = ( + Ь -1)х3; (25)

пограничная система имеет вид

1 2 2 1 2 3

.г; = -За х z1 - 3axzl - z1 ,

(2б)

х = - X + y1 + у2 ,

z2 = —3Ъ x z2 — 3bxz2 - z3 .

Для системы (25) функция Ляпуно-(24) ва имеет вид vl (х) = х4, а для системы (26) — г2 (х, zl, z2 ) = z14 + z4 + х2 z12 + х2 z2 . Оценки (10—15) будут выглядеть сле-где а, Ь > 0. Здесь ф1 (х) = ах, ф2 (х) = Ьх. дующим образом:

3 3 3

= a x - y^

ey2 = bbx3 - y2

dv1 dt

(25)

<-4 (l - a3 - b3 )\x\6.

VTVi (x) • (XM (x, z + ф(х)) - XM (х,ф(х)))) < ^ X z4 < v2 (x, zj, z2 ) < |x|4 +

,3 3 I I4 2 I 15

x z + x z + x z

-|4 -z4,

(27)

dv. dt

/ 6 < - z

(26)

I'VTxv2 (x, z) • Хw (x, z + Ф (x))) < K2 (|x|3 z5 +1x|2 z4 +1x|3 z3 ), VT2v2 (x, z) • ^ X(() (x, z + ф (x)) < K3 (z6 +1X z5 +1x|2 z4 +1x|4 z2 ).

(2S)

=i

1

£q =

где K 2 3 определяются по формулам:

K1 = max {4;max {a, b};12yJ a4 + b4

K = max < 4 max {a.

K2 = max {2; 6 max {a, b};6>/ a4 + b4 }, , b}; 12 max {a, b} + 2\la2 + b2; 6 max {a, b}a2 + b2; 6\]a2 + b2\/a4 + b4

Величины hu, h2i, h3i вычислим по формулам (20):

h11 h23 h33 2

Я

h12 h22 h32 h34 - ' /i7 3

h - h - h - 6_

"13 _ "21 — Ai31 — Л! 6 '

Далее требуется подобрать такие

значения 8, д2/, 8Ъ,, чтобы выполнялось неравенство (22), после чего остается вычислить верхнюю границу допустимого диапазона изменения параметра е по формуле (23). Поскольку К12,3 в нашем примере зависят от коэффициентов а , Ь , то полученное в итоге значение е0 будет зависеть от а, Ь, 8,821,8М . Коэффициенты а, Ъ долж-

ны удовлетворять условию а + Ь3 < 1, чтобы нулевое решение системы (25) было асимптотически устойчивым.

Обсуждение и заключения

Полученная теорема 2 дает достаточные условия асимптотической устойчивости однородных сингулярных систем в общем случае. Достоинством результата является возможность свести исследование исходной системы к исследованию двух систем меньшей размерности, что может оказаться полезным в силу их существенно нелинейной структуры. Соотношения (20; 22-23) позволяют количественно оценить верхнюю границу допустимой вариации малого параметра.

Условия теоремы 2 основываются на существовании однородных функций Ляпунова [9-10]. Функция vl (х) существует исходя из теоремы 1. Вопрос о критерии существования функции v2 (х, г) для системы (7) является открытым, а следовательно, проверка второго условия теоремы 2 требует чисто конструктивного подхода.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Naidu D. S. Singular perturbations and time scales in control theory and applications : overview // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems (DCDIS) Journal. 2002. Vol. 9, no. 2. P. 233-278. URL: https://www.researchgate.net/publication/247533767_Singular_Perturbations_and_Time_Scales_in_ Control_Theory_and_Applications_An_Overview

2. Singular perturbations and time scales in control theories and applications : an overview 2002-2012 / Y. Zhang [et al.] // International Journal of Information and Systems Sciences. 2014. Vol. 9, no. 2. P. 1-36. URL: https://pdfs.semanticscholar.org/5d1f/e4a9d368187a654198c0a71d5ad9b8fff520.pdf

3. Дмитриев М. Г., Курина Г. А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2006. № 1. С. 3-51. URL: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrn id=at&paperid=1125&option_lang=rus

4. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Математический сборник. 1948. № 22 (64). С. 193-204. URL: http://www.mathnet.ru/php/ archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=6075&option_lang=rus

5. Климушев А. И., Красовский Н. Н. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных // Прикладная математика и механика. 19б1. Т. 25, вып. 4. С. б80-б90.

6. Lobry C., Sari T. Singular perturbation methods in control theory // Controle non Lineaire et Applications. 2005. No. 15. P. 151-177. URL: http://archive.schools.cimpa.info/archivesecoles/20131129112411/ lscimpa2.pdf

7. Косов А. А., Козлов М. В. Стабилизация одного класса сингулярных систем методом декомпозиции // Информационные технологии и проблемы математического моделирования сложных систем. 201б. № 15. С. 77-84. URL: https://elibrary.ru/download/elibrary_2б73S739_45442941.pdf

S. Козлов М. В. Стабилизация сингулярно возмущенных систем с полиномиальной правой частью // Журнал СВМО. 2017. Т. 19, № 1. С. 51-59. URL: http://svmo.mrsu.ru/journal/archive/ article?id=1535

9. Зубов В. И. Исследование задачи об устойчивости для систем уравнений с однородными правыми частями // Доклады АН СССР. 1957. Т. 114, № 5. С. 942-944.

10. Rosier L. Homogeneous Lyapunov function for homogeneous continuous vector field // Systems & Control Letters. 1992. No 19. P. 4б7-473. URL: http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Lionel.Rosier/publi/SCL92.pdf

Поступила 27.06.2017; принята к публикации 12.10.2017; опубликована онлайн 19.12.2017

Об авторах:

Козлов Михаил Владимирович, преподаватель кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики, факультет математики и информационных технологий, ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. б8), ORCID: http://orcid.org/0000-0001-7681-8931, [email protected]

Щенников Владимир Николаевич, профессор кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики, факультет математики и информационных технологий, ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. б8), доктор физико-математических наук, ORCID: http://orcid.org/0000-0001-5230-3482, [email protected]

Вклад соавторов:

М. В. Козлов: доказательство утверждений статьи, подготовка примера; В. Н. Щенников: но-становка задачи, определение методов исследования, обзор литературы.

Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

REFERENCES

1. Naidu D. S. Singular perturbations and time scales in control theory and applications: Overview. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems (DCDIS) Journal. 2002; 9(2):233-278. Available at: https://www.researchgate.net/publication/247533767_Singular_Perturbations_and_Time_Scales_in_Con-trol_Theory_and_Applications_An_Overview

2. Zhang Y., Subbaram D., Chenxiao N., Zou C. Y. Singular perturbations and time scales in control theories and applications: An overview 2002-2012. International Journal of Information and Systems Sciences. 2014; 9(2):1-36. Available at: https://pdfs.semanticscholar.org/5d1f/e4a9d368187a654198c0a-71d5ad9b8fff520.pdf

3. Dmitriyev M. G., Kurina G. A. Singular perturbations in control problems. Avtomatika i teleme-khanika = Automation and Telemechanics. 2006; 1:3-51. Available at: http://www.mathnet.ru/php/archive. phtml?wshow=paper&jrnid=at&paperid=1125&option_lang=rus (In Russ.)

4. Tikhonov A. N. [On dependence of solutions of differential equations on a small parameter]. Matematicheskiy sbornik = Mathematical Collection. 1948; 22(64):193-204. Available at: http://www. mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=6075&option_lang=rus (In Russ.) Computer science, computer engineering and management 553

5. Klimushev A. I., Krasovsky N. N. [Uniform asymptotic stability of systems of differential equations with a small parameter for derivatives]. Prikladnaya matematika i mekhanika = Applied Mathematics and Mechanics. 1961; 25(4):680-690. (In Russ.)

6. Lobry C., Sari T. Singular perturbation methods in control theory. Controle non Lineaire et Applications. 2005; 15:151-177. Available at: http://archive.schools.cimpa.info/archivesecoles/20131129112411/ lscimpa2.pdf

7. Kosov A. A., Kozlov M. V. [Stabilizating a class of singular systems by the decomposition method]. Informatsionnyye tekhnologii iproblemy matematicheskogo modelirovaniya slozhnykh system = Information technologies and problems of mathematical modeling of complex systems. 2016; 15:77-84. Available at: https://elibrary.ru/download/elibrary_26738739_45442941.pdf (In Russ.)

8. Kozlov M. V. [Stabilization of singularly perturbed systems with a polynomial right-hand side]. Zhurnal SVMO = MVMS Journal. 2017; 19(1):51-59. Available at: http://svmo.mrsu.ru/journal/archive/ article?id=1535 (In Russ.)

9. Zubov V I. Investigation of the stability problem for systems of equations with homogeneous right-hand sides. Doklady AN SSSR = Reports of the Academy of Sciences of the USSR. 1957; 114(5):942-944. (In Russ.)

10. Rosier L. Homogeneous Lyapunov function for homogeneous continuous vector field. Systems & Control Letters. 1992; 19:467-473. Available at: http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Lionel.Rosier/publi/SCL92.pdf

Submitted 27.06.2017; revised 12.10.2017;published online 19.12.2017

About the authors:

Mikhail V. Kozlov, Lecturer of Chair of Applied Mathematics, Differential Equations and Theoretical Mechanics, National Research Mordovia State University (68 Bolshevistskaya St., Saransk 430005, Russia), ORCID: http://orcid.org/0000-0001-7681-8931, [email protected]

Vladimir N. Shchеnnikov, Professor of Chair of Applied Mathematics, Differential Equations and Theoretical Mechanics, National Research Mordovia State University (68 Bolshevistskaya St., Saransk 430005, Russia), Dr.Sci. (Physics and Mathematics), ORCID: http://orcid.org/0000-0001-5230-3482, [email protected]

Contribution of the co-authors:

M. V. Kozlov: proof of the research provisions; presentation of example; V. N. Shchennikov: formulation of the problem, definition of research methods, reviewing the literature.

All authors have read and approved the final version of the manuscript.