CC BY
19
УДК 517.9:62-50
ДЕКОМПОЗИЦИЯ МНОГОТЕМПОВЫХ МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЯЕМЫХ И НАБЛЮДАЕМЫХ СИСТЕМ
© 2020 М.М. Семенова
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара
Статья поступила в редакцию 30.01.2020
В статье излагается метод декомпозиции многотемповой модели управляемой и наблюдаемой системы, линейной по быстрым переменным, основанный на теории интегральных многообразий быстрых и медленных движений. Исследуются управляемость и наблюдаемость системы вблизи начала координат. Приведен пример, иллюстрирующий полученные результаты. Ключевые слова: декомпозиция многотемповых систем, интегральное многообразие, управляемость, наблюдаемость, асимптотические разложения.
ВВЕДЕНИЕ
В связи с интенсивным развитием авиации, химической промышленности, нелинейной механики и других областей науки и техники возникла потребность в использовании математических моделей высокой размерности, описываемых системами дифференциальных уравнений, которые естественным образом возникают при моделировании и анализе объектов различной природы, способных одновременно совершать быстрые и медленные движения. В теории автоматического управления модели, описываемые системами сингулярно возмущенных уравнений возникают практически всегда. Примерами могут служить гироскопические, электромеханические и другие системы.
Данная работа посвящена изучению свойств управляемости и наблюдаемости сингулярно возмущенной системы. Исследование производится на основе метода декомпозиции математических моделей, отображающих свойства систем. Декомпозиция является одним из основных приемов для изучения сложных систем и состоит в расщеплении исходной задачи на ряд независимых задач меньшей размерности. Декомпозиция сингулярно возмущенных систем подразумевает частотное разделение движений на быстрые и медленные.
Цель работы:
• Понижение размерности задачи управляемости и наблюдаемости многотемповой системы, линейной по быстрым переменным так, чтобы модель меньшей размерности с большой степенью точности отражала все свойства исходной системы.
• Получение достаточных условий управляемости и наблюдаемости сингулярно возмущенных систем.
Семенова Марина Михайловна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики. E-mail: [email protected]
РАСЩЕПЛЯЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Рассмотрим модель многотемповой системы вида:
П)г=о sk%i = fi ■■■ +
i = (Vn, (1)
где Jtj G Xi с - переменные состояния, соответствующие различным темпам движения, jïq - медленная переменная, хп - самая быстрая переменная, и G U с К7 - управляющие воздействия, w ё 7 с R5 - измеряемая координата, fi G R*4, i = 0, п,ф G - векторные функции, AijrBi,aij - матричные функции соответствующих размерностей, i = 0fn,j = 1 ,ii; s, - малые положительные параметры, £г G = 1, п, s0 = 1, £ G Ш
Пусть для системы (1) выполняются условия [1]:
1) Собственные значения
К = = 1 ,ий матрицы Апп(х0,0, ...,0)
удовлетворяют неравенству R е < —2fi1 < 0.
2) Собственные значения
i = l,\-i матрицы Vut-iK'0'-'0) удовлетворяют неравенству fie À; < — 2/?г < 0.
п) Собственные значения
At = At(ï0), i = 1, г^ матрицы A 1:L (жа, 0,...,0)
удовлетворяют неравенству Re AÉ < —2< 0. п+1) Функции
U Aij' U = Апп(хо'°>
имеют достаточное число равномерно непрерывных и ограниченных частных производных по всем переменным при G (0,£;°],t G IL
Используя метод декомпозиции [2] и асимптотические разложения медленных интегральных многообразий [3], произведем гладкую замену переменных:
= + >xi = vi + hi X fig1 -f й^ЛТд, 1?! ч- it-L -ь £2Hl,Elr
+ Si=2nL=2 sk Hi .. .v^ + h^+a,
X H'-i.Et, i = 3,n- 1.
После такой замены получим систему «блоч-но-треугольного» вида:
Va — fQ(vQ,Sir ... , £я) "Ь (f(j, .,.,
П£=1 £kH$,£lr (3)
= £iHo>Ei> +
'О'
П£=1 Am CU0' ПЙ=1 £k^0 '
Здесь
= 4» (?0>S1 ffoyinUiSfcH, ^
Функции можно искать как асимпто-
тические разложения:
из соответствующих уравнений:
£1ТтггС/о(>о + ^До^и-'О +
00
ад?
п
п 1' е|'
.,£„>,1 = 2,71 - 1.
£1.....е«>] + ^ [^иС^о + £1Но>
Х {^пОо + + ^Оо +
...,£„) Ь2(ъ>0 + г-^п1 + зд^г?! + /I! т
^¡=1 П|с=1 0' е1' (Тц
¿=0,7- 1;
у«1 гт" ^
я нп
^ илъ +
т + 1 -
!
' —'Г>п--У + ^п-1'Е1>
V)] + + 2Г=1 пи ^^ + ^ Пи %
тг
есть частные производные по переменным Vj правых частей уравнений системы (3). Используя критерий Калмана получим, что если линеаризованная система для (3) является вполне управляемой и вполне наблюдаемой, то блочно-треугольная система (3) является локально вполне управляемой и локально вполне наблюдаемой вблизи начала координат. Так как система (3) получена из системы (1) с помощью обратимой замены переменных, то исходная система (1) локально вполне управляема и локально вполне наблюдаема вблизи начала координат.
Пример. В качестве простого примера рассмотрим модель системы математических маятников, подвешенных к несущему телу Р, перемещающемуся горизонтально с ускорением^ [5]: сх^ + + с, = Ъ{и, 1=1 ,п
где Ъ{г - коэффициенты, отличные от нуля, х; - угол отклонения маятника от вертикали, и - скалярное управление, переводящее систему из начального положения в начало координат за минимальное время, |и| < 1. Перепишем эту систему в виде
= Уг>
С помощью замены переменной
с- г1
Уг = ~±5[пХг
Е—^ БШ 2х;
г
X ^-(3 соъгх1 - 1}зт^ + 0(е3)г хг = — £— — 2а2 г: соз V- О(е3),
получим систему блочно-треуголь-
ного вида
V; =--- 31111): — £ ■
2с
С1 ■ С1 ■ т гс
X (Зсоё^-У: - -
1 * 1
. ь1с1
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
Исследуем управляемость и наблюдаемость [4] блочно-треугольной системы (3). Линеаризуем систему (3), т.е. приведем ее к виду V = ¿V + Би, IV = Элементы матриц
Е2
ь= с-«, +
COSVj + Е2 соз 2и;)
Система нулевого приближения ь1.
\>1 =-----и, 1= 1,п;
локально вполне управляема вблизи начала координат, значит блочно-треугольная система локально вполне управляема вблизи начала координат. Система первого приближения
ci ' sct ' т. rbi I
17; =--1 Sin V;--V Sill AV; - f "Г £
X b{ cosi?i)uri = l,n;
EZj — (—Uj + s^- COSVj) Zj + bjU,
локально вполне наблюдаема вблизи начала координат, значит блочно-треугольная система локально вполне наблюдаема вблизи начала координат. Так как блочно-треугольная система получена из данной системы с помощью обратимой замены переменных, то исходная система локально вполне управляема и локально вполне наблюдаема вблизи начала координат.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Получены достаточные условия управляемости и наблюдаемости многотемповых систем,
линейных по быстрым переменным. Приведен пример системы математических маятников, иллюстрирующий полученные результаты.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Семенова М.М. Декомпозиция многотемповых моделей управляемых систем // Вестник Самарского государственного университета. 2002. Т. 4. № 26. С. 13-22.
2. Воропаева Н.В., Соболев В.А. Конструктивный метод расщепления нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных систем// Дифференциальные уравнения. Т. 31. 1995. №4. С. 569-578.
3. Стрыгин В.В., Соболев В.А. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988. 256 с.
4. Семенова М.М. Управляемость и наблюдаемость многотемповых систем // В кн.: Воропаева Н.В., Соболев В.А. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем. М.: Физматлит. 2009. 256 с. С. 153 - 172.
5. Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М.: Наука. 1987. 256 с.
DECOMPOSITION OF MULTIRATE MODELS OF CONTROLLABLE AND OBSERVABLE SYSTEMS
© 2020 M.M. Semenova
Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Samara
A method of integral manifold is applied to study of multitempo linear on fast variables systems. The use of this method permits us to solve a problem of decomposition of multirate controllable and observable systems. Local controllability and local observability of these systems is investigated. The application of the method is illustrated on example.
Keywords: the decomposition of multirate models, integral manifold, controllability, observability, asymptotic expansions.
Marina Semenova, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor at the Higher Mathematics Department. E-mail: [email protected]
