Декомпозиция дискретных нелинейных систем с быстрыми и медленными переменными Текст научной статьи по специальности «Математика»

28

УДК 517.977

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2010. № 4(78).

ДЕКОМПОЗИЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С БЫСТРЫМИ И МЕДЛЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

© 2010 Н.В. Воропаева1

Настоящая работа посвящена декомпозиции нелинейных дискретных раз-нотемповых систем. В основе предлагаемого алгоритма декомпозиции лежит геометрический подход, базирующийся на свойствах инвариантных многообразий медленных и быстрых движений. Расщепляющее преобразование строится в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра.

Ключевые слова: декомпозиция, нелинейные дискретные системы.

1. Предварительные сведения

В последнее время в связи с новыми прикладными задачами повысился интерес к дискретным системам, содержащим разнотемповые переменные. Им посвящено множество публикаций (см., например, обзоры [1-3]). При этом широкий спектр задач сочетается со сравнительно небольшим арсеналом применяемых средств анализа. Абсолютное большинство статей и монографий по указанной тематике имеют в своей основе тот или иной метод построения асимптотических разложений решений начальных и краевых задач. В то же время во многих случаях необходимо следить за поведением системы в целом, а не отдельных траекторий, решать задачи качественного исследования.

В работах [4-6] предложен конструктивный метод разделения движений в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных системах, базирующийся на аппарате интегральных многообразий Боголюбова — Митропольского. В настоящей работе идеи этого метода используются для теоретического обоснования алгоритма декомпозиции нелинейных дискретных систем с быстрыми и медленными переменными. Используя свойства инвариантных многообразий медленных и быстрых движений, строится замена переменных, приводящая рассматриваемую систему к "блочно-треугольному" виду с независимой медленной подсистемой, которая во многих случаях может быть использована в качестве упрощенной модели. Применению данного подхода для решения задач управления дискретными разнотемповыми системами посвящены работы [7-9].

1 Воропаева Наталия Владимировна (voropaevan61@mail.ru), кафедра дифференциальных уравнений и теории управления Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

2. Основные результаты

2.1. Инвариантное многообразие медленных движений

Рассматривается нелинейная разнотемповая дискретная система вида х(к + 1) = х(к) + е/(х(к),у(к),е),

у(к + 1) = Бу(к) + до(х(к)) + ед(х(к), у (к), е), д(х(к), 0, е) = 0, (1)

где х(к) € НП1 — медленная переменная, у (к) € НП2 — быстрая переменная, е -положительный малый параметр. Предполагается, что собственные значения матрицы Б лежат внутри единичного круга.

Ставится задача приведения системы (1) к "блочно-треугольному" виду

у(к +1) = у(к) + е¥ (у(к),е),

г (к +1) = Бг(к) + С(у(к), г(к), е), С(у(к), 0,е) = 0 (2)

с независимой медленной подсистемой.

Расщепляющее преобразование ищется в виде

х(к) = у(к) + еН (у(к), г (к), е), у (к) = г(к) + Н(х(к),е), (3)

где функция Н(х(к),е) описывает инвариантное многообразие медленных движений системы (1), а Н(у(к), г(к), е) - инвариантное многообразие быстрых движений расширенной вспомогательной системы.

При доказательстве теорем используются следующие утверждения. Лемма 1. (Дискретный аналог неравенства Гронуолла) [10]. Пусть {ак}, {Ък} и {Чк} — числовые последовательности, определенные для всех к € N0, где N0 — множество целых неотрицательных чисел, и при этом Ък ^ 0 и Чк ^ 0. Если последовательсть {хк} удовлетворяет неравенству

к-1

хк < ак + Чк^2 Ъх, к € N0, (4)

1=0

то справедливо неравенство

к-1 к-1

хк < ак + Чк^2 Ъ а (1 + ЪгЧг), к € N0. (5)

1 = 0 1=1+1

Лемма 2. Пусть {ак}, {Ък} и {чк} — последовательности, определенные для всех к € N0, и при этом Ък ^ 0 и Чк ^ 0. Если последовательсть {хк} удовлетворяет неравенству

т

хк < ак + Чк Ъх, к < т, (6)

г=к+1

то справедливо неравенство

т 1—1

хк < ак + Чк ^ Ъа (1 + ЪгЧг), к < т. (7)

1 = к+1 г=к+1

Лемма 2 является очевидным следствием леммы 1. Для систем вида (1) справедлива следующая теорема. Теорема 2.1. Пусть выполнены следующие условия:

1. В области О = {х € ЕП1, \\у - М0)(х)|| < р0, 0 < е < е0}, где х) = (I - Б) 1д0(х), I — единичная матрица размерности (п х щ), функции

h(0), f, go, g имеют достаточное число равномерно непрерывных и ограниченных частных производных по всем переменным;

2. У^У < d< 1.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Найдется такое е^ (0 < £i ^ ео), что при 0 ^ е ^ е^ у системы (1) существует инвариантное многообразие медленных движений вида

y(k) = h(x(k), е), (8)

где функция h(x,e) удовлетворяет неравенствам

\\h(x,e)\\ < M, (9)

\\h(xi,e) - h(x2,e)\\ < L\\xi - x2\\. (10)

2. Функция h(x,e) может быть найдена с любой степенью точности в виде асимптотического разложения

h(x,e) = J2 ejh(j)(x) (11)

j>o

из уравнения

h(x + ef (x, h(x, е), е), е) = = Dh(x, е) + g0(x) + ед(x, h(x, е), е). (12)

Доказательство. При помощи замены переменных

y(k)= t(k) + h(0)(x(k)), x(k) = s(k) (13)

приведем систему (1) к виду

s(k +1) = s(k)+ еБ^),^)^), t(k +1) = Dt(k)+ T (s(k),t(k),е). (14)

Очевидно, что при сделанных предположениях функции S и T для любых s, si,s2 G Rni ,t,ti,t<2 G Rn2 удовлетворяют условиям

\\S(s, t, е) \\ < 7, \\T(s,t, е)\\ < еЪ

\\S(.?иП,е) - Б(.?2^2,е)\\ < 7(\\si - s2\\ + \\ti - t2\\),

\\T(suti^) - T(s2М,е)\\ < е7(\^ - s2\ + \\ti - t2\\), Y> 0. (15)

Изучим инвариантные многообразия медленных движений системы (14), удовлетворяющие уравнениям вида

t(k)= p(s(k), е). (16)

Будем предполагать, что функция p(s^) определена в области Qi = {(s, е) | s G Rni, 0 ^ е ^ el ^ ео}, непрерывна в ней и удовлетворяет условиям

\p(s,е)\\ < M, (17)

\\р(.?ие) - р(.?2,е)\\ < L\\si - s2\\. (18)

Введем в рассмотрение метрическое пространство Ti(M, L) ограниченных и непрерывных в Qi функций t = p(s^), принимающих значения в Rn2 и удовлетворяющих условиям (17), (18), с метрикой ц(р,р) = sup \\р^,е)-pi(s, е)\. Нетрудно

s

доказать, что рассматриваемое метрическое пространство является полным.

Если траектория (з(к),Ь(к)) лежит на инвариантном многообразии (16), то функции з(к) и Ь(к) = р(з(к),£) должны удовлетворять системе (14). При этом первое уравнение системы принимает вид

з(к + 1) = з(к) + £Б(з(к),р(з(к),£),£). (19)

Обозначим через з(к) = м(к) = Ф(к,т, во, £\р) решение уравнения (19), удовлетворяющее начальному условию Ф(т,т, во, £\р) = во- Функция Ь(к) = р(м(к),£) является ограниченным на всей оси решением уравнения

г(к + 1) = т(к) + т (р(к),г(к),е) (20)

и поэтому имеет вид

т— 1

г(т)=^2 Вт—1—1ТЫ1)Л1),е). (21)

Положим во = з(т), т. е. м(к) = Ф(к,т, з(т), £\р). Тогда для р(з(т),£) из (21) получим уравнение

т— 1

р(з(т),£) =]Т Вт—1—1Т(<р(1),р(<р(1),е),е). (22)

С другой стороны, если уравнение (22) имеет решение, удовлетворяющее (17), (18), то это решение определяет инвариантное многообразие системы (14) класса ~Е(Ы,Ь). Действительно, для любой точки (зо,Ьо), лежащей на поверхности Ь = р(з,£), т. е. удовлетворяющей соотношению Ьо = р(зо,£), уравнение (19) имеет решение з(к) = Ф(к, ко, зо, £\р). Из уравнения (22) и очевидного соотношения Ф(к, т, Ф(т, ко, зо, £\р), £\р) = Ф(к, ко, зо, £\р) следует, что Ь(к) = р(Ф(к, ко, зо, £\р), £) является решением уравнения (20). Таким образом, уравнение (22) можно рассматривать как операторное уравнение для отыскания функции р.

Для произвольных р, р € Т,(М,Ь) рассмотрим уравнение (19) и установим при всех к ^ т справедливость оценок

(1+ £о)т—к—1

||Ф(к, т, з(т),£\р)) - Ф(к, т, з(т),£\р))\ < --^--||з(т) - з(т)\, (23)

1 - £^(1 + Ь)

((1 + £а)т—к— 1)

\\Ф(к, т, з(т),£\р)) - Ф(к, т, з(т),£\р))\\ < —-'■—--/л(р,р), (24)

1+Ь

где д = 7(1 + Ь)/(1 - £1(1 + Ь)).

Заметим, что функции м(к) = Ф(к,т, з(т),£\р), М(к) = Ф(к, т, з(т), £\р), М(к) = Ф(к,т,з(т),£\р) при к ^ т удовлетворяют соотношениям м(к) = з(т) -

т— 1 т— 1

- £ £ Б(ч>(1),р(ч>(1),£),£), М(к) = з(т) - £¿2 Бт),р(т, £),£), т = 1=к 1=к т—1

= з (т) - £ £ 5 т),р№), £),£).

1=к

Используя неравенства (15) и (18), получаем

т—1

\\^к) - з(к)\ < 1 - + Ь) Е [(1 + Ь)У(1) - т\\ + Кр,р)],

Мк) - ШИ < 1-^—Т^ [\\з(т) - з (т)Ц +

1 - £^(1 + Ь)

т—1

+£П(1 + ь) ^ \М1) - т\\]-

1 = к + 1

Применяя лемму 2, получаем требуемые оценки (23), (24). Введем в рассмотрение отображение

т— 1

Т(р)(в(т),е)= ^ Бт—1—1Т,р(9(1),, е),, е). (25)

1 = — <Ж

Используя оценки (15), (18), (23), (24), получим

т— 1

т-1-1 _ е

\\Т(р)(в(т), е)|| < е^ ¿т

1 = — ж

т1

1 - а

\\Т(р)(в(т), е) - Т(р)(в(т), е)\\ < ]Т ¿т—1—1е1(1 + Ь)М,1) - (р(1)\\ <

1= — Ж

^ п ( ) )И ^1 т——1(1 , т—1—1 ечЫт) - в(т)\\

<е д\\в(т) - в(т)\\ а (1 +е д) =—(^¿л—'

т—1

\\Т(р)(в(т), е) - Т(р)(в(т), е)\\ < ]Т ¿т—1—1е1(\^(1) - ф(1)\(1 + Ь) +

+р(р,р)) < е1^(р,р) £ ат—1—1(1 + ед)т—1 = ^ + е^ ц(р,р), ^ (1 - а1)

где ¿1 = ¿(1 + ед) < 1.

При определении множества ~Е(М,Ь) будем считать, что М = еМо, Ь = еЬо.

При этом Мо и Ьо выберем так, чтобы выполнялись неравенства ¿1 < 1, - ^

1 - а

д е^ (1 + е д) ^ Мо, -■ г ^ Ьо, —,-< 1. Это можно сделать при достаточно малых

(1 - а1) (1 - а1)

значениях е (0 ^е^ е1 ^ е о). Выполнение указанных неравенств означает, что оператор Т(р) переводит полное метрическое пространство £(еМо,еЬо) в себя и является сжимающим. Следовательно, он имеет в еМо,еЬо) единственную неподвижную точку. Это означает, что система уравнений (14) имеет инвариантное многообразие Ь(к) = р*(в(к), е).

Заметим, что система (14) была получена из системы (1) заменой (13). Следовательно, система (1) имеет инвариантное многообразие медленных движений вида у(к) = к(х(к), е) = ко(х(к)) + р*(х(к), е). Другое доказательство существования инвариантного многообразия систем типа (1) приведено в работе [11].

Для доказательства гладкости инвариантного многообразия (8) достаточно рассмотреть оператор Т(р) на соответствующем подмножестве пространства ~Е(К,М).

Для доказательства асимптотического характера разложения (11) достаточно показать, что "остаток" разложения описывает инвариантное многообразие соответствующей вспомогательной системы. В системе (1) производится замена пе-

I

ременных у(к) = т (к) + ^ е^ Н(з\х(к)), х(к) = в (к) и для полученной системы,

з=о

повторяя приведенные выше рассуждения, устанавливается существование инвариантного многообразия вида т(к) = р(в(к), е), где функция р(в(к), е) принадлежит классу £(е1+1М, е 1+1Ь). Теорема 2.1 доказана.

Разлагая векторные и матричные функции в ряды по степеням малого параметра и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в уравнении (12), получим линейные алгебраические уравнения для определения

Н(г^(х(к)). При ео имеем: х(к)) = -(В - I) 1до(х(к)). Для коэффициентов Ь(г)(х(к)), (г ^ 1) получаем рекуррентные формулы вида Ь(г)(х(к)) = -(В --1 ) — 1С(х(к),Н(о),Н(1),...Н(г—1)).

Движение по инвариантному многообразию (8) описывается системой

у(к + 1)= у(к) + еГ(у(к),е), Г(у(к),е) = /(у(к),Н(у(к),е),е). (26)

2.2. Инвариантное многообразие быстрых движений

С целью расщепления системы (1) в окрестности инвариантного многообразия (8) введем переменные: у(к) - решение уравнения (26), т(к) = х(к) - у (к), г (к) = = у (к) - Ь(х(к),е) и рассмотрим расширенную вспомогательную систему

у(к +1) = у(к)+ еГ (у(к),е),

т(к +1) = т(к) + еШ (у(к),т(к),г(к),е), (27)

г(к +1) = Вг(к) + Z (у(к),т(к),г(к),е),

Ш(у, т, г, е) = /(у + т, г + + т, е), е) - /(у, Ь(у, е), е),

Z(у, т, г, е) = е[д(у + т, г + + т, е), е) - д(у + т, + т, е), е)]-

-\Н(у + т + е/(у + т,г + + т, е), е), е) - + т + е/(у + т, + т, е),е), е)].

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Найдутся такие е2, р2 (0 < ^ е1, 0 < р2 ^ ро), что при 0 ^ е ^ е2, \\г(к)\\ ^ р2 у системы (27) существует инвариантное многообразие быстрых движений вида

т(к)= еН (у(к),г(к),е), (28)

где функция Н(у, г, е) удовлетворяет неравенствам

\\Н(у,г,е)\\ < а\\г\\, (29)

\\НЫ,гъе) - Н(уъг1,е)\\ < Ъ(\\Щ\у - у2\\ + \\г1 - г2\\), (30)

И = тах{\\г1 \\, \\ г2\\}.

2. Функция Н(у, г) может быть найдена в виде асимптотического разложения

Н(у,г,е) = ^2 е* Н(*)(у,г) (31)

з>о

из уравнения

Н (у, г, е) + Ш (у, еН (у, г, е),г, е) = = Н (у + еГ (у, е), Вг + Z (у, еН (у, г, е),г, е), е). (32)

Доказательство. Пользуясь дифференциальными свойствами функций /, до, д, Ь, нетрудно доказать, что для функций Г, Z и Ш справедливы неравенства

\\Г(у,е)\\ < с, (у,т,г,е)\\ < ес\\г\\, \\Ш(у,т,г,е)\\ < с(\\г\\ + \М), \\Г (у,е) - Г (в ,е)\\ < с\\у - в\\,

\\Z(у,т,г,е) - Z(в,т,в,е)\\ < ес[\^\- в\\ + \\т - т\\) + \\г - в\\], \\Ш(у,т,г,е) - Ш(в,т, в,е)\\ < с[(\\г\\ + Цг^^^у - в\\ + \\т - т\\ + \\г - в\\],

(33)

при V € Я"1, Ц-Ц < Р1 < ро, ЦггЦ < р1, где ЦгЦ = тах^гЦ, \\зЦ}, ЦггЦ = тах^гЦ, \\^^\}-

Пусть = {^,г,£)\V € Я"1, НгН < р2 < р1, 0 < £ < £2 < £1}. Введем в рассмотрение класс Л(а,Ь) функций Н, действующих из 0.2 в Я"1, непрерывных и удовлетворяющих неравенствам (29), (30). Класс Л(а,Ь) является полным мет-

й (и з) \\Н(V,г,£) - Н(V,г,£)\\ 1

рическим пространством с метрикой а(Н,Н) = вир --—-- , где

[

точная верхняя грань вычисляется по 0.2 при з = 0 и фиксированном £. Функция Н является решением уравнения

ж

Н^(т),г(т),£) = ^ ^(¿),£Н^(1), з(1),£), з(1),£), (34)

1=т

где v(k) - решение уравнения (26), удовлетворяющее начальному условию v(m) = = V, а г (к) - решение начальной задачи

з(к + 1)= Бз(к) + Z ^(к),£Н к),з(к),£),з(к),£), з(т) = з. (35)

Сходимость ряда обеспечивается оценкой

Нг(к)Н < Нг(т)Н£1—т, ¿2 = 1 + £с (36)

для решений этой начальной задачи при всех к ^ т. Чтобы убедиться в справедливости этой оценки, перепишем уравнение для з(к) в форме

к—1

з(к) = Бк—тг(т) + ^2 Dk—l—1Z V1),£Н^(1), з(1),£), з(1),£). (37)

1=т

Отсюда с учетом первого неравенства в (33) при к ^ т следует оценка

к—1

\г(к)Н < 1к—т\г(т)Н + 1к—1—1Нз(1)Н.

1=т

Используя лемму 1, получаем неравенство (36). Введем в рассмотрение оператор

в(Н)^(т), з(т), £) = - ^ ^^(¿), £Н VI), з(1), £), з(1), £).

1=т

Используя оценки (29), (33), (36), получаем

ж

Н&(Н)^(т),г(т),£)\\ < с(1+ £а) £ Н\з(т)Н\112—т. (38)

1=т

Пусть з(к) - решение уравнения (35), удовлетворяющее начальному условию з(т) = з. Используя представление вида (37) для з(к) и оценки (33), при к ^ т имеем

к—1

\\з(к) - з(к)Н < 1к—т\\з(т) - з(т)\ + £с(1 + £Ьр2) £ 1к—1—1\\з(1) - з(/)Ц.

1=т

Используя лемму 1, получаем

\\з(к) - з(к)Н < ¿к^Цз^т) - з(т)Н, = 1 + £с(1 + £Ьр2). Далее имеем

\\6(Н)^(т),з(т),£) - в(Н)^(т),з(т),£)\\ <

Ж

< с(1 + £Ь)^ Нз(т) - з(т)Ц11—т. (39)

Пусть теперь v(k) и V(к) — решения уравнения (26), удовлетворяющие начальным условиям v(m) = V, V(т) = V, з(к) — решение задачи (35), а ¿(к) — решение аналогичной задачи для функции з(к) вместо v(k)- Для разности v(k) и V (к) при к ^ т имеем оценку

\^(к) - з(к)Н < \^(т) - з(т)Н(1 + £с)к—т, (40)

к—1

которая следует из соотношений v(k) = v(m) + £ £ Г^(1),£), V (к) = V (т) +

1=т

к—1

+ £ £ Г(V (1),£), неравенств (33) и леммы 1.

1=т

Используя для з(к) и з(к) представления типа (37) и оценки (30), (33), (40), получаем

к—1

лк-1- 1г

\\з(к) - з(к)Н < Пк—1 — 1^(1),£Н(о(1),з(1),£),з(1),£) -

1=т

-Z(з(1),£Н(з(1),з(1),£),з(1),£)]Н < к—1

^ ¿к—1—1£с(1+Ьщжитт) - з(1)Н + н з(о - зт) <

< £с(1 + £Ьр2)\\зЦ - з^ 1к — 1—111—т(1 + £с)1—т +

1=т

к—1

+£с(1 + £Ьр2)^ ¿к — 1 — 1Н з(1) - 3(1)Н) <

1=т

к—1

< (1+^цзш^ - знй—+£с(1+£Ьр2 ¿к—1—1н з(1) - з(1)Н),

где ¿4 = ¿2(1 + £с).

Используя лемму 1, получаем

Нз(к) - з(к)\\ < (1 + ^ЦзЦ^ - з\1кк—т, ¿5 = ¿4 + £с(1 + £Ьр2). (41)

Оценим по норме разность значений &(Н)^,з,г,£) и &(Н)(з,з,т,£), используя неравенства (29), (30), (33) и (41). Имеем

Н&(Н)^(т), з(т),£) - 6(Н)(з(т), з(т),£)Н <

Ж

< Е Н№^(1),£Н^(¿), з(1),£), з(1),£) - W(з(1),£Н(з(I), з(1),£), з(1),£)Н <

1=т ж

< с ^(1 + £а + £Ь)НЧ1)11\Н1) - з(1)Н + (1 + £Ь)Нз(1) - з(1)Н <

1=т ж

< с [(1 + £а + £Ь)И\—т + (1 + £Ь)(1 + £Ьр2)d'5—m]||з||||v - з|| <

1=т

< с[(1 + £а + £Ь) + (1+ £Ь)(1+ £Ьр2) Ц - з||. (42)

1 - ¿5

Пусть теперь Н1, Н2 € Л(а,Ь), з1(к) является решением задачи вида (35) при Н = Н1, а з2(к) — при Н = Н2. Как и ранее, используем для з1(к) и з2(к)

представления типа (37). Из оценок (30), (33) и (36) имеем

к — 1

\Ык) - г2(к)\\ < \\ £ Вк—1—1^(у(1), еН1(у(1),г1(1), е), г1(1), е) -

1=т

^(у(1),еН2(у(1),г2(1),е),г2(1),е))\ < к-1

^ dk—l—1еc[е\\z(l)\\(\\Hl(v(l),гl(l),е) - Щ^г^е)! +

1=т

+ \\Н2(у(1),г1(1),е) - Н2(у(1),г2(1),е)\\) + \\г1(1) - г2(1)\\] <

к-1

^ ¿к—1—1ес[(1 + еЪр2)\\г1(1) - г2(1)\\ + еЩЩ^Н^ Н2)] <

1=т

к-1

1|

< ес(1 + еЪр2)^ ¿к—1—1\\г1(1) - г2(1)\\ +

1=т

к-1

+е2ср2а(Н1,Н2)\\г\\^2 ак—1—1а2—т <

1=т

к-1

< ес(1+ еЪр2)^ ак—1—1\\г1(1) - г2(1)\\ + е^^РМ^, Н2).

Используя лемму 1, получаем

\Ык) - г2(к)\\ < ер2а(Н1, ЩШс!—. (43)

Следовательно,

\\&(Н1)(у(т),г1(т),е) - &(Н2)(у(т),г2(т),е)\\ <

Ж

< Е \\Ш(у(1),еН1(у(1),г1(1),е),г(1),е) -

1=т

-Ш(у(1),еН2(у(1),г2(1), е),г^(1), е)\\ <

Ж

< с^[(1+ е Ъ)\\г1(1) - г2(1)\\ + еЦНМ^г^), е) - Щ(у(1),г1(1), е)\\ <

1=т ж

< с ^[(1+ е Ъ)ер2а(Н1 ,Н2)\\г\\а'—т + еЦг^^Н ,Н) <

1=т

Р2(1 + еЪ) + 1 (и тт )|| II ^ е с--°(Н1,Н2 )\\г\\.

Отсюда получаем

а(&(Н1),&(Н2)) < е ср2(\+ еЪЪ) + 1 а(Ни Н2).

1 - ¿5

Ясно, что при достаточно малых значениях р2 и е2 существуют такие числа а и Ъ, не зависящие от е, при которых одновременно выполняются неравенства

с(1+ еа) < с(1 + еЪ)

1 - ¿2 ^ ' 1 - а2

(1 + еа + еЪ) + (1 + еЪ)(1 + еЪр2р2(1 + еЪ) + 1

< 1, ] = '!,..., 5, -^ < а, -^ < Ъ,

с[--5-] ^Ъ, ес 1 - ¿5 < 1

Отсюда, учитывая (38), (39), (42), можно заключить, что бН)^^^^,^ < а\з(т)Н,

\\б(Н)^(т), з(т), £) - б^^^^т),^! < Ь\\з(т) - з(т)\\, \\б(Н)^(т), з(т), £) - &(Н)(з(т),3(т),£)Н < Ц^^Щ^т) - з(т)1\.

Следовательно, оператор &(Н)^(т), з(т),£) переводит полное метрическое пространство Л(а, Ь) в себя и является сжимающим, что и доказывает существование и единственность инвариантного многообразия (28) системы (27) класса Л(а,Ь).

Для доказательства гладкости инвариантного многообразия (28) достаточно рассмотреть оператор &(Н) на соответствующем подмножестве пространства Л(а, Ь).

Для доказательства асимптотического характера разложения (31) достаточно показать, что "остаток" разложения описывает инвариантное многообразие соответствующей вспомогательной системы. В системе (27) производится замена пе-

I

ременных г(к) = х(к) + £ £ £г^^(к), з(к)), и для полученной системы, повторяя

г=о

приведенные выше рассуждения, устанавливается существование инвариантного многообразия вида х(к) = £Н^(к), з(к),£), где функция Н^(к), з(к)) принадлежит классу К(£1+11а, £1+1Ъ). Теорема 2.2 доказана.

Разлагая входящие в уравнение (32) векторные и матричные функции в ряды по степеням £ и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £, получаем

Н^^(к), Бз(к)) - Н^^(к), з(к)) = W(-и(к), 0,з(к), 0), Н(г)(и(к), Бз(к)) - Н(г)('и(к), з(к)) = W(г)('и(к), з(к)) = (44)

= W (г) ^(к),з(к),Н(о\Н(1),...,Н(г ^^ (г > 1).

Представим функции Н(г), W(г) при достаточно малых з(к) в виде асимптотических разложений

Н(г)^(к), з(к)) = £ Н(^^(к), з(к)), (45)

W(г)(-и(к),з(к)) = £ W^^к),з(к)). (46)

Здесь

представляют собой векторные функции, компонентами которых являются формы ^-го порядка координат вектора з(к). Из соотношений (44) для определения коэффициентов форм Н (г,1)

получим линейные алгебраические

системы.

Для отыскания линейных по координатам вектора з(к) членов в представлении (45) для функций Н(г) введем обозначения Н(г,1) = Р(г)з(к), W(г,1) = Q(г)з(k), Р(г) = Р(г)^(к)),

Q(г) = Q(г)(v(k)). Тогда из соотношений (44) получим

Р(г) =

= Q(г)(D - 1) — 1. _

Для определения квадратичных членов обозначим через соответ-

ствующие координаты векторов Н(г,2), W(г'2) и представим их в виде Н(г'2 = = з'(к)я(г)з(к), W¡;г,2) = з'(к)Б(г)з(к), где Я(г) = Я^^(к)), Б(г) = Б((г)к)) — симметрические матрицы. Из соотношений (44) получим уравнения D'Я(lг)D -- Я(г = Б(г относительно матриц Я(г.

Движение по инвариантному многообразию (28) описывается системой (2), где а('и(к),з(к),£) = Z (Vи(к),£Н (Vи(к),з(к),£),з(к),£).

2.3. Расщепляющее преобразование

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия теорем 2.1, 2.2. Тогда справедливо следующее утверждение:

При 0 ^ е ^ е2, \\у(к) - Ь(х(к),е)\\ ^ р2 замена переменных (3) приводит систему (1) к "блочно-треугольному" виду (2).

Доказательство. Пусть (х(к), у(к)) — решение системы (1) с начальным условием х(ко) = хо, у(ко) = уо. Покажем, что существует такое решение (у(к),г(к)) системы (2) с начальным условием у(ко) = уо, г(ко) = го, что х(к), у(к), у(к) и г (к) связаны соотношениями (3). Достаточно показать, что соотношение (3) имеет место при к = ко. Подставив к = ко в (3), получим хо = уо + еН(уо,го,е), уо = го + Ь(хо,е) и, следовательно, го = уо - Ь(хо,е). Для уо получается уравнение

V(уо) = уо, V(уо) = хо - еН(уо,го,е). (47)

Из неравенства (30) нетрудно получить, что для любых хо € НП1 и фиксированных го таких, что \\го\\ = \\уо - Ь(хо,е)\\ ^ р2, V(уо) является сжимающим отображением НП1 в себя и, следовательно, уравнение (47) имеет единственное решение.

Теорема 2.3 доказана.

Если для системы (1) заданы начальные значения (хо, уо), то из соотношений (3) получаем выражение для начального условия го: го = уо - Ь(хо,е) и уравнение относительно уо : хо = уо + еН(уо,го,е). Заметим, что уо легко находится в виде разложения по степеням малого параметра: уо = уоо + еуо1 + е'2уо2 + .... Так, например, уоо = хо, уо1 = -Н(хо,гоо, 0), где гоо = уо - Ь(хо, 0).

Замена переменных (3) позволяет производить расщепление не только начальных, но во многих случаях и краевых условий.

2.4. Устойчивость. Принцип сведения

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.4. Пусть выполнены условия теорем 2.1, 2.2. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Устойчивость. Траектория любого решения системы (1), начинающаяся вблизи инвариантного многообразия медленных движений (8), при к ^ неограниченно приближается к некоторой траектории, лежащей на этом многообразии.

2. Принцип сведения. Решение х(к) = в (к), у (к) = к(в (к),е) системы (1), траектория которого лежит на инвариантном многообразии медленных движений (8), устойчиво (асимптотически устойчиво, неустойчиво) тогда и только тогда, когда устойчиво (асимптотически устойчиво, неустойчиво) решение у(к) = у (к) системы (26), описывающей движение по инвариантному многообразию (8).

Доказательство. Исследуем поведение решений системы (1), начинающихся вблизи инвариантного многообразия (8). Пусть (х(к), у(к)) - решение системы (1) с начальными условиями х(ко) = хо, у (ко) = уо, причем \\уо - к(хо,е)\\ ^ р2, 0 ^ е ^ е2. Из представления (3), используя неравенства (10), (29), (36), при к ^ ко получаем

\\х(к) - у(к)\\ < е\\Н(х(к),г(к),е)\\ < еа\\уо - Ь^^)^^0,

\\у(к) - Ь(у(к),е)\ < \\г(к)\\ + \\Ь(х(к),е) - Ь(у(к),е)\ <

< (1 + еаЬ)\\г(к)\\ < (1 + еаЬ)\\уо - Ь(хо, е. (48)

Отсюда следует, что траектория (х(к), у(к)) любого решения системы (1), начинающаяся вблизи инвариантного многообразия (8), неограниченно приближается при к ^ к некоторой траектории (у(к), Ь(в(к),е)), лежащей на этом многообразии. В этом смысле мы будем говорить об устойчивости инвариантного многообразия медленных движений.

Используя представление (3), докажем, что для инвариантного многообразия медленных движений (8) справедлив принцип сведения.

Пусть х(к) = у (к), у (ко) = во, у(к) = в (к) = Ь(в(к),е) — некоторое решение системы (1), траектория которого лежит на инвариантном многообразии медленных движений. Предположим, что решение х(к) = у (к) системы (26) устойчиво. Это означает, что для произвольного п > 0 можно указать такое 6 > 0, что любое решение х(к) = х(к), х(ко) = Хо этой системы для всех к ^ ко удовлетворяет неравенству \\х(к) - в(к)\\ < п, если только \\хо - в о\ < 6.

Необходимо показать, что решение (в (к), в (к)) системы (1) устойчиво, т. е. для любого П1 > 0 можно указать такое 61 > 0, что как только \\хо - во\\ < 61 и \уо - Ь(во,е)\\ < 61, то для всех к ^ ко будет иметь место оценка \\х(к) -

- в(к)\\ + \\у(к) - в(к)\\ < П1, где (х(к),у(к)) — решение системы (1) с начальными условиями х(ко) = хо, у (ко) = уо.

Выберем 0 <61 ^ р2. Тогда для решения (х(к), у (к)) системы (1) справедливы представление (3) и оценки (10), (29), (36), (48), а следовательно, имеет место неравенство

\\х(к) - в(к)\\ + \\у(к) - в(к)\ < \\х(к) - в(к)\\ + \\в(к) - в(к)\\ +

+ \\у(к) - Ь(х(к),е)\\ + \\Ь(х(к),е) - Ь(в(к),е)\ +

+ \\Ь(в(к),е) - Ь(в(к),е)\\ < (1 + еа(1 + Ь))\\г(к)\\ +

+(1 + Ь)\\в(к) - у^У < (1 + еа(1 + Ь))\\уо - Ь^е^— +

+(1 + Ь)\\в(к) - в(к)\\. (49)

Будем считать, что 61 < 6/(1+ еа(1 + Ь)). Тогда из представления (3) и оценок (10), (29), (48) имеем

\\у(ко) - в(ко)\\ < \\хо - уо\\ + \\хо - VоУ < еа\\уо - Ь(хо, е)\\ + + \\хо - во\\ < еа(\\уо - Ь(во, е)\\ + \\Ь(во, е) - Ь(хо, е)\\) + + \\хо - во\\ < (1 + еа(1 + Ь))61 < 6.

Тогда, по предположению, для всех к ^ ко имеем Цв^-в(к)\\ < п. Из неравенства (49) получаем

\\х(к) - в(к)\\ + \\у(к) - в(к)\\ < (1 + еа(1 + Ь))(1 + Ь)61 + (1 + Ь)п.

Очевидно, что для любого п1 > 0 можно подобрать 61 > 0 и п > 0 такие, что (1 + еа(1 + Ь))(1 + Ь)61 + (1 + Ь)п < п1. Это и означает, что решение (у(к), в (к)) системы (3) устойчиво.

С другой стороны, из устойчивости решения (у (к), в (к)) системы (1) очевидным образом вытекает устойчивость решения в(к) = в (к) уравнения (26), описывающего движение по инвариантному многообразию (8).

Если решение в(к) = у (к) системы (26) асимптотически устойчиво, то \\в(к) -

- в (к)\\ ^ 0 при к ^ Из представления (3) и оценок (48) следует, что \\х(к) -

- в(к)\\ ^ 0, \\у(к) - Ь(в(к),е)\\ ^ 0 при к ^ Тогда из оценки (49) получаем \\х(к) - в(к)\\ ^ 0 и \\у(к) - Ь(в(к),е)\\ ^ 0 при к ^ +гс>, т. е. решение (в(к), в (к)) системы (1) асимптотически устойчиво. Обратное утверждение очевидно.

Случай, когда решение v(к) системы (26) неустойчиво, очевиден, т. к. эта система описывает поведение решений системы (1) на инвариантном многообразии (8).

Теорема 2.4 доказана.

Принцип сведения позволяет во многих случаях сводить анализ исходной системы с быстрыми и медленными переменными (1) к анализу системы меньшей размерности (26), описывающей движение на инвариантном многообразии медленных движений, т. е. фактически понижать порядок рассматриваемой модели.

Литература

[1] Naidu D.S., Price D.D., Hibey J.L. Singular Perturbations and Time Scales (SPaTS) in Discrete Control Systems — an Overview // Proc. 26-th IEEE Conf.on Decision and Control. Los Angeles. 1987. P. 2096-2103.

[2] Naidu D.S. Singular Perturbations and Time Scales in Control Theory and Applications: an Overview // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series B: Applications and Algorithms. 2002. P. 233-278.

[3] Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления // АиТ. 2006. № 1. C. 3-51.

[4] Sobolev V.A. Integral manifolds and decomposition of singularly perturbed systems // Syst. & Control Lett. 1984. № 5. P. 169-279.

[5] Воропаева Н.В., Соболев В.А. Декомпозиция многотемповых систем. Самара: СМС, 2000. 290 с.

[6] Воропаева Н.В., Соболев В.А. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 256 с.

[7] Воропаева Н.В., Соболев В.А. Декомпозиция разнотемповых дискретных систем управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2004. № 8. С. 2-6.

[8] Воропаева Н.В., Соболев В.А. Декомпозиция линейно-квадратичной задачи оптимального управления с быстрыми и медленными переменными // АиТ. 2006. № 8. C. 3-11.

[9] Воропаева Н.В. Декомпозиция задач оптимального управления и оценивания для дискретных систем с быстрыми и медленными переменными // АиТ. 2008. № 6. С. 15-25.

[10] Бобровски Д. Введение в теорию динамических систем с дискретным временем. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2006.

[11] Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971.

Поступила в редакцию 26/77/2010; в окончательном варианте — 26/77/2010.

DECOMPOSITION OF DISCRETE NONLINEAR SYSTEMS WITH FAST AND SLOW VARIABLES

© 2010 N.V. Voropaeva2

The paper is devoted to decomposition of nonlinear discrete multitempo systems. The algorithm of decomposition is based on geometric approach and properties of slow and fast manifolds. The separating transformation is constructed as asymptotic series.

Key words: decomposition, nonlinear discrete systems.

Paper received 26/77/2010. Paper accepted 26/77/2010.

2Voropaeva Natalya Vladimirovna (voropaeva n6iamail.ru), Dept. of Differential Equations and Control Theory, Samara State University, Samara, 443011, Russia.