Декомпозиция моделей управляемых систем, линейных по быстрой переменной Текст научной статьи по специальности «Математика»

Семенова М.М.

Доцент, к.ф.-м.н., кафедра высшей математики и ЭММ,

Фомин В.И.

Профессор, д.п.н., кафедра высшей математики и ЭММ, Самарский государственный экономический университет ДЕКОМПОЗИЦИЯ МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ, ЛИНЕЙНЫХ ПО БЫСТРОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Аннотация

В статье изучаются свойства управляемости и наблюдаемости систем, описываемых моделями нелинейных многотемповых систем, которые обладают широким спектром приложений: гидродинамика, электроэнергетика, экономика и др. Исследование проводится на основе метода декомпозиции математических моделей, отображающих свойства систем.

Ключевые слова: декомпозиция двухтемповых систем, линейных по быстрой переменной, управляемость, наблюдаемость, асимптотические разложения.

Key worlds: the decomposition of nonlinear singularly perturbed systems, controllability, observability, asymptotic expansions.

Рассмотрим модель сингулярно возмущенной управляемой системы

вида

x = f (x,e) + A (x,e) + B (x,e)u, ey = g (x, e) + A (x, e) + B2 (x, e)u,

где xe X c R"1, y e Y c R"2 - медленная и быстрая переменные, u eU c Rr -управляющие воздействия, e - малый положительный параметр, ee (0,e0 ], f (x,e), g(x,e) - векторные функции, A A (x,4 в = B(x,e), i=1,2 - матричные функции соответствующих размерностей, t e R, точка обозначает дифференцирование по t.

Пусть для системы (1) выполняются следующие условия [1]:

1) Собственные значения 1. = 1. (x), j = 1, n2 матрицы A2 (x,0) удовлетворяют неравенству Re 1j <-2fi<0.

2) Функции f, g, A1, A2, A2-1(x,0), B1, B2 имеют достаточное число равномерно непрерывных и ограниченных частных производных по всем аргументам при всех ee (0,e0], tе R .

При выполнении таких условий система (1) имеет интегральное многообразие [2] медленных движений y = h(x,e), движение по которому описывается системой X = f (x,e) + A1 (x,e)h(x,e). Функция h(x,e) является непрерывно дифференцируемой и h(x,0) = h0 (x). Функцию h(x,e) можно искать как асимптотическое разложение h(x,e) = ^k >0£khk (x), из уравнения

£ ^ (f (x, е) + Ai (x, e)h(x, e)) = g (x, e) + A2 (x, e)h(x, e). dx

Введем переменные v, w, z: z = y - h(x, e), x = v + w, переменная v удовлетворяет уравнению V = f (v,e) + A1 (v,e)h(v,e) и рассмотрим расширенную систему:

v = F (v,e),

W = F (v + w,e )- F (v,£)+ Ai (v + w,e)z, (2)

ez = A2 (v + w,e)z,

~ dh

где F(v, e) = f (v, e) + A1 (v, e)h(v, e), A2 (v + w,e) = A2 (v + w,e)-e — (v + w, e)

dx

x A1 (v + w, e).

Система (2) имеет интегральное многообразие быстрых движений w = eH(v, z,e), движение по которому описывается системой:

v = F(v, e), eZ = A2 (v + eH, e)z.

Функция H равномерно непрерывна и ограничена с достаточным числом частных производных по всем переменным и удовлетворяет неравенствам:

H(v, z, e)|| < a||z||, ||h(v, z, e) - H(v, z, e)

< b\\z\\

v-v

H(v, z,e)- H (v, z,e)

< c

z-z

Функцию H(v, z,e) можно искать как асимптотическое разложение H (v, z, e) = ^k >oekHk (v, z), из уравнения

e ■^H F(v, e) + ■^H A2 (v + eH, e) = F(v + eH, e) - F(v, e) + A1 (v + eH, e)z, dv dz

причем при e = 0,

получаем

dz

= A10 (v)A2o (vi A10 (v) = A1 (v,0l

A20 (v ) = A2 (v,0) то есть H 0 = A10 (v )A2-o' (v )z

Произведем в системе (1) замену переменных

х = v + eH(v, z,e), y = z + h(x,e). (3)

Используя уравнения для нахождения h, H и считая, H = Ha (v,e)z, получим систему:

v = F (v, e) + B1 (v, eH, e)u,

ez = A2 (v, eH, e)z + B2 (v, eH, e)u,

(4)

где

dh

F(v, e) = f (v, e) + Д (v, e)h(v, e), A2 (v, eH, e) = A2 (v + eH, e)-e — (v + eH, e)

dx

~ dh

x A1 (v + eH, e), B2 (v, eH, e) = B2 (v + eH, e)-e — (v + eH, e)B1 (v + eH, e),

dx

Bi(v,eH,e) = Bi (v + eH,e)-^B,(v,eH,e).

dz

При e = 0 имеем: B20 (v) = B2 (v,0,0) = B2 (v,0) = B20 (v), Bw (v) = Bi (v,0,0) =

= Bi (v,0) - dz (v, z,0)B2 (v,0) = B10 (v) - Ha (v,0)B20 (v) Ha (v,0) = An (v)A- (v)

A20 (v) = A 2 (v,0,0) = A 2 (v,0) = A 20 (v).

Полученная модель (4) имеет блочно-треугольный вид. Рассмотрим модель (4) при условии, что v(0) = 0, z(0) = 0, причем F(0,e)= 0.

Линейное приближение модели (4) в окрестности начала координат имеет

вид:

v = A1v + Biu, v(0) = 0, ez = A2z + B2u, z(0) = 0,

dF ~ ~ ~

где A1 = —(0,e), A2 = A2(0,0, e), B1 = B1(0,0,e), B2 = B2(0,0,e). dv

Теорема 1. Пусть дана модель управляемого процесса (4) в вещественном пространстве размерности n1 + n2 (Rnj+”2) с ограничивающим множеством

U с Rr, содержащим внутри себя точку и = 0 . Предположим, что:

1) F(0,e) = 0;

2) rank(b 1,A1B1,...,An 1B1 )= nx;

3) rank(b2,A2B2,...,A2n2-1B2)= n2.

Тогда существует такое e* > 0, что при всех ee (0, e *], e* < e0, область нуль-

управляемости открыта в R n1+n2 (то есть система (4) локально управляема в окрестности нуля).

Рассмотрим задачу наблюдаемости двухтемповой системы вида (1), вводя измеряемую координату:

x = f (x,e) + A1 (x,e)y + B1 (x,e)u,

ey = g (x,e)+ A2 (x,e)y + B2 (x,e)u, (5)

w = f(x, e) + C (x, e)y,

где xe X с Rn1, y e Y с Rn2 - медленная и быстрая переменные, и eU с Rr -

управляющие воздействия, weV с Rp - измеряемая координата, e - малый положительный параметр, ee (0,e0], f (x,e) g(x,e), f(x,e) - векторные функции, At = At (x,e), Bt = Bt (x,e), i=1,2; C(x,e) - матричные функции соответствующих размерностей, t e R, точка обозначает дифференцирование по t.

Произведем замену переменной (3) в системе (5). В результате получим систему:

(6)

v = F (v, e) + Bi (v, eH, e)u, ez = A2 (v, eH, e)z + B2 (v, eH, e)u, w = fi (v, eH, e) + C(v + eH, e)z,

где функция fi (v,eH ,e) = f(v + eH ,e) + C (v + eH ,e)h(v + eH ,e), а остальные функции определены выше в системе (4).

Пусть v(0) = 0, z(0) = 0, F(0,e) = 0. Линейная модель для системы (6) в окрестности начала координат имеет вид:

v = Aiv + Biu, v(0) = 0, ez = A2z + B2u, z(0) = 0, о = С i v + С 2 z,

где C i =-^~ (0,0, e), C ■.

dv

dz

(0,0, e),

dF ~ ~ ~

A, = — (0,e), A2 = A2 (0,0, e), Bi = Bi(0,0,e), B, = B, (0,0, e).

dv

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть дана модель наблюдаемого процесса (6) в Rni+"2 и функции f, ф1 непрерывно дифференцируемые в окрестности точки v = 0, z = 0, u = 0 с

входными сигналами u(t,e), 0 < t < 1 в Rr и выходными сигналами ф1 (v,eH,e) в Rp. Предположим, что 1) F(0,e) = 0, fi (0,0, e) = 0;

^ / / / / /\ni-i / ^\

2) rank Ci , Ai Ci ,..., |^Ai J Ci

= ni;

f

3) rank

/____ /

2

C2 , A2 C2 ,...,I A.

/ \n2

-i /Л

C 2

n 2 .

Тогда существует такое e* > 0, что при всех ee (0, e *], e* <e0, система (6) локально вполне наблюдаема вблизи начала координат.

В качестве простого примера можно рассмотреть модель однозвенного манипулятора [2, 164 - i70].

Литература:

1. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. - М.: Высш.школа, 1990. - 208 с.

2. Воропаева Н.В., Соболев В.А. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 256 с.