ДЕКОМПОЗИЦИЯ ЗАДАЧ УПРАВЛЯЕМОСТИ И НАБЛЮДАЕМОСТИ ДВУХТЕМПОВЫХ СИСТЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9:62-50

ДЕКОМПОЗИЦИЯ ЗАДАЧ УПРАВЛЯЕМОСТИ И НАБЛЮДАЕМОСТИ ДВУХТЕМПОВЫХ СИСТЕМ

© 2021 М.М. Семенова

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия

Статья поступила в редакцию 18.10.2021

В статье излагается метод декомпозиции нелинейных двухтемповых систем, основанный на теории интегральных многообразий быстрых и медленных движений. Исследуется управляемость, наблюдаемость, стабилизируемость системы. Приведен пример, иллюстрирующий полученные результаты.

Ключевые слова: декомпозиция двухтемповых систем, интегральное многообразие, управляемость, наблюдаемость, устойчивость, стабилизируемость, асимптотические разложения. Б01: 10.37313/1990-5378-2021-23-6-116-118

ВВЕДЕНИЕ

Исследование нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений приводит к решению широкого класса прикладных задач. Использование быстрых и медленных интегральных многообразий позволяет построить преобразование, осуществляющее декомпозицию системы на независимую медленную подсистему и быструю подсистему, описывающую затухающие колебания, что дает понижение размерности моделей и избавляет от вычислительной жесткости. С помощью невырожденного преобразования система сводится к эквивалентной сингулярно возмущенной системе с разделенными переменными, - к системе блочно-диагонального вида, в случае линейных систем, - к системе блочно-треугольного вида, если исходная система нелинейная. С задачами управляемости и наблюдаемости тесно связаны задачи идентифицируемости и стабилизи-руемости. Данная работа посвящена изучению свойств управляемости, наблюдаемости, стаби-лизируемости двухтемповой нелинейной неавтономной системы.

Цель работы:

• Понижение размерности задачи управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости нелинейной двухтемповой неавтономной системы так, чтобы модель меньшей размерности с большой степенью точности отражала все свойства исходной системы.

• Получение достаточных условий, управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости сингулярно возмущенных систем.

Семенова Марина Михайловна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики. E-mail: [email protected]

РАСЩЕПЛЯЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Рассмотрим модель сингулярно возмущенной системы вида

вх — а^,Х,Х,Е) = Ь^,Х,Е)и,и,' = Ф^,Х,Х,£), (1) где х Е X с Е П а - управляю-

щие воздействия, № ЕУ с. _ измеряемая координата, ^ ф Е , Ь _ матричная функция размерности п Гщ Функции

равномерно непрерывные и ограниченные вместе с достаточным числом частных производных по всем аргументам, ^ ^

Обозначим — Хш Модель (1) примет вид х = у,гу = х,у,г) + £>(г,х,е)т1,IV = ф(£,х,у,г). (2)

Пусть система (2) удовлетворяет следующим условиям [1]:

Уравнение я(£,л;,у, 0} = 0 имеет изолированное решение у =

В области а = {(и,у,г}: ||у- АДх)! < р,£ С М} функции а., ка имеют достаточное число равномерно непрерывных и ограниченных частных производных по всем переменным.

Собственные значения = = 1 , п

матрицы ^ (£, х, й.0(£, х), 0) удовлетворяют

неравенству П е < —р < 0.

В системе (2) произведем замену переменной = -и(£) + £//(£, г(£),г(£>,

V, 0, й) =0,у(£) = + £,*(£},£}. В результате получим систему блочно-треугольного вида

V — й.(£,1?,£) -+- й(£,1?геНгг)иг

£г = 2 (£,!?,,?,£} -Ь Ь(£,1?, еНгЕ^и,

Информатика, вычислительная техника и управление

где b{t,v, sH, е) = — sH, s),Z(tr

f, sH,z, e) = a(trv + eH,z + h, e} — a(t,v

+ SH, h,£)— £ ^ (t, V + EH, S)Z, ^(tjVjZ,

= 0(t,t> + £H,Z + h,E). функции h(t, xrE),H(trv,z, e) можно искать в виде асимптотического разложения [2] h(tr х, s) = £>i k^fex), из уравнения

+ £ h(t, x, f) = a(t,x,h(trx,E),£)r И H(t,v,zr£) = Stso ^Hb&V'Z) из уравнения

— z + h(t,v + eH,e} — h(t, v,e).

УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ

Для исследования свойств управляемости и наблюдаемости блочно-треугольной системы (3), h(t, 0,0,s) = 0,Z(t,0,0,s) = 0, линеаризуем ее по переменным состояния вдоль

д h

v = 0, z = 0: v — — (t, 0, e)v +

д I1

b(t, 0,0, e)u -f h(t, 0, e} + it,(t, v, z, u, e), 0,0, + Z(t, 0,0, s) -+- a2 (t, v, z, u, s},

Обозначим,

A(t)

dh dv

(t,0,£>

О

-fit, 0,0,£> ^(t, 0,0, s> Vi1 öl- г ог

наблюдаемости динамических систем по линейному приближению [3], получаем условия управляемости и наблюдаемости системы (3). Так как система (1) получена из системы (3) с помощью невырожденной замены переменных, то исходная система (1) вполне управляема и вполне наблюдаема.

Пример. Рассмотрим модель системы математических маятников с трением [4], подвешенных к несущему телу Р, перемещающемуся горизонтально с ускорением и:

Еф: "Ь 2+ С05Й^£] £111£г;

где - длина г маятника, е > 0 - малый положительный параметр, > 0, - частота малых колебаний I маятника, - коэффи-

циенты, отличные от нуля, |ц| < 1. Обозначим, = ф1г тогда система примет вид:

Произведем замену переменных следующего вида:

siniPj + s( OjüJj sin üii

ДД <Pj I nf'2

Zi

в результате которой получим систему блочно-треугольного вида

СОЕ til it-Я , . Ein. Vi □

Vi = ---SlTlГ, + E —■

1 znh 1 1 1

Sin üJjt

(OjüJ^ CQEtUjf-g)*

ZYi Ii

С О 3 ( □ ^ CP E CJ j t-g)JiTi EL П jjj

Hin V;

EZi

Запишем линеаризованную систему в матричном виде:

ф = ¿0) £) + +р0 ,и,Е-)(1) +

Используя теоремы об управляемости и

~2Г: + £-^-cosvi)zi +

Используя теоремы об управляемости и наблюдаемости динамических систем по линейному приближению, получим, что система блоч-но-треугольного вида вполне управляемая и вполне наблюдаемая, так как система нулевого приближения вполне управляема, а система первого приближения вполне наблюдаема. Так как система блочно-треугольного вида получена из данной с помощью обратимой замены пере-

менных, то данная система является вполне управляемой и вполне наблюдаемой.

СТАБИЛИЗИРУЕМОСТЬ

Выберем управление

и = и(1,х,гг е) следующим образом [5]:

¿?(£, V, еН,е) и = + Аг,щеА-

произвольная гурвицева матрица, которой соответствует уравнение Ляпунова А'Р + РА = —I, с положительно определенным решени-

™ дИ

ем Рш, тогда гНг £)тх = — — ¿?(£,и,

Р-Н"

эн

. Подставим

выбранное управление в систему: V = + (£,1?, 1, г) -Аг), гг = Ах. (4)

Исследуем устойчивость системы (4). Для системы (4) выполняются следующие условия:

1) уравнение Аг = 0 имеет решение г = 0;

2) функция К имеет достаточное число равномерно непрерывных и ограниченных производных; 3) собственные значения = 1гп матрицы А имеют отрицательные вещественные части, то есть удовлетворяют неравенствам Не А.I < —< 0. Значит, система (4) имеет интегральное многообразие медленных движений г = 0, движение по которому описывается моделью V = Система (4) приводится к системе блочно-диагонального вида

быстрая подсистема которой асимптотически устойчива. Следовательно, задача устойчивости системы (4) сведе-

на к задаче устойчивости системы на интегральном многообразии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе проведено исследование моделей систем, описываемых сингулярно возмущенными системами дифференциальных уравнений и изучены свойства управляемости, наблюдаемости, стабилизируемости. Проведена декомпозиция моделей управляемых и наблюдаемых нелинейных неавтономных двухтемпо-вых систем. Изучены свойства управляемости и наблюдаемости неавтономной двухтемповой системы маятников с трением.

Автор выражает глубокую признательность профессору В.А. Соболеву за полезные обсуждения и ценные советы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Васильева, А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. - М.: Высшая школа, 1990. - 208 с.

2. Воропаева, Н.В. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем / Н.В. Воропаева, В. А. Соболев. - М.: Физматлит, 2009. - 256 с.

3. Габасов, Р. Качественная теория оптимальных процессов / Р. Габасов, Ф.М. Кириллова М.: Наука, 1971. - 508 с.

4. Богаевский, В.Н. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений / В.Н. Богаевский, А.Я. Повзнер. - М.: Наука, 1987. - 256 с.

5. Chen, C. C. Criterion for global exponential stabilisability of a class of nonlinear control systems via integral manifold approach / C.C. Chen // IEE Proc.-Control Theory Appl. V. 147. № 3. May 2000. P. 330-336.

DECOMPOSITION OF TWORATE MODELS OF CONTROLLABLE AND OBSERVABLE SYSTEMS

© 2021 M.M. Semenova

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Samara

A method of integral manifolds is applied to study of twotempo nonlinear systems. The use of this method permits us to solve a problem of decomposition of two-rate controllable and observable systems. Controllability, observability and stabilisability of these systems is investigated. The application of the method is illustrated on example.

Keywords: the decomposition of tworate models, integral manifold, controllability, observability, stability, stabilisability, asymptotic expansions. DOI: 10.37313/1990-5378-2021-23-6-116-118

Marina Semenova, Candidate of Mathematics and Physics, Associate Professor at the Higher Mathematics Department. E-mail: [email protected]