Управляемость и наблюдаемость систем, линейных по быстрой переменной Текст научной статьи по специальности «Математика»

Семенова М.М. ©

Доцент, к.ф.-м.н., кафедра высшей математики и ЭММ, Самарский государственный экономический университет

УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ СИСТЕМ, ЛИНЕЙНЫХ ПО

БЫСТРОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Аннотация

В статье изучаются свойства управляемости и наблюдаемости систем, описываемых моделями многотемповых систем, линейных по быстрой переменной. Исследование проводится на основе метода декомпозиции математических моделей, отображающих свойства систем.

Ключевые слова: декомпозиция сингулярно возмущенных систем, интегральное многообразие, управляемость, наблюдаемость, асимптотические разложения.

Keyworlds: the decomposition of singularly perturbed systems, integral manifold, controllability, observability, asymptotic expansions.

В связи с интенсивным развитием авиации, космических исследований, химической промышленности и других областей науки и техники возникла потребность в использовании математических моделей, сочетающих в себе высокую размерность и вычислительную жесткость. В теории автоматического управления модели, описываемые системами сингулярно возмущенных уравнений, возникают практически всегда. Примерами могут служить гироскопические, электромеханические и другие системы. В частности, модели, линейные по быстрой переменной, применяются в теории гироскопических компасов.

Рассмотрим модель сингулярно возмущенной управляемой системы вида

* = f (x,£) + A y + Bu, £& = ge) + (A20 + eA2i(x))У + B2^ где x е X с R"1, y е Y с R"2 - медленная и быстрая переменные, u е U с Rr -управляющие воздействия, £ - малый положительный параметр, ее (0,e0], f (x,e), g(x,e) - векторные функции, At,A20,B1,B2 -постоянные матрицы, A21 (x) - матричная функция,

соответствующих размерностей, t е R - время, точка обозначает дифференцирование по t. Пусть для системы (1) выполняются следующие условия [1]:

1) Собственные значения 1j, j = 1, "2 матрицы A20 удовлетворяют неравенству Re l <-2b<0.

2) Функции f, g имеют достаточное число равномерно непрерывных и ограниченных частных производных по всем аргументам при всех £ е (0, £0 ], t е R.

При таких предположениях система (1) имеет интегральное многообразие [1, 18] медленных движений y = h(x,e), движение по которому описывается системой x = f (x,e) + A1h(x,e). Функция h(x,e) является непрерывно дифференцируемой и h(x,0) = h0 (x ). Функцию h(x,e) можно искать как асимптотическое разложение h(x, е) = ^ £khk (x ), из уравнения

© Семенова М.М., 2016 г.

dh

e— (f (x, e)+ Alh(x, e)) = g (x, e)+ (A20 + Al (x ))h(x, e). dx

Введем переменные v, w,z : z = y—h(x,e), x = v + w, переменная v удовлетворяет уравнению, V = f (v,e)+ Alh(v,e) и рассмотрим расширенную систему:

V = F (v,e),

w = F (v + w,e) — F (v,e)+ Alz, (2)

ez = (Ло (e)+eA2i (v + wf)z,

где F(v, e) = f (v, e) + Ah(v, e), A20 (e) = A20 — edh (v + w,e)A.

dx

Система (2) имеет интегральное многообразие быстрых движений w = eH(v, z,e), движение по которому описывается системой:

v = F(v,e), ez = (A20 (e)+e42l (v + eH))z,

где A20 (e) = A20 —e^ (v + eH, e)A,. dx

Функция H равномерно непрерывна и ограничена с достаточным числом частных производных по всем переменным и удовлетворяет неравенствам: IIh (v, z,eí < a\\z\\, а > 0, v e R"1, ||z|| < pl <p,0 <e<el <e0,

H(v, z,e) — H (v, z,e) < b||z|| • ||v — v||, ||H (v, z,e)—H (v, z,e)

0

< с

z—z

b, с > 0.

Функцию Н(V, 2,£) можно искать как асимптотическое разложение Н(V,г,е) = ^ >0£кНк(V,z), из уравнения

дН

дv

e

Jk>0

dH

F (v,e) + dH (A20 (e) + eA2l (v + eH )) = F (v + eH ,e) — F (v,e)+ Al

dz

[v,e)+ Alz, причем

(3)

(4)

при е = 0, получаем = Л1 А-1. Отсюда, Н0 = А1А2

dz

Произведем в системе (1) замену переменных

х = V + еН(V, z,e), у = z + И(х,е). Используя уравнения для нахождения И, Н и считая, Н = На (V, е^, получим систему блочно-треугольного вида:

V = F (V,е) + В1 (у,еН ,е)и, е& = (А20 (е) + еА21 (V + еН ))z + В2 (V, еН, е)и,

л?

где F(V, е) = /(V, е) + А1И{^, е), В2 (V, еН,е) = В2 - е(V + еН, е)В1,

дх

В1 (V, еН, е) = В1 -дНВ2 (V,еН ,е). dz

При е = 0 имеем: В2 (V,0,0) = В2, В1 (^0,0) = В1 - А1А-1В2. Рассмотрим модель (4) при условии, что v(o) = 0, z(o) = 0, причем F (0,е) = 0. Линейное приближение модели (4) в окрестности начала координат имеет вид:

V = АV + Ви, v(0) = 0, е& = А2z + В-и, z(o) = 0,

где А1 = — (0,е), А2 = А20(е)+еА21 (V + еН), В1 = В1 (0,0,е) В- = В2(0,0,е). dv

Справедлива теорема [2, 12].

где х е X с Я"1, у е У с Я' управляющие воздействия

Теорема 1. Пусть дана модель управляемого процесса (4) в вещественном пространстве размерности п1 + "2 (Я"1 +"2 ) с ограничивающим множеством и с Яг, содержащим внутри себя точку и = 0 . Предположим, что:

1) ^ (0,е) = 0;_ _

2) гапк (в 1, Д В:,..., А"1 -1 В: )= п1;

3) гапк (в 2, А2 В 2,..., А'2-1 В 2 )= п2.

Тогда существует такое е* > 0, что при всех ее (0,е*], е* < е0, область нуль-

управляемости открыта в Я"1+"2 (то есть система (4) локально управляема в окрестности нуля).

Рассмотрим задачу наблюдаемости двухтемповой системы вида (1), вводя измеряемую координату:

х = / (х,е) + А1 у + В1и,

еУ = £ (х,е)+ Д + е421 (х ))у + В2и, (5)

(о = ф(х, е) + (С0 + еС1 (х ))у, - медленная и быстрая переменные, и е и с Яг -(е V с Яр - измеряемая координата, е - малый положительный параметр, /, £, ф - векторные функции, Д., А20, В1, В2, С0 - постоянные матрицы; А21, С1 - матричные функции соответствующих размерностей, ? е Я, точка обозначает дифференцирование по 1.

Произведем замену переменной (3) в системе (5). В результате получим систему:

у = ^ (у, е) + В1 (у, еН, е)и,

е = (Д20 (е) + еА21 (у + еН ))г + В2 (у, еН, е)и, (6)

( = ф (у, еН, е) + С (у, еН,е)г, где функции ф (у, еН, е) = ф(у + еН, е) + (С0 + еС1 (у + еН ))к(у + еН, е) и С (у, еН ,е) = С0 + еС1 (у + еН), а остальные функции определены выше в системе (4). Пусть у(0) = 0, г(0) = 0, ^(0,е) = 0. Линейная модель для системы (6) в окрестности начала координат имеет вид:

у = Ау + Ви, у(0) = 0, е& = А2г + В2и, г(0) = 0, (0 = С\у + С 2 г,

где С = Эфф (0,0,е), С2 =Ф(0,0,е) + С(0,0,е), А1, А2, В1, В2 определены выше. Эу Эг

Справедлива теорема [2,13].

Теорема 2. Пусть дана модель наблюдаемого процесса (6) в Я"1 + "2 и функции /, ф непрерывно дифференцируемые в окрестности точки у = 0, г = 0,и = 0 с входными сигналами и(/,е), 0 < / < 1 в Яг и выходными сигналами ф(у,еН,е) в Яр . Предположим, что

1) ^(0,е) = 0, ф (0,0,е) = 0;

|_/ /_/ / /\"1 -1_

2) гапк С1 , Д С1 ,...,I А1 | С1

3) гапк

V

(— / /— С 2 , А С 2

/\"2-1_ /

л

С2

= "

2

Тогда существует такое е* > 0, что при всех ее (0,е*], е* < е0, система (6) локально вполне наблюдаема вблизи начала координат. Штрих обозначает транспонирование.

В качестве простого примера можно рассмотреть модель гироскопической системы.

Литература

1. Воропаева Н.В., Соболев В.А. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 256 с.

2. Семенова М.М., Фомин В.И. Декомпозиция моделей управляемых систем, линейных по быстрой переменной// Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. № 6(77), 2015г., Ч IV.