Некоторые методы синтеза регуляторов пониженного порядка и заданной структуры Текст научной статьи по специальности «Математика»

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА И ЗАДАННОЙ СТРУКТУРЫ 1

Бойченко В.А., Курдюков А.П., Тимин В.Н., Чайковский М.М., Яды кин И.В.

(Институт проблем управления РАН, Москва) [email protected], [email protected]

Представлен обзор ряда подходов к синтезу регуляторов заданной структуры и пониженного (заданного) порядка для линейных стационарных систем. Рассматриваются прямые (на основе редукции модели) и косвенные (на основе линейных матричных неравенств) методы построения регуляторов пониженного и заданного порядка, синтез регуляторов заданного порядка в задачах ковариационного управления, а также синтез регуляторов заданного порядка и заданной структуры на основе методов Н^ оптимизации. Приводится численный пример.

Ключевые слова: линейная стационарная система, понижение порядка, синтез регулятора.

Введение

Несмотря на значительные достижения последних десятилетий в развитии различных направлений теории оптимального автоматического управления (Н2, Н\, Ноптимизации), в настоящее время в промышленности наиболее популярными являются простые регуляторы (регуляторы низкого порядка с фиксированной структурой). При описании систем управления в пространстве состояний под порядком регулятора (объекта) понимается размерность вектора состояния регулятора (объекта). В системах с одним входом и одним выходом, описываемых передаточными функциями, порядком является степень знаменателя передаточной функции.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Программы, фундаментальных исследований Ж115 9ММПУ РАН и Российского фонда фундаментальных исследований, грант 06-08-0Ц68.

Объяснение популярности простых регуляторов можно найти, приняв в рассмотрение следующие соображения:

• простые регуляторы предпочтительнее сложных, так как они проще для понимания разработчиками и заказчиками с традиционным образованием по автоматическому регулированию,

•

и поэтому меньше вероятность появления программных ошибок.

По этим причинам желательно иметь методы синтеза регуляторов размерности меньшей, чем размерность объекта.

Самой распространенной структурой, которая стала почти универсальной в промышленных системах управления, является ПИД структура (пропорциональное, интегральное и дифференциальное управление — см. [4], [3]). Несмотря на то, что простота ПИД регуляторов является одновременно и их слабостью — простота ограничивает диапазон объектов, которыми они могут управлять — удивительная многосторонность и робастность ПИД управления обеспечивает в течение длительного времени значительную популярность этого регулятора.

Появление любого нового подхода к синтезу оптимальных систем автоматического регулирования сразу привлекает к себе внимание исследователей и разработчиков систем автоматического регулирования. Один из основных вопросов, который пытаются решать в связи с появлением нового на-

ПРЭ.ВЛ6НИЯ МОЖНО ЛИ ИСПОЛЬЗОВАТЬ НОВЫЙ ПОДХОД К СИН"

тезу регуляторов фиксированного порядка и фиксированной структуры?

Использование новых подходов к синтезу регуляторов фиксированного порядка и фиксированной структуры можно проследить, анализируя подходы к получению параметров ПИД регуляторов.

Для получения параметров ПИД регуляторов существуют три основных похода:

1) Подход к настройке параметров ПИД структуры использует один из нескольких доступных технологий настройки. Примеры этих технологий включают:

• SISO (Single Input Single Output) системы (системы с одним входом и одним выходом): метод Зиглера-Николса (Z-N) [54], базовый метод внутренней модели [39], оптимизационный метод [52], метод фазовой плоскости [24].

•

мы с многими входами и многими выходами): здесь надо четко разделить подходы к построению так называемых многоконтурных (диагональных) ПИД регуляторов [32], [33], [34], и подходы к построению многомерных ПИД регуляторов для многомерных объектов [53], [44], [13], [50].

Хотя ПИД регуляторы относительно просты в настройке для SIS О систем, очень мало сделано в теории для MIMO систем. Например, критерий запаса по фазе (gain phase margin criterion) или оптимизационный критерий не очень удобны для MIMO систем.

2) Если регулятор имеет ПИД структуру, то его параметры можно находить, используя некоторые известные методы оптимизации, например Иоптимизацию [23], смешанную H2/H^ оптимизацию [10] или технику полу-определенного программирования [6]. Эти методы могут быть использованы для получения параметров ПИД регулятора так, чтобы регуляторы имели хорошее качество переходных процессов и робастностную устойчивость. Главная трудность, связанная с этим подходом, состоит в том, что процедура синтеза регуляторов заданной структуры не является выпуклой задачей в пространстве параметров регулятора. И, как следствие, нелегко найти глобально оптимальное множество параметров. Даже когда решение может быть найдено, это занимает огромное время на вычислительные процедуры.

3) Синтез регулятора произвольной структуры, используя

любые современные методы, и дальнейшее редуцирование или аппроксимация его к регулятору ПИД структуры. Работа [14] является примером для такого подхода: на первом шаге синтезируется 1МС регулятор, и далее он редуцируется до ПИД структуры. Та же идея применена в [48] для одноконтурных систем, где используется Н^ техника формирования контура. Проблема состоит в том, что, хотя качество замкнутой системы может быть гарантировано для регулятора полного порядка, это не так для регуляторов пониженного порядка.

Первый подход называется «настройкой регулятора», в то время как второй называется «синтезом регулятора». Различие между «синтезом» и «настройкой» грубо состоит в следующем:

•

рой детализированной модели и детализированной спецификации целей управления, хотя для настройки регулятора достаточно грубой модели. Порой это удается сделать и без модели.

•

метров, которые отражают цели управления, и параметры регулятора варьируются в соответствии с выбранными параметрами и должны быть получены малыми усилиями.

Если метод синтеза не требует детальной модели процесса, цели управления могут быть отнесены к нескольким легко понимаемым параметрам, и нужны небольшие усилия для вычисления регулятора, тогда это может быть рассмотрено, как метод настройки. Третья категория, описанная выше, как раз состоит из таких методов. Она комбинирует преимущества первых двух категорий.

В настоящее время существует огромное количество работ, посвященных методам синтеза регуляторов пониженного порядка.

Такие методы, следуя [5], можно разделить на два класса: прямые, в которых параметры вычисляются при помощи оптимизации или какой-либо другой процедуры, и косвенные,

в которых либо сначала находится регулятор высокого порядка и затем он упрощается, либо сначала проводится редукция модели, для нее синтезируется регулятор, и затем он применяется для исходного объекта. Возможные подходы к синтезу регуляторов, порядок которых меньше, чем порядок объекта, показаны па рис. 1.

Рис. 1. Подходы к построению регуляторов пониженного

порядка

Как видно из приведенного рисунка, одним из этапов косвенного метода синтеза регуляторов пониженного порядка является редукция модели. Задачи редукции модели также являются классическими в теории управления системами большого порядка.

Предлагаемая обзорная работа ставит своей целыо познакомить читателя с некоторыми подходами к синтезу регуляторов фиксированной структуры и пониженного (фиксированного) порядка для линейных систем. Некоторые из рассмотренных здесь подходов (синтез регуляторов заданного порядка в задачах ковариационного управления и применение Н^

теории для формирования контура замкнутой системы с регуляторами низкого порядка) практически не нашли своего отражения как в научной, так и в учебной отечественной литературе по автоматическому управлению.

Данная работа состоит из трех идеологически связанных между собой разделов. В нее вошел материал, посвященный как прямым, так и косвенным методам построения регуляторов пониженного (фиксированного) порядка. В первом разделе приводятся математические основы редукции модели объекта (регулятора). Для математически строгого и замкнутого изложения материала авторам потребовалось определить основные понятия линейной теории управляемых систем, такие как управляемость, наблюдаемость, минимальная реализация, сбалансированная реализация. Подробно рассмотрен метод редукции модели, называемый сбалансированным отсечением [38]. В связи с этим методом редукции модели в первой части рассмотрены задачи редукции модели (регулятора) в LQG и задача управления, методы LQG и сбалансированного отсечения.

Вторая часть первого раздела относится к прямым методам, она посвящена построению регуляторов заданного порядка на основе решения линейных матричных неравенств и основана на работах [1] и [2]. Рассматривается задача синтеза регулятора пониженного порядка по вектору состояния и наблюдаемому вектору.

Второй раздел работы связан с построением регуляторов заданного порядка в так называемых задачах ковариационного управления [12]. Эти задачи характеризуются тем, что система действует в условиях воздействия гауссовского белого шума, и целью управления является назначение системе заданной ковариационной матрицы состояния. Рассмотрены управление по состоянию и по выходу. Приведены процедуры построения регуляторов заданного порядка для непрерывного и дискретного времени. Изложен единый подход к синтезу ковариационных регуляторов заданного порядка с помощью линейных матричных неравенств. Этот подход относится к прямым методам построения регуляторов фиксированного порядка.

Третий раздел обзора посвящен изложению подхода к синтезу регуляторов фиксированного порядка и фиксирован-

ной структуры на основе методов Ноптимизации. Здесь можно выделить как косвенный, так и прямой методы синтеза регуляторов. В этой части описаны методы формирования контура с помощью Ноптимизации [36], изложена процедура синтеза регулятора с помощью этого метода. Далее приведены различные алгоритмы синтеза регуляторов фиксированного порядка (ПИД регуляторов), основанные на методе формирования контура [47] и сведении задачи к решению билинейных матричных неравенств [19], настройка ПИД регуляторов путем прямой минимизации Ннормы замкнутой системы [40], построение регуляторов пониженного порядка с помощью аппроксимации на основе разложения в ряд Макло-рена. Приведен численный пример.

1. Концепция и подходы

Простые регуляторы предпочтительнее сложных регулято-

рОВ1 ОНИ ПрОЩб ДЛЯ ПОНИМАНИЯ, В НИХ Меньше ДеТЭЛеЙ, КО"

торые могут выйти из строя, они менее требовательны к вычислительным ресурсам и поэтому меньше вероятность появления программных ошибок. По этим причинам желательно иметь методы синтеза регуляторов пониженной размерности. Такие методы можно разделить на два класса: прямые, в которых параметры вычисляются при помощи оптимизации или какой-либо другой процедуры, и косвенные, в которых либо сначала находится регулятор высокого порядка и затем он упрощается, либо сначала проводится редукция модели, для нее синтезируется регулятор и затем он применяется для исходного объекта (см. рис. 1).

1.1. КОСВЕННЫЕ МЕТОДЫ. РЕДУКЦИЯ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ ДЕКОМПОЗИЦИИ СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ

1.1.1. Передаточная матрица и ее реализация в пространстве состояний

Предположим, что О — линейная непрерывная стационарная модель порядка п, которая описывается системой уравнений

Управление большими системами. Выпуск 19 в пространстве состояний

(1.1) Х(Ь) = Ах(Ь) + Ви(Ь), х(0) = 0,

(1.2) у(Ь) = Сх(Ь) + Би(Ь),

где х(£) € К” — вектор состояния системы, и(£) € Кт является входом ж у(I) € К9 выходом системы. Для простоты зависимость этих векторов от переменной £ будем опускать везде, где это возможно. Реализацию в пространстве состояний

(1.1)—(1.2) будем обозначать четверкой матриц (А, В, С, О). Передаточная матрица системы (1.1)—(1.2) определяется выражением

(1.3) О(в) = С(в1 - А)-1 В + Б.

Редуцированная система Ог также является линейной непрерывной стационарной системой и в пространстве состояний размерности пг описывается следующей системой урав-

Н6НИЙ

(1.4) хг = Аг хг + Вг и, хг (0) = 0,

(1.5) Уг = Сг Хг + Бг и,

где хг € К” — вектор состояния редуцированной системы, уг € К9 — выход редуцированной модели. Передаточная матрица Ог (в) системы (1.4)—(1.5) определяется выражением

(1.6) Ог(в) = Сг(в1 - Аг)-1Вг + Бг.

Вполне естественно определить ошибку редукции е как разность выходов исходной (1.1)—(1.2) и редуцированной

(1.4)—(1.5) систем, когда на вход обеих систем подается оди-и

(1.7) е(в) = у(в) - Уг (в) = О(в)и(в) - Ог (в)и(в),

что формально можно представить в виде схемы, показанной на рис. 2. Введем расширенный вектор состояния Х

(1.8) Х =

х

хг

Рис. 2. Ошибка редукции

тогда формальная связь между входным сигналом и и ошибкой е описывается линейной системой уравнений

£(0) = 0,

(1.9) х = Ах + Ви,

(1.10) е = С х + Т>и,

ГД0 матрицы А, В, С, V определяются следующим образом:

=

=

С

V

А

0

В

Вг

[С

[В

0

Аг

-Сг] ,

-Вг] .

Хорошо известно [51], что существует множество реализаций (А, В, С, В) линейной системы, которые приводят к одной и той же передаточной функции О(в). Иначе говоря, разные рвэлизсщии могут приводить к одинаковому вход-выходи ому поведению. В частности, все линеиные системы, координаты которых связаны соотношением

(1.12)

х = Тг,

г = Т 1х,

где Т квадратная несингулярная матрица, имеют одинаковые передаточные функции. Отметим, что система, получающаяся в результате преобразования (1.12), имеет следующую реализацию в пространстве состояний

(1.13)

(1.14)

= Т -1АТг + Т-1 Ви,

г (0) = 0,

у = СТг + Ви,

а передаточная функция

Ст (в) = Ст (в1 — Ат) 1 Вт + Вт =

= (СТ)(в1 — Т-1АТ)-1(Т-1В) + В =

= (СТ) [Т-1(в1 — А)Т]-1 (Т-1В) + В =

= (СТ) [Т-1(в1 — А)-1Т] (Т-1В) + В =

= С (в1 — А)-1 В + В = С(в)

действительно не зависит от выбора матрицы преобразования

1.1.2. Управляемость и наблюдаемость

При анализе линейных систем важную роль играют понятия управляемости и наблюдаемости системы.

Определение 1.1. Динамическая система, описываемая

(А, В)

ляемой, если для любого начального состояния х(0) =

Хо, 11 > 0 и конечного состояния х1 существует такой вход п(Ь), что решение уравнения (1.1) удовлетворяет условию х{Ь\) = х1. В противном случае говорят, что система (1.1) (А, В)

Лемма 1.1. [51] (А, В)

что А е Жпхп и В е Жпхт, следующие утверждения эквивалентны:

(А, В)

b) Не существует такого скаляра X Е Си такого вектора

V Е Сп = 0, что

(1.15) V *(Х1 — А)=0, V *В = 0.

c) Матрица управляемости

(1.16) Wc = [В АВ ... Ап-1В] имеет, ранг п.

Определение 1.2. Динамическая система, описываемая уравнениями (1.1)—(1.2), или пара матриц (C,A) называется, наблюдаемой, если для любого ti > 0 можно определить начальное состояние системы x(0) = x0 по заданным на, интервале [0, ti] входу u(t) и выходу y(t) системы.

Лемма 1.2. [51] (C, A)

что A Е Жпхп и C Е Мгхп, следующие утверждения эквивалентны:

(C, A)

Ъ) Не существует такого скаляра X Е Си такого вектора v Е Сп = 0, что

(1.17) (XI - A)v = 0, Cv = 0.

с) Матрица наблюдаемости

(1.18)

имеет ранг п.

Wo =

C

CA

CA

n1

(А, В, С, В)

(А, В)

(С, А)

вых систем управляемость и наблюдательность можно установить, решив уравнения Ляпунова

(1.19)

(1.20)

AP + PAT + BBт = 0

т

Arr'Q + QA + C = 0

т.

и проверив положительную определенность матриц Р и Q, которые называются, соответственно, грамианом управляемости и грамианом наблюдаемости. Этот алгоритм проверки основан на двух следующих леммах [51].

Р

А

(А, В)

Лемма 1.4. Грамиан наблюдаемости Q положительно

А

(С, А)

Отметим, что в отличие от передаточной матрицы С(в) грамианы управляемости и наблюдаемости зависят от реализации. Действительно, если координаты системы преобразуется согласно (1.12), то грамианы управляемости и наблюдаемости преобразуются следующим образом:

(1.21) Рт = Т-1РТ-т, Qт = Тт QT.

Однако, произведение грамианов в разных системах координат остается подобным

(1.22) Рт Qт = Т-1PQT

и, следовательно, спектр произведения грамианов является инвариантом относительно преобразований координат (1.12).

1.1.3. Редукция модели методом отсечения

Для динамической системы, описываемой уравнениями (1-1)-

(1.2), самый простой и быстрый способ получить редуцированную модель пониженного порядка — это отсечение, т.е. отбрасывание «лишних» уравнений. Например, «естественная» процедура редукции системы в частотной области — это отсечение полюсов и нулей системы. Но если в случае ЭКЮ (Single-1пргй-8ищ1е-Огйргй) системы можно сравнительно легко удалить нули и полюса, то для М1МО (МиШр1е-1пр1й-МиШр1е-Огйртй) системы возникает столько деталей и тонкостей, начиная с определения нулей системы, что процедура отсечения становится нетривиальной задачей. С этой точки зрения метод пространства состояний представляет собой адекватный инструмент для методологии отсечения.

В методе пространства состояний усечение вектора состояний является «естественной» процедурой получения редуцированной модели пониженного порядка. Остается лишь ответить на самый сложный и фундаментальный вопрос — какие состояния системы являются «важными» и потому должны

быть сохранены в редуцированной модели пониженного порядка. Ответом на этот вопрос будет нахождение такого преобразования системы координат, которое преобразует исходную систему к такой реализации, в которой отсечение некоторых состояний позволяет, тем не менее, сохранить в той или иной степени заданные свойства исходной системы. Все рассматриваемые в этом разделе процедуры редукции будут следовать простому правилу: преобразуй и отсекай. По мере возможности, мы будем давать интерпретацию полученных результатов в частотной области.

Предположим, что пространство состояний предпочитаемой реализации разложено на два взаимно ортогональных подпространства Щи М2 размерност ью щ и П2 соответственно. Тогда вектор состояния г можно представить в виде

г =

где г\ є Мі, г2 Є

Т

предпочитаемой реализации с пространством состояний ис-

Т=

[Т1 Т2]. В итоге получим

(1.23) ж = Тг = [Т1 Т2] Введем матрицу К = [К1 К2], такую что

(1.24) ТКт = [Т1 Т2]

КІ

яТ_

ТіВГ + т2к1

К

Т

система (1.1)—(1.2) преобразуется к следующему виду:

(1.25)

(1.26)

гі _ Ап А12 г2 А21 А22

У = [Сі С2]

+ + Бп,

Ві

В2

п,

ГД6

(1.27)

А11 А12

А21 А22

КТ АТі Щ АТ2 Щ АТі Щ АТ2

В1 кТ в'

В2 кТ в

, [Сі С2] = [СТі СТ2]

Предположим, что у нас есть какие-то основания полагать, что при описании динамики системы можно пренебречь подпространством состояний Я.2- Тогда редуцированную модель (1.4)—(1.5) можно получить, усекая вектор состояния, так чтобы остались только состояния хг = гі.Л результате такого отсечения получается редуцированная модель со следующей реализацией в пространстве состояний:

(1.28)

(Аг,Вг,Сг,Бг) = (Аіі,Ві,Сі,В) = (КТАКіКТВ, СТі,Б).

Отметим, что по построению Ті = I, следовательно, опе-

ратор

(1.29)

р = КіТТ

т

является проекционным оператором. Этот оператор таков, что для любого х Є 'Я,(Кі), Рх = х. В частности можно показать [46], что все проекторы на 'Я.(Кі) можно параметризовать с помощью произвольной квадратной и несингулярной матрицы З в следующей форме:

(1.30) Ті = ЗТ Кі(КТ ЗТ Кі)-і.

Легко проверить, что определенный выше проектор обладает следующими свойствами 2

(1.31)

Если Р = РТ

Р = РР = Р, РКі = Кі, РТ ЗТ Кі = ЗТ Кі.

, то такой проектор называется ортогональным.

1.1.4- Минимальная реализация и передаточная эквивалентность

В разделе 1.1.1 было показано, что разные реализации в пространстве состояний могут приводить к одной и той же передаточной функции.

Определение 1.3. Две реализации в пространстве состояний линейной стационарной системы называются эквивалентными, если их передаточные функции, определяемые согласно (1.3), тождественно равны.

В контексте редукции модели и заданной реализации (А, В, С, О) порядка п вполне естественно встает вопрос о том, является ли данная реализация минимальной в том смысле, что не существует другой эквивалентной реализации (Аг ,ВГ, Сг ,Ог) порядка пг, такой что пг < п. Ответ на этот вопрос основан на понятиях управляемости и наблюдаемости, сформулированных в разделе 1.1.2.

Лемма 1.5. Реализация (А, В, С, О) в пространстве состояний является минимальной тогда и только тогда, когда эта реализация является управляемой и наблюдаемой. В этом случае все эквивалентные реализации связаны, между собой преобразованием подобия.

Доказательство этой леммы можно найти в любой книге по теории линейных систем, например, в [51]. Практическое значение этой леммы следующее. Если данная реализация не минимальна, то всегда можно построить эквивалентную реализацию пониженного порядка, причем передаточная функция будет иметь минимальную степень только в том случае, если реализация (Аг ,ВГ ,СГ ,Ог) является управляемой и наблюдаемой. Конструктивная процедура для построения минимальной реализации основана на определении управляемых и наблюдаемых подпространств. Это предмет следующих лемм.

Лемма 1.6. Для заданной реализации (А, В, С, О) порядка п и матрицы управляемости Шс, определяемой уравнением

(1.16), выполним декомпозицию по сингулярным значениям

(1.32)

Wc = [иі Щ]

Е 0' У1Т

00 У2Т

= Щі^Уі

Т

где иЩ + с^(сть ...,ог, щим образом:

І^иТ = I, УУТ + У2У2Т = I и Е = с) > 0. Определим матрицы Ті и Кі следую-

(1.33)

Ті = иіЕі/2, Кі = иіЕ-і/2.

Тогда реализация в пространстве состояний редуцирован-

пс

матрицы Аг, Вг ,СГ, Ог для, этой реализации задаются уравнением (1.28).

Доказательство этой леммы можно найти, например, в

[46].

Лемма 1.7. Для, заданной реализации (А, В, С, О) порядка п и матрицы наблюдаемости Ш0, определяемой уравнением

(1.18), выполним декомпозицию по сингулярным значениям

(1.34) Wo = [Щі Щ

'£ 0 УТ1

00 У2Т

ЩіЕУТ,

где ииТ + и2и1 = I, УУ? + У2У2Т = I и Я = diag(ст 1,...,аПо) > 0. Определим матрицы Тг и Кг следующим образом:

(1.35) Т = У Я-1 /2, Кг = У Я1/2.

Тогда, реализация в пространстве состояний редуцированной системы (1.4)—(1.5) порядка п0 является управляемой, а, матрицы Аг, Вг ,СГ, Ог для, этой реализации задаются уравнением (1.28).

Доказательство леммы так изящно и компактно, что при-

К Т

задают ортогональный проектор Р = РТ = УгУТ, такой что Р^0Т = ^.Поэтому Ш0Г = Ш0 Тг = игЯ1/2 и, следовательно, ранг матрицы Ш0Г равен п0.

Леммы 1.6 и 1.7 позволяют построить, соответственно, управляемое и наблюдаемое подпространства для заданной реализации. Используя этот инструментарий, минимальную реализацию можно построить в два этапа. Сначала, применяя Лемму 1.6, строится управляемое подпространство для реализации (А, В, С, О). Затем используется Лемма 1.7 и строится наблюдаемое подпространство для управляемой системы, полученной на предыдущем шаге. Полученная таким образом система является управляемой и наблюдаемой. Изложенную процедуру обобщает и формализует следующий алгоритм.

Алгоритм 1.1. Для заданной реализации (А, В, С, Б) порядка п выполним следующие операции:

Шаг 1. Проведем сингулярную декомпозицию матрицы управляемости Шс:

(1.36)

Шс = [ис

где исиТ + ии .Т =

с^(асъ ■■■,&€ разом:

(1.37)

с

ис] о о УсТ УСТ. = исЕсУ?,

I ТУсс Ус + УсУсТ = I и Ес

с) > 0. Определим матрицу Т. следующим об-

Тс = ис^1/2.

Шаг 2. Теперь выполним сингулярную декомпозицию произведения матрицы наблюдаемости Шо и матрицы Тс:

(1.38) Ш0ТС = [исо исо]

Есо

о

УсТо

уТ

Т

= исоЕсоУсо

где исоиТо + исоиТ = I, УсоУсТо + УсоУТ = С^(СТсо1, ■ ■ ■ , ^сопсо ) > 0.

I и 5со —

Шаг 3. Определим матрицы Тс и Кс следующим образом: (1.39) Т\ — ису1с/2Усо5-01/2, Кс — ис5-1/2Усо51/2.

Тогда реализация редуцированной системы (1.4)—(1.5) порядка псо является минимальной реализацией для, (А, В, С, Б), а матрицы Аг, Вг ,СГ, Вг минимальной реализации задают,ся уравнениями (1.28) и (1.39).

Отметим, что на первом шаге алгоритма, когда применяется лемма 1.6 для построения управляемого подпространства системы, используются только матрицы ис и £, которые получаются при сингулярной декомпозиции матрицы управляемости. Матрицы Ус и У2 при этом остаются не задействованными и вообще не используются в алгоритме. Этот факт можно использовать для того, чтобы заменить задачу (1.32) сингулярной декомпозиции матрицы управляемости на задачу о симметричных собственных значениях

ШсШТ = [иі и2]

£ 0' ГиЛ

0 0 иТ_

= и&иТ,

что повышает эффективность числовой процедуры. Тот же самый аргумент применим и для второго шага алгоритма, когда применяется лемма 1.7. В этом случае не используются матрицы ис и и2, которые получаются при сингулярной декомпозиции матрицы наблюдаемости (1.34), поэтому эту задачу можно заменить на задачу о симметричных собственных значениях матрицы Шо. Для асимптотически устойчивых

систем вместо матриц ШсШТ и Шо можно использовать

неотрицательно определенные грамианы управляемости Р и наблюдаемости Q (см. раздел 1.1.5).

Применяя эти результаты для синтеза законов управления, необходимо соблюдать некоторые меры предосторожности. Следует сказать, что редукция ненаблюдаемых состояний всегда желательна, а вот редукцию неуправляемых состояний нужно выполнять очень аккуратно. Например, не синтезировав законы управления исходной системы, было бы преждевременно редуцировать динамику внешних возмущений системы. Редукция неуправляемых и ненаблюдаемых состояний «ничего нам не стоит» в том смысле, что исходная и редуцированная передаточные функции тождественно равны и, следовательно, ошибка редукции равна нулю. В следующем разделе рассматривается процедура отсечения, в результате применения которой размерность редуцированной реализации меньше размерности минимальной реализации. В этом случае, конечно, нет никакой гарантии, что эквивалентность передаточных функций будет сохранена, впрочем, как и некоторые другие свойства исходной системы.

1.1.5. Сбалансированная реализация и сбалансированное отсечение

В этом разделе рассматривается эффективный и, пожалуй, самый известный метод редукции системы — метод сбалансированного отсечения. И начнем мы его с изучения возможности преобразования реализации (А, В, С, Б) к специальной системе координат, известной как сбалансированные координаты.

Определение 1.4. Асимптотически устойчивая реализация (А, В, С, Б) в пространстве состояний размерности п называется сбалансированной, если грамианы управляемости

и наблюдаемости одновременно являются диагональными.

Если системы координат двух реализаций связаны между

Т

ляемости Р и наблюдаемости Q, а также их произведение преобразуются следующим образом:

(1.40) Рт — Т-1РТ-т, Qт — Тт QT, Рт Qт — Т-1PQT. Т

рая одновременно диагонализирует грамианы управляемости и наблюдаемости, то для заданной реализации всегда можно найти сбалансированную систему координат. Следующая лемма показывает, что для минимальной реализации всегда существует конструктивный способ, который позволяет выполнить т&кую ДИШГОНЭЛИЗеЩИЮ.

Лемма 1.8. Для заданной минимальной и асимптотически устойчивой реализации (А, В, С, Б) порядка п вычислим симметричные и положительно определенные грамианы управляемости Р и наблюдаемости Q. Найдем неособую матрицу р ^ такую, чтобы

(1.41) Р — Рт Р,

а сингулярная декомпозиция грамиана наблюдаемости имела бы вид

(1.42) РQРT — и Шт,

где иит — I и £ — diag(a'l, ..., ап) > 0. Тогда преобразование

Т

(1.43) Т — Рт и £-1/4,

преобразует, исходную реализацию к сбалансированным координатам.

Доказательство. Так как исходная реализация минимальна и асимптотически устойчива, то грамианы управляемости и наблюдаемости эрмитовы и положительно определены. Следовательно, всегда существуют неособая матрица

ри

(1.41)—(1.42). Вид грамиаиов управляемости и наблюдаемости, а также их произведения в новой системе координат получим простым вычислением, подставив выражение для матрицы Т (1.43) в уравнение (1.40):

(1.44) т-1рт-т = £1/2, ттдт = е1/2, т-1рдт = £.

Таким образом, грамианы управляемости и наблюдаемости диагональны и равны между собой, следовательно, преобразованная реализация находится в сбалансированной системе координат.

Процедуру редукции исходной модели описывает следующий алгоритм.

Алгоритм 1.2. Выполнить для заданной минимальной и асимптотически устойчивой реализации (А, В, С, О) порядка п следующие действия:

Шаг 1. Вычислить грамиан управляемости Р и найти матрицу Р е Мпхп, которая бы удовлетворяла разложению

(1.41).

Шаг 2. Вычислить гра,миа,н наблюдаемости д и выполнить сингулярную декомпозицию матрицы РдРт, представив ее в виде

(1.45) рдрТ = Ц и2]

о \иЦ

о е2 ЦТ.

где ииТ + и2иТ = I, £1 = I) > 0, £2 =

di&g(аr+1I,..., ар1) > 0 и аг = всех г = Предпола-

гается, что сингулярное значение аг имеет кратность тг, причем £р=1тг = пи '£г1=1тг = пг.

Шаг 3. Определить матрицы Т1 и К1 следующим образом:

(1.46) Т1 = Рт и1£-1/4, К1 = Р-1и1Т\/4.

Тогда реализация (1.4)—(1.5) в пространстве состояний размерности пг будет являться редукцией исходной системы

(1.1)—(1.2), а, матрицы Аг, Вг ,СГ, Ог для редуцированной реализации будут задаваться уравнением (1.28) и матрицами

(1.46).

Следующая теорема суммирует свойства редуцированной модели, получаемой в алгоритме 1.2 методом сбалансированного отсечения.

Теорема 1.1. Редуцированная система, получающаяся в результате применения метода сбалансированного отсечения, асимптотически устойчива, а ошибка редукции равна

(1.47) \\Gis) — Сг(^||те < 2 ^ а^2.

г=г+1

Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [51]. Отметим, что вышеприведенная теорема дает верхнюю границу для нормы ошибки редукции, причем выражение для ошибки очень удобно использовать с алгоритмом 1.2. Фактически, этот алгоритм можно использоваться для того, чтобы получить редуцированную модель заданного порядка, минимизируя ошибку редукции простым упорядочиванием по убыванию сингулярных чисел Ганкеля. Такое упорядочивание гарантирует, что первое сингулярное число матрицы ^2 (1-45) будет наибольшим из всех р — г отсекаемых сингулярных чисел.

1.1.6. Ь(^0-сба,лансированная реализация и ЬС^О-характеристические числа

Хотя процедура сбалансированное отсечение имеет массу привлекательных свойств, у нее есть один серьезный недостаток

— это процедура для незамкнутой системы: в процессе редукции никак не учитываются не только свойства регулятора, но и сам факт наличия регулятора. В этом разделе будет рассмотрена процедура редукции замкнутой системы, когда объект управления сначала стабилизируется стандартным регулятором, и только затем к замкнутой системе применяется процедура сбалансированного отсечения. Например, можно было объединить объект С со стандартным ЬдС регулятором и сбалансировать эту конфигурацию. Такой подход был предложен в работе [28] и основан на нормализованной ЬдС задаче. Эта задача описывается в пространстве состояний сле-

Управление большими системами. Выпуск 19 дующей системой уравнений:

(1.48) х(і) = Ах (і) + Б'ш1(і) + Би(і),

(1.49) V® = Сх(і) + w2 (і),

(1.50) Х1(г) = Сх(і),

(1.51) Х2(І) = и( і) ,

где х(Ь) Е К” - вектор состояния системы, и(Ь) Е Кт - вход системы, у(Ь) Е К9 - ВЫХОД, т\^) И т2(^) - белый гауссовский шум с нулевым средним значением. Для простоты будем считать, что реализация (А, В, С) в пространстве состояний размерности п является минимшгьной. Обозначим г = [гтгт]т и г = [тт]т. После несложных преобразований можно показать, что передаточная матрица замкнутой системы от т к г равна (см. рис. 3)

' (I — СК)-1 С (I — СК)-1СК

К (I — СК )-1С К (I — СК )-1

(1.52) Н(С,К ) =

Определим Р^С-весовой функционал следующим образом:

1

(1.53) С(Н(С,К)) = 11ш ЕІ — [ гт(і)г(і) =

і/І 2і/У I

-і/

1/

= 1іш Е < -1 [ \хт(і)СтСх(і) + ит(і)и(і)] йі і/І 2і/ ] ^

-і

Е

все готово для формулировки нормализованной ЬдС задачи управления.

Определение 1.5. Нормализованной ЬдС задачей управле-

К

минимизирует ЬдС функционал С(Н(С, К)) на множестве всех стабилизированных замкнутых Н(С, К).

О

к

11

О

+ ^2

Рис. 3. Структурная схема, ЬдС задачи

Отметим, что нормализованная ЬдС задача имеет «стандартный объект» Р

(1.54)

Р

А [Б 0] Б ]

Р11 Р12 С 0 0 0

Р21 Р22 0 0 0 I

[С ] [0 I ] [0]

«стандартный» в том смысле, что [гтут] = Р[ттит], где и = К у Хорошо известно [18], что регулятор К стабилизирует Р тогда и только тогда, когда он стабилизирует Р22, и так как Р22 = С, то К стабилизирует Р только в том случае, если он стабилизирует С. (Под термином «стабилизирует», как обычно, подразумевается «внутренне стабилизирует», т.е.

СК

нулю, когда т = 0.)

Решение нормализованной ЬдС задачи дает следующая теорема.

Теорема 1.2. Пусть для системы (1.48)—(1.51) реализация (А, В, С) в пространстве состояний раз мерности п является минимальной. Тогда существует единственное положительно определенное стабилизирующее решение Х2 = Х?> е

алгебраического уравнения Риккати для управления

(1.55) АтХ2 + Х2А - Х2ВВтХ2 + СтС = 0.

Кроме того, существует единственное положительно определенное стабилизирующее решение У2 = Ут Е Кгахга алгебраического уравнения Риккати для фильтрации

(1.56) АУ2 + У2Ат - У2СтСУ2 + ВВт = 0.

У

Нормализованный ЬдС регулятор Кщс = форму наблюдателя

А В '

С 0

имеет,

(1.57) % = (А - У2СтС - ВВтХ2) х + УС,у

А в

плюс обратная связь по состоянию

(1.58) и = -ВтХ2_ х.

с

Минимальное значение ЬдС-весового функционала равно

(1.59) С(Н(С,Кщо)) =Ьтсе[ВтХ2В + ВтХ2У2Х2В ].

Пусть несингулярная матрица Т задает преобразование системы координат хт = Т-1х в пространстве состо-

Х2 У2

преобразованной системе координат, также как и произведение грамианов управляемости и наблюдаемости в модели (1.1)—(1.2), связаны между собой преобразованием подобия (Х2)т(У2)т = Т-1Х2У2Т. Следовательно, собственные значения матрицы Х2У2 являются инвариантами относительно преобразований координат и равны квадратам ЬдС-

С

деление ЬдС-характеристических значений системы и некоторые их основные свойства дает следующая лемма [28]. Лемма 1.9. Пусть задана минимальная реализация (А, В, С) п

Х2 У2

ческого уравнения Риккати для управления и фильтрации соответственно. Тогда собственные значения матрицы Х2У2 являются строго положительными инвариантами подобия, а квадратные корни из этих инвариантных собственных значений называются ЬдС-характеристическими Сп цы Х2У2 в убывающем порядке ц\ > ц2 > ■ ■ ■ > цП > 0, тогда существует преобразование подобия, которое приводит, и матрицу Х2, и матрицу У2 к виду М = diag(^1, ц2, ..., цП).

Говорят, что в этом случае система находится в ЬдС-

М

диагональной матрицей ЬдС-характеристических значений системы С.

Как было показано в работе [28], для Р^С-сбалансиро-ванной реализации малые значения ц соответствуют таким состояниям системы, которые легко управляются и хорошо фильтруются в ЬдС-смысле. Этот факт позволяет редуцировать и объект управления, и стабилизирующий его регулятор методом Р^С-сбалансированного отсечения.

Теорема 1.3. Редукция модели методом ЬС^С-сбалан-сированного отсечения.

(А, В, С)

стояний размерности п является минимальной, ЬдС-сбалансированной, имеет, ЬдС-балансированные значения Ц1 > Ц2 > ■ ■ ■ > Цп > 0, а, матрица,

М = diag(^1, ц2, ..., цП) = Х2 = У2 является стабилизирующим решением алгебраических уравнений Риккати для управления и фильтрации. Выберем г такое, что г < п и цг > Цг+1, а, затем разобьем матрицу М на блоки следующим образом:

М =

Мі 0

0 М2

где М1 = diag(ц,1, ..., цг) и М2 = diag(^r+1, ..., цп). Матри-А В С

А =

А11 А12

А2і А22

В =

Ві

В2

С = [Сі С2]

Тогда, реализация (А11,В1,С1) в пространстве состояний размерности г является редукцией исходного объекта управления.

Теорема 1.4. Редукция регулятора методом ЬЦС-сбалансированного отсечения.

(А, В, С) п

ЬдС-сбалансированной, имеет, ЬдС-сбалансированные значения Ц1 > Ц2 > ■ ■ ■ > Цп > 0, а матрица

М = diag(^1, ц2, ..., цП) = Х2 = У2 является стабилизирующим решением алгебраических уравнений Риккати для управления и фильтрации. Выберем г такое, что г < п и цг > Цг+1, а затем разобьем матрицу М на блоки следующим образом:

М=

Мі 0 0 М2

где М1 = diag(^l, ..., цг) и М2 = йіа§(^г+і, ..., цп). Пусть в соответствии с теоремой 1.2 регулятор Кщс =

А В '

С 0

является нормализованным ЬдС регулятором для, объекта Матрицы, А, Ви С этого регулятора разобьем

А В '

С 0

а =

М

с = [Сі С2]

А= Аіі А12 , В = Ві

А2і А22_ В2.

Тогда, реализация (Аіі,Ві,С{) в пространстве состояний размерности г является редукцией нормализованного Ьда регулятора,.

Заметим, что редуцированный регулятор

Г Аіі Ві

[ Сі 0 _

Кг =

является полноразмерным регулятором для редуцированного объекта аг. Это замечание является прямым следствием того Мі

ем алгебраических уравнений Риккати управления и фильтрации для редуцированного объекта аг.

1.1.7. И^-сбалансированная реализация и И ж-характеристические числа

В этом разделе мы покажем, как результаты предыдущего раздела могут быть обобщены на Иж случай. Нормализованная Иж задача управления, на которой основан Несбалансированный метод — это просто Иж задача управления

для той же, что и в предыдущем разделе системы (1.48)—(1.51) с той же самой структурной схемой (см. рис. 3) и с той же самой передаточной матрицей Н(а,К) (см. уравнение (1.52)). Прежде чем продолжить, дадим несколько определений и обсудим их.

Определение 1.6. Регулятор К является (а, 7) -допустимым, если он стабилизирует а и если \\Н(а, К)||те < 7. Определение 1.7. Если К — это (а, 7)-допустимый регулятор, то тогда \\Н(а,К)||те < 7 называет,ся (а, 7)-допустимой передаточной матрицей замкнутой цепи.

Отметим, что каждый элемент матрицы Н(а,К) имеет робастную интерпретацию, а именно: (I — аК) — іа соответствует «аддитивной» неопределенности Ац регулятора К, (I — аК)-іаК соответствует «выходной мультипликативной» неопределенности Аі2 объекта а. К(I — аК)-іа соответствует «ВХОДНОЙ мультипликативной» неопределенности А2і объекта а и, наконец, К(I — аК)-і соответствует аддитивной неопределенности А22 объекта. Верхняя граница 7 нормы \\Н(а, К) ||те означает, что робастная устойчивость гарантирована каждому из четырех типов неопределенностей.

Обозначим через 70 наименьшее значение 7, для которого существует (а, 7)-допустимый регулятор. Нахождение минимального значения 70 является зад ачей Н^-оптимальпого управления. В дальнейшем предполагается, что 7 > 70. Это допущение позволяет ввести в рассмотрение критерий минимальной энтропии.

Определение 1.8. Пусть Н є КНж, Н(ж) = 0 и \\Н||те < 7. Тогда энтропия I(Н,7) определяется следующим образом:

2

(1.60) I(Н, 7) = — 2- ! 1п | — 7-2Н*(]ш)Н(Ім))\дм.

— X

Мы не будем обсуждать роль и значение энтропии в теории Нх управления. Введение понятия энтропии позволяет нам сформулировать нормализованную задачу Нх управле-НИ я.

Определение 1.9. Нормализованной задачей Нх управле-

К

минимизирует, энтропию I(Н(С,К),7) на множестве всех (С, 7)-допустимых замкнутых Н(С, К).

Решение нормализованной задачи Н, управления дает следующая теорема, доказательство которой можно найти в [15] и [21].

Теорема 1.5. Пусть для системы (1.48)—(1.51) реализация (А, В, С) в пространстве состояний раз мерности п является минимальной и пусть 7 > 70. Тогда, существует единственное положительно определенное стабилизирующее решение Х, = Х, алгебраического уравнения Риккати для Н, управления

(1.61) АТX, + Х,А - (1 - 7-2)Х,ВВТX, + СтС = 0.

Кроме того, существует единственное положительно определенное стабилизирующее решение У, = У, алгебраического уравнения Риккати для Н, фильтрации

(1.62) АУ, + У,АТ - (1 - 7-2)У^СтСУ,, + ВВТ = 0.

С, 7-допустимый регулятор существует тогда и только тогда, когда существуют положительно определен-Х, У,

Хтах(Х,У,) < 72. Определим

(1.63) Я, = (1 - 72У,Х,)-1

Нормализованный Н, регулятор Кме, форму наблюдателя

А в '

с 0

имеет

(1.64) £ = (А - (1 - 7-2)У,СТС - ВВТХ,г,) х + У^С?у

А в

плюс обратная связь по состоянию

(1.65) и = -ВТХ,г, х.

V

с

Минимальное значение энтропии равно

(1.66)

I(Н(С, Кме,)) = ^асе [ВТХ,В + ВТХ,Я,У,Х,В}.

Пусть, как и раньше, несингулярная матрица Т задает преобразование системы координат хт = Т-1х в простран-

Х, У,

ходной и преобразованной системе координат, также как и произведение грамианов управляемости и наблюдаемости в модели (1.1)—(1.2), связаны между собой преобразованием подобия (Х,)т(У<х)т = Т-1Х,У,Т. Следовательно, собственные значения матрицы Х,У, являются инвариантами отно-

Н,

С

Н,

рые их основные свойства дает следующая лемма [41].

Лемма 1.10. Пусть задана минимальная реализация (А, В, С) п

7 > ^0 и пусть матрицы Х, и У, являются решениями

Н,

Н,

значения матрицы Х,У, являются строго положительными инвариантами подобия, а квадратные корни из этих инвариантных собственных значений называются Н, С п

собственных значений матрицы Х,У, в убывающем порядке и"2 > > ■ ■ ■ > иП > 0, тогда 7 > щ и существует

Х,

матрицу У, к виду N = diag(VI, v2, ..., ип). Говорят, что в

Н,

ординатах, а матрица, N является диагональной матрицей Н, С

Как было показано в работе [41], редуцированный объ-

Н,

Н,

реализации, которые соответствуют малым значениям Н,-характеристических значений V. Причем в отличие от метода Р^С-сбадансированной редукции метода Несбалансированной редукции позволяет получить априорную оценку ошибки, которую дает применение редуцированного регулятора с исходным, не редуцированным объектом.

Н,

(А, В, С)

п

малъной, Н, -сбалансированной для за данного 7 > 70, имеет, Н,-сбалансированные значения 7 > VI > v2 > ■ ■ ■ > vn > 0, а матрица, N = , v2, ..., vn) = Х, = У, является

стабилизирующим решением алгебраических уравнений Рик,-кати для Н, управления и Н, фильтрации. Выберем г такое, что г < п и vr > vr+l, а, затем разобьем ма,трицу N на, блоки следующим образом:

N =

N1 0

0 N2

где N1 = , vr) и М2 = , vn). Матри-

А В С

А =

А11 А12 А2\ А22

В =

Ві

В2

С = [Єі С2]

Тогда, реализация (А11,В1,С1) в пространстве состояний размерности г является редукцией исходного объекта управления.

Теорема 1.7. Редукция регулятора методом И0 лансированного отсечения.

Пуст,ь реализация (А, В, С) в простра нет ее стояний размерности п является минимальной, сбалансированной для заданного 7 > 70, имеет,

сбалансированные значения 7 > и1 > и2 > ■ ■ ■ > ип > матрица N = v2, ип) = Xж = Уж является

стабилизирующим решением алгебраических уравнений Риккати для Иж управления и Иж фильтрации. Выберем г такое, что г < п и иг > иг+1, а затем разобьем ма трицу N на, блоки следующим образом:

-сба-

со-

Их-Их-0

N =

N1 0

0 N2

где N = diag(vl, ..., ь>г) и М2 = ..

Пусть в соответствии с теоремой

Киеж =

' А в '

с 0

■ ,ь>п).

1.5 регулятор

является нормализованным Иж регуля-

тором для объекта С =

А в '

с 0

и заданного 7. Матрицы, А,

В и С этого регулятора разобьем на, блоки, соответствующие разбиению матрицы N:

А=

'Ап А12 , В = Ві

_А21 А22_ В2.

с = [Сі С2]

Тогда, реализация (Аіі,Ві,С{) в пространстве состояний размерности г является редукцией нормализованного Иж регулятора, а, ошибка, которая обусловлена применением редуцированного регулятора, с исходным, не редуцированным объектом управления, равна,

(1.67) £ « 2 ± вЩ ,

г=г+1 у 1 + @2^2

где в = л/1 — 7-2.

1.2. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕДУКЦИИ. ЛИНЕЙНЫЕ МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И АЛГОРИТМ ПОИСКА ВЗАИМНООБРАТНЫХ МАТРИЦ

В предыдущем разделе были рассмотрены косвенные методы редукции динамических регуляторов полного порядка, когда либо сначала проводится редукция незамкнутой системы и уже для нее синтезируется регулятор (сбалансированное отсечение), либо сначала объект управления стабилизируется полноразмерным регулятором и только затем к замкнутой системе применяется процедура редукции (ЬдС- и Несбалансированное отсечение). Косвенные методы всегда позволяют построить регулятор пониженной размерности, но, вообще говоря, не гарантируют ни заданной структуры регулятора, ни желаемого качества управления. Прямые методы, как правило, позволяют изначально задавать и структуру, и качество управления, но нет никаких гарантий, что данный регулятор будет построен. Эти общие соображения о прямых методах можно проиллюстрировать на примере синтеза регуляторов на основе решения линейных матричных неравенств и алгоритма поиска взаимнообратных матриц [2].

Линейные матричные неравенства достаточно давно и интенсивно используются в теории управления для синтеза законов управления различными классами динамических объектов. Линейные матричные неравенства позволяют с единых позиций рассматривать и решать многие проблемы теории управления и, в частности, такие важные как стабилизация неустойчивого объекта по состоянию и по измеряемому выходу, модальное управление, оптимальное линейноквадратичное управление, оптимальное гашение внешних воз-

Н,

чивость и стабилизация, абсолютная устойчивость и стабили-Н,

Основная идея, положенная в основу синтеза, заключается в следующем. Цель управления формулируется в виде неравенства относительно квадратичной функции Ляпунова замкнутой системы V (х) = хТХх с симметрической положительно определенной матрицей Х = ХТ > 0. Для задачи стабилизации это просто неравенство Ляпунова, а для задачи Н,

вания целевого условия в эквивалентное ему матричное неравенство. И в том, и в другом случае получающееся неравенство может быть представлено в виде линейного матричного неравенства относительно неизвестной матрицы параметров регулятора 0 следующего вида

(1.68) Ф + РТ0ТО + ОТ0Р < 0,

где Р, О и Ф — матрицы соответствующей размерности и зависящие от исходных данных, причем симметрическая матрица Ф зависит также от неизвестной матрицы Х функции Ляпунова. Это неравенство имеет непустое множество решений ТОГДЭ. И ТОЛЬКО ТОГДеЦ когдэ. выполняются двэ. нерсшенствсИ

(1.69) ШТФШр < 0, Ш'ТФШд < 0,

в которых столбцы матриц Шр и Шд образуют базисы ядер матриц Р и О соответственно. Последние два неравенства

0

нию или регуляторов по выходу полного порядка (когда порядок регулятора совпадает с порядком объекта) эти неравенства являются линейными матричными неравенствами отно-

Х

Х

влетворяющая линейным матричным неравенствам (1.69), а затем найденная матрица подставляется в линейное матрич-

0

В том случае, когда состояние объекта не измеряется и строится регулятор по выходу пониженного порядка (т.е. порядок регулятора меньше порядка объекта), одна из матриц Р или О также зависит от матрицы Х, и это приводит к тому, что соответствующие неравенства (1.68) содержат как матрицу Х, так и обратную к ней матрицу У = Х-1. Теперь эти неравенства оказываются линейными матричными неравен-

ХУ

задача сводится к оптимизации некоторой невыпуклой функции при ограничениях, задаваемых линейными матричными неравенствами. Указанное обстоятельство принципиальным образом усложняет синтез регуляторов, так как отсутствуют регулярные методы оптимизации невыпуклых функций. И хотя в некоторых практически важных случаях удается осуществить требуемый синтез, ни один из предложенных алгоритмов не гарантирует решения любой задачи.

В работе [1] был предложен алгоритм для проверки разрешимости таких неравенств и нахождения их решений. Особенность предложенного алгоритма заключается в том, что он представляет собой итерационный процесс, на каждой итерации которого с помощью команды папсх пакета МАТЬАВ решается задача поиска минимума линейной функции при ограничениях, задаваемых линейными матричными неравенствами. Оказывается, что этот итерационный процесс всегда сходится, причем если значение оптимизируемой функции стремится к нулю, то рассматриваемая задача разрешима. Поскольку, как показано в работах [2] и [1], синтез и стаби-Н,

зэдешного порядка по выходу для линейных непрерывных и дискретных систем сводится к решению линейных матричных неравенств относительно двух взаимнообратных матриц, рассмотрим только одну из этих задач — задачу стабилизации линейного непрерывного объекта регулятором заданного порядка по выходу.

Рассмотрим управляемый объект с неизмеряемым состо-

янием

(1.70)

(1.71)

x = Ax + Bu, y = Cx,

в котором X Є М™х — вектор состояния системы, и(Ь) Є М™“ — управление, у Є М”» — измеряемый выход. Требуется построить линейный динамический регулятор к-того порядка вида

(1.72)

(1.73)

xr = Ar xr + Br y, и = Cr xr + Dr y,

где хг Є М^ — вектор состояния регулятора, обеспечивающий асимптотичесую устойчивость замкнутой системы (1.70) (1.73). В частном случае к = 0 имеем статический регулятор и = Бг у.

к=0

ет вид

(1.74)

xc -- Acxcj Ac ---

A + BDr C BCr Br C Ar

где xc = col (x, xr).

Переформулируем цель управления в виде существования квадратичной функции Ляпунова V(xc) = xTXxc, где XT = X > 0, такой, что по любой траектории замкнутой системы имеет место

V < 0.

Это условие эквивалентно матричному неравенству Ляпунова (1.75) ATX + XAc < 0.

Вводя матрицу параметров регулятора

(1.76)

О=

Ar Br Cr Dr

представим матрицу замкнутой системы в виде (1.77) Ac = Ao + BoOCo,

ГД6

Ао =

А

0кхпх

0пх хк 0к к

Во =

0пххк

1к

В

0кхпи

Со =

0кхпх

С

0п

выделяя тем самым слагаемое, содержащее матрицу 0 неизвестных параметров регулятора.

Теперь подставим уравнение (1-77) в неравенство Ляпунова (1-75) и получим матричное неравенство

(1.78)

АТX + ХАо + СТвТВТX + ХВовСо < 0,

которое можно легко представить в форме основного неравенства теории линейных матричных неравенств

Ф + Рт0ТЯ + & 0Р < 0,

где Ф = АтХ + ХА0, Р = Со, Я = ВтХ. Согласно теории линейных матричных неравенств это неравенство разрешимо

0

шимы неравенства

Т

(1.79) шТт х (АТ X + ХАо)Шщ х <

(1.80) WТ СоА X + ХАо ^ <

0,

0,

в которых столбцы матриц Шщх и Шс0 образуют базисы ядер матриц ВтХ и Со соответственно. Заметим, что х =

Х-1 , где столбцы образуют базис ядра матрицы Вт,

и подставим это выражение в (1.79), в итоге приходим к справедливости следующей теоремы.

Теорема 1.8. Объект (1.70)—(1.71) стабилизируется с помощью регулятора по выходу (1.72)—(1.73) заданного порядка к ^ пх тогда и только тогда, когда существует (пх + к) х (пх + к)-матрица Х = ХТ > 0, удовлетворяющая следующим условиям:

(1.81)

(1.82)

WT0 (АТ X + XAо)Wcо < 0,

WTT (X-1АТ + AоX-1^Б?

< 0.

к

Х

0

находятся как решения линейного матричного неравенства

0

Введем матрицу У = Х-1 и перепишем условия (1.81)-

(1.82) в виде линейных матричных неравенств относительно

ХУ

(1.83) шСТа(АТХ + ХАо)Шс0 < 0, Х> 0,

(1.84) шТт(УАТ + АоУ)Швт < 0, У> 0.

Тогда рассматриваемая проблема синтеза стабилизирующих регуляторов по выходу заданного порядка сводится к задаче, которую мы вслед за авторами работы [2] назовем задачей А: найти две взаимнообратные (пх + к) х (пх + к)-матрицы Х = Хт и У (ХУ = I), удовлетворяющие линейным матричным неравенствам (1.83)—(1.84), или установить, что такие матрицы не существуют.

В заключение рассмотрим алгоритм решения задачи А, применение которого позволяет синтезировать регуляторы по выходу. Этот алгоритм был впервые предложен в работе [1] и предназначен для решения следующей задачи.

Х

У (ХУ = I), удовлетворяющие системе линейных матричных неравенств Ьг(Х,У) < 0 * = 1, 2, относительно Х и У.

Для ее решения рассмотрим также другую задачу. Задача А1: найти

(1.85) \rnin = тш{А : Х — У-1 < XI, Х > 0, У > 0,

Ьг(Х, У) < 0, г = 1, 2, 3},

где

ь3(х,у )= —Х —У

Дополнительное линейное матричное неравенство Ьз(Х,У) < 0 в силу леммы Шура эквивалентно неравенству X > У-1. Поэтому в случае, когда в задаче А1 Атт = 0,

ХУ

задачи А.

Для решения задачи Л 1 требуется минимизировать линейную функцию при ограничениях, одно из которых

(1.86) X — У-1 < XI

не является выпуклым и, следовательно, не может быть представлено в виде линейного матричного неравенства. Это обстоятельство не позволяет решать задачу Л 1 методами выпуклой оптимизации. Для этого был предложен алгоритм решения задачи А1, который может быть реализован в пакете МАТЬАВ.

Для описания алгоритма рассмотрим еще одну задачу. Задача А2: найти

(1.87) Атпп = шш{А : Г(Х, У, С1 ,С2) < XI, X > 0, У > 0,

и(Х,У) < 0, г = 1, 2, 3},

ГД6

Г^^С^Сз) = [1 Ох]

X I I У

I

Ох

+ [С2 I ]

X I I У

С2

I

здесь С г = СТ, г = 1, 2 — некоторые заданные матрицы.

Отметим, что в задаче А2 по сравнению с задачей Л 1 вместо неравенства (1.86) стоит линейное матричное неравенство Г(Х, У, С1, С2) < XI. Так как

(1.88) Г(Х, У, С1,С2) = (С1 + У-1)У (С1 + У-1)+ + (С2 + X-1)Х(С2 + X-1) + (Х — У-1) + (У — X-1) ^ 0

и, в силу неравенства Ь^(Х,У) < 0, выполнено уеловие X > Укогда Атт = 0, соответствующие X и У являются решением задачи А (при этом С1 = —У-1 и С2 = —X-1). Алгоритм состоит из следующих шагов:

1) 3 = 0-

И) И)

С1 = С1 С2 = С2

3) Решается задача А2 с помощью команды папех пакета МАТЬАВ и находятся величины А^+1, X^ У).

4) Задаются С^+1 = —У-\ С^1 = —X-1 и осуществляется переход к шагу 2 при 3 = 3 + 1.

Теорема 1.9. Для любых начальных С^ и С2° последовательность Аз, генерируемая алгоритмом, является неубывающей и существуют следующие пределы

Иш Аз = А* ^ 0, Нш Хз = X*, Иш У^ = У*.

Доказательство этой теоремы можно найти в работе [2].

Из этой теоремы следует, что возможны две ситуации. Если А* = 0, то Х*У* = I и, следовательно, матрицы X* и У* являются решениями задачи А. Если же А* > 0, то нельзя сделать определенного вывода о разрешимости задачи А. В этом случае целесообразно повторить процесс при других начальных условиях С^ и с2\ как это обычно делают в задачах глобальной оптимизации.

Следует отметить, что при синтезе робастных Нж регуляторов заданного порядка по выходу для линейного непрерывного и дискретного объектов требуется найти пару взаимнообратных блочно-диагональных матриц вида X = diag(X, 5)

и У = diag(У, Т). Для этих случаев матрицы С^ и с2°° в алгоритме должны иметь такую же структуру.

В случае практической реализации алгоритма целесообразно применить следующее правило остановки: при выполнении одного из двух неравенств Аз < е или |Аз+1 — Аз | < е работа алгоритма прекращается (из теоремы следует, что алгоритм останавливается через конечное число итераций).

2. Синтез регуляторов заданного порядка в задачах ковариационного управления

2.1. НАЗНАЧЕНИЕ КОВАРИАЦИОННОЙ МАТРИЦЫ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Во многих задачах автоматического управления желательно синтезировать такой регулятор, чтобы среднеквадратические значения различных координат вектора состояния замкнутой

системы не превышали заданных величин. Эта задача представляет собой задачу со множественными критериями качества. Один из способов решения данной задачи заключается в назначении системе заданной ковариационной матрицы состояния [12]. Такую задачу будем называть задачей ковариационного управления. В рамках задачи ковариационного управления в этом разделе будут рассмотрены следующие вопросы:

1) описание всего множества ковариационных матриц состояния, которые можно назначить линейной системе с дискретным временем с помощью линейной обратной связи;

2) отыскание множества всех матриц обратной связи, которые назначают системе желаемую ковариационную матрицу состояния.

2.1.1. Ковариационное управление при полном измерении вектора состояния

Рассмотрим линейную стационарную систему с дискретным временем

(2.1) хи+1 = Axk + BlWk + В2Пк:,

где вектор состояния х € К” полностью измерим, вектор управления и € Кт представляет собой некоторый стабилизирующий закон управления в виде статической обратной связи по состоянию

внешнее возмущение w € Кр есть дискретная случайная последовательность типа «белый шум» с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Ш > 0, векторы Wk и х° не коррелированы. Предполагается, что пары матриц (А,В2) и (А,В1), соответственно, являются стабилизируемой и управляемой. Кроме того, предполагается, что 1ш В2 С 1ш В1, т.е.

(2.2)

ик = Кхк, К: р(А + В2К) < 1,

(2.3)

В2 = ВхС

С.

няется, например, для случая аддитивной случайной помехи управления.

Х

х:

X = Нш ЩхихТ).

к^+ж

Задача, назначения ковариационной матрицы, состояния или задача, ковариационного управления в постановке работы [12] состоит из двух частей. Во-первых, требуется найти множество допустимых ковариационных матриц состояния Х8 — наибольшее множество матриц, таких что для любой матрицы X € ^^^ца обрати ой связи К, такая что

X = X. Во-вторых, для любой заданной матрицы X € Х8 требуется найти К3(Х) — наибольшее множество матриц обратной связи, таких что из К € К(X) следует X = X.

Как известно, свойство управляемости инвариантно относительно обратной связи. Поскольку В2 = В1С и пар а (А, В1)

К

(А + В1СКВ1) управляема. Следовательно, если обратная К

(2.4) X = Х> 0,

Х

уравнения Ляпунова

(2.5) X = (А + В2К )Х (А + В2К )Т + ВХШВ\.

Поскольку пара (А + В2К, В1) управляема, матрица X всегда положительно определена. Далее, если матрица X > 0 задана, из теории устойчивости Ляпунова следует, что все мат-К,

стабилизирующими, и таким образом X = X. Используя эти результаты, задачу назначения ковариационной матрицы состояния можно сформулировать следующим образом.

Задача 2.1. [12] Для системы (2.1) требуется:

1) Найти множество допустимых ковариационных матриц состояния

(2.6) X = {X: X = ХТ > 0,

ЭК удовлетворяющая уравнению (2.5)}.

2) Для любой заданной матрицы X € Х3 найти множество матриц обратной связи по состоянию

(2.7) _

К3(Х) = {К: К удовлетворяет уравнению (2.5)}.

Решение задачи 2.1 дается в форме двух теорем, сформулированных и доказанных в [12]. В первой из этих теорем дается описание множества ковариационных матриц состояния, которые можно назначить системе (2.1) с помощью линейной статической обратной связи по состоянию.

Теорема 2.1. [12] Для системы (2.1) все множество ковариационных матриц состояния, которые можно назначить данной системе с помощью матрицы обратной связи по соК,

(2.8) Х3 = {X: X удовлетворяет условиям (2.9)—(2.11)}, где

(2.9) X = ХТ > 0,

(2.10) X - ВШВТ ^ 0,

(2.11) (I - В2В1)(АХАТ - X + ВШВТ)(1 - В2В\) = 0,

и В\ обозначает псевдообращение матрицы В2 по Муру-Пенроузу.

Замечание 2.1. [12] Из условия (2.10) следует, что дисперсия каждого элемента вектора состояния ограничена снизу соответствующими диагональными элементами матрицы

ВШВТ:

Е(хк{г)) > [В1 ШВТ]гг.

Замечание 2.2. [12] Множество всех решений X уравнения (2.11) является линейным многообразием (т.е. все точки линии между любыми двумя тючками множества X также принадлежат данному множеству). Этот факт используется в работе [11] для разработки итерационного метода на основе линейного программирования для генерации допустимых ковариационных матриц состояния, удовлетворяющих ограничениям на диагональные элементы.

Следующая теорема устанавливает параметризацию множества линейных статических обратных связей по состоянию, назначающих замкнутой системе заданную ковариационную матрицу состояния.

Теорема 2.2. [12] Рассмотрим систему (2.1). Пусть задана матрица X € Х3, а матрица Т такова, что ТТТ = X. Пусть матрицы

N = (I - В2В1)(^X - БхШБТ) и Р = (I - В2В\)АТ

где матрицы Ь,Е и Б ортонормирован ные, Л =

diag{стl, ...,апх}, &1 ^ &2 ^ ^ &т > 0 = аг+1 = ... = ■

Системе (2.1) можно назначить ковариационную матрицу состояния X (т.е. X = X) тогда и только тогда, когда

матрица, У € Мгах“ — произвольная матрица.

Замечание 2.3. [12] Отметим, что для любой стабилизи-

К

обе имеют ранг г и сингулярные разложения N = ЬЛЕТ и Р = ЬЛБТ,

К є К3(Х) и (2.12) К8(Х) й

{

где и0 Є М(п г)х(п г) — произвольная ортонормированная

онная матрица состояния X' € Х3 такая, что К € К3(Х').

Таким образом, матрицы обратной связи, получаемые с помощью любого метода синтеза, могут,_т,а,к,же генерироваться, посредством подходящего вы,бора, X € Х3 и матриц и0,У в выражении (2.12).

Замечание 2.4. [12] Если матрица В2 имеет, полный столбцовый ранг и матрица А невырождена, то г = п — т и 1т — в\в2 = 0. Тогда множество матриц обратной связи К3(Х) порождается ортонормированной матрицей Щ €

^тхт

Замечание 2.5. [12] В предположении выполнения условий замечания 2.4, для системы, с одним входом множество К3(Х) состоит максимум из двух матриц обратной связи, поскольку и0 = ±1. Для системы, с многомерным входом в общем случае множество &3(Х) будет содержать более двух элементов.

Из приведенных выше результатов очевидно, что матрица обратной связи, которая назначает системе допустимую ковариационную матрицу состояния, обычно не является единственной. Это свойство можно использовать для достижения вторичных целей, например, уменьшения дисперсий отдельных входов системы [12].

2.1.2. Ковариационное управление по измеряемому выходу

В предыдущем параграфе предполагалось, что вектор состояния системы можно измерять точно. Однако на практике такой случай является чрезвычайно редким. В большинстве инженерных систем измерения подвергаются воздействию шумов, и число измерений меньше, чем число состояний. В таких случаях можно оценить вектор состояния и синтезировать закон управления в виде обратной связи по этой оценке [12]. Для оценки вектора состояния используется фильтр Калма-на [29, 31].

Рассмотрим линейную стационарную систему с дискретным временем

(2.13)

Хк+1 А Ві 0 В2

Ук с 0 I, 0

Хк

Ук

ик

где х € Мп — состояние, у € М9 — измеряемый выход, и € Мт

— управление, Ш € Мр и V € М9 — дискретные случайные последовательности типа «белый шум» с нулевым математическим ожиданием и ковариационными матрицами Ш > 0 и

V > 0, соответственно, и взаимной ковариационной матрицей

Ешю = Иш Е(шкvT),

к^+ж

а Шк и Vk не коррелированы с хо. Предполагается, что пара (А, В2) стабилизируема, пара (АВ1) управляема, а пара (А, С) детектируема. Управление и представляет собой некоторый стабилизирующий закон управления в виде обратной связи

(2.14) ик = КХк,

где оценка состояния ж генерируется фильтром Калмана

(2.15) Хк+1 = АХк + В2ик + С(ук — СХк),

а матрица усиления фильтра О удовлетворяет алгебраическому уравнению Риккати

,91- Г О = (АРСТ + ЕшсXV + СРСТ)-1,

{ } \ Р = (А — ОС)РАТ + ВШВТ — ОЕ^,

где Р — ковариационная матрица ошибки оценивания, Р = Е((х — х)(х — х)Т).

Для любой матрицы К, такой что матрица А+В2К устойчива по Шуру (т.е. р(А + В2К) < 1), ковариационная матрица

оценки вектора состояния равна X = X, где матрица X удовлетворяет уравнению Ляпунова

(2.17) X = (А + В2К )Х(А + В2К )Т + О(СРСТ + V)ОT.

Известно, что для фильтра Калмана (2.15) вектор состояния объекта (2.13) и вектор оценки состояния некоррелированы, т.е. Е(х(х—х)Т) = 0. Таким образом, ковариационная матрица состояния объекта (2.13) определяется выражением

(2.18) X = X + Р.

Р К,

ХК

для назначения заданной ковариационной матрицы состояния X. Задача назначения ковариационной матрицы состояния с помощью обратной связи по оценке состояния формулируется следующим образом.

Задача 2.2. [12] Для системы (2.13) требуется:

1) Найти множество допустимых ковариационных матриц оценки состояния

(2.19)

Х3 = {X: X > 0, ЭК удовлетворяющая уравнению (2.17)}.

2) Для, любой матрицы X € X найти множество стабилизирующих матриц обратной связи по оценке состояния

(2.20)

К.3(Х) = {К: К удовлетворяет уравнению (2.17)}.

Тогда, множество ковариационных матриц состояния, которые можно назначить системе (2.13), имеет, вид

(2.21) Хз = {X: X = 1 + Р, Х € Х3},

и для любой матрицы X € X множество матриц обратной связи К, для которых X = X, имеет, вид

(2.22) К3(Х) = Х3 (X — Р).

Рассмотрим подход к решению задачи 2.2, представленный в [12]. Отметим, что приведенная выше постановка задачи для системы (2.13) очень похожа по форме на постановку задачи 2.1 для системы с полностью измеримым вектором состояния. Однако, существует важное отличие. При решении задачи 2.1 использовалась теория устойчивости Ляпунова для того, чтобы показать, что для заданной ковариационной матрицы состояния X, если решение К уравнения (2.5)

существует, все решения являются стабилизирующими матрицами обратной связи. Это утверждение зависело от пред-

(А, В1)

вия 1ш В2 Q 1ш В1. К сожалению, даже если эти предположения сделаны для системы (2.13), из этого не следует, что пара (А, О) управляема или 1ш В2 Q 1ш О, если только число линейно независимых измерений не равно числу состояний. Поэтому в общем случае невозможно использовать теорию устойчивости Ляпунова для того, чтобы гарантировать, что если при заданной ковариационной матрице состояния X реК

ся стабилизирующими матрицами обратной связи. Фактически, используя теорию устойчивости Ляпунова, невозможно гарантировать, что какое-либо из решений уравнения (2.17) является стабилизирующим. Поэтому простое описание множеств (2.19) и (2.20) не может быть получено из (2.17) так же просто, как их эквиваленты для случая обратной связи по состоянию.

Тем не менее, можно получить стабилизирующую мат-К

«шума» к уравнению (2.17):

(2.23) Х = (А + В К )Х(А + В К )Т+

+ О(СРСТ + V)ОT + еВ^вТ,

где 5 > 0. Тогда предположение управляемости пары (А + В2К, В1)

матрицы XX > 0 матрица А + В2К устойчива по Шуру. Таким образом, используя подход, разработанный для случая полного измерения вектора состояния, можно описать множество

(2.24) Х\ = {X: X > 0,

ЭК }.

Также, для любой матрицы XX € ХХ3Х можно описать множество

(2.25) КХе3(XX) = {К: К удовлетворяет уравнению (2.23)}.

Множества XI и К3(X) могут рассматриваться, как аппроксимации множеств Х3 и 1С3(Х) [12]. Множества Х3 и К3(Xх) обладают свойством, представленным следующей теоремой.

Теорема 2.3. [12] Пусть X € Х3,. Тогда, для любой матрицы обратной связи К € КЗ(Xх) система, (2.13) обладает следующим свойством: X < Xх.

Из приведенных выше результатов следует, что если использовать множества, определяемые выражениями (2.24) и

К,

ационные матрицы состояния и входа системы (2.13) будут удовлетворять неравенствам

X < 1 + Р и и = КХКТ < К(XX + Р)КТ.

Таким образом, ковариационные матрицы состояния и входа системы (2.13) всегда меньше, чем их приближенные значения, вычисленные с использованием модифицированного уравнения Ляпунова (2.23). Поэтому при выборе достаточно е

х ^ х! + р и и ^ К(XX + Р)КТ.

2.2. КОВАРИАЦИОННЫЕ РЕГУЛЯТОРЫ ЗАДАННОГО ПОРЯДКА ДЛЯ СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

В этом разделе мы рассмотрим задачу синтеза динамического ковариационного регулятора заданного порядка для дискретной линейной стационарной системы. В рамках этой задачи будет дано описание множества всех ковариационных матриц состояния, которые могут быть назначены линейной стационарной системе с дискретным временем с помощью динамического регулятора заданного порядка [25]. На основе этого результата будет представлено явное описание в замкнутой форме всех стабилизирующих регуляторов, назначающих системе заданную ковариационную матрицу. Для всего множества таких регуляторов будет приведена параметризация с помощью двух ортогональных матриц.

Постановка задачи. Рассмотрим линейную стационарную систему с дискретным временем

(2.26)

Хк+1 Ар Вір В ю

Ук Ср 0 0

' Хк "

^к

. ик .

где х Е Мп — состояние, у Е К9 — измеряемый выход, и Е Мт

— управление, Ш Е Мр и V Е М9 — дискретные случайные последовательности типа «белый шум» с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Ш > 0 :

,

где 813 — символ Кронекера. Требуется найти все динамические регуляторы заданного порядка пс

(2.27)

Ск+1 Ас Вс

ик Сс Ос

Ук

которые стабилизируют замнутую систему, а также назначают заданное значение ковариационной матрицы состояния замкнутой системы

(2.28) X = ііш Е

к

Хк

Ск

[ХТ СТ]] =

хр Хрс

хТ Хс

Ковариационная матрица состояния установившегося режима замкнутой системы удовлетворяет следующему уравнению Ляпунова

(2.29)

где

X = (Ас + Во2СОо)Х (Ас + Во2СОо)Т + В01ШВ1^1

Ар 0

О ВР1

Всі =

Врі

0

Вс2 =

Вр2

0

0

1пс

Сс =

Ср О

0 !пс

С 4

ос Сс Вс Ас

Такая задача называется задачей назначения ковариационной матрицы состояния. Для непрерывных систем данная задача была решена в [45].

Мотивация для такого подхода в управлении заключается в том, что многие важные свойства системы могут быть описаны в терминах ковариационной матрицы состояния, включая следующее [25]:

1) Все устойчивые системы имеют конечные ковариационные матрицы состояния. Следовательно, описание всех ковариационных матриц, которые можно назначить линейной системе, также параметризует класс всех стабилизирующих регуляторов. Это дает дополнение во временной области к параметризации Юлы всех стабилизирующих регуляторов в частотной области.

2) Среднеквадратические ошибки входов, выходов и состояний системы явно представлены в ковариационной матрице в виде ее элементов.

3) Многие робастные свойства системы напрямую связаны с ковариационной матрицей состояния. Рассмотрим замкнутую систему

(2.30)

Хк+1 Ас1 Вс1

Ук Сс1 0

Хк

ык

Для системы (2.30) справедливы следующие оценки

(2.31) ЦуЩ < а(Ос1 ХСТ)\\ш\\1

(2.32)

о(ВаШВІ )1/2

а(Х (ВсШВТ )-1/2У где Сж~ и £2-нормы определяются следующим образом

12 • Т

ІОО = йиР Ук Ук , к

N12

^™Т Ык.

Неравенство (2.31) выражает оценку сверху для выхода системы при любом входном сигнале из С2. Неравенство (2.32) оценивает верхнюю границу параметрического возмущения, для которого гарантируется устойчивость системы. Отметим явную зависимость этих оценок от ковариационной матрицы состояния X системы (2.30).

Решение задачи представлено в [25]. Пусть X — предписанное значение ковариационной матрицы состояния замкнутой системы. Если существует множество матриц (Ас, Вс, Сс, Бс) таких, что замкнутая система (2.26), (2.27) устойчива и X = Х^о X называется назначаемой ковариационной матрицей. Следующая теорема устанавливает необходимые и достаточные условия назначаемости ковариационной матрицы X.

Теорема 2.4. [25] Для замкнутей системы (2.26), (2.27) ковариационная матрица, состояния X является назначаемой тогда и только тогда, когда одновременно выполняются следующие условия:

1) X - ВтШВ^ ^ 0,

2) и^Р - ВпШВ^ - А^АТ)иЬ2 = 0,

3) ф2ф2®п2п2 = в,

4) П ^ 0,

5) гапкО ^ шіп{г^,п + пс — пг — гП},

где

[ иЬ1 иЬ2 ]

[ ит\ ит2 ]

^вР2 О 0 0

Уь!

УЬ2

0 СР

00 . У^2 .

= Вр2,

= Ср

— сингулярные разложения матриц Вр2 и Ср, соответственно:

X = ТТТ, 2 4 X — ВогШВОг = ЬЬТ, 11в2 =

иЬ2

0

УМ 2 =

Ут2

0

N

Л 0 00

ГТ = иІ2Ь, N

Л0

00

ЕТ = ПІ2АоТ,

Л Є

хп1

— сингулярные разложения матриц и^2^ и иВ2А0Т, соответственно;

Ф2 ], ЕтТ-1Ум2 =

Пі

П2

0 А АоУм2 — ФіПі,

Фг Є М(п+п=)хпі, ф2 є Пг Є Мпіх(п-Г™), П2 Є

ифі ІІф2 ] Хф 0 00 [ УФі .УФ2

ипі ип2 ] Хп 0 00 У Ті уПТ2

Хф Є Мг^ хГф, Хп Є Мг'

Ф2

П2,

— сингулярные разложения матриц Ф2 и П2, соответственно; и

Ф = ^и^вУпгЕ-1, П 4 I - ффТ.

Замечание 2.6. [25] Условия 1 и 2 теоремы 2.4 являются условиями назначаемости ковариационной матрицы состояния для регуляторов в виде статической обратной связи по состоянию. Следовательно, ковариационная матрица Хр не может, быть назначена системе никаким динамическим регулятором, если она не может, быть назначена матрицей обратной связи по состоянию.

Замечание 2.7. [25] ЕслиХ > то условие 5 тео-

ремы, 2.4 эквивалентно условию

гапк О ^ п + пс — пг — гП.

Более того, если матрицы Брг и Ср полного ранга, то пг = п — т, и условие 5 приобретает вид

Замечание 2.8. [25] Условие 3 теоремы 2.4 можно заменить условиями

Следующая теорема дает описание множества всех регуляторов, назначающих ковариационную матрицу состояния Х

Теорема 2.5. [25] Х

ется назначаемой для системы (2.26), (2.27), или, что эква-ивалентно, уравнение (2.29) разрешимо относительно матрицы С при заданной матрице X. Тогда все регуляторы С, которые назначают, системе (2.26), (2.27) ковариационную Х,

(2.33) С = Б02 (БУгТ-г — А0)С1 + Б\2Бо2ЯСоС1 — %

гапк О ^ т + пс — гП.

и^2 © = 0, 0Уп2 = 0.

где

0

Уз Е ^(п+пс-п1~гп )х{п+пс-п1-Тп) У4 Е и(п+пс-п1-Тф)х(п+пс-п-Тф) произвольные ортогональные матрицы,

% Е ^(т+пс)х(<?+пс)

произвольная матрица;

сингулярное разложение матрицы и;

О £ Х (п+пс -Пі -Гп )

Л\ 4 [ ф ипг)Уз ] , иг = [ игі иг2 ] •

Замечание 2.9. [25] В общем случае в структуре регулятора С имеются три свободных параметра — матрицы У3,У4 и Z• В случае, когда матрицы Вр2 и Ср полного ранга, последние два слагаемы,х в выражении (2.33) сокращаются, и остается лишь два свободных параметра У3 и У4 :

Замечание 2.10. [25] Матрица Б0\ШБ01 является ниж-Х.

димости синтезировать регулятор для, достижения этой нижней границы. Поэт,ому можно потребовать выполнения условия X > Бо1ШБо1, и в таком случае свободный параметр У4 сокращается, и остается лишь один свободный параметр Уз. В этом случае

С

нием (2.34).

Замечание 2.11. [25] Размерность матрицы У3 зависит, от, ранга матрицы П2. Если гП = п + пс — п\ + 1 или = пс + т — 1 при условиях замечания 2.10, то матрица Уз = ±1. Если матрица П2 имеет, полный строчный ранг, ковариационный регулятор является единственным.

Замечание 2.12. [25] Устойчивость замкнут,ой системы гарантируется, если пара (А0+Б02СС0, Б0\л/Ш) управляема.

(2.34)

С = В^ІЬУгТ-1 - А0)С•

В теореме 2.5 дано описание множества всех регуляторов, которые назначают замкнутой системе заданную ковариационную матрицу состояния. Порядок регулятора определяется a priori, а описание множества всех регуляторов дается в замкнутой форме в терминах матриц реализации объекта управления, поэтому решение данной задачи синтеза не требует ни редукции модели, ни редукции регулятора. Это является важной особенностью ковариационных регуляторов. Свободными параметрами регулятора являются две ортогональные матрицы, и эти матрицы можно выбирать так, чтобы обеспечить выполнение дополнительных целей управления, кроме назначения ковариационной матрицы состояния (например, обеспечение минимальную энергию управления или робастности). Описание всего множества ковариационных регуляторов представляет собой параметризацию во временной области класса всех стабилизирующих регуляторов. Класс параметризован постоянной матрицей X (ковариационной матрицей состояния замкнутой системы) и двумя произвольными ортогональными матрицами V3 и V4.

2.3. ЕДИНЫЙ ПОДХОД К СИНТЕЗУ РЕГУЛЯТОРОВ ЗАДАННОГО ПОРЯДКА С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙНЫХ МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ

В этом разделе рассматривается синтез регуляторов заданного (или пониженного) порядка, которые удовлетворяют определенным требованиям к качеству и/или к робастности. А именно, будут рассмотрены следующие три задачи [27]:

1) задача ковариационного управления (в качестве задачи подавления внешних возмущений);

2) задача Q-стабилизации (задача робастной стабилизации) 5 и

3) робастная задача ^^-оптимизации (как задача робастного качества).

Решения всех трех задач управления будут представлены в виде единой задачи линейной алгебры — решения линейного матричного неравенства вида

BGC + (BGC)T + Q < 0

й

е

Рис. 4■ Конфигурация системы управления

относительно неизвестной матрицы О [27].

В первой задаче в качестве меры для уровня подавления возмущений используется ковариационная матрица сигнала ошибки при возбуждении системы белым шумом, поскольку ограничение значений элементов на главной диагонали ковариационной матрицы сигнала ошибки соответствует ограничению дисперсий компонентов вектора сигнала ошибки. Такая матричнозначная мера качества дает естественный подход к решению задач управления со множественными критериями качества. Задача заключается в синтезе стабилизирующего регулятора заданного порядка, который обеспечивает ограниченность сверху ковариационной матрицы ошибки замкнутой системы заданной матрицей. В качестве задачи робастной стабилизации рассматривается синтез регулятора, робастно стабилизирующего линейную стационарную систему с ограниченной по норме переменной структурированной неопределенностью. Третья задача — задача робастного качества — состоит в синтезе ^-стабилизирующего регулятора для объекта с неопределенностью, гарантирующего ограниченность пиковых значений сигнала ошибки при возмущении единичной энергии для всех допустимых структурированных неопределенностей.

Рассмотрим систему управления с обратной связью, блок-диаграмма которой изображена на рис. 4, где Р — обобщенный объект управления, С — регулятор и А — неопределенность. В этом разделе будут рассматриваться следующие за-

дачи управления:

• Подавление внешних возмущений: Требуется найти ре-

СР (А = 0), такой что сигнал о шибки е достаточно мал в некотором смысле при отклике на определенный класс возмущающих воздействий d.

•

С

А

известному классу множества неопределенностей в А.

•С

обеспечивающий внутреннюю устойчивость замкнутой

е

при отклике на определенный класс возмущающих воздействий d для всех неопределенностей А из множества неопределенностей в А.

Формальные постановки перечисленных концептуальных задач управления будут выполнены в следующем параграфе. Рассмотрим линейную стационарную систему с непрерывным временем с ограниченной по норме переменной структурированной неопределенностью:

" x(t) " A Bo Bi B2 " x(t) "

z(t) Co Doo Doi Do2 w(t)

e(t) Cl Dio Dii Di2 d(t)

. y(t). C2 D2o D21 D22 u(t)

w(t) = A(t)z(t),

где x Е М™р — состоявие, d Е — внешнее возмущение, и Е Кга“ — управление, e Е М”е — сигнал ошибки, у Е КПн — измеряемый выход, z Е Rn* и w Е Мга” — экзогенные сигналы, введенные для описания неопределенности А. Для простоты полагается nw = nz. Известно, что неопределенность А принадлежит к следующему множеству:

(2.36) /ЗА = {А: R ^ Мга”ХПх, а(А) < 1, A(t) Е А},

ГД6

Д 4 {blockdiag(£l/fcl,..., 531кв, Д1, ■ ■ ■, Д{):

5і є М, Ді Є Мкз+іХк°+і}.

Для регулятора в виде статической обратной связи по выходу

п(Ь) = Су(Ь) замкнутая система описывается уравнениями

х(ь) ' А Во Ві

(2.37) гЫ = Со 0 00 0 01

. Сі 010 С11

х(і)

й(і)

где матрицы реализации замкнутой системы определяются следующим образом:

АС В0 ВС1 А В0 В1

СС0 С 00 С 01 4 С0 °00 01

С1 С10 С11 С1 °10 Пи

+

В2

002

°12

+

С [ С2 | 020 021 ]

где матрица предполагается 022 = 0 для гарантии корректности соединения обратной связи. Для динамического регулятора в форме наблюдателя

•-иу Ас Вс

п(і) Сс 0с

с состоянием £ Є М”£ замкнутая система имеет в точности такую же структуру, что и уравнения (2.37) для замкнутой системы со статической обратной связью, но при этом матрицы объекта управления и параметров регулятора должны

быть заменены следующими расширенными матрицами:

А В0 В1 В2

С0 000 001 002

С1 010 011 °12

С2 020 021 Ст _

А 0 В0 В1 В2 0

0 0 0 0 0 ІП£

—— С0 0 000 001 002 0

С1 0 010 011 012 0

С2 0 020 021 0Т ВТ

0 0 0 Ссс АТ.

соответствующими расширенному вектору состояния [ хТ (I) ^т (I) ] . Поэтому задача синтеза динамическо-

го регулятора заданного порядка может рассматриваться как частный случай задачи синтеза регулятора в виде статической обратной связи по выходу. Отметим, что в данном случае стандартное предположение > 0 является ограничивающим, поскольку расширенная матрица [ О\2 0 ] для

динамического регулятора никогда не будет иметь полного столбцового ранга. Для простоты предполагается Б'тБ2 > 0 и с2сТ > 0.

2.4. ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ

Задача подавления внешних возмущений. В качестве задачи подавления внешних возмущений, рассмотрим задачу ковариационного управления. Рассмотрим непрерывный линейный стационарный объект управления

х(г)

" Х(і) " А В1 В2

(2.38) е(г) = С1 0 0

. у(і) - С2 021 0

д(і)

п(і)

с регулятором в виде статической обратной связи по выходу и(г) = Су(1), где ^ — белый шум с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей I. Обозначим

Е 4 Иш Е(в(г)вт(г))

t—»сю

ковариационную матрицу сигнала ошибки е(г).

Задача 2.3. [27] Пусть задана положительно определенная матрица, Е > 0. Требуется определить, существует ли матрица _статической обратной связи по выходу С, такая что Е < Е, и получить формулу для такого регулятора.

Е

можно использовать для определения детерминистических критериев качества. Например, как известно, ^2-норма передаточной матрицы Те^(в) от возмущения ^ к ошибке е

\\Ted 112 = ^ Е.

Следующая лемма [27] устанавливает условия, при кото-С

Е

заданной матрицей.

Лемма 2.1. [27] Пусть заданы, матрица Е > 0 и регулятор С.

1) Регулятор С является стабилизирующим и Е < Е.

2) Существует матрица Р > 0 такая, что

(2.39)

А.Р + РАТ + С1ВТ < 0,

СрСТ < е.

Задача робастной стабилизации. В связи с постановкой задачи робастной стабилизации, рассмотрим следующую систему с неопределенностью

х(і)

" Х(і) " А В0 В2

(2.40) х(і) = С0 000 002

І У (і) \ С2 020 0

'ш(г)

. и(г) _

■ш(г) = А(г)г(г),

с регулятором в виде статической обратной связи по выходу и(г) = Су(1), где неопределенность А принадлежит множеству в А, определенному формулой (2.36).

Для постановки задачи робастной стабилизации необходимо ввести понятие ф-устойчивости [27].

Определение 2.1. Линейная система с неопределенностью (2-40) называется ф-устойчивой в отношении множества неопределенностей вА, если передаточная функция Тгт от внешнего возмущения w к выходу г является устойчивой и существует матрица, Б € Б такая, что \\STzwБ-1 ||те < 1, где масштабирующее множест,во Б, вА

Б 4 {blockdiag(Sl,..., Б8,в11кз+1,... 1кз+}):

Б. € € М, Бг > 0,вг > 0}.

Задача робастной стабилизации формулируется следующим образом.

Задача 2.4. [27] Требуется определить, существует ли

С

печивающая ф-стабилизацию замкнут,ой системы, и получить формулу для такого регулятора.

Следующая лемма характеризует ф-устойчивость замкнутой системы.

Лемма 2.2. [27] С

неопределенностью (2-40). Следующие утверждения эквивалентны.

С

ф-устойчивой для неопределенности А € вА.

2) Существуют матрицы Р > 0 и Б € Б такие, что

(2.41)

РА + ^ Р + БоББТ

СоР + ОооББТ

т

рСТ + СоБЗ То О ооБ О То - Б

< 0.

Задача робастного качества. В качестве задачи робастного качества рассмотрим робастную задачу £те-уиравления. Рассмотрим следующую систему с неопределенностью

(2.42)

х(г) А Бо Б1 Б2 " х(г) "

г(г) со О00 О01 о2 w(t)

е(г) с1 0 0 0 й(г)

у(г) . с2 О20 21 0 и (г)

w(t) = А(г)г(г),

с регулятором в форме статической обратной связи по измеряемому выходу и(г) = Су (1), где неопределенность А € в А.

е

ражением

1'(С, А,д) 4 \\е\\2с^ = яир {еТ(г)е(г)},

г^о

еС под воздействием внешнего возмущения ^ при нулевых на-х(0) = 0 А.

Определим наихудшее пиковое значение сигнала ошибки следующим образом:

1(С) 4 вир | J(С, А,3):[ дт(г)й(г)М ^ 1, А € вА Д,й I ^о

Задача 2.5. [27] Пусть задано число ^ > 0. Требуется най-

С

печивающую ф-стабилизацию замкнутой системы и выполнение условия 1 (С) < 7.

Практическая значимость данной задачи заключается в том, что ограниченность пикового значения сигнала ошибки е значением ^/7 гарантируется для любого возмущения ^ с единичной энергией и для любой структурированной неопределенности А € в А с ограниченной нормой.

Следующая лемма [27] устанавливает условия, при которых регулятор С обеспечивает ф-стабилизацию замкнутой системы и выполнение условия ограниченности функционала качества 1 (С).

Лемма 2.3. [27] С

неопределенностью (2.4-2). Следующие утверждения эквивалентны.

С

ф-устойчивой для неопределенности А € вА.

2) Существуют матрицы Р > 0 и Б € Б такие, что

(2.43)

РА + АТ Р + Во ЯБТ + В1ВТ

РСТ + ВоЖТО + вО,

СоР + Эоо5ВТ + ОоїВТ Ооо^О т0 — 5 + О оіО^І

< 0.

В этом случае _

J(G) КІ(G),

где

J(G) 4 inf[\\CxPCT||:

P > 0 и S Е S удовлетворяют неравенству (2.52)}.

Задача робастного £те-управления может рассматриваться как комбинация задач ковариационного управления и Q-стабилизации, в которой робастность гарантируется ограниченностью Hro-нормы замкнутой системы, а качество измеряется максимальным сингулярным значением ковариационной матрицы ошибки.

2-4-1- Синтез регуляторов заданного порядка с помощью линейных матричных неравенств

В этом разделе будет показано, что все три задачи управления, поставленные в предыдущем параграфе, сводятся к одной математической задаче и могут быть решены единым способом, основанным на решении линейного матричного неравенства определенного вида.

Теорема 2.6. [27] Рассмотрим линейное матричное неравенство

(2.44)

BGC + (BGC)T + D К О

относительно неизвестной матрицы С.

1) Регулятор С является решением задачи ковариационного управления 2.3 тогда и только тогда, когда_ существует матрица Р > 0 такая, что С\РСТ < Е и выполняется неравенство (2.44), в котором

(2.45)

С т

B

D ] 4

B2 pcT AP + PAT B1 '

О DTi bT -i .

GQ стабилизации 2.4 тогда и только тогда, когда

существуют матрицы Р > 0 и Б Е Б такие, что выполняется неравенство (2.44), в котором

(2.46) [ В СТ Б ] 4

B2 pcT AP + PAT pcT Bo

4 Do2 О CoP -S Doo

О o T2 D вТ DoTo -S-1

3) Регулятор С является решением робастной задачи Сж-управления 2.5 тогда и только тогда, когда существуют матрицы Р > 0 и Б Е Б такие, что \\С\РС^[|| < 7 и выполняется неравенство (2.44), в котором

(2.47) [ В СТ Б ] 4

B2 pcT AP + PAT pcT Bo Bi

4 Do2 О Co P -S Doo D01

О DTo ВТ DoTo -S-i О

О D2i ВТ DoTi О -I

Теорема 2.6 утверждает, что все три задачи управления, поставленные в предыдущем разделе, могут быть сведены к одной задаче отыскания решения линейного матричного нера-

G

те [27] сформулирована лемма, устанавливающая условия разрешимости линейного матричного неравенства (2.44) в терминах матриц B, C и D.

Лемма 2.4. [27] Пусть заданы матрицы B Е Rnxm, C Е Rkxn и D = DT Е Rnxn. Пусть rankC = k < n. Матрица G Е Rmxk, удовлетворяющая линейному матричному неравенству

BGC + (BGC)T + D < 0, существует тогда и только тогда, когда

(2.48) B±DB±T < 0, CT±DCT±T < 0,

где обозначает левый аннулятор матрицы A: kerA± = Im A, A±A±T > 0.

В этом случае

(2.49)

С = -рВТФСТ (СФСТ )

Т

где р > 0 — (достаточно большое) число, такое что Ф > 0, где

Ф 4 (рВВТ - Б)-1.

Если в лемме 2.4 матрица ВВТ > 0 и/или матрица СТС > 0, то аннуляторы В± И / ИЛИ С Т ^ не существуют, и в таком случае задача отыскания решений линейных матричных неравенств (2.48) значительно упрощается [26]. Матрица О в лемме 2.4 соответствует регулятору. Хотя лемма 2.4 устанавливает явную формулу только для одного регулятора, в работе [26] представлена явная формула для всех регуляторов.

Далее рассмотрим решение задач 2.3-2.5 в терминах линейных матричных неравенств. Результаты получены непосредственным применением леммы 2.4 к теореме 2.6.

Задача ковариационного управления. Следующая теорема устанавливает условия разрешимости задачи 2.3 в терминах линейных матричных неравенств.

Теорема 2.7. [27] Пусть задана, матрица, Е > 0. Следующие утверждения эквивалентны.

1) Существует регулятор в виде статической обратной

О

обеспечивающий ограниченность ковариационной матрицы, ошибки замкнут,ой системы Е < Е.

2) Существуют матрицы Р и ^ что Р = Q-1 и

(2.50) _

СРСТ < Е, В$-(АР + РАТ + ВВТ)В^т < 0,

Г СТ ±

. БТі .

дл + атд дві вТ д -і

сТ

БТі

±т

< 0.

С

лой (2.49), где матрицы В, С и Б определяются вы-

Р

творяющей неравенствам (2.50).

Задача Q-cтaбилизaции. Условия существования решения задачи 2.4 представлены в следующей теореме.

Теорема 2.8. [27] Следующие утверждения эквивалентны.

1) Существует регулятор в виде статической обратной связи по выходу О, обеспечивающий Q-стабилизацию системы с неопределенностью (2.40).

2) Существуют матрицы Р, Q, К и Б такие, что Р = Q-1, К = Б-\ Б Ев и

(2.51)

В2 ' АР + РАТ рсТ '

Бо2 \ СоР -Б

+

Во

Б00

Б [ВТ БТо

+

В

Бо 2

±Т

< 0,

Г СТ ] QA + АТ Q QBо

Бо2 1 ВТ Q —К

+

+

СТ

Б0о

К [ Со Боо ]

сТ

БТо

±т

< 0.

О

лой (2.49), где матрицы В, С и Б определяются выражени-

РБ

нера венет вам (2.51).

Задача робастного £го-управления. Введем следующие обозначения

Во = [ Во В1 ], Боо 4 [ Боо Бо1 ],

Б2о 4 [ Б2о Б21 ] , Б 4

оо 4[

Б 0

0 I

К 4

К0 0 I

Следующая теорема устанавливает условия разрешимости задачи 2.5 в терминах линейных матричных неравенств.

Теорема 2.9. [27] Пусть задано число ^ > 0. Следующие утверждения эквивалентны.

1) Существует регулятор в виде статической обратной связи по выходу О, обеспечивающий Q-стабилизацию системы с неопределенностью (2.42) и выполнение неравенства 1 (О) < 7.

2) Существуют матрицы Р, Q, К и Б такие, что Р = Q-1, К = Б-\ Б Ев и

(2.52)

срсТ < II

В2 х{ ' АР + РАТ рсТ '

Бо2 \ СоР —Б

+

+

' В о ' Б

Боо

—Т —Т

В° Бт

оо

В2

/ Бо2

Т

< 0,

С2Т 11 QA + АТ Q QBо '

—Т . Б2о . \ . ВТ Q —К

+

+

СоТ Боо .]

К [ Со Боо ]

СТ БТ°о .]

Т

< 0.

О

В С Б

РБ

неравенствам (2.51).

Вычислительные аспекты решения. Кратко рассмотрим некоторые вычислительные аспекты решения рассмотренных задач синтеза регуляторов заданного порядка с помощью линейных матричных неравенств.

Для задачи робастного £те-управления, результрующая вычислительная задача отыскания матриц Р ^ ^ и Б, удовлетворяющих условиям утверждения (2) теоремы 2.9, не является выпуклой из-за условий связи Р = Q-1 и К = Б-1. Однако, следующее следствие из теоремы 2.9, показывает, что задача робастного £те-управления является выпуклой даже

Боо

измерения вектора состояния без шума. В таком случае ре-

О

связи по состоянию.

Следствие 2.1. [27] Пусть задано число ^ > 0. Допустим, что вектор состояния системы (2.42) можно измерять без шума, и матрицы

С2 = I, Б2о = 0, Б21 = 0.

Тогда эквивалентны следующие утверждения.

1) Существует регулятор в виде статической обратной связи по состоянию О, обеспечивающий Q-стабилизацию системы с неопределенностью (2.42) и выполнение неравенства 1 (О) < 7.

2) Существуют матрицы Р > 0 и Б Ев такие, что

(2.53) ОгРОІ < 7І, Б > БооББ,

7 \ Ґ1 Т~ЛТ

}00,

' В2 ' ' АР + РАТ РСТ ■

Б02 X СоР -Б

+

+

Во ' Б

Боо

—Т

БІ

—Т

б!

оо

\ В2

/ Бо2

Т

< 0.

РБ

щих условиям утверждения (2) следствия 2.1, является вы-

О

ного значения 7 с помощью аппарата выпуклой оптимизации или определить, что такого регулятора не существует. Отметим, что условия следствия 2.1 также определяют выпуклое множество в отношении Р, Б и 7. Таким образом, значение

7 в данной вычислительной задаче можно минимизировать, О

ле (2.49) леммы 2.4.

Для задачи ковариационного управления и задачи Q-стабилизации результирующая вычислительная задача также является нетривиальной из-за условия связи Р = Q-1. Подобно задаче робастного £те-управления, при условии полной измеримости вектора состояния и отсутствия случайных помех эти задачи сводятся к построению регулятора в виде статической обратной связи по состоянию и нетрудно разрешимым вычислительным задачам выпуклой оптимизации (см.

следствие 2.1). Если рассматривать задачу синтеза динамического регулятора, порядок которого не задан, то, используя технику, аналогичную работе [26], можно показать, что для всех задач управления, рассмотренных в данном параграфе, условие связи Р = Я-1 > 0 заменяется выпуклым условием Р ^ Я-1 > 0 или, что экивалентно,

РІ

I Я

Таким образом, задача ковариационного управления с незаданным порядком регулятора становится выпуклой. Тем не менее, две другие задачи даже в этом случае остаются невыпуклыми из-за условия К = Б -\ Б Ев [27].

В заключение отметим, что для численного решения задач, рассмотренных в данном параграфе, можно использовать вычислительные методы решения линейных матричных неравенств относительно взаимно-обратных матриц, представленные в монографии [2].

3. Методы формирования контура

Как было подчеркнуто во введении, ПИД регуляторы занимают особое место в технических приложениях. Большое количество работ по синтезу и настройке одномерных и многомерных ПИД регуляторов посвящено использованию идей робастности. В этом разделе будут изложены некоторые идеи робастного управления (Иж оптимизации) при синтезе регуляторов фиксированного порядка и фиксированной структуры, в частности, ПИД регуляторов.

Ключевым моментом при синтезе многомерных ПИД регуляторов является процедура Иж формирования контура. Рассмотрим ее более подробно.

Под формированием контура при синтезе системы управления понимают метод синтеза системы, при котором непосредственно определяют форму частотной характеристики передаточной функции разомкнутой или замкнутой системы. Основная идея в распространении методов формирования контура замкнутой системы для многомерной системы

состояла в использовании матричных норм. В работе [17] было предложено использовать при анализе и синтезе многомерных систем сингулярные числа.

В теории робастной оптимизации показано, что требования робастной устойчивости и робастного качества могут быть записаны как требования максимизации сингулярных чисел некоторых передаточных функций замкнутой системы.

Принципиальная идея формирования контура (loop shaping) заключается в том, что максимальные сингулярные числа этих передаточных матричных функций замкнутых систем могут быть непосредственно определены над соответствующими частотными диапазонами посредством сингулярных чисел соответствующих передаточных матричных функций разомкнутых систем. Таким образом, синтез регулятора K, удовлетворяющего некоторым требованиям для замкнутой системы (рис.5) может быть достигнут посредством выбора

d

Y E V

И— G

U

K

Рис. 5. Замкнутая система

К, который соответствующим образом «формирует» сингулярные числа разомкнутой системы (рис. 6). Более подробно с

G

K

Рис. 6. Разомкнутая система

методом формирования контура в многомерном случае можно ознакомиться в работе [17].

Для того, чтобы проиллюстрировать отношение между общими целями синтеза замкнутой системы и требованиями к сингулярным числам разомкнутой системы будем рассматривать четыре общих цели синтеза и покажем, что каждая

цель может быть аппроксимирована в определенном частотном диапазоне посредством сингулярнх значений разомкнутой системы.

В последующих выкладках нам понадобятся следующие соотношения:

а(А) = 1/а(А-1), а(АБ) ^ а (А) а (Б), а (А + Б) ^ а(А) + а(Б), а(А + Б) ^ а(А) — а (Б).

По определению,

а(А) = а(АИи)) < НА1и

для всех ш.

Приведем аппроксимацию максимальных сингулярных значений передаточной функции замкнутой системы (в соответствующем диапазоне частот) сингулярными значениями передаточных функций разомкнутой системы.

1) Максимальные сингулярные значения функции чувствительности (I — ОК)-1. Минимизация а((1 — ОК)-1) уменьшает влияние воздействия возмущения й на выход объекта У + й. Справедливо следующее неравенство

(3'1} 1 1 1 а((1 — ОК) ) = а(1 — ОК)) ^ а(ОК) — 1 - а(ОК)

для частот, при которых выполняется соотношение а(ОК) » 1.

2) Максимальные сингулярные значения передаточной функции замкнутой системы К(I — ОК)-1 от возмущения й к управлению и. Она характеризует робастность

ОТНОСИТеЛЬНО АДДИТИВНОЙ неопределенности НОМИНШТЬ"

ного объекта. Минимизация а (К (I — ОК )-1) приводит к увеличению запаса робастой устойчивости при аддитивной неопределенности. Мы также имеем

(3.2) а(К(I — ок)-1) < а{а(К()К) - а(К)

Анализ и синтез систем управления для частот, при которых —(ОК) ^ 1.

3) Максимальные сингулярные значения функции дополнительной чувствительности ОК(I — ОК)-1. Минимизация —(ОК(I — ОК)-1) уменьшает влияние возмущения на выходе объекта й на выход объекта У, а также максимизирует робастную устойчивость к мультипликативному возмущению на выходе объекта. Справедливы неравенства

(3.3) —(ОК(I — ОК)-1) < а({ОК1-1) — 1 - а(ОК)

для частот, при которых а(ОК) ^ 1.

4) Максимальные сингулярные значения передаточной функции (I — ОК)-1О замкнутой системы. Уменьшение влияния возмущений на входе объекта V на его выход У обеспечивается минимизацией —((I — ОК)-1О). Относительно разомкнутой системы мы получаем

(3.4) —((I — ОК)-1О) = —(((ОК)-1 — I)-1(ОК)-1О) -

- —(К-1) = -К),

а(К)

для частот, при которых —(ОК) ^ 1. К предполагается обратимой и квадратной.

В каждом из вышеописанных случаев мы аппроксимировали критерий для замкнутой системы условием на сингулярные числа О и К над соответствующим диапазоном частот. Первый и четвертый случаи являются стандартными критериями качества, в то время как второй и третий случаи являются целями робастной устойчивости. Анализируя (3.1)—(3.4), можно констатировать, что требования хорошего качества для разомкнутой системы (—(ОК),—(К) большие) вступают в противоречие с требованиями робастной устойчивости (—(ОК),—(К) малые), демонстрируя хорошо известный компромисс между качеством и робастной устойчивостью. Таким образом, мы можем достигнуть приемлемого компромисса: так как качество обычно важно на низкой частоте, мы

задаемся тем фактом, что — (ОК) ^ 1 (то есть —(ОК) ^ 1 большое) для всех частот ш £ (0,шь) , и, так как робастная устойчивость обычно более важна на высоких частотах, мы полагаем, что —(ОК) ^ 1 (другими словами, что — (ОК) мало) для всех частот ш £ (шц, ж). Величины шь и шц {шь < шц) выбираются для определения соответствующего частотного диапазона для вышеуказанных целей.

Рис. 7. Формирование сингулярных чисел разомкнутой

системы

На рис. 7 графически проиллюстрировано, как требования к качеству замкнутой системы ограничивают поведение сингулярных чисел разомкнутой системы при синтезе. Разработчик должен выбирать К так, чтобы —(ОК) и —(ОК) принадлежало соответствующим областям. Это значит, что —(ОК) > Ь(ш) для всех ш £ (0,шь) и — (ОК) < и(ш) для всех ш £ (шц, ж). Возможно в дальнейшем необходимо будет настраивать —(К) к (0,шь) а —(К) к (шц, ж) для того, чтобы удовлетворить целям 2) и 4), соответственно.

Однако этот подход (синтезировать свойства замкнутой системы по разомкнутой) не гарантирует внутренней устойчивости. Для систем с одним входом и одним выходом в работе [7] было показано, что в общем случае устойчивость замкнутой системы зависит от соотношения коэффициента усиления (амплитуды) и фазы разомкнутой системы около ча-

стоты среза QGK| = 1), и, в частности, скорость перехода от большого коэффициента к малому коэффициенту в зависимости от частоты ограничена посредством требования фазы. Это ограничение приводит к тому, что на рис. 7 диапазон частот не может быть выбран произвольно малым и

можно показать, что для практического синтеза максимальный наклон не должен превышать 40 dB/dec. Таким образом, процедура формирования контура дополняется ограничениями на устойчивость.

В работе [17] соотношение (коэффициент усиления/фаза) было расширено на многомерные системы и было показано, что похожие ограничения существуют в терминах убывания величины собственных значений (не сингулярных чисел) матрицы GK, обозначаемых \i(GK), в области частоты среза. Следовательно, формирование контура для многомерных систем также дополняется требованием внутренней устойчивости, и невозможно выбирать параметры L, U, шь, ши на рис. 7 без соответствующих ограничений на обеспечение устойчивости. Данная «классическая» процедура формирования контура является поэтому особенно запутанной в многомерном случае, потому что разработчику требуется манипулировать с a(GK) и a(GK) для того, чтобы достичь желаемой формы, в то же время ограничивая скорость убывания собственных значений Xi(GK) для обеспечения внутренней устойчивости замкнутых систем. Более того, заметим, что эти требования являются даже более ограничивающими, если номинальный объект имеет полюса в правой полуплоскости.

Подход к формированию контура, излагаемый в этом разделе, является проще с точки зрения разработчика и похож на метод Loop Transfer Recovery (LTR), применяемый при синтезе LQG регуляторов [30] и [16]: разработчик определяет желаемую форму контура (на этой стадии игнорируя рассмотрение устойчивости), и затем «сформированный» объект компенсируется посредством регулятора, используя нормализованную взаимно простую факторизацию. В этом случае гарантированные свойства устойчивости обеспечивают внутреннюю устойчивость.

Управление большими системами. Выпуск 19

3.1. ПРОЦЕДУРА СИНТЕЗА

В данном разделе мы изложим основные этапы процедуры синтеза, которая была сформулирована выше. Цель этого подхода — объединить простой компромате (качество/робастность), получаемый с помощью формирования контура с гарантированными свойствами устойчивости с помощью подхода Иж синтеза. Синтез регуляторов с использованием Иж процедуры формирования контура, предложенной Д. МакФарлейпом и К. Гловером, является эффективным методом синтеза робастных регуляторов и успешно применяется для решения различных задач управления [35]. В этой методике разработчик формирует объект с предкомпеттсато-ром и посткомпенсатором как показано на рис. 9

Рис. 8. Замкнутая система с предкомпенсатором и посткомпенсатором

Желаемая форма контура (loop shape) достигается, если Нж норма матрицы передаточных функций от возмущений di и d2 к выходам Zi и Z2 минимизируется по всем стабилизирующим регуляторам Кж для того, чтобы получить желаемую величину Y'.

(3.5) 7

т * ^ 21

(І2 22

' кж '

I

(I - с3кж)-1 [ а3 I ]

>

где С3 — «взвешенный» объект, Кж — регулятор. Величина, обратная 7, называется диапазоном робастной устойчивости е. Область робастной устойчивости е может принимать значения между 0 и 1. Кроме того, величина е является индикатором, характеризующим степень достижения задаваемых

е

вают несовместимость требований к формированию контура замкнутой системы, т.е. они не могут выполняться одновременно. В этом случае разработчик должен переформировать разомкнутый объект.

Модель неопределенности, используемая в этом методе, является неопределенностью взаимно простых факторов. Это не требует специального знания неопределенности как таковой и охватывает области как низких, так и высоких частот для возмущающего сигнала. Более того, реальный и номинальный объекты не должны иметь одно и тоже число полюсов и нулей в правой полуплоскости.

Можно выделить следующие этапы процедуры синтеза с помощью метода формирования контура:

1) Формирование контура. Выбирается предкомпенсатор

и(или) посткомпенсатор «формируются» сингулярные числа номинального объекта для того, чтобы получить желаемую форму разомкнутой системы. Номинальный объект С и «формирующие функции» Wl и комбинируются для того, чтобы получить «сформированный» объект в виде С3 = Ш2СШ\ (см. рис. 9). Предполагается, что и Ш2 такие, что С3 не содержит

скрытых неустойчивых мод.

2) Оценка совместимости требований к формированию контура.

СО

ОО

Решается задача робастной стабилизации для объекта О 3, и вычисляется оптимальный запас устойчивости єтах. Для этого мини мизируется Иж норма передаточной функции замкнутой системы

Т

по всем стабилизирующим регу-

д.1 г!

ляторам Кж для получения оптимальной цены

В ВИД6

К0

I

(I - с3кж)-1 [ а3 I ]

Если єтах ^ 1 (обычно єтах< 0.2), то возвращаемся к шагу 1 и настраиваем Wl и

• Выбира ем є ^ єтах. При выбран ном є синтезируем Кє регулятор, который робастно стабилизирует нормализованную взаимно простую факторизацию объекта С3 = М-1 N 3 с областью устойчивости є , используя подход, описанный в главе 4 книги [36] (см. рис. 10).

3) Окончательный регулятор К конструируется комбинацией регулятора и формирующих передаточных функций Wl, так что (см. рис. 11)

К = WlKжW2.

со

Рис. 9. Сформированный объект

Теоретическим базисом для Иж формирования контура является то, что Кж не модифицирует желаемую форму контура существенным образом на низких и высоких частотах,

єтах

[51].

Рис. 10. Иж регулятор

Рис. 11. Окончательный регулятор

Решающую роль в процедуре синтеза играет способ нахождения весовых матриц (предкомпенсатора Wl и посткомпенсатора Форма весов определяется спецификациями

разработки замкнутого контура. Главные критерии, которым надо следовать — это высокий коэффициент усиления на низких частотах, такой, чтобы достигалось уменьшение влияний возмущений на входе и выходе объекта; малый коэффициент усиления на высоких частотах для парирования шума, а также плавный переход вокруг частоты среза контура. То есть коэффициент усиления контура не должен убывать быстрее, чем 20 дБ/декаду, для того, чтобы была желаемая робастная устойчивость, запасы по амплитуде и фазе, перерегулированию и затуханию [43]. Быстрое время стабилизации может быть достигнуто с высокой контурной частотой среда и хорошим е. Высокий коэффициент усиления на низких частотах

может быть достигнут с помощью пропорциональных и интегральных фильтров, находящихся в предкомпенсаторе Низкий коэффициент усиления на высоких частотах может быть реализован с помощью низкополосных фильтров, расположенных в посткомпенсаторе Фильтры упреждения-

запаздывания, расположенные в могут обеспечить глад-

кий переход вокруг частоты среза, если это необходимо.

В практических приложениях перед выполнением процедуры формирования контура производится масштабирование номинального объекта. Масштабируются входы и выходы номинального объекта Опот с помощью пред- и постмасштабирующих матриц 51 и Б2 для того, чтобы получить масштабированный объект О = Б2ОпотБ\. Масштабирование выполняется для того, чтобы каждому входу и выходу придать одинаковое значение в МИМО системе.

Рассмотрим некоторые из подходов к синтезу многомерного робастного ПИД регулятора, которые используют основные идеи робастной Иж теории управления и метода формирования контура.

3.2. ПОДХОД, ОСНОВАННЫЙ НА РЕШЕНИИ БИЛИНЕЙНЫХ МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ

В работе [19] предлагается парадигма синтеза регуляторов фиксированной структуры и фиксированного порядка с использованием Иж методов формирования контура. Похожая работа опубликована в диссертации [37]. Однако там она была сформулирована с использованием модифицированной расширенной проблемы Нехари, в отличие от подхода ВМ1 (билинейных матричных неравенств), который использован в этой статье. Более того, в [37] предкомпенсатор Ж- в Иж методах формирования контура выбирается диагональной фиксированной структуры, в рассматриваемой же работе предполагается, что Ж- и Ж-1 являются матрицами из КИЖ.

3.2.1. Предварительные сведения и обозначения

Через К обозначим поле действительных чисел, через М+

— множество положительных чисел. Будем обозначать через матрицу

Я Б * К

матрицу

Я Б

Б* К

Лемма 3.1. (Лемма о вещественной ограниченности)

Дана, передаточная функция Т(в) с реализацией Т(в) = С(в1 — А)-1 В + Б. Следующие утверждения эквивалентны:

1) \\С(в1 — А)-1 В + Б||го> < 7 и матрица, А устойчива.

2) Существует симметричная положительно определенная матрица, X, удовлетворяющая соотношению

ХА + А*Х ХВ С *

—^I О*

* —^I

< 0.

3.2.2. Структура, регулятора,

Существуют несколько структур ПИД регуляторов, используемых на практике. В этом разделе предполагается следующая структура

, N кг.. кг

(3.6) КрШ, (в) = кр, +

8 Т + Г

где к р. — пропорциональный, кг,, — интегральный и кг, —

дифференциальный коэффициенты ПИД регулятора.

Для каждого ПИД регулятора существуют 3т2 + 1 параметров, которые надо построить для объекта с т входами и т выходами (объект С предлагается для простоты квадратным) .

Минимальную реализацию ПИД регулятора (3.6) можно

представить в виде

, „ (кг.. — кг..т2)8 + кр.т

(3.7) КрШ,. (8) = и*-^,±-------. + (р + г т) =

.8 + Кр. + кр

82 + Т8

Управление большими системами. Выпуск 19 Тогда

(3.8) Kpid (s) =

Kd11 S+Kl11

S2 +Ts ' Kpii

KDml S+KIml . ^

- S2+TS ' KPm1

KD1m S + Kl1m +

S2 +T S ' KP1m

D

s+Ki

S2+TS

+ Kpm

Kpid (s) имеет следующее представление

(3.9)

где

Dc = Kp =

Bi = Kl =

т

n Bd Bc2

= Dc + + ,

s s + т

1 K 1 Kp1 P 1m

Kp 1 • • m1 Kpmm

г Ki11 .. Kl1m 1

T T

Ki л Im1 L T Klmm T -1

Bd = Kd - — = т

—Di -

Kd 1 —

Dm1

v' Kii

KDl----------LLm

D1m T

Kd —

J-y mm

Предположим, что rank Bci = m, тогда минимальная реализация Kpid (s) задается как

0mxm Bd

(3.10) Kpid (s) = Tlmxm Bc2

_ Imxm Imxm Dc

Ac Bc

Cc Dc

Приведенная минимальная реализация иногда называется реализацией Гильберта. Заметим, что Сс является постоянной матрицей для всех ПИД регуляторов фиксированной структуры при их минимальной реализации. Если требуется синтез многоконтурной структуры ПИД регуляторов, то матрицы Вс1, Вс2 и Ос должны выбираться диагональными матрицами.

Ki .

Im1

I

T

T

8.2.8. Предлагаемая постановка задачи

В этом разделе приведена предложенная постановка задачи синтеза ПИД регулятора в свете подхода Ио формирования контура. Основная цель состяла в том, чтобы сохранить все парадигмы Ио формирования контура, но в результате получить ПИД регулятор.

Напомним, что при синтезе регуляторов с использованием Ио процедуры формирования контура разработчик формирует объект С3 = с предкомпенсатором и пост-

компенсатором Ш2, как показано на рис. 8.

Желаемая форма контура достигается, если Ио норма матричных передаточных функций от возмущений dl и d2 к выходам и х2 минимизируется по всем стабилизирующим регуляторам Ко чтобы получить желаемую величину 7:

(3.11) 7 = Т * _ ^1

в 2 22

К

I

(I - с3Ко)-1 [ о3 I ]

Іарі,

где С3 — «взвешенный» объект, Ко — регулятор.

Новая постановка, предложенная в данной работе, показала. тта. рис. 12.

Рис. 12. Новая постановка задачи

ОО

ОС

В этой постановке регулятор имеет конкретную структуру

Ко = W-1KpID,

где W1 Є RИо,W-1 Є ЕИо, и Кр^ является ПИД регулятором, как он определен в предыдущем разделе.

Приведенная структура регулятора Ко будет гарантировать, что окончательный регулятор будет иметь желаемую ПИД структуру, так как

К = WlKоW2 = КрШ W2.

Заметим, что окончательный регулятор является ПИД регулятором в соединении с посткомпенсатором W2■ Посткомпенсатор используется для парирования высокочастотного шума, что является общей практикой в реальных приложениях. Если измерения свободны от шума, то окончательный регулятор будет простым ПИД регулятором, и матрица W2 может быть выбран единичной.

Хотя Ко является структурированным, он сохраняет все качества робастности и гарантии качества регулятора по методу Ио формирования контура так долго, как достигается удовлетворительное є. Более того, сокращение WlW-1 не создает никаких проблем в терминах внутренней устойчивости и робастности замкнутого контура, так как

• обе W1 Є RИо,W-1 Є RИо, поэтому они не имеют скрытых мод, и при сокращении ничего не теряется,

• Wl не имеет неопределенности, хотя объект неопределенный. Напомним, что Wl не является частью физического объекта.

Таким образом, ПИД регулятор, синтезированный с использованием предыдущей постановки, будет иметь робастность и гарантии качества регулятора, сформированного по принципу Ио формирования контура при условии получения

є

Задача синтеза может быть представлена как задача оптимизации следующим образом:

(3.12)

шт

віаЬКрі в

Т

ві

в-2

21

22

зо

что эквивалентно

шт 7 =

stabK.pi в

= шіп

stabKpI в

(I — W2GKpID) 1 [ ^2СРр1В I ]

1

I

оо

Минимизация 7 эквивалентна максимизации области робастной устойчивости е по всем стабилизирующим регуляторам. Оптимизация в (3.12) не является простой задачей, так как эта задача не выпукла по Кр^р- Однако ее решение может быть получено, если оптимизационная задача ставится в пространстве состояний с использованием матричных неравенств.

3.2-4- Решение оптимизационной задачи

Новая постановка может быть преобразована в Нформулировку, как показано на рис. 13. Весовые функции ш Ш—1

е

качества замкнутой системы определяется с помощью Кр^р и С другой стороны, влияет на контур обратной свя-

зи через Кр1р, так как параметры Кр^р формируются в соответствии со взвешенным объектом С3, который включает также и Шъ

Имея соответствующие реализации в пространстве состояний каждой передаточной функции на рис. 13, можно получить реализацию в пространстве состояний передаточной

Рис. 13. Нж-формулировка задачи функции от возмущений ж ^2 к выходам 21 И 22

(3-13) Т ь

АСІ ВСІ

61 62 21 —> 22 Всі Осі

Г Аі 0 ВіС С ВіОсС 0 ВіБс

0 Аі 0 0 Ві 0

0 0 Ас ВсС 0 Вс

0 ВСі ВС2 А + ВБсС ВБі ВБс

Сі 0 С>1 С с ООсС 0 Г>і Бс

_ 0 0 0 С 0 I

где

& 8(в) = Ш2С =

А в

С Б

Фі (в) = ф-і(в) =

Ас Вс

Сс \ Аі Бс Ві 1

І_ Сі \ Аі Бі \ Ві 1

Сі О і

Полученная реализация уже является выпуклой в пространстве параметров. Используя лемму о вещественной ограниченности, оптимизационная задача (3.12) может быть представлена в пространстве состояний в терминах матричных неравенств в виде

(3.14) mm y

X,Ac,Bc,Dc

f XAcl + A*dX XBci C*i \

при условии * -yI Dci* < 0,

\ * * -yI /

X> 0.

Сформулированная оптимизационная постановка пред-сталяет собой задачу решения билинейных матричных нера-

X

лой в пространстве параметров Ac,Bc, Dc, но бивыпуклой по всем параметрам вместе. Хотя ясно, как найти по крайней мере один локальный минимум, но в общем случае глобальная оптимизация является достаточно трудной задачей. В литературе существуют несколько описаний методов решения билинейных матричных неравенств [6], [22]. Большинство из этих методов находятся на стадии своего развития и пока не могут быть легко применены к решению практических задач. Простой и надежный путь получить ответ на оптимизационную задачу (3.14) заключается в решении ее итерационным путем, похожим на D-K итерации. В этом методе локальное решение билинейных матричных неравенств ищется альтернативной минимизацией оптимальной цены y ® соответствии с фиксированными параметрами регулятора и оптимизации по X

его реализации можно воспользоваться методом внутренней точки. Главным же недостатком является то, что этот подход не гарантирует сходимости к стационарной точке вследствие негладкости функции [22]. Однако опыт показывает, что на практике данный метод работает вполне удовлетворительно.

ПИД регулятор, построенный по методике формирования контура, может быть синтезирован следующим образом:

1) Производим масштабирование номинального объекта G.

Задаваясь и находим первоначальный ПИД

регулятор, который стабилизирует замкнутую систему. Получаем реализацию в пространстве состояний для первоначального ПИД регулятора АСо ,ВСо ,СС,ОС0 как показано в разделе 3.2.2. Вычисляем первоначальное значение критерия качества

Т

^1

^2

ъ-

Важно, чтобы первоначальное значение критерия качества ^0 было не очень большим. Об означаем 0 = !о,ъ = 0.

2) і := і + 1.

ЗО

А

Сі-1

В

Сі-1

Бс.-1 И 7.^-1 ; вычисляем

Ас1, Вс1, Сс1, Бс1, используя (3.13), и решаем следующую задачу минимизации линейных матричных неравенств относительно Хс

(3.15)

ХіАсі + А*с1Х,

ХіВсі

-1І

С

сі

Осі * -1І

< 0, Хі > 0.

Получаем положительно определенную матрицу, удовлетворяющую условию на Иж норму замкнутой системы для Кр1£>—1- Так как решение задачи не единственно, алгоритм может сходиться к незначительно отличающимся минимумам для той же самой начальной точки каждый раз, когда он запускается. Существует п х (п + 1)/2 определяемых переменных, которые надо определить в задаче для замкнутого контура с п состояниями. Этот шаг составляет главную вычислительную нагрузку процесса оптимизации.

4) Задаваясь Хі, решаем следующую задачу минимизации

с линейными матричными неравенствами:

(3.16)

шт ”, -

Ас, Вс, -

при условии

ХіА

СІ

+ А*ы Хі

ХіВсі

-1І

С*а

Осі * -1І .

< 0.

Если существует решение минимизационной задачи с ограничениями в виде линейных матричных неравенств, переходим к шагу 2. Если решения вышеобозначенной задачи не существует, переходим к следующему шагу. Выходами задачи оптимизации являются Ас., Вс., Ос., которые описывают г-й ПИД регулятор и 7^. На этом шаге для объекта размерности т существуют 2 х т2 + 2 переменных, которые надо найти.

5) Окончательные значения т, Кр, К1, Ко могут быть получены из Ас.,Вс.,Ос., используя уравнение (3.9). Далее параметры ПИД регулятора вычисляются непосредственно из уравнения (3.7).

Замечание 3.1. Минимальное значение величины 7на шаге 4 в некоторрых случаях может, быть очень консервативным, так как величина X^ является фиксированной во время минимизации (3.16). Заметим, что настоящее значение критерия качества достигалось как^а., следовательно имеет мест,о следующее соотношение:

Т

йі

д.2

^2

и разница между 7а. и может, быть большой. Несмотря

на, то, что всегда, имеет, мест,о неравенство

!зг <!зг, г>з, не обязательно имеет, мест,о неравенство

1аг <1аг, %>3.

СО

Следовательно,алгоритм может, сходиться к величине 7а, которая не является лучшим значением критерия качества, достигаемым в процессе оптимизации. Однако эта проблема может, быть легко преодолена, так как можно запоминать все выходы процесса оптимизации на, каждом шаге.

Замечание 3.2. Алгоритм, описанный выше, является нисходящим алгоритмом в том смысле, что монотонно не возрастает от і, и минимальное значение ”/3і, полученное на шаге 4 меньше, чем ^зі-1 ■ Однако описанный выше алгоритм не является градиентным для того, чтобы сходиться к локальному или глобальному минимуму [5]. Гарантируется только свойство монотонности.

Замечание 3.3. Предложенным подход не ограничивается ПИД регуляторами. Вместо Крю может, быть выбран регулятор другой фиксированной структуры и порядка.

3.2.5. Выбор начального ПИД регулятора

Очень важным моментом алгоритма является выбор первоначального стабилизирующего регулятора. Одним из путей выбора первоначального ПИД регулятора является проверка весов предкомпенсатора В общем случае, достаточно расположить передаточные функции первого и второго порядков на диагонали Нетрудно преобразовать эти передаточные функции к ПИ/ПИД передаточным функциям. Если ПИД коэффициенты весов известны, начальный ПИД регулятор может быть выбран ПИД регулятором с коэффициентом, меньшим, чем коэффициенты весов предкомпенсатора

3.3. ПИД-АППРОКСИМАЦИЯ НА ОСНОВЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД МАКЛОРЕНА

В работе [47] предлагается синтез ПИД регулятора производить в два этапа. На первом этапе синтезируется регулятор полного порядка. Он определяется традиционным подходом на основе метода формированию контура. Далее производится редуцирование регулятора полного порядка до ПИД структуры. Метод ПИД аппроксимации основан на разложении в ряд Маклорена передаточной функции регулятора, которая представлена в пространстве состояний.

з.3.1. Синтез ПИД регулятора

Известно, что синтез Иж регуляторов, основанный на 2-Риккати подходе, дает регулятор с порядком, равным порядку объекта. Нереально получить ПИД регулятор, который был бы так же робастен и удовлетворял тому же критерию качества, что и регулятор высокого порядка. Возможны две аппроксимации:

• Обеспечивать, по возможности, качество и пожертвовать робастностью.

•

В данной работе предлагается обеспечивать, по возможности, качество и пожертвовать робастностью. Более того, эта аппроксимация проще для получения регулятора, сохраняющего робастность, так как невозможно для ПИД регулятора обеспечить ту же робастность, что и для регулятора высокого порядка.

Рассмотрим регулятор полного порядка, полученный на основе Иж метода формированию контура, который имеет следующую реализацию в пространстве состояний.

Предположим, ЧТО регулятор К Є И^Хт имеет п-мерное внутреннее состояние X, соответствующее входу У и выходу

и, описываемое уравнениями

Пусть ранг матрицы Ак будет равен г. Заметим, что г < п, так как, из-за вхождения ^1 в регулятор, Ак всегда имеет, по крайней мере, одно нулевое собственное значение.

Кратность нулевого собственного значения Ак будет п—к. Мы предполагаем, что существует п — г линейно независимых собственных векторов для этого нулевого собственного значения. Найдем теперь преобразование подобия Т, такое, что

(3.17)

где Лк Є Епхп, Вк Є Епхр, Ок Є Едхп, Бк Є

где А2 невырождена. Это преобразование может быть вычислено, используя декомпозицию собственных чисел матрицы Ак- С этим Т новая реализация в пространстве состояний задается в виде

ж = Ак х + вк у, и = Ск х + Б к у,

где Ак = ТАк Т Бк = Бк и

Вг

В2

Ск = Скт-г = [ Сг С2 ], Вк = ТВк =

ПИД аппроксимация в форме

(3.18) Крю (в) = Ка + Кг/в + КЛв

может быть получена путем рассмотрения первых членов ряда Маклорена для регулятора по переменной в:

в1 0 ' Вг '

0 в 1 А ю В2

К (в) = [ С\ С2 ]

=--------+ (Бк — С2А2 1В2 — С2А2 2В2В + ■ ■ ■

Предполагается в ^ &(А2), что характеризует поведение на низких частотах. Итак, получаем

(3.19) Кр = Бк - С2А-гВ2, Кг = СгВг, КЛ = -С2А-2В2.

Очевидно, что основанный на данной процедуре редукции результирующий ПИД регулятор достигает хорошей апК

можно ожидать, что результирующий ПИД регулятор будет сохранять качество парирования возмущений регулятора высокого порядка.

После процедуры редукции необходимо рассмотреть еле-дующие шаги:

• Вследствие требования минимально-фазовости ПИД регулятора, знаки пропорционального, интегрального и дифференциального коэффициентов должны быть одинаковыми. Таким образом, если знаки соответствующих элементов Кр, К и К^ в (3.19) разные, то мы должны отбросить член, который имеет противоположный знак с элементом в Кг, который является наиболее важным членом.

•

но выполняться с осторожностью. Было определено, что

в

гда дестабилизирует процесс, хотя регулятор высокого порядка работал хорошо. Это происходит редко для одноконтурных процессов, но достаточно распространено для многомерных процессов. Вероятной причиной этого является тот факт, что фазовая информация оригинального регулятора теряется, когда используется идеальный дифференциатор. Таким образом, для дифференциатора должен использоваться фильтр а1+1 •

Когда и как мы должны использовать фильтр? Пусть

Кг (в) 4 К (в) — (Кр + Кг/в),

таким образом, Кг является остатком ПИ части для К (в). Анализируя график сингулярного значения каждого элемента Кг/в, мы можем понять, в каком элементе должен использоваться фильтр, заменяя дифференциатор.

Суммируя сказанное выше, процедура настройки ПИД регулятора выглядит так:

• Выбираем диагональный ПИ компенсатор так, чтобы величина етах была приемлемой (между 0.2 и 0.5). На этом шаге мы пытаемся сделать действие интегратора как можно большим.

• Аппроксимируем результирующий регулятор ПИД регулятором, как указано в процедуре, описанной в этом разделе.

• При необходимости настраиваем задающий фильтр для того, чтобы развязать задающие отклики.

•

творительным, следуем идее настройки одноконтурных ПИ регуляторов для того, чтобы найти другой предком-пенсатор и повторить предыдущий шаг.

В заключение заметим, что ПИД аппроксимация должна быть неудовлетворительна, если части высокого порядка оригинального регулятора являются критичными для устойчивости и робастности системы.

3.3.2. Численный пример

Практическое приложение приведенного подхода к синтезу ПИД регулятора рассматривается в работе [49]. В статье на основе процедуры идентификации получена линейная динамическая модель бойлерной системы у (в) = С(в)ч(в), представленная в виде передаточной функции

(3.20)

0(в) =

Сгг(в) Сг2(в) Огз(в)

О2г(в) О22(в) О23(в)

_ Сзг(в) О32(в) Озз(в)

где

Огг (в) =

(—0.16в2 + 0.052в + 0.0014) • 10

з

в2 + 0.0168в

Ог2(в) =

(3.1в - 0.032) • 10

в^ГоЖбв

з

Огз(в) = °)

О2г(в) =

-0.0395 • 10

з

О22(в) =

2.51 10

з

О2з(в) =

в + 0.018 ’ ' в + 0.0157’

(0.588в2 + 0.2015в + 0.0009) • 10-3

Озг(в) =

О32(в) =

в2 + 0.0352в + 0.000142 (-1.18в + 0.139) • 10-3 в2 + 0.01852в + 0.000091 ’ 0.448в + 0.0011 в2 + 0.0127в + 0.000095 ’

Озз(в)

Анализ и синтез систем управления 0.582в 0.0243

в2 + 0.1076в + 0.00104

Входными переменными и являются: и(1) — расход воды (кг/с), и(2) — расход топлпва(кг/с), и(3) — расход впрыскиваемого пароохладителя (кг/с).

у у(1)

барабане (м), у(2) — давление в барабане (МПа), у(3) — температура пара (град. С).

На первом этапе выполняется синтез робастного регулятора полного порядка с использованием Н^ процедуры формирования контура для нормализованной левой взаимно простой факторизации объекта О (в).

Прежде чем приступить к процедуре формирования контура для бойлерной системы, необходимо провести масштаби-

О(в)

у(1)

у(2) — на 1000, а у(3) остается без изменений. Входная переменная и(1) масштабируется на 10 , а и(2) и и(3) остаются без изменений.

Для масштабированной модели (префильтр) выбирается в виде = Ша где

^ ^данпчной матрицы, т.е. Ш2 = I ■

На первом шаге процедуры формирования контура задается «формирующий» объект Оs = Ш2ОШг- В результате процедуры синтеза получен Н^ регулятор полного порядка, минимальная реализация которого имеет размерность, равную 18. Оптимальный запас робастной устойчивости єтах получен равным 0.3129, что говорит об удовлетворительном выполнении требований к формированию контура. Графики сингулярных значений желаемой разомкнутой системы, определяемых префильтром ^ ^^^^^ильтром Ш2 , и разомкну-

0.00149 0.0133 0.00362

Wa = 0.00016 0.0075 0.002

0.00110 0.0126 -0.0394

'10 + 4 0

Wi = 0 2.5 + ^

0 0

0

той системы с Нж регулятором представлены на рис. 14. Близость графиков, особенно в области частоты среза, указывает на удовлетворительное выполнении проектных требований.

Поведение функции чувствительности 5 и дополнительной функции чувствительности Т замкнутой системы С Нж регулятором показано на рис. 15.

Singular values

10-4 10-3 10-2 10-1 10° 101

Frequency - Rad/Sec (rad/sec)

Рис. Ц■ Сингулярные значения разомкнутой системы с Нж регулятором (пунктирная) и сформированного объекта (сплошная). Ось абсцисс: частота в логарифмическом масштабе, рад/с. Ось ординат/, сингулярные значения, дБ

На втором этапе синтеза ПИД регулятора производилась редукция регулятора полного порядка на основе разложения в ряд Маклорена.

В нашем случае Нж регулятор 18 порядка аппроксимируется ПИД регулятором со следующими коэффициентами:

Кр =

-203.6982 89.1113 0.3113

-2.4423 -5.8581 -0.0001

-12.1076 -11.2533 0.0659

Singular values

40-------------

30

20

-40 - • г

10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102

Frequency - Rad/Sec (rad/sec)

Рис. 15. Сингулярные значения функции S

T

системы с H^ регулятором. Ось абсцисс: частота в логарифмическом масштабе, рад/с. Ось ординат/, сингулярные значения, дБ

Ki =

Kd =

' -2.1518 -2.4762 0.0025

-0.0261 -0.1867 -0.0001

-0.1366 -0.3929 -0.0009

' 6608.8 -5073.0 5.9321

66.255 52.938 0.0059

592.08 582.06 0.0015

В практических приложениях ПИ регулятор применяется зачительно чаще, чем ПИД регулятор. Сингулярные значения разомкнутой системой с ПИ регулятором и Нрегулятором приведены на рис. 16. Из графиков видно, что оба регулятора имеют близкие характеристики в пределах полосы пропускания. В области частоты среза их поведение практически не

Singular values

10-4 10-3 10-2 10-1 100 101

Frequency - Rad/Sec (rad/sec)

Рис. 16. Сингулярные значения разомкнутой системой с ПИ регулятором (сплошная) и H^ регулятором (пунктирная). Ось абсцисс: частота в логарифмическом масштабе, рад/с. Ось ординат/, сингулярные значения, дБ

отличается. Ухудшение характеристик ПИ регулятора проявляется в области высоких частот.

Анализируя графики (рис. 17) максимальных сингуляр-

S

торов, можно констатировать, что до частоты 10-2 рад/с графики практически совпадают. Пик у ПИ регулятора незначительно смещен относительно пика Hрегулятора. В области высоких частот наблюдается ухудшение свойств ПИ регулятора примерно на 5 Дб. Максимальные сингулярные значения функции дополнительной чувствительности для обоих регуляторов не превосходят 10 Дб. Положения пиков у обоих регуляторов практически совпадают. Наблюдается незначительное увеличение величины пика у ПИ регулятора.

Частотный анализ позволяет сделать вывод, что предложенный подход по аппроксимации робастного Hрегулятора ПИ (ПИД) регулятором является достаточно эффективным.

Maximum Singular values

40

30

20

10

п

d

- 0

>

S

-10

-20

-30

-40

10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102

Frequency - Rad/Sec

ST

Нж (пунктирная) и ПИ (сплошная) регуляторов. Ось абсцисс: частота в логарифмическом масштабе, рад/с. Ось ординат: сингулярные значения, дБ

34. НАСТРОЙКА ПИД РЕГУЛЯТОРА ПУТЕМ ПРЯМОЙ МИНИМИЗАЦИИ Нж НОРМЫ

В работе [40] предлагается прямой метод определения ПИД регулятора.

Рис. 18. Открытый объект

Для объекта Р с р управляющими входами и, р измеряв-мыми выходами е внешними входами ш и желаемым выходом

2 (рис. 18), стандартный многоконтурный ПИД закон управления, включающий статическое развязывающее устройство

на входе объекта (или на выходе регулятора), может быть описан так:

(3.21)

■ 1 12 ■ ■ ЇЇір ' Г Уі(в) 0 0

21 1 ■ ЇЇ2р 0 ВД ■ 0

. ЇЇрІ ЇЇр2 ■ 1 0 0 ■ Ур(8) _

ГД6

(3.22)

втіі і+т

является стандартным ПИД регулятором. Целью синтеза является определение параметрического множества 0, на котором норма передаточной функции Т\(Р,К(0)) от внешнего входа ш к выходу х минимальна:

(3.23)

0 = а^1П \\Ъ(Р, К(0))||с

Так как Нж норма передаточной функции \\Г\(Р,К(0))||те может быть вычислена с высокой точностью и достаточно быстро методами бисекции [8], [9],

задача оптимизации 3.23 может быть решена последовательно. Вычисленная норма передаточной функции Т\(Р,К(0)) может быть минимизирована в соответствии с параметрами регулятора. Так как Н^ норма определена только для устойчивых объектов, оптимизация должна учитывать следующее ограничение:

(3.24)

Ее(\тах(Гі(Р,К(0))) < 0,

где Хтах — собственное значение с максимальной вещественной частью. Задача оптимизации с целевой функцией (3.23) и ограничением (3.24) может быть решена с помощью последовательного квадратичного программирования (БС^Р) [20]. С другой стороны, ограничение может быть включено в целевую функцию, и задача формулируется так:

(3.25) 0 = атЕЫ {\\Ъ(Р,К(0))||с

+ а шах(Ее(Хтах), 0)} .

Здесь а — достаточно большое положительное число, и норма неустойчивой системы устанавливается фиксированным большим положительным числом. Эта модифицированная целевая функция позволяет получить большую робастность, но решение оптимизационной задачи медленнее по сравнению с симплекс-методом [42].

Настраиваемые константы КРі, Т., Т^., N и ПИД регулятора являются естественным выбором для параметров оптимизации. Однако, числовые эксперименты показали, что сходимость достаточно медленная, и более быстрые результаты могут быть получены посредством параметризации ПИД регулятора в пространстве состояний:

(3.26)

о о ' КР. "

X і — 4? 1 о X + Ті.

_ ІЇКрг

(3.27)

Щ — [1 — Щ/Т4.] X + [Кр. + МгКРі] еі

где параметрами оптимизации будут —Щ/Т^., Кр. /Т^, НіКРі, КРі + ЩКР. и іїіу.

е

Литература

[1] БАЛАНДИН Д.В., КОГАН М.М. Синтез регуляторов на основе решения линейных матричных уравнений и алгоритма поиска взаимнообратных матриц / Автоматика и телемеханика. 2005. №1. С. 82 - 99.

[2] БАЛАНДИН Д.В., КОГАН М.М. Синтез за,конов управления на основе линейных матричных неравенств. М.: Физматлит, 2007. - 280 с.

[3] ГУДВИЕН Г.К., ТРЕБЕ С.Ф., САМ ГАЛО М.Э. Проек-

тирование систем управления. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004. 911 с.

[4] РОТАЧ В.Я. Теория автоматическоого управления. М.: Издательство МЭИ, 2004. - 400 с.

[5] ANDERSON B.D.O., LIU Y. Controller reduction: concepts and approaches // IEEE Trans. Automat. Control. Vol. 34. 1989. R 802 - 812.

[6] BAO .!.. FORBES J.F., MCLELLAN P.J. Robust multiloop PID controller design: a successive semidefinite programming approach // Industrial and Engineering Chemistry Research. Vol. 38(9). 1999. P. 3407 - 3419.

[7] BODE H.W. Network Analysis and Feedback Amplifier Design. Princeton, N.J.: Van Nostrand, 1945. - 235 p.

[8] BOYD S., BALAKRISHNAN V., KABAMBA P. A bisection methods for computing the H^-norm of a transfer function matrix and related problems // Math. Control Signals Systems. Vol. 2. 1989. Springer-Verlag, New York. P. 207

- 219.

[9] BRUINSMA N. A., STEINBUCH M. A fast algorithm to compute the H^-norm of a transfer function matrix // Systems and Control Letters. Vol. 14. 1990. P. 287 - 293.

[10J CHEN B.S., CHIANG Y. M., LEE C.H. A genetic approach to mixed H2/Hoptimal PID control // IEEE Control System Magazine. Vol. 15. 1995. P. 51 - 56.

[11] COLLINS E.G., SKELTON R.E. Constrained variance design using state covariance assignment // Proc. 1986 Amer. Contr. Conf. Seattle, WA, June 1986. P. 51 - 56.

[12] COLLINS E.G., SKELTON R.E. A theory of state covariance assignment for discrete systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. AC-32. 1987. No. 1. P. 32 - 41.

[13] DESBIANS A., PAMERLEAU A., HODOUIN D. Frequency based tuning of SISO controllers for two-by-two processes // IEEE Proc. on Control and Applications. Vol. 143. 1996. P. 49 - 56.

[14] DONG J.W., BROSILOW G.B. Design of robust multivariable PID controllers via IMC // Proc. American Control Conference. Albuquerque, New Mexico. 1997. P. 3380 - 3384.

[15] DOYLE J.C., GLOVER К., KHARGONEKAR P.P., FRANCIS В.A. State-space solutions to standard H2 and Hcontrol problems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 34. 1989. No. 8. P. 831 - 847.

[16] DOYLE J.C., STEIN G. Robustness with observers // IEEE Trans, on AC. Vol. AC-24. 1979. P. 607 - 611.

[17] DOYLE J.C., STEIN G. Multivatiable feedback design: concepts for a classical/morden synthesis // IEEE Trans, on AC. Vol. AC-26. 1981. No. 1. P. 4 - 16.

[18] FRANCIS B.A. A course in H^ control theory //in Lecture Notes Contr. Inform. Sci. Vol. 88. New York: Springer-Verlag, 1987.

[19] GENC A.U. A state-space algorithms for designing h<x loop shaping PID controllers // http://www-control.eng.cam.ac.uk/aug20/hinf_pid.pdf

[20] GILL P.E., MURRAY W., WRIGHT M.H. Practical optimization. London: Academic Press, 1981. P. 176 - 180.

[21] GLOVER K., MUSTAFA D. Derivation of the maximum entropy H^-controller and a state-space formula for its entropy Ц Int. J. Contr. Vol. 50. 1989. No. 3. P. 899 - 916.

[22] GOH K.C., TURAN I... SAFONOV M.G., PAPAVASSILO-POULOS G.P., LY J.H. Biaffine matrix inequality properties and computational methods, j j In Proceedings of the American Control Conference. June 1994. P. 850 - 855.

[23] GRIMBLE M.J. H^ controllers with a PID structure j j Trans. ASMEJ. Dynam. Syst. Meas. Control. Vol. 112. 1990. P. 325 - 330.

[24] HO W.K., HANG C.C., CAO L.S. Tuning of PID controllers based on gain and phase margin specifications // Automatica. Vol. 31. 1995. No. 3. P. 497 - 502.

[25] HSIEH C., SKELTON R.E. All covariance controllers for linear discrete-time systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 35. 1990. No. 8. P. 908 - 915.

[26] IWASAKI Т., SKELTON R.E. All controllers for the general H^ control problem: LMI existence conditions and state space formulas jj Automatica. Vol. 30. 1994, No. 8.

[27] IWASAKI Т., SKELTON R.E. A unified approach to fixed-order controller design via linear matrix inequalities // MPE. Vol. 1. 1995. P. 59 - 75.

[28] JONCKHEERE E.A., SILVERMAN L.M. A new set of invariants for linear systems — Application to reduced order compensator design // IEEE Trans. Automat. Control. Vol. 28. 1983. P. 953 - 964.

[29] KALMAN R. Contributions to the theory of optimal control ii Bol. Soc. Mat. Mex. 1960. No. 5. P. 102 - 199.

[30] KWAKERNAAK H. Minimax frequency domain performance and robustness optimization of linear feedback systems j / IEEE Trans. Automat. Contr. 1985. P. 994 -1004.

[31] KWAKERNAAK II.. SIVAN R. Linear optimal control systems. New York: Wiley, 1972.

[32] LOH A.P., HANG C.C., QUEK G.K., VASNANI V.U. Autotuning of multiloop proportional-integral controller using relay feedback // Ind. Eng. Chem. Res. Vol. 32. 1993. P. 1102

- 1107.

[33] LOH A.P., VASNANI V.U. Describing function matrix for multivariable systems and its use in multiloop PI design // Journal of Process Control. Vol. 4. 1994. P. 115 - 120.

[34] LUYBEN L.WT. Simple method for tuning SISO controllers in multivariable systems // Ind. Eng. Chem. Process Des. Dev. Vol. 25. 1986. P. 654 - 660.

[35] MCFARLANE D.C., GLOVER K. A loop shaping design procedure using H^ synthesis // IEEE Transactions on Automatic Control. Vol. 37. 1992. P. 759 - 769.

[36] MCFARLANE D.C., GLOVER K. Robust controller design using normalized coprime factorization description. Springer-Verlag, 1990.

[37] MIYAMOTO S. Robust control design - A coprime factorization and LMI approach. PhD thesis, University of Cambridge, Department of Engineering, May 1998.

[38] MOORE B.C. Principal component analysis in linear systems: controllability, observability and model reduction // IEEE Trans. Automat. Control. Vol. AC-26. 1981. P. 17 -32.

[39] MORARI M., ZAFIRIOU E. Robust Process Control. Englewood Cliffs NJ.: Prentice-Hall, 1989.

[40] MUSCH H.E., STEINER M. Tuning advanced PID controller via direct H^ minimization //In Proceedings of European Control Conference. Brussel, Belgium. July 1997.

[41] MUSTAFA D., GLOVER K. Controller reduction by Hx-balanced truncation // IEEE Trans. Automat. Control. Vol. 36. 1991. No. 6. P. 668 - 682.

[42] NELDER J.A., MEAD R. A simple method for function minimization jj Computer Journal. Vol. 1, 1964. P. 308 -313.

[43] PAPAGEORGIOU G. Robust control system design: H^ loop shaping and aerospace applications. PhD thesis, University of Cambridge, Department of Engineering, July 1998.

[44] SHIU S.J., HUANG S.H. Sequential design method for multivariable decoupling and multiloop PID controllers // Ind. Eng. Chem. Res. Vol. 37. 1998. P. 107 - 119.

[45] SKELTON R.E., IKEDA M. Covariance controls for linear continuous time systems j j Int. J. Contr. Vol. 49. 1989. No. 5. P. 1773 - 1785.

[46] SKELTON R.E., OLIVEIRA M., HAN J.

System modeling and model reduction / /

http: / / maeweb.ucsd.edu / ~skelton / publications /

han _modelreduction _ bookchap .pdf

[47] TAN W., CHEN Т. Robust controller

design and PID tuning for multivariable processes // http://coblitz.codeen.org:3125/

citeseer .ist .psu.edu / cache / papers/cs / 28407/ http:zSzzSznyquist.ee.ualberta.cazSztchenzSz. zSzpaperszSztan_ajc02.pdf/robust-controller-design-and.pdf

[48] TAN W., LIU J.Z., TARN RK.S. PID tuning based on loop-shaping H^ control // IEEE Proc. on Control and Applications. Vol. 145. 1998. P. 485 - 490.

[49] TAN W., MARQUEZ H.J., CHEN T. Multivariable robust controller design for boiler system // IEEE Transactions on Automatic Control System Technology. Vol. 10. 2002. No. 5. P. 735 - 742.

[50] WANG Q.G., ZOU Q.. LEE Т.Н., BI Q. Autotuning of multivariable PID controllers from decentralized relay feedback // Automatica. Vol. 33. 1997. P. 319 - 330.

[51] ZHOU K., DOYLE J.C. Essentials of robust control. New Jersey: Prentice Hall Inc., 1998.

[52] ZHUANG М., ATHERTON D.P. Automatic tuning of optimum PID controllers // IEEE Proc. on Control and Applications. Vol. 140. 1993. P. 216 - 224.

[53] ZHUANG М., ATHERTON D.P. PID controller design for a TITO system // IEEE Proc. on Control and Applications. Vol. 141. 1994. P. Ill - 120.

[54] ZIEGLER J.G., NICHOLS N.B. Optimum settings for automatic controllers // Trans. ASME. Vol. 62. 1942. P. 759

- 768.

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии П.С. Щербаковым