CC BY
67
УДК 681.5.013; 681.514; 681.511.22; 681.516.42; 681.516.74 ББК 32.965.4.32.965.6
СИНТЕЗ АНИЗОТРОПИЙНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ МЕТОДАМИ ВЫПУКЛОЙ ОПТИМИЗАЦИИ И ПОЛУОПРЕДЕЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ1
Чайковский М. М.2
(ФГБУН Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
Представлены постановки и решения задач синтеза анизотро-пийных субоптимальных и 7-оптимальных регуляторов для подавления влияния случайных возмущений с неизвестными распределениями на качество работы системы управления. Рассматривается синтез статической обратной связи по состоянию, регулятора полного порядка по выходу, а также статической обратной связи по выходу. Применение известных линеаризующих замен переменных и процедур овыпукления в задачах синтеза для рассматриваемых частных случаев структуры объекта управления и регулятора позволяет выразить решение задачи через систему выпуклых ограничений, представимую в виде системы линейных матричных неравенств. Анизотропийные субоптималь-ные регуляторы стабилизируют замкнутую систему и сохраняют ее анизотропийную норму ниже заданного порогового значения; 7-оптимальные регуляторы строятся для минимального порогового значения. Разработанный метод синтеза анизотро-пийных регуляторов является новым и удобным для расчетов.
Ключевые слова: дискретные линейные стационарные системы, случайные возмущения, статистическая неопределенность, норма, анизотропия, выпуклая оптимизация, линейные матричные неравенства.
1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №11-08-00714^) и Программы №14 ОЭММПУ РАН.
2 Михаил Михайлович Чайковский, доктор технических наук ([email protected]).
100
Введение
Задачи подавления неизвестных возмущений являются чрезвычайно важными задачами теории управления, неизбежно возникающими при проектировании современных систем управления техническими объектами. Как правило, системы автоматического управления работают в условиях помех, под влиянием неизвестных внешних воздействий, к которым относятся как неизвестные заранее и неизмеряемые возмущения, так и задающие команды, известные в данный момент времени, но неизвестные в будущем. Измеряемые значения сигналов содержат случайные ошибки. Управляющие воздействия могут отрабатываться со случайными погрешностями. Для решения задач подавления возмущений в теории управления применяются разнообразные подходы. Оптимальную (или субоптимальную) задачу подавления возмущений можно сформулировать как задачу минимизации (ограничения) влияния этих возмущений на точность работы системы управления или процессы в системе. Выбор критерия качества оптимизации мотивируется различными предположениями о характере возмущений, действующих на систему. В классической задаче синтеза линейно-квадратичного гауссовского регулятора, являющейся частным случаем более общей задачи Н2-оптимизации, предполагается, что внешнее возмущение представляет собой гауссовский белый шум [6, 19]. В стандартной задаче -оптимизации линейных стационарных систем управления [13] предполагается, что внешнее воздействие представляет собой сигнал, интегрируемый (суммируемый) с квадратом. Однако в случаях, когда реальные внешние воздействия отличаются от номинальных моделей и исходные предположения относительно их свойств, принятые в процедуре синтеза регулятора, нарушаются, качество работы системы управления может значительно ухудшиться.
Анизотропийная теория стохастического робастного управления [2, 3, 29, 34] направлена на преодоление неблагоприятного влияния статистической неопределенности внешних возмуще-
ний, которая рассматривается как различие между неточно известным распределением реального случайного возмущения и распределением его номинальной модели и количественно характеризуется функционалом средней анизотропии [2, 12, 34]. Анизотропийный оптимальный регулятор [35], стабилизирующий замкнутую систему и минимизирующий ее анизотропий-ную норму, проявляет меньший консерватизм, т.е. характеризуется меньшими энергетическими затратами на управление, чем -регулятор, и более эффективен при подавлении коррелированных внешних возмущений с неизвестными распределениями по сравнению с Н2 -регулятором [12, 34]. Анизотропийный оптимальный регулятор является оценивающим; его реализация в пространстве состояний вычисляется из единственного решения системы нелинейных перекрестно-связанных матричных алгебраических уравнений, для решения которой разработан специальный вычислительный алгоритм на основе метода гомотопий [11].
В этой статье вниманию читателя предлагается дальнейшее развитие методики синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов на основе выпуклой оптимизации и полуопределенно-го программирования, предложенной в [7, 8, 32, 33]. В отличие от оптимального, субоптимальный регулятор стабилизирует замкнутую систему и обеспечивает подавление возмущений с качеством не хуже заданного, гарантируя, что анизотропийная норма замкнутой системы не превосходит заданного порогового значения 7. Общая процедура синтеза анизотропийного регулятора заданного порядка сводится к решению неравенства относительно детерминанта положительно определенной матрицы и двух линейных матричных неравенств (ЛМН) относительно взаимно обратных матриц, результирующая задача оптимизации не является выпуклой [8]. С помощью применения стандартных процедур овыпукления (линеаризующих замен переменных и введения дополнительных переменных) результирующие задачи оптимизации можно сделать выпуклыми для ряда частных случаев структуры объекта управления и регулятора, рассмотренных в этой работе. Минимизируя пороговое значение 7, для этих частных слу-
чаев можно наити анизотропииные 7-оптимальные регуляторы из решения задач выпуклой оптимизации. Новый метод синтеза анизотропийных регуляторов, не требующий применения специального вычислительного алгоритма на основе метода гомото-пий, является привлекательным с вычислительной точки зрения и удобным для практических расчетов, позволяет синтезировать анизотропийные регуляторы не только в форме наблюдателя, но и в форме произвольного динамического компенсатора, а также статической обратной связи по состоянию и измеряемому выходу модели объекта управления.
Работа организована следующим образом. В разделе 1 изложена постановка общей задачи синтеза анизотропийного субоп-тимального регулятора. В разделе 2 представлено решение задачи синтеза регулятора для трех частных случаев структуры объекта управления и регулятора: регулятор в виде статической обратной связи по состоянию для объекта, состояние которого измеряется точно; динамический регулятор полного порядка по измеряемому выходу; регулятор в виде статической обратной связи по измеряемому выходу. В разделе 3 рассматривается ряд иллюстративных вычислительных примеров, в одном из которых выполнено сравнение анизотропийных оптимального и 7-оптимального регуляторов. Заключительные замечания даны в разделе 4.
В статье используются обозначения работы [8].
1. Постановка задачи синтеза
Объект управления представлен дискретной линейной стационарной моделью Р(г) с пх-мерным состоянием X, шт-мерным входом возмущения Ш, ши-мерным входом управления и, рг-мерным управляемым выходом 2 и ру-мерным измеряемым выходом У:
Хк+1 А Ви " Хк "
Ар Zk = ^к
Ук Су 0 ик
где размерности всех матриц согласованы, рх ^ , пара мат-
риц (А, Ви) является стабилизируемой, а пара (А, Су) - де-
103
тектируемой. Предполагается, что внешнее возмущение Ж = (Шк)-ж<к<+(х является случайной последовательностью с ограниченным уровнем средней анизотропии а, т.е.
Ж ет := {Ж е ет: А(Ж) < а},
где
П
а(ж )=- /ше1( "ш
— П
— функционал средней анизотропии [12, 34];
Щ = {Ж = (шк)—ж<к<+ж: шк е ЦТ- Л ||Ж\\р < +то} ,
— пространство стационарных в узком смысле последовательностей интегрируемых с квадратом случайных векторов [5];
/ . N \ 1/2
1Ж= N4“ 2¥ТГ е Е|-к12
\ k=—N /
— мощностная норма последовательности случайных векторов Ж = (Шк)—ж<к<+ж [5, 37], которая может быть вычислена через спектральную плотность Б (и) этой последовательности:
11Ж||р =(2- tr Б(и)йи)1/2 .
Рис. 1. Замкнутая система
Требуется найти регулятор К (г), стабилизирующий замкнутую систему (рис. 1) и гарантирующий робастное подавление
104
внешних возмущений с качеством не хуже заданного. Пусть Тгт (г) — матричная передаточная функция замкнутой системы от возмущения Ш к управляемому выходу 2, заданная нижним дробно-линейным преобразованием пары (Р, К) :
\-1
P
Py
(2) Tzw (z) — Fl(P,K ) — Pzw + PzuK (Ipy — PyuK) P yw,
где
(3)
Pzw (z)
A Bw
Cz Dzw
Pzu(z)
A Bu
Cz Dzu
Pyw (z)
A Bw
Cy Dyw
Pyu(z)
A Bu
Cy 0
Tzw (z)
а-Анизотропийная норма передаточной функции
/т_,pz X mw
Ho количественно характеризует возможности замкнутой системы по подавлению внешних возмущений и определяется как наибольшее отношение мощностной нормы выхода этой системы к мощностной норме входа при условии, что средняя анизотропия возмущения не превосходит уровня а [12, 34]:
и II z Нр
la := sup ----------
(4)
| Tz
ШеНа II Ш \№
В [4] показано, что для фиксированной системы Р е НЙхт“ ее а-анизотропийная норма является неубывающей функцией уровня средней анизотропии а, удовлетворяющей неравенству
(5) \\Tzw ||'2 = Щ^гадЦо ^ 1™ lllTzw |||а = \\Tzw
\ | 0 ^ НИ -г
\Ziitw а^+оо
т.е. Н2- и Нж-нормы являются предельными случаями а-анизотропийной нормы при а ^ 0, соответственно.
Общая постановка задачи синтеза анизотропийного субопти-мального регулятора следующая.
Задача 1. Для заданных объекта управления р с моделью в пространстве состояний (1), уровня средней анизотропии а ^ 0 входного возмущения Ш и некоторого желаемого порогового значения ^ > 0 найти закон управления в виде обратной связи
и = К (г)У,
стабилизирующий замкнутую систему и гарантирующий, что ее а-анизотропийная норма не превышает 7, т.е.
(6) III Т™||| а <1.
r^j
2. Решение задачи синтеза
Хк+1 А В ' Хк
Хк С Ф . ™к .
Уравнения замкнутой системы имеют вид
(7) Т^ш (х) :
где Хк Є К”, п ^ пх, а матрицы реализации замкнутой системы (А, В, С, Ф) аффинно зависят от параметров реализации регулятора К.
Для доказательства последующих теорем синтеза, устанавливающих достаточные условия существования анизотропийных субоптимальных регуляторов, нам потребуется вспомогательный результат — модификация частотной теоремы для анизотропий-ной нормы [7, 32], полученная в [8].
Лемма 1. Пусть Тгш Є НЙхт™ — матричная передаточная функция системы с реализацией (7) и р(А) < 1. Анизотро-пийная норма (4) системы Тгш строго ограничена заданным пороговым значением ^ > 0, т.е. |Тгш\\а < 7, если система неравенств
(8) ~ /~-2а
П — (е 2а detФ)1/m'w < 72
5 4 ?п — & і Вт Фт ■
(9) В —Ф-1 0 X 0,
Ф 0 — 1Рг .
(10)
(11)
-Ф
0
0 —ГЛІтп]
А В Ф 2
С
Ат
Вт
—Ф-1
0
Ф >- 0,
Ст
Фт
0
— _ Ф0
0,
П>1
разрешима относительно скалярной переменной ц, вещественных (mw х т,ш)-матрицы Ф и (п х п)-матрицы Ф.
Замечание 1. Неравенство (8) представляет собой выпуклое ограничение относительно вспомогательной переменной Ф. Под-график вогнутой функции (detФ)1/m (т х т)-матрицы Ф = Фт ^ 0 представим в виде пересечения конечного числа конусов второго порядка и, следовательно, в виде ЛМН [9], см. также замечание 1 в [8]. Существуют свободно распространяемые 106
программные пакеты для решения задач выпуклой оптимизации, позволяющие использовать выпуклую функцию — ^е^Ф))1/т (т х т)-матрицы Ф £= 0 не только в качестве целевой функции, но и в качестве ограничения, например, интерфейс YALMIP [26] в сочетании с программой-решателем SeDuMi [31] для систем Matlab и Scilab. В интерфейсе YALMIP функции — ^е^Ф))1/т соответствует команда деотеап, возвращающая среднее геометрическое собственных чисел положительно-определенной матрицы [26].
2.1. СТАТИЧЕСКАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ ПО СОСТОЯНИЮ Сперва рассмотрим случай, когда вектор состояния можно измерить точно и модель объекта управления описывается уравнениями
хк+1 'А Ви Ви' хк
(12) Р(х) : Хк = Сх Оги ^к
Ук і Н 0 0 1 ик
где размерности всех матриц согласованы, рх ^ ти, пара матриц (А, Ви) является стабилизируемой.
Задача 2. Для заданных объекта управления Р с моделью (12), уровня средней анизотропии а ^ 0 внешнего возмущения Ш и некоторого желаемого порогового значения 7 > 0 найти регулятор в форме статической обратной связи по состоянию
(13) ик = Кхк,
стабилизируютий замкнутую систему Тхи (х) с реализацией
(14)
и гарантирующий, что ее а-анизотропийная норма не превышает порогового значения 7, т.е. выполняется неравенство (6).
Следующая теорема дает достаточные условия существования анизотропийного субоптимального регулятора в форме статической обратной связи по состоянию.
Теорема 1. Для заданных а ^ 0, 7 > 0 статический регулятор по состоянию (13), стабилизирующий замкнутую систему (14) (р(А + ВиК) < 1) и гарантирующий выполнение (6),
107
А В А + ВиК Ви,
С Ф С + БгиК Охи
существует, если система неравенств
(15) п - (е-2“ det Ф) 1/тт < ^2,
5 - Ф і * *
(16) Ви, Вхт П- 0 1 * - X 0,
-П * * *
(17) 0 АП + ВиЛ ~п1тт Вт * -П * *
СхП + ДгиЛ Вхт 0 -1Рг _
-< 0,
(18)
П>1
Ф ^ 0, П ^ 0
разрешима относительно скалярной переменной п, вещественных (тт х тт)-матрицы Ф, (пх х их)-матрщы П и (ти х пх)-матрицы Л. Если задача (15)-(18) разрешима, и неизвестные переменные найдены, матрица статического регулятора определяется выражением К = ЛП-1.
Доказательство. Пусть решение задачи (15)-(18) существу-П-1. По определению К
ет. Определим Ф :=
(17) можно переписать в виде
ЛП-1, ЛМН (16),
5 4 гп - Ф і * *
(19) Вт -Ф-1 * X 0,
Вхт 0 1 -
Ф-1 * * *
0 —п1тт * *
АФ- 1 + ВиК Ф-1 Вт -Ф- 1*
_ СхФ- 1 + БхиК Ф-1 Вхт 0 - і
X 0.
Умножая последнее неравенство слева и справа на матрицу
blockdiag(Ф, 1тп, ,1Пх ,1Рг) ^ 0, получим
—Ф * * *
0 —^т,» * *
А + ВиК Бы —Ф-1 *
Сх + ОхиК Охт 0 —1р
Тогда, в силу леммы 1, из (15), (18), (19), (20) следует, что матрица статического регулятора по состоянию К является решением задачи 2 для замкнутой реализации (14), что и требовалось доказать.
(20)
0.
Замечание 2. Нетрудно доказать полную эквивалентность неравенств синтеза (15)-(18) и условий (8)-(10) леммы 1. Однако можно сформулировать и доказать лишь достаточные условия существования регулятора (13), поскольку условия леммы 1 являются лишь достаточными. Это замечание касается также двух последующих теорем синтеза.
Следствие 1. Неравенства (15)-(18) являются не только выпуклыми по Ф и аффинными по П и Л, но также линейными относительно y2. Минимизируя y2 при ограничениях (15)-(18), мы минимизируем y при тех же ограничениях. Обозначим
Y := Y2. Условия теоремы 1 позволяют вычислять наименьшее значение y из решения задачи оптимизации
( y ^ inf
(21) < на множестве Ф, П, Л, п, Y,
[ удовлетворяющих ограничениям (15)-(18).
Если задача выпуклой оптимизации (21) разрешима, матрица усиления статического регулятора по состоянию вычисляется согласно теореме 1.
Анизотропийные регуляторы, получаемые из решений задач оптимизации, аналогичных (21), называются анизотропийными Y-оптимальными регуляторами.
2.2. РЕГУЛЯТОР ПО ВЫХОДУ ПОЛНОГО ПОРЯДКА
Для решения задачи синтеза регулятора по выходу полного порядка в форме динамического компенсатора
Cfc+1 Ac Bc {k
uk Cc Dc yk
с пх-мерным состоянием S _ ({k)-oo<k<+oo можно эффективно применить известную линеаризующую замену переменных, предложенную в [15] и примененную в [30] для решения задач многокритериального управления непрерывными системами с помощью ЛМН.
Для объекта управления (1) и регулятора (22) реализация за-
(22)
K (z):
мкнутой системы Тгш (г) имеет вид (23)
' А В '
С Ф
А + Ви°сСу ВсСу ВиСс Ас Вт + Ви°с°ут Вс°ут
Сх + °Хи ОсСу °гиСс + Оги°сОуШ _
Обозначим в неравенствах (9), (10) леммы 1 П блочного разбиения
Ф12 Ф22
Ф-1. Из
(24)
Ф
Ф
11 Ф12
П
П
11 П?2
П12
П22
и условия
(25)
следует
(26) откуда
ФП = I
— 12их
Ф
ФП1 — Ф
П11 1Пх
П112 0
П,
ПФі — П
с учетом обозначений
Ґп~ Фїї
(27)
Ф1
£Пх
0
Ф?2
П
1
1
П11
П2
1пх
0
Прямым вычислением можно показать, что
(28) ЩФПі
Ф?Пі
ФТПФі
пТФї
П
Ігп.
11
1п
Ф
11
Ключевая линеаризующая замена переменных матриц регулятора определяется следующим образом [15]:
(29) Ас
(30)
(31)
(32)
®с
Сс
Фс
Ф12АсП12 + Ф12ВсСу П11 +
+ Ф11ВиСсП12 + Ф11(А + ВиОсСу )П11, Ф12Вс + Ф11Ви°с,
СсПІ2 + ОсСу П11,
О.
Новые переменные Ас, ®с, Сс, Фс имеют размерности пх хпх, пх х ру, ти х пх и ти х ру соответственно, даже если щ = пх. В [30] отмечено, что если матрицы Ф12 и П12 имеют полный
х
строчный ранг и если матрицы Ас, ®с, Сс, Фс, Пц и Фц известны, всегда можно найти матрицы регулятора Ас, Вс, Сс, ^с, удовлетворяющие (29)-(32). Если матрицы Ф12 и П12 являются квадратными (щ = пх) и обратимыми, то матрицы Ас, Вс, Сс и ^с, удовлетворяющие (29)-(32), единственны. Таким образом, при синтезе реулятора полного порядка отображение, определяемое (29)-(32), биективно [15, 30].
Решение задачи 1 синтеза регулятора полного порядка дано в следующей теореме.
Теорема 2. Для заданных а ^ 0, 7 > 0 динамический регулятор по выходу К полного порядка п£ = пх с реализацией (22), являющийся решением задачи 1, существует, если система неравенств
(33) п - (е 2а detФ)1/m'w <72,
5 - Ф і * * *
(34) Ви + Ви ^С^уи -П11 * *
ф11Ви + ВсОуи — 1Пх —ф11 *
+ Охи ^с&уи 0 0 -1р
(35)
-П11
Іпх
0
АП 11 + БиЄс Ас
С г П11 + Оги Сс
— фп 0
А + Ви ©с Су
Ф11А + ВсСу С г + О ги ©с Су
(36)
П > 7
2
Bw + Ви©с°уад ф11Вад + Вс°уад °гад + °ги©с°уад
П11
1п
У 0,
*
*
-П11
— 1Пх
0
Іп.п
*
*
*
— фц 0
0
— ІР
П11 ^ 0, фц, ф
1их Ф11
разрешима относительно скалярной переменной ц, вещественных (шт х ш,ш)-матрицы Ф, матриц Ас е МПхХПх, ®с е мПхХру, Сс е МтиХПх, фс е ^т«ХРу и двух (пх х пх)-матриц П11, Ф11. Если задача (33)-(36) разрешима и неизвестные переменные найдены, матрицы регулятора Ас е МПхХПх, Вс е МПхХРу, Сс е Мт“ХПх, Бс е ЖтиХру единственным образом определяют-
0,
г
ся выражениями
(37) Во := Фо,
(38) Со 3 — о Су П 1 1)П-2Т,
(39) Во := Ф-21 (®о — Ф 11ВиВо),
(40) Ао := Ф 12 (Ао — Ф12 Во СуПц
Тт
-т
—фц(А + Ви ОсСу )піі)П-2
и вычисляются из решения задачи нахождения двух невырожденных (пх х пх)-матриц П12, Ф12, удовлетворяющих условию (41)
П12фТ2
1п~ П11Ф
11^11.
Доказательство. Пусть решение системы (33)-(36) суще-
ствует. Из (27)-(32) и (23) следует, что
АП11 + Ви Се А + ВиЪсСу
Ас Ф11А + ВеСу
ФТ АП1,
= ФТ®,
Вад + Ви ФоВуад Ф11Вад + ®оВуад
[ СхП11 + ДгиСо Сх + ДгиФоСу ] =
П11 1их
!пх Ф11
ПТФП1
ФТПФ1,
где Ф и П определяются (24) и удовлетворяют (25). Подстановка
предыдущих вы
(42)
ражений в неравенства (34), (35) дает
Ф — ®ТФ1 ФТ
0 X 0,
—Ф1ТПФ1 10
— 1п
—пТ фп1 0 ПТАТФ1 пТеТ
10 —п1тт ®ТФ1 Ф1 Т
ФТАП1 фТ® —фТпф1 0
ЄП1 Ф 10 — 1Рг
0.
Конгруэнтное преобразование неравенств (42) с матрицами
blockdiag(/mw, Ф- Т, 1Рг), blockdiag(П1 Т, Іт^, Ф - Т, 1Рг),
Т
Т
z
соответственно, приводит к
(43)
" ф nImw BT DT '
—П о
- D о — IPz .
-ф о AT CT
о — nImw BT DT
A -П о
о — IPz
о,
о.
Тогда, в силу леммы 1, из (24), (25), (33), (43) следует, что замкнутая система (23) является устойчивой и ее а-анизотропийная норма не превосходит желаемого порогового значения 7, т.е. выполняется неравенство (6). Процедура восстановления матриц реализации регулятора (Ac, Bc, Cc, Dc) из переменных решения (Ac, ®c, Cc, Dc) по формулам (37)-(40), (41) является стандартной [15, 30].
Следствие 2. Поскольку неравенства (33)-(36) являются линейными по 7 := 72, условия теоремы 2 позволяют вычислять наименьшее значение 7 из численного решения задачи выпуклой оптимизации
( 7 ^ inf
(44) < на множестве Ф, Фц, Пц, Ac, ®c, Cc, Dc,n, 7,
[ удовлетворяющих ограничениям (33)-(36).
Если задача выпуклой оптимизации (44) разрешима, матрицы параметров регулятора вычисляются согласно теореме 2.
В [30] подчеркивается, что применяемая процедура синтеза не вносит дополнительного консерватизма в решение задачи. Результат теоремы 2 делает возможным применение анизо-тропийной нормы замкнутой системы в качестве целевой функции или спецификации качества для определенных групп вход-выходных каналов замкнутой системы в задачах многокритериального управления, решение которых основано на существовании общей функции Ляпунова [30], наряду с другими спецификациями качества и целевыми функциями, которые могут быть сформулированы в терминах ЛМН.
2.3. СТАТИЧЕСКАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ ПО ВЫХОДУ
Рассмотрим важный случай, когда регулятор имеет вид статической обратной связи по измеряемому выходу
(45) пи = Кук.
Предполагается, что для объекта управления (1) и регулятора (45) выполняется условие Кимуры [20] нулевого порядка:
Пх -ти- ру < 0.
Выполнение этого условия гарантирует существование стабилизирующей статической обратной связи по измеряемому выходу.
Задача 3. Для заданного объекта управления Р с реализацией (1), уровня средней анизотропии а ^ 0 внешнего возмущения Ш и некоторого желаемого порогового значения 7 > 0 найти регулятор в виде статической обратной связи по измеряемому выходу (45), стабилизирующий замкнутую систему Тхш (г) с реализацией
(46)
и гарантирующий, что ее а-анизотропийная норма не превышает порогового значения 7, т.е.
(47) \\Tzw|||а <7.
В [8] показано, что прямое применение достаточных условий (8)-(10) леммы 1 к реализации замкнутой системы (46) приводит к невыпуклой задаче поиска взаимно обратных матриц, удовлетворяющих двум ЛМН и выпуклому ограничению относительно детерминанта положительно определенной матрицы.
Тем не менее, специальная линеаризующая замена переменных, предложенная в [28], может сделать результирующую задачу оптимизации выпуклой для отдельного класса объектов управления, определенного некоторым структурным свойством. А именно, предполагается, что матричная передаточная функция объекта управления (1) от входа управления и к измеряемому выходу У равна нулю, т.е. [28]
(48) Руи(г) := Су(г1 - Л)-1Би = 0.
А В А + БиКСу + ВиК Оуи,
С Ф [ С + ВгиКСу Ох'ю + &гиК Dyw
Для стабилизируемого и детектируемого объекта управления (1), если выполняется условие (48), существует преобразование подобия Т, такое что
- tat-1 TBw TBu
(49) Cz T -l Dzw Dzu
_ CyT-1 Dyw О
A11 A12 Bwi u Bu
О A22 Bw2 О
Cz1 Cz2 Dzw Dzu
О Cy2 Dyw О
где подсистема (Лц, Bui) является управляемой, (Лц, СУ2) — наблюдаемой, а матрица Л22 — устойчивой [28]; см. также [27]. Из представления (49) следует, что реализация системы, замкнутой статической обратной связью по измеряемому выходу, имеет вид (50) _
Л11 Л12 + BuiKC
0 Л22 B
A B
C D
Czi Cz2 + DzuKC
z2
y2
Bwi + Bui KD
yw
w2
Dzw + DzuKD
yw
Неизвестная матрица Ф в неравенствах (9), (10) леммы 1 разбивается на блоки в соответствии с блочным разбиением А в (50) [28]:
Ф11 Ф12
Фт2 Ф22
Ключевая линеаризующая замена переменных определяется в [28] следующим образом:
(51)
Ф
О.
(52) P :=
S Q
ST R
-1
Ф11 -Ф1 Ф- 1
Ф2
-Фи1 Ф12 - ФтФ-1
'12Ф11 Ф22 - Ф12Ф11 Ф12 В [28] отмечено, что преобразование (52) отображает множество всех положительно определенных матриц в множество всех матриц с положительно определенными блоками на главной диагонали; это отображение биективно; обратное отображение определяется как
(5З)
11
Ф
ФІ2
Ф12
Ф22
Q-1 -Q-1S
-STQ-1 R - STQ-1S
Преобразование (52) мотивируется факторизацией [28]
(54) Р1Ф = P2,
где
(55)
Pl : =
Q
ST
0
1
P2 : =
I -S О R
Теорема 3. Предположим, что для объекта управления Р с реализацией (1) выполняется условие (48). Для заданных а ^ 0, ^ > 0 статический регулятор по выходу (45), являющийся решением задачи 3, существует, если система неравенств (56) п - (е-2“ detФ)1/m'w < 72,
5 п - & і * *
(57) 1 В( К) Б, К) р(Я,к) 0 1 * *1 - X 0,
Г Р(Я,К) * * *
(58) 0 -п1т„ Л(Я,К,Б,К) В(К,Б,К) ** р(Я,к) *
С(Я, Б, К) Б(К) 0 -1Рг
Р(Я,К) :
Л(Я, К, Б, К) :=
В(К,Б,К) :
0,
-Я 0
0 -К
А11Я А11Б — БА22 + А12 + Ви1 КСу2
0 КА22
Бт?і + Биі
КВуШ - Б Б,
иі
ут
КБ
Ы2
С(Я, Б, К) := [ С^і Я Сі Б + С%2 + ВгиКСу2 ] ,
Б(К) :=
^г т + ^гиК^у т,
(59) п > 72, Ф У 0, Я У 0, К У 0
разрешима относительно скалярной переменной п, вещественных (тт х тт)-матрицы Ф, матрицы регулятора К и матриц Я, К и Б.
Доказательство. Пусть решение системы неравенств (56)-(59) существует. Тогда из (50), (53),(55) следует, что
(60)
(61)
(62)
Р1ФР1Т
Я0 0К
А11Я А11Б - БА22 + А12 + Биі КСу2 0 КА22
Бті + Биі К^ут ББи>2 КБт2
Р1ФАРТ
Т
Р1ФВ,
[ Сгі Я Сгі Б + Сг2 + БгиКСу2\ = СРТ
(63)
Подставляя выражения (60)-(63) в ЛМН (57), (58), получаем
ф - пт ®тфрТ Фт
Р1Ф® -Р1ФР1Т 0 X 0,
ф
0
—ІР
(64)
-Р1ФР1Т 0
0 -п!'тт
р1фарТ р1ф®
ф
срТ
Р1АТ ФРТ ®ТФрТ -Р ФР Т 0
Р1 еТ ФТ 0
-ІР
Рг
0.
Конгруэнтное преобразование неравенств (64) с матрицами
blockdiag(Imw ,Р- 1, Ірг), blockdiag(Pf 1 ,Іт, Р- 1, Ір*)
соответственно, где Р;! определяется (55), п
(65)
■ Ф 5 п - ®ТФ ФТ
Ф® -Ф 0
- Ф 0 -ІРг _
-Ф 0 АТФ СТ
0 -пІтт ®ТФ ФТ
ФА Ф® -Ф 0
С Ф 0 -ІРг
эиводит к 0,
0.
Умножая неравенства (65) слева и справа на матрицы
blockdiag(Imw, Ф 1,1рг) У 0, blockdiag(Irax ,Ітт, Ф 1,1рг) У 0
-і
соответственно, получим
" Ф пІти, ®Т ФТ
® -Ф-1 0
- Ф 0 -ІРг _
-Ф 0 АТ СТ
0 - гІІтп1 ®Т ФТ
А ® -Ф-1 0
С Ф 0 -ІРг
0,
0.
г
Тогда, в силу леммы 1, из (51),(56), (59),(66) следует, что матрица статического регулятора по выходу K является решением задачи 3 для объекта управления (49) и замкнутой системы (50), что и требовалось доказать.
Следствие 3. Условия теоремы 3 позволяют вычислять наименьшее значение y из решения задачи выпуклой оптимизации
( 7 ^ inf
(67) < на множестве Ф, Q, R, S, K, п, 7,
[ удовлетворяющих ограничениям (56)-(59), где 7 := y2.
Матрица коэффициента усиления K статического регулятора по выходу непосредственно входит в ЛМН (57), (58). Как отмечено в [28], это позволяет налагать на матрицу регулятора некоторые структурные требования для синтеза, например, децентрализованного управления (с блочно-диагональной матрицей K) из решения задачи выпуклой оптимизации (67).
Результат теоремы 3 делает возможным применение анизо-тропийной нормы замкнутой системы в качестве целевой функции или спецификации качества для определенных групп вход-выходных каналов замкнутой системы в задачах многокритериального управления со спецификациями в терминах ЛМН, рассматриваемых в [30].
Следует также отметить, что в общем случае, когда структурное свойство (48) не выполняется, можно следовать [28] и использовать параметризацию Юлы-Кучеры стабилизирующего регулятора [21, 36] для аффинной параметризации замкнутой системы, навязывая указанное структурное свойство и приводя реализацию замкнутой системы к виду (49). Тогда задачу синтеза анизотропийного регулятора можно переформулировать как задачу нахождения параметра Юлы, входящего в замкнутую систему аффинно, посредством применения результата теоремы 3 и следствия 3.
Кроме класса систем, для которых выполняется структурное свойство (48), существуют два важных частных случая структуры
объекта управления, которые позволяют сформулировать задачу синтеза статического регулятора по выходу в виде задачи выпуклой оптимизации посредством применения невырожденных преобразований координат и введения некоторых вспомогательных переменных аналогично тому, как это было сделано в [23] для задач синтеза -регуляторов. Эти случаи называются сингулярными задачами управления и фильтрации.
Рассмотрим сперва сингулярную задачу управления, когда матрица Оги реализации объекта управления (1) равна нулю, а матрица Ви имеет полный ранг по столбцам. Тогда существует невырожденная матрица преобразования координат состояния Ти такая что [23]
(68) " ~ ~ 1 1п
Bu := TuBu =
1mu
О
В частности, такая матрица может быть выбрана в виде Tu = [ Bu NBt ] , где столбцы матрицы Мвт образуют базис
нуль-пространства матрицы BT. В новых координатах матрицы реализации объекта управления имеют вид
(69) A := TvAT-\Bw := TvBw, Cz := CzT-1,Cy := CyT-1. Теорема 4. Пусть для объекта управления P с реализацией (1) выполняется Dzu = О и rank Bu = mu. Для заданных а ^ О, y > О анизотропийный субоптимальный регулятор в виде статической обратной связи по выходу (45), являющийся решением задачи 3 для реализации замкнутой системы
(70)
A B A + BuKCy Bw + BuKDyw
C D Cz Dzw
существует, если система неравенств
(71) п - (e-2a/mw det Ф)1/т
Ф - nImw *
(72) SBw + LDy
Dzw
-Ф
<Y2,
yw
Ф - S - ST
О
I
Pz
О,
(7З)
О
SA + LCy
Cz
nImw SBw + LDyw
Dzw
** Ф - S - ST *
О IP
Pz
О,
(74) п > I2, Ф У 0, Ф У 0,
где А, БЮ, Сх, Су определяются (69), разрешима относительно скалярной переменной п, вещественных (тЮ х тЮ)-матрицы Ф, (пх х их)-матрицы Ф и двух структурированных матричных переменных
(75)
£ :=
Бі 0 0 ^2
Ь
Ьі
0
Если система неравенств (71)-(74) разрешима и неизвестные переменные найдены, матрица статического регулятора по выходу К = Б-1 Ьь
Доказательство. Пусть решение системы неравенств (71)-(74) существует. Конгруэнтное преобразование неравенств (72), (73) с матрицами
Ыоск^ (1тт ,Ти,1Рг),
blockdiag 1тш, Т'и\ 1рх)
соответственно, приводит к Ф - п1шт
Ти БТиБю + тТ ЬИуШ _тТ ЛТ
ТГ(Ф - Б - БТ)Ти 0
— ІЧ
Рг
0,
0 _ -Ч1т„
тТ ЯТиЛ + тТ ЬОу тТ ЯТиБт + ТТ ЬОут
ТТ(Ф - .5 - 5Т)Ти 0
— 1п
0
где матрицы реализации объекта управления получены применением обратного преобразования (69). Обозначим Б := Т^ БТи, Ф := ТадтФТи. Тогда из (75) и определения К = Б-1^ следует, что
(76) ТТЬ = Т
нТ ' и
' Ьі ' = ТТ ' Бі 0 Іт
0 и 0 ^2 . 0
К =
= ТТ Б Ви К = Б Ви К,
и предыдущие ЛМН можно переписать в виде
Ф - ПІтт *
Б(Вт + ВиКБуи,) Ф - Б - БТ
Б?
0
ІР
Рг
0,
и
-Ф
0
*
-ПІти
5 (Л + БиКСу) 5(Б„ + ВиКВуШ) Ф - 5 - 5Т
с*
0
— 1р
Рг J
или, в терминах реализации замкнутой системы (70), в виде
X 0,
■ ф Б В Ф - 5*-5т * *
- Ф 0 -1Рг .
-Ф * * *
0 - п1тш * *
5 А 5 В Ф - 5 - 5т *
С Ф 0 -1Рг
X 0.
Конгруэнтное преобразование предыдущих неравенств с матрицами
blockdiag (1тш ,Б -1,1Рг), blockdiag (1Пх ,1тш ,Б-1,1Рг)
соответственно, приводит к (77)
(78)
Из неравенства
ф п1тш * *
В 5-1Ф5-т - 5-1 - 5-т *
Ф 0 -1Рг _
-Ф * * *
0 -п1тт * *
А В 5-1Ф5-т - 5-1 - 5-т *
С Ф 0 -1Рг
0.
(5-1 - Ф-1)(-Ф)(5-1 - Ф-1)т X 0
следует, что
-1 -т -1 -т
Тогда, в силу леммы 1, из (71), (74), (77), (78) следует, что матрица статического регулятора К является решением задачи 3 для замкнутой системы с реализацией (70), что и требовалось доказать.
Замечание 3. В отличие от доказательств теорем 1-3, для теоремы 4 невозможно доказать эквивалентность неравенств синтеза (71)-(74) и условий (8)-(10) леммы 1. ЛМН синтеза (72), (73) устанавливают только достаточные условия разрешимости неравенств (9), (10) леммы 1. Это также касается и последующей теоремы синтеза.
Следствие 4. Условия теоремы 4 позволяют вычислять наименьшее значение y из решения задачи выпуклой оптимизации
{Y ^ inf
на множестве Ф, Ф,S,L,n, Y, удовлетворяющих ограничениям (71)-(74), где y := Y2. Если задача (79) разрешима, матрица статического регулятора вычисляется согласно теореме 4.
Рассмотрим теперь сингулярную задачу фильтрации, когда матрица Dyw реализации объекта управления (1) равна нулю, а матрица Cy имеет полный строчный ранг. Тогда существует невырожденная матрица преобразования координат Ty, такая что [23]
(80) Cy := CyT-1 = [ 1Ру 0 ] .
В частности, такую матрицу можно выбрать в виде Ty =
[ CyT Ncy ]T , где строки матрицы Ncy образуют базис нуль-пространства матрицы Cy. В новых координатах матрицы реализации объекта управления имеют вид
(81)
A := Ty AT-1, Bw := Ty Bu
Теорема 5. Предположим, что для объекта управления P с реализацией (1) выполняется Dyw = 0 и rank Cy = py. Для заданных a ^ 0, y > 0 статический регулятор по выходу (45), являющийся решением задачи 3 для реализации замкнутой системы
(82)
суще
(83)
(84)
122
Bu := Ty Bv
____rT— 1
Cz Cz Ty .
A B A + BuKCy Bw
C D 1 Cz + Dzu KCy Dzw
существует, если система неравенств
'—2a det Ф)1^
П - (e"
< Y2
Ф -J]Imw * *
Bw -П * X О,
Dzw О 1 -
П - Ё - ДТ * * *
(85) 0 АД + ВиМ -пІтт Вт * * * 'К * 1 X 0,
Сх -й + ОхиМ Вхт 1 - 0
(86) П > l2, Ф У 0, П У 0,
где А, Б,ш, Сх, Су определяются (81), разрешима в отношении скалярной переменной ц, вещественных (тш х т^,)-матрицы Ф, (пх х пх)-матрицы П и двух структурированных матричных переменных
' 0 0 Ё.2
Если система неравенств (83)-(86) разрешима и неизвестные переменные найдены, матрица статического регулятора по выходу К = М1Д-1.
Доказательство этой теоремы дуально доказательству теоремы 4.
(87)
К : =
М : = [ М1 0 ]
Доказательство. Пусть существует решение системы неравенств (83)-(86). Поставим матрицы реализации, определяемые (81), в ЛМН (84), (85). Выполним конгруэнтное преобразование ЛМН (84), (85) с матрицами
blockdiag (1тт ,Т- 1,1Рг), blockdiag (Ту
і
-.-і
-у ,
ІРг )
соответственно. Затем определим К := Т 1КТу
, Ітш , Ту
-1 Ъгт-Т и П
Т- 1ПТ- Т. Из (87) и определения К = М1К1 следует, что МТ-Т = КСуК и ЛМН (84), (85) можно переписать в виде
3 - Ф 1 * *
Вт —П * X 0,
0 ІР г .
П- К - КТ * * *
0 —пІтт * *
(А + ВиКСу )К Вт -П *
(Сх + Бхи К Су )К БХт 0 ІРг .
0,
или, в терминах реализации замкнутой системы (S2), в виде
(SS)
" ф nImw - -
B -П - X о,
- D о -IPz .
R- RT - - -
о - 'nImw - -
AR B -П -
CR D о- _IPz _
о.
Конгруэнтное преобразование последнего неравенства с матрицей
blockdiag (r-T Imw, Inx, Ipx)
приводит к
Г R-TnR-1 - R-1 - R-T
(89) A
C
Из неравенства
- - -
nImw - -
B -П -
D о 1 ^I -
о.
(R-1 - n-1)T(-n)(R-1 - П-1) X о
11
следует
-П-1 X R-TnR-1 - R-1 - R-T.
Обозначим Ф := П-1. В силу леммы 1, из (83), (86), (88), (89) следует, что матрица статического регулятора по выходу K является решением задачи 3 для реализации замкнутой системы (82), что и требовалось доказать.
Следствие 5. Условия теоремы 5 позволяют вычислять наименьшее значение y из решения задачи выпуклой оптимизации
{Y ^ inf
на множестве Ф, П ,R,M,ri,Y, удовлетворяющих ограничениям (83)-(86),
Y := y2. Если задача (90) разрешима, матрица регулятора вычисляется согласно теореме 5.
124
Как отмечено в [23], поскольку сингулярные задачи управления и фильтрации дуальны, системы неравенств (71)-(74) и (83)-(86) теорем 4 и 5 в некотором смысле также являются дуальными, как и задачи выпуклой оптимизации (79) и (90) следствий 4 и 5. Заменяя матрицы реализаций и переменные в новых координатах в формулах теоремы 4 и следствия 4 как
{А, Б,ш ,Би,Сг ,Огт ,Су ,Бу,ш }
{п, Ф, Ф,Б,Ь}
ґ д Т ^Т /дТ дТ р)Т дТ р)Т \
{А , Сх , Су , Бт , , Би , Вхи},
■* {п, ф, П,ЯТ,МТ},
получим соответствующие формулы теоремы 5 и следствия 5, где матрица статического регулятора по выходу К —► КТ.
В [23] показано, что результаты теоремы 4 и следствия 4 можно применять для синтеза децентрализованных анизотропий-ных субоптимальных и 7-регуляторов в виде статической обратной связи по выходу и заданного порядка. В свою очередь, теорема 5 и следствие 5 позволяют получить решение задач анизо-тропийного управления множественными объектами по измеряемому выходу.
2.4. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА ЗАДАННОГО ПОРЯДКА С ПОМОЩЬЮ ВЫПУКЛОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Известно (см. например [17]), что задачу синтеза динамического регулятора заданного порядка можно представить в виде задачи синтеза статического регулятора по выходу, дополнив вектор состояния объекта управления состояниями регулятора:
' А в! Ви
(91) С* V ^и
. СУ V 0
А 0 Б 0 и Би
0 0 0 !п,£ 0
С* 0 0 Вхи
0 0 0 0
Су 0 Вут 0 0
Реализация замкнутой системы с расширенным объектом управления (91) имеет вид
A B ' A Bw ' Bu
C — Cz Dzw + Dzu
K [ Cy Dyw ] =
A + BuK Cy
Ky
Bw + BuK Dzw Dzw + DzuK D
yw
Сх +
где матрица К включает матрицы параметров регулятора:
А П
(92) К := сС А
Поэтому, если в модели объекта управления (1) одна из матриц Вхи или Вут равна нулю, и матрицы Би или Су имеют полный столбцовый/строчный ранг соответственно, можно применить теорему 4 и следствие 4 или теорему 5 и следствие 5, чтобы найти анизотропийный 7-оптимальный (субоптимальный) регулятор заданного порядка как решение задачи синтеза статического регулятора по выходу (92) для расширенной реализации объекта управления (91).
З. Примеры решения прикладных задач
В этом разделе мы рассмотрим несколько иллюстративных примеров синтеза анизотропийных Y-оптимальных регуляторов методом выпуклой оптимизации. Будут рассматриваться только два частных случая структуры регулятора и объекта, а именно, регулятор полного порядка и статическая обратная связь по выходу для сингулярной задачи фильтрации, определенные в теоремах 2 и 5 соответственно.
Все вычисления выполнялись в системе MATLAB 7.9.0 (R2009b) средствами пакетов Control System Toolbox и Robust Control Toolbox в сочетании с интерфейсом YALMIP [26] и решателем SeDuMi [31] на процессоре P8700 2 х 2, 53ГГц.
3.1. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА ПОЛНОГО ПОРЯДКА ПО
ВЫХОДУ
3.1.1. ПОСАДКА САМОЛЕТА ТУ-154
Рассмотрим сперва задачу управления продольным движением самолета при заходе на посадку под воздействием детерминированных и стохастических возмущений в условиях сдвига ветра и шума измерений. Управление направлено на подавление влияния внешних возмущений и стабилизацию продольного движения самолета вдоль некоторой заданной глиссады. Линеаризованная дискретная стационарная модель посадки самолета Ту-154 представлена в [22], где задача была решена с помощью анизотропийного оптимального регулятора [35], и подробно рассмотрена в [8]. Здесь приводятся результаты решения задачи синтеза анизотропийного 7-оптимального регулятора полного порядка методом выпуклой оптимизации в соответствии с теоремой 2 и следствием 2.
Математическая модель продольного движения самолета в отклонениях от номинальной траектории приводится в [8, 22] для точки траектории, характеризующейся воздушной скоростью У0 = 71,38 м/с, углом наклона траектории полета в0 = -2,7 град, угловой скоростью тангажа шх0 = 0 град/с, углом тангажа $0 = 0 град, высотой Но = 600 м и тягой То = 52540 Н. Модель имеет порядок Нх = 6, два входа управления (сигналы Д'дсу и Д^, генерируемые регулятором для отклонения обобщенных элеронов и положения сектора газа) и два измеряемых выхода (отклонения воздушной скорости Д V + "Шу,к и высоты АН + 'Шь,к). Шаг дискретного времени модели ДЬ = 0,01 с.
Анизотропийный 7-оптимальный регулятор Ка был получен из решения задачи выпуклой оптимизации (44) по теореме 2. Реализация в пространстве состояний анизотропийного 7-оптимального регулятора Ка была вычислена для уровня средней
анизотропии возмущения а = О,7 и имеет вид
Aa
о,9959 —о,ооо17о1 —о,ооо9358 —о,оо1о23 о,оо5572 о,о1975
—о,оо1248 о,9946 о,оо7195 —о,ооо1598 —о,оо115 о,оо2974
о,оо3114 —о,о1651 о,9865 о,ооо4621 о,о11о4 —о,оо4157
о,ооо9о71 о,ооо4571 —о,оо2899 о,9953 —о,оо819 о,оо6493
—о,оо1239 —о,оо4594 —о,оо2913 —о,ооо6268 о,99о5 —о,оо3993
—о,ооо6717 —о,о216 —о,о315 —о,о6266 о,оо78о9 о,9647
C a =
Ba =
5,558 • 1о-6 4,835 • Ю-Б —2,522 • Ю-Б о,ооо66 о,оо2 — о,оо15
1,122 • Ю-Б 4,891 • Ю-Б 7,8о5 • Ю-Б о,ооо1 —о,ооо58 — о,оо2о
1,698 о,7115 -
о,2287 о,1535
—о,о2124 —5,48 —о,о6646 — 1,223 a aD —о,о8о91 —о,1794 —о,о5о13 —о,о7335
22,7 1,848
79,44 34,71
Реализации H2- и -регуляторов K2 и K^, были вычислены функциями пакета Robust Control Toolbox системы MATLAB h2syn (решение уравнений Риккати) и hinfsyn (ЛМН). Матрицы реализации регулятора K2 имеют вид
A2 =
о,99о1
о,оо2о25
- о,оо7851
- о,ооо1271 о,ооо6442
- о,ооо8 о,9962
- о,о1844 - о,ооо2о21
о,о124
о
о,оо1999
о,9754
о,оо9825
о
- о,ооо9 о,оо8616
- о,о292 о,9998
о
-о,ооо133 - о,оо2482 —о,о1198 -о,оо1113
о,9862
—о,оо3о35 —о,ооо6769 -о,ооо1388 -о,ооо1432 -о,ооо4761
о,ооо9 6,243 • Ю-Б
- о,ооо6о86 — 5,2о2 • 1о-6 о
о,9954
C 2 =
—о,6649 —2,о21 —о,749 —1,18 —о,9897 —о,о52о2
о,7587 о,1692 о,о3469 о,о3581 о,119 о,1572
B2 =
о,оо93о1 о,ооо9729 о,ооо1711 6,о59 • Ю-Б о,ооо1442 о
о,ооо133
о,оо3669
о,ооо3985
о,оо1о14
о,о1381
о
D2
оо
оо
Матрицы реализации регулятора Кравны
=
0 9959 -0,0001701 -0,0009358 -0,001023 0,005572 0,01975
-0 001248 0,9946 0,007195 -0,0001598 -0,00115 0,002974
0 ,003114 -0,01651 0,9865 0,0004621 0,01104 -0,004157
0 0009071 0,0004571 -0,002899 0,9953 -0,00819 0,006493
-0,001239 -0,004594 -0,002913 -0,0006268 0,9905 -0,003993
-0,0006717 -0,0216 -0,0315 -0,06266 0,007809 0,9647
а°° =
Е°° =
5,558 • 10-6 4,835 • 10
1,122 • 10-5 4,891 • 10
1,698 0,7115
0,2287 0,1535
-0,02124 -0,06646
-5,48 -1,223
22,7 1,848
79,44 34,71
-5
-5
-2,522 • 107,805 • 10-!
0,00066
0,002
0,0015
0,0001 0,00058 0,0020
-0,08091 -0,05013
-0,1794 -0,07335
Результаты моделирования замкнутых систем в условиях сдвига ветра и шумов измерений представлены вместе с результатами решения задачи в таблице 1 и проиллюстрированы на рис. 2-5. При моделировании применялся типичный профиль ветра, описываемый моделью в форме вихревого кольца [18].
Из результатов решения задачи в таблице 1 можно заключить, что
• квадратный корень из наименьшего значения целевой функции удовлетворяет цепочке неравенств 72 < < 7~;
• а-анизотропийная норма замкнутой системы с анизотро-пийным 7-оптимальным регулятором удовлетворяет условию II I Тх,ш I I I 07 < 7^ регулятор является действительно суб-оптимальным.
Анализ результатов моделирования, представленных в таблице 1 и на рис. 2-5, показывает, что
• анизотропийный 7-оптимальный регулятор приводит к наименьшему максимальному абсолютному отклонению воздушной скорости и допустимому максимальному абсолютному отклонению высоты;
5
Таблица 1. Посадка самолета Ту-154. Сравнение замкнутых систем___________________________________________________
Регулятор в цепи обратной связи
К | Ка \ К^
Результаты решения:
шіп 7 0,516 5,4203 10,894
\\Tzw II 2 0,516 1,1473 3,1448
\1Тг-ш ||| о 7 7,8391 5,1768 5,5944
\\Tzw ||гс 15,855 10,93 10,891
Время ЦП, с 0,78001 5,928 1,7004
Результаты моделирования:
шах | ДУ|, м/с 11,3 3,559 4,329
шах | ДНІ, м 54,79 46,87 39,79
шах | Дв |, град 14,86 16,04 31,6
шах | Дшг |, град/с 4,884 5,043 10,56
шах | Д$|, град 19,06 19 38,08
шах | ДТ|, кН 7,263 22,58 42,48
шах | Д'&су |, град 20,7 20,8 21,91
шах | Д&і |, град 8,224 29,25 29,23
• наихудшие максимальные абсолютные отклонения управляемых переменных продемонстрированы замкнутой системой с Н2-оптимальным регулятором;
• в замкнутой системе с анизотропийным регулятором максимальное дополнительное значение тяги двигателя, требуемое для маневра, почти в два раза меньше, чем дополнительная тяга, требуемая системой с -регулятором;
• аналогичные замечания можно сделать в отношении максимальных значений отклонений угла наклона траектории, угловой скорости тангажа и угла тангажа;
• наименьшее максимальное значение дополнительной тяги двигателя требуется замкнутой системе с Н2-оптимальным регулятором;
• наибольшие значения сигналов управления анизотропий-ного и -регуляторов близки, но сигнал управления, генерируемый анизотропийным регулятором выглядит более реалистичным.
Очевидно, что анизотропийный 7-оптимальный регулятор в рассматриваемой задаче подавления возмущений является более эффективным, чем Н2-регулятор, и менее консервативным, чем -регулятор.
їреесі сіеуіаііоп Реуіаііоп о( депегаїігесі еіеуаіог
Ті те (эес) Ті те (эес)
Рис. 2. Посадка самолета Ту-154. Воздушная скорость АУ, высота АН (диаграммы слева) и сигналы управления А$су, Абг (диаграммы справа)
3.1.2. УПРАВЛЕНИЕ УГЛОМ АТАКИ РАКЕТЫ «ВОЗДУХ-ВОЗДУХ»
Рассмотрим задачу синтеза регулятора для управления углом атаки ракеты «воздух-воздух». Математическая модель объекта управления первоначально была представлена в [14], где эта задача решается в робастной постановке и требуется, чтобы автопилот управлял отклонением аэродинамического руля 5 для обеспечения угла атаки а, соответствующего маневру, определяемому законом наведения [14]. Более точно, управление направлено на отслеживание ступенчатых входных команд, задающих требуемый угол атаки ас, с установившейся ошибкой не более 1%, вре-
131
й^айоп о) 1га]ес1огу э1оре апд!е Р!1сЬ апд!е d©viation
"Пте (эес) Пте (эес)
Рис. 3. Посадка самолета Ту-154. Угол наклона траектории АО, угловая скорость тангажа А^ (диаграммы слева), угол тангажа АФ, тяга двигателя АТ (диаграммы справа)
Рис. 4. Посадка самолета Ту-154. Профиль ветра (диаграммы слева) и измерения с шумами (диаграммы справа)
Singular Values Pole-Zero Map
10-2 10-1 10° 101 ю2 ю3 0-98 0-985 0.99 0.995 1
Frequency (rad/sec) Ax's
Рис. 5. Посадка самолета Ту-154. Сингулярные числа (диаграмма слева), расположение нулей и полюсов (диаграмма
справа)
менем нарастания не более 0,2 с и ограниченным перерегулированием 2% в широком диапазоне углов атаки ±20 град и изменений числа Маха от 2,5 до 3,5 [14]. Соответствующая модель ракеты «воздух-воздух» из коллекции ЄОШРІеіЬ [24] (АС4) не учитывает изменений числа Маха в [14] и поэтому не содержит переменных и неопределенных параметров. Стандартная линеаризованная дискретная стационарная модель объекта управления (1) была получена для значения шага дискретизации Д£ = 0,0005 с, имеет порядок п = 4,
Xk — [ ak ,k І E k k q ]T,
Wk — [ nq,k aC)k
uk — $e,k, z& ]T,
Zk — [ Ze qk ]T
yk — [ ac,k — ak nq,k —
где ак — угол атаки; дк — угловая скорость; 6к — угол поворота аэродинамического руля; пя,к — шум измерения угловой скорости; ас,к — требуемый угол атаки (команда головки самонаведе-
133
ния); 5е,к — сигнал управления (команда поворота аэродинамического руля); ге,к, — управляемая переменная, соответствует выходу взвешенной функции чувствительности и служит для минимизации ошибки слежения; г&к — управляемая переменная, служит для ограничения угловой скорости привода аэродинамического руля. Матрицы реализации в пространстве состояний дискретной модели имеют вид
А =
0,99956
0,0044549
0
4,9989 • 10“ 1
0
-0,00049988 -1,2498-10“
-7,4166 • 10“ -0,062984 0,92774 1,7413 • 10“8
0
0,99998
=
0 4,9999-10“
-0,25 0 0 3,487
0 0 -3 0
а
Ви =
-2,6119 • 10“6 -0,0023914 0,072257 4,211 • 10“10
0,25
0
Су =
-1 0 0 0 0-100
, ауи> -----
01 0,01 0
а
уи
С целью сравнения анизотропийного 7-оптимального регулятора, найденного из решения задачи выпуклой оптимизации (44), с анизотропийным оптимальным регулятором [35], полученным из решения системы перекрестно-связанных нелинейных матричных алгебраических уравнений методом гомото-пии [11], при решении задачи синтеза в реализации регулятора (22) и в формулах (34)-(40) теоремы 2 матрица Бс параметров регулятора была положена нулевой: ас = 0.
Реализации в пространстве состояний анизотропийного 7-оптимального регулятора Ка и оптимального регулятора К°рЬ [35], синтезированных для уровня средней анизотропии а = 0.015, представлены ниже вместе с реализациями Н2- и Нте-
0
0
регуляторов К2 и Кте:
К2 =
0,9929 0,00318 7,027 • 10-5 0,0001953 1,399 -5,483
-0,01051 1,001 0,0001157 0,005679 1,456 3,911
-0,02391 0,0008612 0,9977 0,003235 22,13 -19
0,1283 -0,03046 0,006925 0,9813 158,2 123,9
1,002 • 10“5 -4,208 • 10“5 -4,842 • 10“6 -2,637 • 10“6 0 0
Ка =
0,9971 -0,01009 0,04287 0,3668 -0,000628 0,9968 0,006622 0,05229 -0,0002935 -0,003374 0,9935 0,005948 0,0001 -0,001076 -0,008994 0,9837 -0,02275 2,368 -2,682 28,65 0,005662 -0,02642 0,3372 8,158
0,002608 0,00101 0,0005219 -0,0001099 0 0
К °р* =
а
0,9996 0,002587 0,0564 1,1 • 10“7 -0,000247 0,9973 0,004483 5,81 • 10“8 -7,575 • 10“5 -0,06449 0,9734 1,766 • 10“8 1,34 • 10“5 0,01059 -0,3197 1 -8,7 • 10“8 -3,01 • 10“7 0 0,0005 -0,001 -0,0026 0 1,83 • 10“7
0,7806 0,06204 0,6312 -4,425 0 0
К^ =
0,9733 0,2642 -0,6253 4,058 0,001717 0,9888 0,02455 -0,4717 8,548 • 10-5 -0,003766 0,9855 0,161 0,000289 0,02217 0,04666 0,02602 0,0008433 0,1204 0,7891 430,4 -0,5844 6,738 -15,5 149,4
0,00143 -0,0007134 -0,0001299 -0,0003772 0 0
Результаты решения задачи и моделирования замкнутых систем с Н2-, анизотропийным и -регуляторами К2, Ка и Кте в условиях шумов измерений приводятся в таблице 2 и на рис. 6-
11. При моделировании опорные значения ас генерировались как ступенчатые сигналы со случайной амплитудой и равной продолжительностью. Переходные характеристики нарис. 9, 10 показывают, что время нарастания в замкнутых системах, отмеченное на этих графиках, не превосходит желаемого значения 0,2 с для всех трех регуляторов. При этом диаграммы на рис. 6 демонстрируют
135
Таблица 2. Ракета «воздух-воздух» (модель АС4) из коллекции СОМР1егЬ [24, 25]. Сравнение замкнутых систем
Регулятор в цепи обратной связи К I Ка | кОР 1 к»
Результаты решения:
тіп 7 0,50195 0,20079 — 0,56309
\\Tzw ІІ2 0,25195 0,25354 0,25353 0,5512
\\Tz-w III0,015 0,20638 0,20076 0,20072 0,42198
\\Tzw У» 0,81288 0,63601 0,63509 0,56384
Время ЦП, с 2,8704 2,4336 1,4352 1,794
Результаты моделирования:
тах |ас|, град 20 20 20 20
тах |а|, град 20,666 20,301 20,229 20,078
тах |ге|, град 17,063 13,494 13,356 11,85
тах |, град 1,5245 3,7428 3,7349 11,241
тах |<5|, град 6,6345 10,465 10,439 12,095
приемлемое качество слежения и меньшую амплитуду сигнала управления 5 в замкнутой системе с анизотропийным регулятором по сравнению с -регулятором.
Следует отметить (см. таблицу 2), что минимальное значение ^, полученное из решения задачи выпуклой оптимизации (44) для анизотропийного 7-оптимального регулятора, и анизотропийная норма замкнутой системы с оптимальным регулятором достаточно близки. Так, относительное отклонение тіп 7 от анизотро-пийной нормы замкнутой системы с оптимальным регулятором III 0015 составляет всего 0,03487%, а относительное отклонение анизотропийных норм замкнутых систем с 7-оптимальным и оптимальнымм регуляторами равно 0,01993%. То же самое можно сказать и в отношении результатов моделирования замкнутых систем с регуляторами Ка, К°р в таблице 2 и на диаграммах рис. 6-8. Таким образом, для рассматриваемой модели объекта управления — ракеты «воздух-воздух» — замкнутые системы с анизотропийными 7-оптимальным и оптимальным регуляторами весьма близки.
Чэ
к
р
£
as
Vi
Output Zg (deg)
5 p\
£ й s< ^ ся
s І
® 9у
Qy ft
6г
4
о*
n
Iso
Iso
Л^і
Output z (deg)
/ ■■
r-\ T) \ J-
(f | AC ' | ■ ;
LO
^1
С5
^3
о
Qy к
к з:
С5
Qy
. К ^3 а
Г3 Чз So Si
^ Ё -V ^
ж4 ■ К5 К s~ ^ s § ^ » § * 1 С5 3
^3 ^
а о
к § 1
On
£
Ǥ
as
0
из
1
ся
о
Uj
f
О
Qy
§
О*
n
Iso
Iso
Tail deflection angle 8(deg)
Angle of attack a (deg)
$
§
mudu9vduii шэшэпэ еэшнпэ n mimny
►й
^3
a
1
^з
к
о
З
к
к
ж4
к
а:
к
та
Qy
к
а
^3
а
8
о
Qy
а
3
>£*
sf
а
^3
а
Чэ
к
р
>о
£
{§
£
Оу
та со л X
та А'
Я
к ^
® -V ^ f § Qy
1 § о* о*
R П
а <Ь
*§ ^~i
8 о
* -ь. £ ' та iso
Magnitude (dB); Phase (deg) То:^ To: ^ To: z To:z
Рис. 8. Ракета «воздух-воздух» (модель АС4) [14, 24, 25]. Измерение у (верхние диаграммы) шум датчика угловой скорости тангажа п (нижняя диаграмма)
Управление большими системами. Выпуск 42
Рис. 10. Ракета «воздух-воздух» (модель АС4) [14, 24, 25]. Диаграмма Боде (верхние диаграммы) и переходные характеристики (нижние диаграммы) от входа ас
Рис. 11. Ракета «воздух-воздух» (модель АС4) [14, 24, 25]. Сингулярные числа (диаграмма слева), расположение нулей и полюсов (диаграмма справа)
3.1.3. ПРИМЕРЫ ИЗ БИБЛИОТЕКИ СОМРЬЕ1Б
Анизотропийные 7-оптимальные регуляторы полного порядка были вычислены для ряда моделей из коллекции СОМР1егЬ [24, 25], перечисленных в таблице 3. Все эти модели были преобразованы в системы с дискретным временем с шагом АЬ. Известно [25], что почти все из перечисленных моделей (за исключением модели ROC5) можно стабилизировать с помощью статической обратной связи по измеряемому выходу, но в рассматриваемом случае соответствующие задачи решались с помощью динамических регуляторов полного порядка по выходу исключительно с целью тестирования. В [7] показано, что выполнение условий частотной теоремы для анизотропийной нормы системы при а ^ 0, гарантирует, что Н2- и -нормы той же
системы не превышают заданных пороговых значений. Поэтому Н2- и -регуляторы для соответствующих задач также были
получены как предельные случаи анизотропийного регулятора из решения задачи выпуклой оптимизации (44) согласно теореме 2, но для соответствующих уровней средней анизотропии внешнего возмущения а ^ 0 и а ^ +го.
3.2. СИНТЕЗ СТАТИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПО
ВЫХОДУ
Анизотропийные 7-оптимальные регуляторы в виде статической обратной связи по выходу были синтезированы для ряда сингулярных задач фильтрации из коллекции СОМР1егЬ [24, 25], перечисленных ниже в таблице 4. Все эти модели были преобразованы в системы с дискретным временем с шагом АЬ. Н2-и -регуляторы для соответствующих задач были получены, как предельные случаи анизотропийного регулятора из решения задачи выпуклой оптимизации (90) согласно теореме 5 и следствию 5, но для соответствующих уровней средней анизотропии возмущения а ^ 0 и а +го.
С целью наглядной иллюстрации далее приводятся результаты решения и моделирования для задачи управления самолетом (модель AC1), первоначально рассмотренной в [16]. Модель AC1,
Таблица 3. Примеры из коллекции СОМРІеіЬ [24, 25].
Регуляторы полного порядка
Модель Л 6 н Д* (сек) шіп 72 а шіп 7а шіп 7^
AC4 (4, 1, 2) 0,0005 0,50195 0,015 0,20079 0,56309
AC7 (9, 1, 2) 0,01 0,0042953 0,05 0,0094512 0,043755
AC8 (9, 1, 5) 0,01 0,049999 0,05 0,20454 1,5429
AC9 (10, 4, 5) 0,01 0,04454 0,9 0,43057 1,0007
AC12 (4, 3, 4) 0,01 0,0012071 0,01 0,0037555 0,31439
ИБ3 (8, 4, 6) 0,01 0,081028 0,015 0,18837 0,802
ИБ5 (8, 4, 2) 0,01 0,11888 0,2 0,67939 1,5066
ИБ6 (20, 4, 6) 0,01 0,65791 0,05 0,78951 2,3755
ИБ7 (20, 4, б) 0,01 0,55239 0,05 0,68603 2,4341
Ш1 (30,3, 5) 0,01 0,76355 0,1 1,1173 —
JE3 (24, 3, б) 0,01 1,107 0,07 1,2814 2,4149
EB1 (10, 1, 1) 0,001 0,044894 3 3,0259 3,1041
EB2 (10, 1, 1) 0,001 0,027729 3 1,7246 1,7677
EB3 (10, 1, 1) 0,001 0,029817 0,3 0,92218 1,7974
EB4 (20, 1, 1) 0,001 0,030079 0,3 0,9219 1,7863
EB5 (40, 1, 1) 0,001 0,029731 0,3 0,92087 1,7906
ROC5 (7, 3, 5) 0,001 0,0029492 0,7 0,0013201 0,0016873
TF1 (7, 2, 4) 0,1 0,043013 0,25 0,18306 0,24883
TF3 (7, 2, 3) 0,1 0,043081 0,25 0,18288 0,24799
Таблица 4. Примеры из коллекции СОМРІеіЬ [24, 25].
Регуляторы в виде статической обратной связи по выходу
Модель Л 5 6 н Д* (сек) шіп 72 а шіп 7а шіп 7^
AC1 (5,3, 3) 0,01 0,00045695 0,9 0,0034448 0,0036873
AC2 (5,3, 3) 0,01 0,021254 0,9 1,3559 1,6199
AC15 (4, 2, 3) 0,0001 0,037899 0,8 0,67708 0,79834
Ж1 (4, 2, 1) 0,0001 0,00075643 0,15 0,0063848 0,0099472
т4 (8,4, 6) 0,01 2,8727 0,05 8,0104 21,823
NN15 (3,2, 2) 0,001 0,015202 0,3 0,25514 0,3441
NN16 (8,4, 4) 0,001 0,0098319 0,5 0,20576 0,41639
BDT1 (11, 3, 3) 1 0,010557 0,007 0,042299 0,32302
PSM (7,2, 3) 0,001 0,035481 0,01 0,10554 0,92672
UWV (8, 2, 2) 0,001 0,016479 0,03 0,011414 0,024207
представленная в коллекции СОМРІеіЬ [24], была модифицирована для решения задачи подавления внешних возмущений, при этом шумы измерений в модели отсутствуют. Стандартная дискретная модель объекта управления (1) была получена для значения шага дискретизации 0,01 с, имеет порядок п = 5, матрицы реализации в пространстве состояний дискретной модели приводятся ниже:
А =
1,451 • 10-5 0,99946 2,4666 • 10-6 0,00049745
0,01132
-0,0017115
1
-4,2228 • 10-7
0 -0,0028957
2,4825 10
-6
4,0487 • 10-6 -4,8412 • 100,0099572 0,99143 0,010451
-0,0099658 0,00070241 -5,0389 • 10-5 -0,010052 0,99311
В„, =
Ви =
0,00035923 5,0987 • 10-9 -2,4386 • 10-10
-7,3065 • 10
-8
1,445 • 10-5
-7,8517 • 10-5 -0,0011942 0,00022005 0,043921 0,015929
-4,2717 • 10-6 9,9519 • 10-5 -0,0007548 2,45 • 10-8 -1,4404 • 10-7
4,8395 • 10-8 0,0099973 8,1873 • 10-9 2,4666 • 10 -1,4501
-6
10
-5
0,00016384 2,362 • 10-7 2,7981 • 10-6 0,00055769 0,00067493
3,6293 • 10-6 -2,3052 • 10-7 -8,3 • 10-5 -0,016575 -0,00081671
сг =
0 0,70711 0 0 0" , Су = 1 0 0 0 0
00 0,70711 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
О
000
000
Оу
О
0, О
0,70711 0
0 0,70711
0.
Матрица коэффициента усиления Ка анизотропийной 7-оптимальной статической обратной связи по выходу, синтезированной для уровня средней анизотропией а = 0,9, приводится ниже вместе с матрицами коэффициентов усилений К2 и К статических Н2- и -регуляторов по выходу:
К =
7,278 • 10-5 -0,9994 -0,000203
-0,0002887 -0,002706 -0,9966
-0,9871 -14,34 49,35
2,935 • 10-6 -1,025 • 10-5 0,5795
-1
-0,0001273
12,46
-1,241 • 10-5 -0,9998 54,56
6
Кж =
-4,024 • 10-7 -1
-5,207 • 10-6 -6,032 • 10-5
0,6788 13,12
1,904 • 10-1 -0,9999 53,39
Результаты моделирования замкнутой системы в условиях внешних возмущений вместе с результатами решения задачи приводятся в таблице 5 и на рис. 12-15. При моделировании использовался тот же профиль ветра, что и в примере раздела 3.1.1.
Таблица 5. Модель АС1 (самолет) из коллекции СОМРІеіЬ [24, 25]. Сравнение замкнутых систем
Регулятор в цепи обратной связи К | к I К»
Результаты решения:
шіп 7 0,00045695 0,0034448 0,0036873
\\Tzw ||2 2,6532 • 10-5 1,2762 • 10-6 6,3218 • 10-7
|||Тгто Но 9 0,00050863 2,3466 • 10-5 1,1795 • 10-5
0,00075676 3,5153 • 10-5 1,7708 • 10-5
Время ЦП, с 0,81121 3,042 0,546
Результаты моделирования:
шах |^і |, м/с 9,539 • 10-5 4,941 • 10-6 1,368 • 10-6
шах |^21, град 0,0003134 1,437 • 10-5 9,539 • 10-5
шах | ж 11, м 3,152 3,412 3,35
шах |ж21, м/с 0,1647 0,1108 0,124
шах |жз|, град 0,02948 0,0192 0,02172
шах |ж41, град/с 0,008596 0,006704 0,006841
шах |Ж51, м/с 0,406 0,278 0,3097
шах |«і |, 10- 1 град 0,1648 0,1108 0,124
шах |«21, м/с2 0,0299 0,01922 0,02173
шах | из |, град 0,2117 0,1355 0,154
Из результатов решения задачи в таблице 5 можно заключить, что
• квадратный корень из наименьшего значения целевой функции удовлетворяет цепочке неравенств 72 < 7а < 7^>;
• а-анизотропийная норма замкнутой системы с анизотро-пийным 7-оптимальным регулятором удовлетворяет условию ЦТгшЦо 7 < 7а; регулятор является субоптимальным;
• Н2- и -нормы замкнутых систем с Н2- и Нте-регуляторами удовлетворяют \\Tzw У 2 < 72, \\Tzw IIте <
143
7^ для соответствующих пороговых значений; полученные Н2- и -регуляторы также являются субоптимальными.
Анализ результатов моделирования, представленных в таблице 5 и на рис. 12-15, показывает, что
• анизотропийная 7-оптимальная статическая обратная связь по выходу приводит к наименьшим максимальным абсолютным отклонениям горизонтальной составляющей скорости х2, угла тангажа х3, угловой скорости тангажа Х4 и вертикальной составляющей скорости Х5, при этом наименьшее максимальное абсолютное отклонение ошибки по высоте Х1 достигается при использовании Н2-7-оптимального статического регулятора по выходу;
• наибольшие максимальные абсолютные отклонения переменных управляемого выхода наблюдаются в замкнутой систем с Н2-7-оптимальным статическим регулятором;
• в замкнутой системе с анизотропийным 7-оптимальным статическим регулятором наименьшие максимальные абсолютные амплитуды сигналов управления.
4. Заключение
Разработан подход к решению задач синтеза анизотропий-ных субоптимальных и 7-оптимальных регуляторов методами выпуклой оптимизации. Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов является естественным продолжением оптимальной задачи, решенной в [35]. Вместо минимизации анизотро-пийной нормы замкнутой системы, субоптимальный регулятор гарантирует, что ее норма не превосходит заданного порогового значения. Общая процедура синтеза регулятора заданного порядка сводится к решению неравенства относительно детерминанта
Рис. 12. Модель АС1 (самолет) [16, 24, 25]. Управляемый выход и профиль ветра (диаграммы слева), управление (диаграммы
справа)
Рис. 13. Модель АС1 (самолет) [16, 24, 25]. Ошибка по высоте х1, горизонтальная составляющая скорости х2, вертикальная составляющая скорости х5 (диаграммы слева), угол тангажа хз, угловая скорость тангажа х4 (диаграммы справа)
—
-х
/
/
/
_6
'
\
1
1
Ргедиепсу (гасІ/Бес)
Рис. 14. Модель АС1 (самолет) [16, 24, 25]. Диаграмма Боде (диаграммы слева) и переходные характеристики (диаграммы
справа)
Рис. 15. Модель АС1 (самолет) [16, 24, 25]. Сингулярные числа (диаграмма слева), расположение нулей и полюсов (диаграмма
справа)
положительно определенной матрицы и двух ЛМН относительно взаимно обратных матриц, задача оптимизации не является выпуклой [8]. Применением стандартных процедур овыпукления (линеаризующих замен переменных и введения дополнительных переменных) показано, что результирующие задачи оптимизации можно сделать выпуклыми для задач синтеза регуляторов в виде статической обратной связи по состоянию (в случае полной информации о векторе состояния), регуляторов полного порядка по выходу и регуляторов в виде статической обратной связи по выходу для некоторых классов объектов, определемых их структурными свойствами. Для этих задач можно найти анизотропийные 7-оптимальные регуляторы из решения задач выпуклой оптимизации. В сравнении с решением задачи синтеза анизотропийно-го оптимального регулятора, полученным в [35], предлагаемый подход на основе выпуклой оптимизации является новым и не требует разработки специальных вычислительных алгоритмов.
Литература
1. ВЛАДИМИРОВ И.Г., ДАЙМОНД П., КЛОЕДЕН П.
Анизотропийный анализ робастного качества линейных нестационарных дискретных систем на конечном временном интервале // Автоматика и телемеханика. - 2006. -№8.-С. 92-111.
2. ВЛАДИМИРОВ И.Г., КУРДЮКОВ А.П., СЕМЕНОВ А.В. Анизотропия сигналов и энтропия линейных стационарных систем // ДАН. - 1995. - №3. - С. 583-585.
3. ВЛАДИМИРОВ И.Г., КУРДЮКОВ А.П., СЕМЕНОВ А.В. Стохастическая проблема Нте-оптимизации // ДАН. -1995. - Т. 343, №5. - С. 607-609.
4. ВЛАДИМИРОВ И.Г., КУРДЮКОВ А.П., СЕМЕНОВ А.В. Асимптотика анизотропийной нормы линейных стационарных систем // Автоматика и телемеханика. - 1999. -№3.
5. КУРДЮКОВ А.П., МАКСИМОВ Е.А. Решение задачи стохастической Нте-оптимизации для линейной систе-
147
мы с неопределенностью // Автоматика и телемеханика.
- 2006. - №8. - C. 112-142.
6. ЛЕТОВ А.М. Аналитическое конструирование регуляторов I-IV // Автоматика и телемеханика. - I: 1960. - №4. -C. 436-441; II: №5. - C. 561-568; III: №6. - C. 661-665; IV: 1961. - №4. -C. 425-435.
7. ЧАЙКОВСКИЙ М.М., КУРДЮКОВ А.П. Критерий строгой ограниченности анизотропийной нормы заданным значением в терминах матричных неравенств // ДАН. -2011. - Т.441, №3.-С. 318-321.
8. ЧАЙКОВСКИЙ М.М. Синтез анизотропийных субопти-мальных регуляторов заданного порядка на основе по-луопределенного программирования и алгоритма поиска взаимно обратных матриц // Управление большими системами. - 2012. - Вып.39. - С. 95-137.
9. BEN-TAL A., NEMIROVSKII A. Lectures on Modern Convex Optimization. - Technion, Haifa, Israel, 2000.
10. BERNSTEIN D.S., HADDAD W.M. LQG control with an
performance bound: a Riccati equation approach // IEEE Trans. AC. - 1989. - Vol. 34. - P. 293-305.
11. DIAMOND P., KURDJUKOV A.P., SEMYONOV A.V., VLADIMIROV I.G. Homotopy methods and anisotropy-based stochastic H^> optimization of control systems // Report 97-14 of The University of Queensland, Australia. - 1997. -P. 1-22.
12. DIAMOND P., VLADIMIROV I.G., KURDYUKOV A.P., SEMYONOV A.V. Anisotropy-based performance analysis of linear discrete time invariant control systems // Int. J. ofContr. - 2001. - Vol. 74. - P. 28-42.
13. DOYLE J.C., GLOVER K., KHARGONEKAR, P.P., FRANCIS, B.A. State-space solutions to standard H2 and H^> control problems // IEEE Trans. AC. - 989. - Vol. 34. -P. 831-848.
14. FARES B., APKARIAN P., NOLL D. An augmented Lagrangian method for a class of LMI-constrained problems
in robust control theory // Int. J. of Contr. - 2001. - Vol. 74. -P. 348-360.
15. GAHINET P. Explicit controller formulas for LMI-based H^ synthesis // Automatica. - 1996. - Vol. 32. - P. 1007-1014.
16. HUNG Y.S., MACFARLANE A.G.J. Multivariable feedback: A quasi-classical approach // Lecture Notes in Control and Information Sciences. - Vol. 40. - Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1982.
17. IWASAKI T., SKELTON R.E. All controllers for the general Hcontrol problem: LMI existence conditions and state space formulas // Automatica. - 1994. - Vol. 30. -
P. 1307-1317.
18. IVAN M. A ring vortex downburst model for flight simulation // J. Aircraft. - 1996. - Vol. 23. - P. 232-236.
19. Kalman R. Contributions to the theory of optimal control // Bol. Soc. Mat. Mex. - 1960. - №5. - P. 102-199.
20. KIMURA H. Pole assignment by gain output feedback // IEEE Trans. AC. - 1975. - Vol. AC-20. - P. 509-516.
21. KUCERA V. Stability of discrete linear feedback systems // Proc. IFAC World Congress, Boston, Massachussetts. -1975. - Paper No. 44-1.
22. KURDYUKOV A.P., PAVLOV B.V., TIMIN V.N., VLADIMIROV I.G. Longitudinal anisotropy-based flight control in a wind shear // Proc. 16th IFAC Symposium on Automatic Control in Aerospace, Saint-Petersburg, Russia. -2004.
23. LEE K.H., LEE J.H., KWON W.H. Sufficient LMI conditions for H^> output feedback stabilization of linear discrete-time systems // IEEE Trans. AC. - 2006. - Vol. 51. - P. 675-680.
24. LEIBFRITZ F. COMPleib: Constraint matrix-optimization problem library — a collection of test examples for nonlinear semidefinite programs, control system design and related problems // Tech. rep. of the University of Trier, Germany, 2004. - URL: http://www.complib.de.
25. LEIBFRITZ F., LIPINSKI W. Description of the benchmark
examples in COMPleib 1.0 // Tech. rep. of the University of Trier, Germany, 2003. - URL: http://www.complib.de.
26. LOFBERG J. YALMIP: A toolbox for modeling and optimization in MATLAB // Proc. of the CACSD Conference, Taipei, Taiwan. - 2004. - URL: http://users.isy.liu.se/johanl/yalmip/.
27. POZNYAK A.S. Advanced Mathematical Tools for Automatic Control Engineers. Volumes 1,2: Deterministic Techniques, Stochastic Techniques. - Elsevier, 2008, 2009.
28. SCHERER C.W. An efficient solution to multi-objective control problems with LMI objectives // Syst. & Contr. Lett. -2000. - Vol. 40. - P. 43-57.
29. SEMYONOV A.V., VLADIMIROV I.G., KURDJUKOV A.P. Stochastic approach to H^-optimization // Proc. 33rd IEEE Conf. on Decision and Control, Florida, USA. - 1994. -P. 2249-2250.
30. SCHERER C.W., GAHINET P., CHILALI M. Multiobjective output-feedback control via LMI optimization // IEEE Trans. AC. - 1997. - Vol. 42. - P. 896-911.
31. STURM J.F. Using SeDuMi 1.02, a MATLAB toolbox for optimization over symmetric cones // Optimization Methods and Software. - 1999. - Vol. 11. - P. 625-653.
32. TCHAIKOVSKY M.M., KURDYUKOV A.P., TIMIN V.N. Strict anisotropic norm bounded real lemma in terms of inequalities // Proc. 18th IFAC World Congr., Milano, Italy. -2011. - P. 2332-2337.
33. TCHAIKOVSKY M.M., KURDYUKOV A.P., TIMIN V.N. A convex formulation of strict anisotropic norm bounded real lemma // Preprint. - 2011. - URL: http://arxiv.org/abs/1108.5140.
34. VLADIMIROV I.G., KURDJUKOV A.P., SEMYONOV A.V. On computing the anisotropic norm of linear discrete-time-invariant systems // Proc. 13th IFAC World Congress, San-Francisco, USA. - 1996. - P. 179-184.
35. VLADIMIROV I.G., KURDJUKOV A.P., SEMYONOV A.V. State-space solution to anisotropy-based stochastic H^>-
optimization problem // Proc. 13th IFAC World Congress, San Francisco, USA. - 1996. - P. 427-432.
36. YOULA D.C., JABR H.A., BONGIORNO J.J. Modern Wiener-Hopf design of optimal controllers. Part II: the Multivariable case // IEEE Trans. AC. - 1976. - Vol. 21. -P. 319-338.
37. ZHOU K., GLOVER K., BODENHEIMER B.A., DOYLE, J.C. Mixed H2 and performance objectives I: Robust performance analysis, II: Optimal control // IEEE Trans. AC.
- 1994. - Vol. 39. - P. 1564-1574, 1575-1587.
SYNTHESIS OF ANISOTROPIC CONTROLLERS VIA CONVEX OPTIMIZATION AND SEMIDEFINITE PROGRAMMING
Michael Tchaikovsky, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, Doctor of Science ([email protected]).
Abstract: This paper presents several statements and solutions of the anisotropic suboptimal and Y-optimal controller synthesis problems for suppression of impact of random disturbances with unknown distributions on a control system performance. The problems of anisotropic controllers synthesis in form of static state feedback, of full-order dynamic output feedback, as well as of static output feedback are considered. Application of standard linearizing changes of variables and known convexification procedures to the synthesis problems for the considered special cases of the plant and the controller structure allow the problem solution to be expressed via a system of convex constraints representable by a system of linear matrix inequalities. The anisotropic suboptimal controller stabilizes the closed-loop system and keeps its anisotropic norm below a prescribed threshold value. The developed optimization-based approach to anisotropic controllers synthesis is novel and more convenient for practical computations.
Keywords: discrete linear time invariant systems, random
disturbances, statistical uncertainty, norm, anisotropy, convex optimization, linear matrix inequalities.
Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии А. П. Курдюковым
