CC BY
15Математика к Математическое
моделирование
Сетевое научное издание
Ссылка на статью:
// Математика и математическое моделирование. 2017. №4. С. 28-41.
Представлена в редакцию: 10.07.2017
© НП «НЭИКОН»
УДК 517.997+681.51
Вычисление границы анизотропийной нормы
для дискретной системы с мультипликативными шумами
Юрченков А. В.1'2'
* alexander.yurchenkov@yandex.ru
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия 2ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, Москва, Россия
Статья посвящена поиску оценки анизотропийной нормы линейной дискретной стационарной модели с мультипликативными шумами. Рассмотрены два метода построения мажоранты анизотропийной нормы, основанных на лемме о вещественной ограниченности. На примере механической колебательной системы получены численные результаты в виде оценки анизотропийной нормы для различных уровней средней анизотропии внешнего возмущения.
Ключевые слова: анизотропийная норма; мультипликативные шумы; стохастические системы
Введение
В теории автоматического управления одной из задач является оценка качества работы устойчивой системы с точки зрения некоторого функционала. В качестве такого критерия может выступать минимизация энергетических затрат на управление, быстродействие, минимизация ошибки в задачах слежения и фильтрации, реакция системы на разные виды возмущений. В конце прошлого века, в дополнении к уже ставшим классическими задачам Н2 -управления с квадратичным критерием качества и Н^ -управления с критерием в виде соответствующей нормы передаточной функции замкнутой системы, появилась разновидность информационного критерия на основе анализа значения анизотропийной нормы, введенной И.Г. Владимировым [1, 2, 3, 4, 5]. Поскольку в постановке как Н2, так и Н^ задач управления существенным является принадлежность возмущений, действующих на объект управления, к некоторому классу, в случае Н2 постановки — это гауссовские вектора, в случае Н^ — суммируемые с квадратом, то невыполнение этих условий сказывается и на решении самих задач. Подход, используемый в анизотропийной теории позволяет рассматривать классы внешних возмущений, отличающихся от некоторого эталонного не более чем на некоторую величину, которую можно измерить. Такой величиной для векторов является анизотропия, а для последовательностей векторов — средняя анизотропия. Эти понятия также были введены И.Г. Владимировым и берут истоки из теории информации [6, 7].
За последние двадцать лет в теории анизотроиийиого управления было поставлено и решено множество задач фильтрации как для стационарных, так и не для стационарных объектов управления [8, 9, 10], управления при неопределенности в описании объекта [11, 12], рассмотрен случай нецентрированного внешнего возмущения [13, 14, 15], предложены численные алгоритмы синтеза анизотропийных регуляторов [8, 16, 17], исследованы дескрип-торные модели [18, 19, 20, 21]. Во всех упомянутых работах, как и во многих других, рассматривались только дискретные линейные модели объектов управления без шумовых составляющих. Некоторые результаты для дискретных систем с мультипликативными шумами были получены в [22, 23]. Такие системы возникают в биомеханических системах [24], при обработке сигналов [25], в финансовой математике [26, 27].
В этой работе будут рассмотрены два подхода к оценке анизотропийной нормы, предложенной в работах [22, 23] и приведен их сравнительный анализ на примере механической колебательной системы, приведенной в [28]. Работа организована следующим образом В разд. 1 содержатся краткие сведения из анизотропийной теории управления. В разд. 2 изложены два подхода к построению оценки анизотропийной нормы системы с мультипликативными шумами. В разд. 3 приводятся результаты вычисления границы анизотропийной нормы для механической системы.
1. Предварительные сведения
Анизотропия Л(Ш) т-мерного случайного вектора Ш с функцией плотности распределения вероятностей / определяется в [1] как
Л(Ш) = гшпБ(/ ||рт)Л), (1)
А>и
где
Б(/ || Рт,л) = Е/ п~ ' /
1п
. (2)
у'Рт,Л'
расстояние Кульбака — Лейблера между функцией / и функцией плотности распределения вероятностей гауссовского случайного вектора
хГ х4
Рш,л(х) = (2пА)-т/2 ехр(-хух)
со скалярной ковариационной матрицей А 1т; Е/ [■] — оператор математического ожидания в смысле функции /.
Если вектор Ш также является гауссовским, и его плотность распределения вероятностей имеет вид
/ (х) = ((2п)т ае1(£))-1/2 ехр( -1 где Е — ковариационная матрица. В этом случае (2) можно преобразовать к виду
0(/ || рт,л) = -Н(Ш) - т 1п(2пА) + ^, (3)
где № Е — след матрицы Е; к(Ш) — дифференциальная энтропия Ш, определяемая как
h(W) = -E f [ln f ].
Средняя анизотропия A(W) стационарной эргодической последовательности W = {wk} определяется как
A(W) = lim 4 оГ-, Wo:n-i
N ^^ N
( Wo ^
\WN-1 /
(4)
На основе введенного определения анизотропии случайного вектора и удельного усреднения по времени — средней анизотропией последовательности — определяют класс внешних возмущений, действующих на некоторую динамическую систему. Рассмотрим модель
_ ( хк+1 = Ах к + Bwk, ...
> ~ < (5)
[ Хк = Схк + Dwk,
где хк Е Ега — вектор состояния; wk € — возмущение; хк € — выход. Матрицы А, В, С, О известны и имеют соответствующие размерности. Введем коэффициент усиления от возмущения к выходу следующим образом:
Q(F,W ) = ff-У w у 2
N-1
lim £ E|zfc|2
N^^ k=0
-N=0-, (6)
lim £ E|wk|2 k=0
где | • |2 — евклидова норма вектора. Анизотропийной нормой системы (5) называют максимальное значение (6) по всем возможным возмущениям с ограниченным числом а уровнем средней анизотропии:
|||F|||= sup Q(F, W). (7)
W: A(W)<a
2. Условия ограниченности анизотропийной нормы
Рассмотрим два способа вычисления границы анизотропийной нормы для системы с мультипликативными шумами.
Было показано [3, 4], что в случае линейной системы анизотропийная норма может быть вычислена как в частотной области с помощью специальных функций, так и во временной — через решение матричных уравнений. При наличии в описании системы мультипликативных шумов ни один из известных методов вычисления анизотропийной нормы не может быть применен. Последовательно изложим два подхода, с помощью которых можно получить верхнюю границу анизотропийной нормы.
Рассмотрим дискретную систему с мультипликативными шумами вида
Хк+1 = (Л + Лг вк )хк + (Во + Бх гк )'шк,
Т\
= Схк + Dwk,
х0 = 0,
где хк Е Мп — вектор состояния системы; wk Е Мш — внешнее возмущение; гк Е Мр — выход системы; {вк} и {гк} — последовательности случайных величин со стандартным нормальным законом распределения N(0,1). Матрицы Л, Л1, В0, В1, С, D известны и имеют соответствующие размерности. Все случайные величины считаются попарно независимыми,
Е [в;Г"] = 0, Е [в;wjkk] =0, Е [пwjkk] = 0
для всех г, у, к > 0. Сформулируем теперь задачу анизотропийного анализа для системы (8).
Задача 1. Для дискретной стационарной системы (8) с мультипликативными шумами требуется найти условие на матрицы Л, А1, В0, В1, С, D, при котором анизотропийная норма будет ограничена заданным числом 7 > 0:
М| ^ 7
в случае ограниченности средней анизотропии входной последовательности значением
А(Ж) ^ а.
Первый подход к оценке анизотропийной нормы. В работе [22] было предложено заменить шумовые слагаемые в описании (8) слагаемыми, содержащими параметрическую неопределенность. Рассмотрим вспомогательную систему
^Д :
бк+1 = (Л + ДЛ)& + (Во + ДВ ^к, У к = С£к + Dwk,
& = 0,
(9)
представленную на рис. 1. В этой системе размерности вектора состояния , внешнего возмущения wk и выхода ук совпадают с размерностями аналогичных величин в (8), ДЛ Е Мпхп и ДВ Е Мпхш — неизвестные постоянные матрицы, подлежащие определению. Для системы (9) с гауссовским белым шумом в качестве входа определена Н2-норма:
ж-1
1/2
Н^Д||2 = (^Е Е[укУк]
к=0
Рис. 1. Вспомогательная системы в виде вход-выход
Формулы вычисления Н2-нормы системы с мультипликативными шумами можно найти, например, в [29]. Для системы с мультипликативными шумами (8) Н2-норма определена следующим образом:
\Щ\2 = (1г(ВтХВс + втХВ1 + £т£))1/2,
где X ^ 0 является решением уравнения Ляпунова
X = АтХА + АХД + СтС.
Следующая теорема дает достаточные условия существования решения задачи 1. Теорема 1 ([22]). Если найдутся такие матрицы X ^ 0, У > 0, X > 0, П > 0, Ф, Ф, Е и
число п > 72, удовлетворяющие неравенствам
(СтС
С ТБ
Фт X
т
£тС - п/„
Ф
0
Ф
X
Ф 0
-П 0 0П
< 0,
(10)
- пЛп - Фт
Ф
П
< 0,
1г ( В0тХВо + ^ХВ Фт ■ ( < 0 Ф У < ,
У- СтС Фт
< 0,
и уравнению
Ф -У П - (е-2а ае^)1/т < 72,
АтХА + АтХА1 - X + СтС = 0,
(11) (12)
(13)
(14)
(15)
то анизотропийная норма системы (8) ограничена сверху числом 7, т.е.
ПИП < 7.
Замечание 1. Сформулированные в теореме 1 достаточные условия ограниченности анизотропийной нормы системы (8) представляют собой систему линейных матричных неравенств (10)-(13), одного линейного матричного уравнения (15) и одного неравенства специального вида (14). Все они задают некоторое выпуклое множество, что позволяет помимо основной задачи проверки ограниченности анизотропийной нормы системы (8) решить задачу нахождения минимального значения параметра 7. Решение этой задачи имеет вид
7*
аг§тГ 72
(10)-(15)
1/2
В качестве недостатка теоремы 1 можно отметить тот факт, что, согласно самой идее замены слагаемых с шумами на параметрическую неопределенность, полученная оценка анизотропийной нормы может быть сколь угодно далека от истинного значения.
Второй подход к оценке анизотропийной нормы. Следующий способ вычисления границы анизотропийной нормы системы (8), предложенный в работе [23], заключается в декомпозиции исходной системы на две подсистемы, первая из которых выглядит следующим образом:
Xk+i = AXk + Bowk, zk = Cxk + Dwk,
To
(16)
а вторая имеет вид
Fi
(17)
Хк+1 = Ахк + , 5к = Схк.
При таком подходе не учитывается шумовое слагаемое А1^кхк, но преимуществом является легкое обобщение для любого количества шумовых слагаемых при векторе возмущения. Сформулируем теорему с достаточными условиями существования решения задачи 1.
Теорема 2 ([23]). Если существуют матрицы П» = Пт > 0, Ф» = Фт > 0, Ф» = Фт > 0,
числа 'Цг > 72,г :
Х-Фо 0
A \ C
/-Ф1 0
A \ C
0,1 для которых будут верны матричные неравенства
0
Bo D
0
-nil« Bi 0
A с
,т \
B0
-По 0
Ат
вт
-П1 0
D 0
-I
' Фо - nolm Bo D^
< 0, Bo -По 0 < 0,
D 0 -1p /
(18)
pJ
C 0 0
-I
т
< 0,
р/
Ф1 - nil« Bi 0
Bi -П1 0
0 0
-I
< 0,
PJ
- (e-2a ае1Фг)1/т <7г2, i = 0, 1
(19)
(20)
то анизотропийная норма системы (8) будет ограничена, причем
11И||2 < 7о + 71 = 72.
Замечание 2. Поскольку неравенства (18)-(20) по неизвестным матричным и скалярным параметрам являются выпуклыми, то можно поставить задачу оптимизации, т.е. найти такие матрицы П^ = Пт > 0, Ф» = Фт > 0, Ф» = Фт > 0, числа > 7г2, ^ = 0, 1, при которых значение 72 будет минимальным.
В качестве недостатка второго метода стоит отметить, что этот подход рассчитан только на слагаемые с шумовыми добавками при векторе внешнего возмущения, но может применяться для любого их числа добавлением неравенств, аналогичных (19) и (20).
3. Пример
Приведем численный пример оценки анизотропийной нормы системы со следующей реализацией в пространстве состояний:
Хк+1 = Лхк + (В0 + В:Гк ^к, Zk = Схк + Dwk.
х0 = 0,
(21)
Модель колебательной системы заимствована из статьи [28], где матрицы реализации (21) имеют вид:
Л
В0
1 0 0 0
-0.300 0.200 0 0
0 0 0 0
0.010 0 0
0 1 0 0
0.200 -0.030 0.005
0 0 1 0 0
0.010 0.010
0 0 0 1 0 0
0.005
0.100 0 0 0
0.950 0 0
\
0
0
0 0 0 0 0
0.010 0 0
/
0.010 0.050 0
10 00 01 0 -5 00 00 00
\0 -2/
0
0.100 0 0 0 1 0 0
0 0
0.100
0 0 1
0 0 0
0.100 0 0 0
0 0.980
С
В1 = 0.1 х В0, D = I
2x2.
Оценки анизотропийной нормы 7/ для метода ввода параметрической неопределенности (теорема 1) и 7// для метода декомпозиции системы (теорема 2) представлены в табл. 1.
Таблица 1
Результаты моделирования
Л(-ш) = а а = 0 а = 0.01 а = 0.1 а = 1 а = 10 а = 100
7/ 4.3321 4.3321 4.3416 4.3560 4.3792 4.3851
7// 3.4870 3.4876 3.6540 3.8998 4.1589 4.2311
Как видно из табл. 1, значение границы анизотропийной нормы для разных способов построения оценки достигает 20%. Тем не менее при увеличении уровня средней анизотропии наблюдается рост анизотропийной нормы, что согласуется со случаем отсутствия мультипликативных шумов в модели системы.
Стоит отметить еще раз, что полученные с помощью теорем 1 и 2 оценки анизотропийной нормы можно применять с учетом вида шумов в модели самой системы, поскольку при шумовых слагаемых при векторе состояния пригодна только теорема 2, но насколько близка полученная оценка к реальному значению анизотропийной нормы, данная теорема не уточняет.
Заключение
В работе рассмотрена дискретная стационарная линейная модель с мультипликативными шумами. Получены оценки анизотропийной нормы указанной системы для разного уровня средней анизотропии внешнего возмущения. Замечено, что использование подхода на основе результатов, полученных в работе [22], позволяет учитывать слагаемые с мультипликативными шумами, связанными с вектором состояния. С другой стороны, изложенный в [23] метод учитывает шумовые слагаемые только при внешнем возмущении, но позволяет получить менее консервативную оценку значения анизотропийной нормы системы с мультипликативными шумами. Оба подхода к построению оценки анизотропийной нормы системы с мультипликативными шумами являются корректными, выбор того или иного зависти от модели конкретной системы.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 15-07-05489 и 17-08-00185).
Список литературы
1. Semyonov A.V., Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P. Stochastic approach to H^,-optimization // 33rd IEEE conf. on decision and control: CDC 1994 (Lake Buena Vista, Florida, USA, December 14-16, 1994): Proc. Vol. 3. N.Y.: IEEE, 1994. Pp. 2249-2250.
2. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов А.В. Анизотропия сигналов и энтропия линейных стационарных систем // Доклады Академии Наук. 1995. Т. 342, № 5. С. 583-585.
3. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discrete-time-invariant systems // 13th IF AC world congress (San Francisco, CA, USA, June 30 - July 5, 1996): Proc. N.Y.: IF AC, 1996. Pp. 179-184.
4. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. State-space solution to anisotropy-based stochastic H^,-optimization problem // 13th IF AC world congress (San Francisco, CA, USA, June 30 - July 5, 1996): Proc. N.Y.: IFAC, 1996. Pp. 427-432.
5. Diamond P., Kurdjukov A., Semyonov A., Vladimirov I. Homotopy methods and anisotropy-based stochastic H^-optimization of control systems // CADSMAP Research Report 97-14. The Univ. of Queensland, Australia, 1997. Pp. 1-22.
6. Arov D.Z., Krein M.G. Problem of search of the minimum entropy in undeterminate extension problems //Functional Analysis and Its Applications. 1981. Vol. 15, no.2. Pp. 123-126. DOI: 10.1007/BF01082283
7. Minimum entropy control / Ed. by D. Mustafa, K. Glover. Berlin: Springer, 1990. 109 p. (ser. Lecture Notes in Control and Information Sciences; vol. 146). DOI: 10.1007/BFb0008861
8. Тимин В.Н., Чайковский М.М., Курдюков А.П. Решение задачи анизотропийной субоптимальной фильтрации методом выпуклой оптимизации // Доклады Академии наук. 2012. Т. 444, №6. С. 612-615.
9. Timin V.N., Kustov A.Yu. Suboptimal Anisotropy-Based Filtering for LDTI Systems with Nonzero-Mean Input// 20th Intern. conf. on process control: PC 2015 (Strbske Pleso, Slovakia, June 9-12, 2015): Proc. N.Y.: IEEE, 2015. Pp. 147-151. DOI: 10.1109/PC.2015.7169953
10. Timin V.N., Kurdyukov A.P. Finite horizon anisotropy-based multicriteria filtering // IFAC-PapersOnline. 2015. Vol. 48, iss. 14. Pp. 192-197. DOI: 10.1016/j.ifacol.2015.09.456
11. Курдюков А.П., Максимов Е.А. Решение стохастической задачи H^>-оптимизации для линейных дискретных систем с параметрической неопределенностью // Автоматика и телемеханика. 2006. №8. С. 112-142. Режим доступа: http://mi.mathnet.ru/at1225 (дата обращения 29.08.2017).
12. Юрченков А.В. Синтез анизотропийного робастного регулятора при структурированной неопределенности объекта управления // Управление большими системами. 2014. Вып. 50. С. 24-57. Режим доступа: http://mi.mathnet.ru/ubs771 (дата обращения 29.08.2017).
13. Kurdyukov A.P., Kustov A.Yu., Tchaikovsky M.M., Karny M. The Concept of Mean Anisotropy of Signals with Nonzero Mean // 19th Intern. conf. on process control: PC 2013 (Strbske Pleso, Slovakia, June 18-21,2013): Proc. N.Y.: IEEE, 2013. Pp. 37-41. DOI: 10.1109/PC.2013.6581379
14. Kurdyukov A.P., Yurchenkov A.V., Kustov A.Yu. Robust Stability in Anisotropy-Based Theory with Non-Zero Mean of Input Sequence //21st Intern. symp. on mathematical theory of networks and systems: MTNS 2014 (Groningen, Netherlands, July 7-11, 2014): Proc. Groningen, 2014. Pp. 208-214.
15. Кустов А.Ю. Анизотропийный анализ в случае ненулевого математического ожидания входного возмущения //Управление большими системами. 2014. Вып. 50. С. 6-23. Режим доступа: http://mi.mathnet.ru/ubs770 (дата обращения 29.08.2017).
16. Курдюков А.П., Максимов Е.А., Чайковский М.М. Решение задачи стохастической H^>-оптимизации дискретных линейных стационарных систем с неопределенностью методом гомотопии // Тр. Института проблем управления. 2006. Т. XXVII. С. 5-36.
17. Tchaikovsky M.M., Kurdyukov A.P., Timin V.N. Strict Anisotropic Norm Bounded Real Lemma in Terms of Inequalities//IFAC Proceedings Volumes. 2011. Vol.44, iss. 1. Pp. 23322337. DOI: 10.3182/20110828-6-IT-1002.01016
18. Белов А.А. Решение задачи анизотропийного управления дескрипторной системой по выходу // 5-я Российская мультиконф. по проблемам управления: конф. "Управление
в технических, эргатических, организационных и сетевых системах": УТЭ0СС-2012 (Санкт-Петербург, 9-11 октября 2012 г.): Труды. СПб., 2012. С. 276-279.
19. Белов А.А., Андрианова О.Г. Анизотропийный анализ дескрипторных систем с использованием ЛМН // 11-я Всероссийская школа-конф. молодых ученых «Управление большими системами»: УБС'2014 (Арзамас, 9-12 сентября 2014 г.): Труды. Арзамас: ИПУ РАН, 2014. С. 33-45.
20. Андрианова О.Г., Курдюков А.П., Кустов А.Ю. Вычисление анизотропийной нормы дескрипторных систем с нецентрированными возмущениями // Известия РАН. Теория и системы управления. 2015. №5. С. 10-23. DOI: 10.7868/S0002338815050029
21. Белов А.А., Андрианова О.Г. Синтез субоптимальных анизотропийных регуляторов по состоянию для дескрипторных систем на основе линейных матричных неравенств // Автоматика и телемеханика. 2016. №. 10. С. 40-56. Режим доступа: http://mi.mathnet.ru/at14564 (дата обращения 29.08.2017).
22. Юрченков А.В., Кустов А.Ю., Курдюков А.П. Условия ограниченности анизотропийной нормы системы с мультипликативными шумами // Доклады Академии наук. 2016. Т. 467, №4. С. 396-399. DOI: 10.7868/S0869565216100078
23. Kustov A.Yu., Kurdyukov A.P., Yurchenkov A.V. On the Anisotropy-Based Bounded Real Lemma Formulation for the Systems with Disturbance-Term Multiplicative Noise // IFAC-PapersOnLine. 2016. Vol. 49, iss. 13. Pp. 65-69. DOI: 10.1016/j.ifacol.2016.07.928
24. Todorov E., Li W. Optimal Control Methods Suitable for Biomechanical Systems // 25th Annual Intern. conf. of the IEEE Engineering in medicine and biology Society: IEEE/EMB 2003 (Cancun, Mexico, September 17-21, 2003): Proc. Vol.2. N.Y.: IEEE, 2003. Pp. 1758-1761. DOI: 10.1109/IEMBS.2003.1279748
25. Gershon E., Shaked U. and Yaesh I. H^ Control and Filtering of Discrete-time Stochastic Systems with Multiplicative Noise // Automatica. 2001. Vol.37, no. 7. Pp. 409-417. DOI: 10.1016/S0005-1098(00)00164-3
26. MertonR.C. Continuous-time finance. Camb.: Blackwell, 1990. 700 p.
27. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001. 253 с.
28. Li W., Todorov E., Skelton R.E. Estimation and Control Systems with Multiplicative Noise via Linear Matrix Inequalities // American control conf. (Portland, OR, USA, June 8-10, 2005): Proc. N.Y.: IEEE, 2005. Pp. 1811-1816. DOI: 10.1109/ACC.2005.1470231
29. Dragan V., Morozan T., Stoica A.-M. Matematical Methods in Robust Control of Discrete-Time Linear Stochastic Systems. N.Y.: Springer, 2010. 346 p. DOI: 10.1007/978-1-4419-0630-4
Mathematics i Mathematical Modelling
Mathematics and Mathematical Modeling, 2017, no. 4, pp. 28-41.
Received:
10.07.2017
> NP "NEICON"
Electronic journal http://mathmelpub.ru
Calculating the boundaries of anisotropic norms for discrete-time systems with multiplicative noises
Yurchenkov A. V.1'2'
alexander.yurchenkov@yandex.ru
1Bauman Moscow State Technical University, Russia 2 V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia
Keywords: anisotropic norm, multiplicative noises, stochastic systems
In this paper a problem of upper bound evaluation for anisotropic norm for discrete multiplicative noise systems is set up and two methods of evaluation are considered. It is shown that standard algorithms of anisotropic norm counting are disabled for multiplicative noise systems. It is impossible to design the worst former filter with bounded mean anisotropy because of noise component in the mathematical description of the system. Such filter generates sequence producing the maximum of induced norm gain. There is no algorithm of counting anisotropic norm for multiplicative systems so a problem of upper bound evaluation is considered. Main result consists of two methods. Both of them use an idea of synthesis some systems without noises. The first algorithm applies parametric uncertain model with majorant anisotropic norm for original multiplicative noise system. The second one uses decomposition of original systems on two separate subsystems with outputs equivalent to multiplicative noise system output. Advantage and disadvantage of each method is described. Both algorithms are based on bounded real lemma widely used in anisotropic theory. Thanks to this lemma the problem of upper bound anisotropic norm computation is formulated in terms of solvability of specialized matrix systems of inequalities and equalities. The specialized matrix system is convex. That's why it is possible to find a solution by means of standard semidefinite programming procedure. MATLAB contains many optimization methods, for example, yalmip with SeDuMi solver is feasible for considered problem. The different values of anisotropic norm of mechanical oscillator system for different values of mean anisotropy input level are counted. Results are presented in tabular.
References
1. Semyonov A.V., Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P. Stochastic approach to H^-optimization. 33rd IEEE conf. on decision and control: CDC 1994 (Lake Buena Vista, Florida, USA, December 14-16, 1994): Proc. Vol. 3. N.Y.: IEEE, 1994. Pp. 2249-2250.
2. Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., Semyonov A.V. Anisotropy of signals and entropy of linear stationary systems. Doklady Mathematics, 1995, vol. 51, no. 3, pp. 388-390.
3. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discrete-time-invariant systems. 13th IFAC world congress (San Francisco, CA, USA, June 30 -July 5, 1996): Proc. N.Y.: IFAC, 1996. Pp. 179-184.
4. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. State-space solution to anisotropy-based stochastic -optimization problem. 13th IFAC world congress (San Francisco, CA, USA, June 30 - July 5, 1996): Proc. N.Y.: IFAC, 1996. Pp. 427-432.
5. Diamond P., Kurdjukov A., Semyonov A., Vladimirov I. Homotopy methods and anisotropy-based stochastic -optimization of control systems. CADSMAP Research Report 97-14. The Univ. of Queensland, Australia, 1997. Pp. 1-22.
6. Arov D.Z., Krein M.G. Problem of search of the minimum entropy in undeterminate extension problems. Functional Analysis and Its Applications, 1981, vol. 15, no. 2, pp. 123-126. DOI: 10.1007/BF01082283
7. Mustafa D., Glover K., eds. Minimum entropy control. Berlin: Springer, 1990. 109 p. (ser. Lecture Notes in Control and Information Sciences; vol. 146). DOI: 10.1007/BFb0008861
8. Timin V.N., Tchaikovsky M.M., Kurdyukov A.P. A solution to anisotropic suboptimal filtering problem by convex optimization. Doklady Mathematics, 2012, vol.85, no. 3, pp. 443-445. DOI: 10.1134/S1064562412030362 (Russ. ed.: DokladyAkademiinauk, 2012, vol. 444, no. 6, pp. 612-615).
9. Timin V.N., Kustov A.Yu. Suboptimal Anisotropy-Based Filtering for LDTI Systems with Nonzero-Mean Input. 20th Intern. conf. on process control: PC 2015 (Strbske Pleso, Slovakia, June 9-12, 2015): Proc. N.Y.: IEEE, 2015. Pp. 147-151. DOI: 10.1109/PC.2015.7169953
10. Timin V.N., Kurdyukov A.P. Finite horizon anisotropy-based multicriteria filtering. IFAC-PapersOnline, 2015, vol. 48, iss. 14, pp. 192-197. DOI: 10.1016/j.ifacol.2015.09.456
11. Kurdyukov A.P., Maximov E.A. Solution of the stochastic H?-optimization problem for discrete time linear systems under parametric uncertainty. Automation andRemote Control, 2006, vol.67, no. 8, pp. 1283-1310. DOI: 10.1134/S0005117906080078 (Russ. ed.: Avtomatika i telemehanika, 2006, no. 8, pp. 112-142).
12. Yurchenkov A.V. Anisotropic robust regulator synthesis for structured uncertainty control model. Upravlenie bol'shimi sistemami [Large-Scale Systems Control], 2014, vol. 50, pp. 2457. Available at: http://mi.mathnet.ru/ubs771, accessed 29.08.2017 (in Russian).
13. Kurdyukov A.P., Kustov A.Yu., Tchaikovsky M.M., Karny M. The Concept of Mean Anisotropy of Signals with Nonzero Mean. 19th Intern. conf. on process control: PC 2013 (Strbske Pleso, Slovakia, June 18-21,2013): Proc. N.Y.: IEEE, 2013. Pp. 37-41. DOI: 10.1109/PC.2013.6581379
14. Kurdyukov A.P., Yurchenkov A.V., Kustov A.Yu. Robust Stability in Anisotropy-Based Theory with Non-Zero Mean of Input Sequence. 21st Intern. symp. on mathematical theory of networks and systems: MTNS2014 (Groningen, Netherlands, July 7-11, 2014): Proc. Groningen, 2014. Pp. 20B-214.
15. Kustov A.Yu. Anisotropy-based analysis for case of nonzero-mean input disturbance. Upravle-nie bol'shimi sistemami [Large-Scale Systems Control], 2014, vol. 50, pp. б-23. Available at: http://mi.mathnet.ru/ubs770, accessed 29.0B.2017 (in Russian).
16. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., Tchaikovsky M.M. The solution to the problem of stochastic H^-optimization of linear discrete stationary systems with uncertainty method of homotopy. Trudy Instituta problem upravleniia [Proc. of the Institute of Management Problems], 200б, vol. XXVII, pp. 5-3б (in Russian).
17. Tchaikovsky M.M., Kurdyukov A.P., Timin V.N. Strict Anisotropic Norm Bounded Real Lemma in Terms of Inequalities. IFAC Proceedings Volumes, 2011, vol.44, iss. 1, pp. 23322337. DOI: 10.31B2/20110B2B-6-IT-1002.01016
1B. Belov A.A. Reshenie zadachi anizotropijnogo upravleniia deskriptornoj sistemoj po vykhodu [The solution of the problem of the anisotropic control of descriptor system output]. 5-ia Rossijskaia multikonferentsiiapoproblemam upravleniia: konf. "Upravlenie v tekhnicheskikh, ergaticheskikh, organizatsionnykh i setevykh sistemakh": UTEOSS 2012 [5th Russian Management multiconf.: conf. "Control in technical, ergatic, organizational and network systems": ATEOS-2012] (S.-Petersburg, October 9-11, 2012): Proc. S.-Petersburg, 2012. Pp. 27б-279 (in Russian).
19. Belov A.A., Andrianova O.G. Anizotropijnyj analiz deskriptornykh system s ispol'zovaniem LMN [Anisotropic analysis of descriptor systems using LMN]. 11-ia Vserossijskaia shkola-konferentsiia molodykh uchenykh "Upravlenie bol'shimi sistemami": UBS'2012 [11th All-Russian school-conf. of young scientists "Managing large systems" (Arzamas, September 9-12, 2014)]: Proc. Arzamas, 2014. Pp. 33-45 (in Russian).
20. Andrianova O.G., Kurdyukov A.P., Kustov A.Yu. Anisotropic norm computation for descriptor systems with nonzero-mean input signals. J. of Computer and Systems Sciences Intern. ,2015, vol.54, no. 5, pp. 67B-690. DOI: 10.1134^10б4230715050020 (Russ. ed.: Izvestija RAN. Teorija i sistemy upravlenija, 2015, no. 5, pp. 10-23. DOI: 10.7B6B/S000233BB15050029).
21. Belov A.A., Andrianova O.G. Anisotropy-based suboptimal state-feedback control design using linear matrix inequalities. Automation and Remote Control, 201б, vol. 77, no. 10, pp. 17411755. DOI: 10.1134^000511791б100027 (Russ. ed.: Avtomatikai telemehanika, 201б, no. 10, pp. 40-5б).
22. Yurchenkov A.V., Kustov A.Yu., Kurdyukov A.P. Anisotropy-based bounded real lemma for discrete-time systems with multiplicative noise. Doklady Mathematics, 201б, vol.93, no. 2,
pp. 238-240. DOI: 10.1134/S1064562416020204 (Russ. ed.: Doklady Akademii nauk, 2016, vol. 467, no. 4, pp. 396-399. DOI: 10.7868/S0869565216100078).
23. Kustov A.Yu., Kurdyukov A.P., Yurchenkov A.V. On the Anisotropy-Based Bounded Real Lemma Formulation for the Systems with Disturbance-Term Multiplicative Noise. IFAC-PapersOnLine, 2016, Vol. 49, iss. 13, pp. 65-69. DOI: 10.1016/j.ifacol.2016.07.928
24. Todorov E., Li W. Optimal Control Methods Suitable for Biomechanical Systems. 25th Annual Intern. conf. of the IEEE Engineering in medicine and biology Society: IEEE/EMB 2003 (Cancun, Mexico, September 17-21, 2003): Proc. Vol.2. N.Y.: IEEE, 2003. Pp. 1758-1761. DOI: 10.1109/IEMBS.2003.1279748
25. Gershon E., Shaked U. and Yaesh I. H^ Control and Filtering of Discrete-time Stochastic Systems with Multiplicative Noise. Automatica, 2001, vol. 37, no. 7, pp. 409-417. DOI: 10.1016/S0005-1098(00)00164-3
26. MertonR.C. Continuous-time finance. Camb.: Blackwell, 1990. 700 p.
27. Mel'nikov A.V., Volkov S.N., Nechaev M.L. Matematika finansovykh obiazatel'stv [Mathematics of financial obligations]. Moscow: State Univ. Higher School of Economics Publ., 2001. 253 p. (in Russian).
28. Li W., Todorov E., Skelton R.E. Estimation and Control Systems with Multiplicative Noise via Linear Matrix Inequalities. American control conf. (Portland, OR, USA, June 8-10, 2005): Proc. N.Y.: IEEE, 2005. Pp. 1811-1816. DOI: 10.1109/ACC.2005.1470231
29. Dragan V., Morozan T., Stoica A.-M. Matematical Methods in Robust Control of Discrete-Time Linear Stochastic Systems. N.Y.: Springer, 2010. 346 p. DOI: 10.1007/978-1-4419-0630-4
