CC BY
52
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. №11. С. 635-663.
Б01: 10.7463/1114.0732189
Представлена в редакцию: 01.10.2014 Исправлена: 22.10.2014
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 517.997+681.51
Метод гомотопии в прикладных задачах анизотропийной теории управления
Юрченков А. В.1'* * sasha_2264@mail.ru
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
Наука и Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Сетевое научное издание
ISSN 1994-0448
В статье рассмотрен способ решения связанных уравнений Риккати, уравнения специального вида и уравнения Ляпунова, возникающие в анизотропийной теории управления при синтезе регуляторов, обеспечивающих робастное качество, названный методом гомотопии. Данный метод позволяет из стандартного гауссовского регулятора путем специально организованного итерационного процесса получить анизотропийный регулятор. Приведены основные сведения относительно применения метода гомотопии к задачам анизотропийной теории управления. Получены все производные матричнозначных выражений, необходимых для реализации численного алгоритма. Для упрощения выражений матричных производных приведены свойства кронекерова произведения и дифференцирования матрицы по матрице.
Ключевые слова: анизотропийная теория управления; метод гомотопий; матричные производные
Введение
В современной теории управления большое число работ посвящено H2- и H^-критериям качества систем управления и обеспечению устойчивости или робастной устойчивости замкнутых объектов управления. Однако упомянутые теории накладывают ряд ограничений на возмущения, воздействующие на объект управления.
Подходы H2-теории управления применяются только для объектов, на вход которых поступает сигнал с нулевым средним и единичной ковариационной матрицей. При нарушении этого требования синтезированный закон управления не будет стабилизировать замкнутую систему. Также и для синтеза H^ -управления затраты энергии будут чрезмерными, если возмущение близко по стохастическим характеристикам к «белому шуму», поскольку управление строится для случая наихудшего входного сигнала из 12. Современные примеры задач H2- и H^-оптимизации можно найти в работах J.C. Doyle, K. Glover, P.P. Khargonekar и B.A. Francis [1], G. Zames [2], J. Doyle [3], B.A. Francis [4], K. Glover [1], D. Gu [4], N. Berman, U. Shaked [5, 6], C. Scherer [7, 8], T. Iwasaki, R.E. Skelton [9,10], P. Gahinet [11,12], P. Apkarian [13, 14] и др.
Устранить недостатки H2- и Ho-теорий для линейных дискретных стационарных систем может помочь так называемая анизотроиийная теория управления, получившая развитие в последние двадцать лет [9, 15, 17]. Эта теория использует понятие относительной энтропии, т.е. меры отличия расширенного вектора случайной последовательности от гауссовского «белого шума», заимствованное из теории информации. В анизотропийной теории вводят коэффициент усиления от задающего воздействия к управляемому выходу, который называется анизотропийной нормой.
При решении задачи обеспечения робастного качества для линейной дискретной системы вводят а-анизотропийную норму системы |||F|||, которая является частным случаем стохастической нормы. Это направление развивается в ряде работ А.В. Семенова, И.Г. Владимирова, А.П. Курдюкова [9, 15], M. Karny [16], I.R. Petersen, MR. James, P. Diamond [17, 18]. Поскольку значение а-анизотропийной нормы принадлежит интервалу, левым концом которого является масштабированная Н2-норма системы ||2, а правым — Н0-норма ||F||o, то
Vm
при предельных значениях уровня средней анизотропии входного сигнала а, равным нулю или бесконечности, величина а-анизотропийной нормы | | | F | | | будет совпадать с одним из
значений F||2 или ||Fсоответственно.
т
К известным результатам анизотропийной теории относятся решенные задачи стохастической Hoc-оптимизации систем с параметрической неопределенностью [19], многокритериальной оптимизация [20], анализа устойчивости дескрипторных систем [21], синтеза субоптимальных регуляторов методами выпуклой оптимизации [22].
В работе [19] приведено решение стохастической задачи H o-оптимизации для системы с параметрической неопределенностью. Предложен метод, с помощью которого можно свести задачу к более общей, которая, в свою очередь, уже решается методами анизотропийной теории.
При решении задач анизотропийной теории управления, в частности задачи из [19], возникает необходимость решения связанных уравнений Риккати, уравнения Ляпунова и уравнения специального вида, которые невозможно разрешить стандартными методами. Одним из возможных способов решения таких систем является метод гомотопии. Особенность метода заключается в том, что необходимо знать начальное приближение к решению, с помощью которого путем специально организованного итерационного процесса можно получить оптимальное решение. В данной работе на основе метода гомотопии разрабатывается алгоритм решения связанных уравнений Риккати, уравнения Ляпунова и уравнения специального вида. Результаты могут применяться для задач анизотропийной оптимизации.
Статья организована следующим образом. В первой части ставится задача анизотро-пийной оптимизации, во второй описаны основные понятия метода гомотопии, в третьей приведен вычислительный алгоритм поиска решения системы связанных уравнений, в четвертой изложены основные понятия дифференцирования матричнозначных отображений, в пятой приведены точные выражения для матричных производных решений уравнений Риккати, уравнения специального вида и уравнения Ляпунова. В приложении приведены полез-
ные свойства кронекерова произведения для упрощенного дифференцирования матричных выражений.
1. Постановка задачи анизотропийной -оптимизации
Рассмотрим линейную дискретную стационарную систему ^, описываемую уравнени-
ями
Xk+1 = Axk + Bo qk + Bi Wk + B2 Uk, Zk = Ci Xk + D12 Uk, Pk = C2 Xk + D22 Uk, yk = C3 Xk + D33 Wk,
qk = Apk,
(1)
где к Е хк б Мп — состояние системы; б МГ1 —управляемый выход; рк Е Кш° —выход неопределенности; ук Е МГ2 — наблюдаемый выход; дк Е Мш° — вход неопределенности; ик Е МШ2 — управление; гшк Е МШ1 — возмущение. Матрицы системы (1) будем считать
известными, за исключением матрицы оператора неопределенности A, которая принадлежит множеству
D = {A = block diag (Ai, A2) : A* E M1*Xli, ||А»< l} .
Последнее равенство в системе (1) представляет собой связь между входом p и выходом q посредством линейного оператора неопределенности A. Структурная схема рассматриваемого объекта представлена на рис. 1, в ней M — объект управления (1); K — регулятор, синтезирующий закон управления uk; A — структурированная неопределенность.
Рис. 1. Система с неопределенностью и регулятором в контуре обратной связи
Задача анизотропийной оптимизации состоит в следующем: для системы вида (1), на которую действует возмущение с уровнем средней анизотропии не более а > 0, найти стабилизирующий регулятор К, который минимизирует максимальное значение а-анизо-тропийной нормы системы (М, А), К) по всем допустимым значениям неопределен-
ности А Е 0, т.е. доставляет минимум функционалу
Jo (K) = sup |||F (Fu (M, A), K) ДеЭ
(2)
Обозначения Ги и ^ закреплены за верхним и нижним дробно-линейными преобразованиями соответственно [23]. Под поиском регулятора К будем подразумевать построение таких матриц А, В, С, для которых реализация
£fc+i = + B yk, uk = C £k,
(3)
в пространстве состояний регулятора К доставляет минимум функционалу (2). В рамках рассматриваемой системы (1) потребуем выполнение основных предположений:
а) D2Ci = 0, Дт2^12 = I;
б) номинальная система (при А = 0) наблюдаема и управляема;
в) r1 < m1;
г) матрица D33 в (1) имеет полный строчный ранг (то есть ее ранг равен количеству строк): rankD33 = r2 ^ m1;
д) матрица D12 в (1) имеет полный столбцовый ранг: rank D12 = m2 ^ r1.
Предположение а) не ограничивает общности, так как если оно не выполнено, то к системе следует применить преобразование, указанное в [23], которое приводит систему к виду, для которого предположение а) выполнено. Предположение б) является стандартным для задач управления. Предположение в) гарантирует [25], что для любого регулятора К система Fl(Fu(M, А),К) удовлетворяет неравенству Fl(*)||2 < |^(*)||те. Предполо-
т
жения г) и д) гарантируют невырожденность уравнений Риккати, которые будут приведены в дальнейшем.
Как известно, для синтеза регулятора, доставляющего минимум анизотропийной нормы замкнутой системы, необходимо решить систему из четырех связанных уравнений Риккати, уравнения специального вида и уравнения Ляпунова [25]. Рассмотрим первое дискретное алгебраическое уравнение Риккати из упомянутой системы относительно матрицы У € М2гах2га
Y = A1 Y A + LT£-1L +
где
L = £В!УA; £ = (Г2 - B\YB
-l
матрицы А, В\, С и 2 в блочном виде можно записать следующим образом:
A
A B2C B C3 A
Bi
Вз, C
C1
Y1C12 Y2C22 0
D12C 0 0
Y1D122C
\ 0 Y2D2,22<C /
(4)
C! C1 + Y2C12C12 + Y2C22C22 0
0 C T(DT2Dl2 + Y? DT,22Dl,22 + YM^D^C
1
Г = (71, 72, 71, 72) — блочная матрица, составленная с помощью некоторых положит
тельнык параметров 71 и 72. Матрица В3 имеет блочный вид В3 = (В01, В02, В01, В02) , в котором отдельные блоки получены из матрицы В0 следующим образом: В0 = [В01, В02],
В0 е Шпхк. В уравнении (4) матрица Ь е Е'х2п разделена на два блока Ь и Ь2. Решение У уравнения (4) называется стабилизирующим, если матрица У симметрическая, матрица Е положительно определена и матрица А + В1Ь гурвицева.
Приведем второе уравнение Риккати относительно матрицы Я е М2пх2п:
где
Ь„
Я - А' ЯА'Ш + С + Ь' Е — ,
Е'Ш (Вад ЯАад + С ); Еад = (/т1 — Вт ЯВад )
(5)
-1.
') .
матрицы А', В', С' в блочном виде можно записать следующим образом:
В1 + ВзЕ1/2
А'
А + ВзЬ1 В2С + ВзЬ2 ВС3 А
I С!
В'
В в.
33
В12С 71С12 0 С = 72С22 о
о 71В1,22^
У 0 72 В2,22<С' У
Решение уравнения (5) называется стабилизирующим, если матрица Я симметрическая, матрица Еад положительно определена, а матрица Аад + Ьт устойчива. Запишем третье уравнение Риккати относительно матрицы Б е Мпхп:
5 = АцБА^ + ВВт - Л0Лт,
(6)
где
т\о-1
0 = <С21Б(С21 + в в , Л = (АПБС21 + В в)0 Ап = А + ВзЬ1 + (В1 + ВзЕ1/2)Ь'1, а412 = В2С + ВзЬ2 + (В1 + ВзЕ1/2)Ь'2, В = (В1 + ВзЕ1/2)Е'/2, (С21 = Сз + ВззЬ'1, С22 = ВззЬ'2, В = ВззЕ'/2.
Решение Б = Бт е Мпхп уравнения (6) называется стабилизирующим, если матрица Б является положительно полуопределенной и матрица Ап — ЛС21 гурвицева.
И последнее, четвертое, уравнение Риккати относительно матрицы Т е М2пх2п выглядит следующим образом:
(7)
Т = А«ТА« + С« С« —
где
Т = ВИТВ« + В12В12. N = —Т-1(ВИТА„ + В12 С«).
матрицы Аи € Е2гах2га, Ви € Е2гахт2 и Си € ЕГ1Х2га в блочном виде можно записать следующим образом:
Л. = I Л № + B3El/2)i" + BL Л B = (B I, CU = ( C, 0 ) . (8) " 1 0 A + (B, + B3E1/2)Lw + BSL + B2C j , " \ 0 h " ^ 1 1
( B ), C- = ( Ci 0 )
Решение T = TT G R2nx2n уравнения (7) будем называть стабилизирующим, если матрица T положительно определена, а матрица Ли + БиN устойчива. Рассмотрим еще два уравнения:
P = (Aw + Bw Lw )P (Aw + Bw Lw )т + Bw £w BW, (9)
a = - indet (-j^w-- ) . (10)
2 ^trace (Lw PLw + £w) )
Уравнение (9) является уравнением Ляпунова, а уравнение (10) — уравнением специального вида.
Решение полученной системы из четырех уравнений Риккати (4)-(7), уравнения Ляпунова (9) и уравнения специального вида (10) позволяет предъявить [25] следующую реализацию регулятора K в пространстве состояний (3):
Л = Л,, + Л,2 - Л(С21 + C22),
B = Л, C = N, + N2.
Методы оптимизации не позволяют найти решение системы (4)-(7), (9), (10), поскольку уравнения в указанной системе не задаются выпуклыми функциями. Поэтому в статье рассматривается метод гомотопии, с помощью которого строится алгоритм, позволяющий получить матрицы стабилизирующего регулятора (3).
2. Метод гомотопии с ньютоновскими итерациями
Следуя [24], кратко рассмотрим основы метода гомотопии (метода Давыденко) решения нелинейных алгебраических уравнений. Пусть X — открытое подмножество пространства Rn, на котором задано достаточно гладкое отображение F: X ^ Rn. Требуется отыскать решение уравнения
F(x) = 0 (11)
относительно неизвестного вектора x G X.
Даже если для отображения F предположить существование и единственность нуля в X, возможны ситуации, когда численное нахождение такого решения плохо поддается локальным методам, успешность которых зависит от качества начального приближения.
Основная идея метода гомотопии, призванного преодолеть указанную трудность, состоит в замене (11) совокупностью уравнений, которые начинаются легко разрешимым уравнением и плавно переходят в уравнение (11). Решение очередного уравнения в этой цепочке опирается на должным образом откорректированное предыдущее уравнение.
Пусть Н: X х [0, 1] ^ Кп — гладкое отображение, которое удовлетворяет условию
Н(х, 1) = ?(х), х е X, (12)
а уравнение
Н(х, 0) = 0 (13)
имеет решение х0 е X, которое легко находится. Преобразование Н осуществляет гомото-пию (деформацию) отображения Н(-, 0) в отображение Н(-, 1) = т.е. гладкий переход от легко решаемого уравнения (13) к уравнению (12), которое требуется решить.
Фактически функция гомотопии представляет собой непрерывно дифференцируемую функцию
Н(ж(д),д) = 0, q е [0,1].
Таким образом, итерационный вычислительный процесс начинается с простой задачи с известным решением, которое деформируется посредством непрерывного изменения параметра q, пока не будет получено решение первоначальной задачи.
Предположим теперь, что отображение Н(-, q): X ^ Мп имеет единственный нуль £^) для любого q е [0,1], т.е.
НШ^) = 0. (14)
В частности, в силу (12), £(1) есть искомое решение уравнения (11). Если определенное таким образом отображение £: [0, 1] ^ X является гладким, то, дифференцируя левую часть уравнения (14) как сложную функцию от q, получаем
д Н
дхт
Здесь
иг ^ дН
.=«/(") + дН
= 0. (15)
ж=5(д)
д Н (д НДх^)'
дхт V )
— якобиан отображения Н(х, q) относительно вектора х, вычисляемый в (15) при х = £ В предположении о невырожденности якобиана, уравнение (15) разрешимо относительно производной £'^) = принимая вид
£' (q)- —' д ^
чдхт
1
д Н дq
х=5(д)
х=5(д) /
Собственно метод Давыденко заключается в замене уравнения (11) задачей Коши для системы п обыкновенный дифференциальных уравнений
дН\ 1 д Н
х'(^ = ^ —^ —, х(0) = х0. (16)
где q е [0, 1] играет роль фиктивного времени, а начальное условие х0 е X есть нуль отображения Н(-, 0), которое гомотопно исходному отображению 5".
Дискретный вариант метода гомотопии, рассматриваемый в данной работе, предполагает разбиение интервала [0, 1] для получения конечной последовательности задач
Н(х, <2к) = 0, 0 = 90 <91 < ... < 9м = 1.
Начиная с известного решения при 90, решение для Н(х, 9к+1) вычисляется с использованием локальной итерационной схемы — ньютоновских итераций.
3. Вычислительный алгоритм
Согласно описанному методу гомотопии, система (4)-(7), (9), (10) записывается в виде (11), где х Е — решение. В случае, когда необходимо найти реализацию матриц регулятора A, B, C в пространстве состояний (3), столбцы этих матриц следует последовательно соединить в один столбец, который и следует определить по вычислительному алгоритму. Для этой цели вводится оператор векторизации
col: Rnm,
сопоставляющий матрице X € Егахт вектор со1(Х), сформированный последовательно объединенными столбцами матрицы X:
col(X)
/хЛ
У xm )
Очевидно, что отображение col является линейной биекцией пространств Rnxm и Rnm. Ассоциируем регулятор K в виде (3) с вектором
Q
col(A) col (BB) col(C)
-2
Е s = n(n + m2 + r2),
и обозначим 7(^) = (М, К) . Систему уравнений (4)—( 10) для оптимального регулятора в зависимости от параметра 9 можно записать следующим образом:
F(q,Q) - Q = 0, A(q,Q) = а.
(17)
(18)
Первое уравнение объединяет алгебраические уравнения Риккати (4)—(7) и уравнение Ляпунова (9), в то время как второе уравнение есть нелинейное алгебраическое уравнение (10). Отметим, что при 9 = 0 решение уравнения (17) соответствует уровню средней анизотропии а = 0 и является решением задачи синтеза Н2—оптимального регулятора, который можно
легко получить с использованием стандартный методов. Таким образом, Н2-оптимальный регулятор является исходной точкой для метода гомотопии.
Далее, единственная гладкая ветвь решений Q: [0, q*) ^ Е5 уравнения (17), где
q*
||Я(М,К)|
-2
удовлетворяет дифференциальному уравнению
^ = д дТ
дq дq '
( дТ \-1
где 3 = — ^ , при начальном условии Q(0), соответствующем Н2-оптимальному регулятору. Вычислительный алгоритм метода гомотопии решения системы уравнений (17), (18) сводится к построению рекуррентной последовательности , Qk),к ^ 0, с начальной точкой (0^(0)). При фиксированном значении qk производится серия ньютоновских итераций
^,¿+1 = + 3^, )(Т^, ) — 1 ^ 1 < с начальным условием Qk,0 = Qk и условием остановки
Qfc,ífc Qfc,1k— 1
1к
< е,
где е > 0 — заданное число. После этого следующий элемент последовательности вычисляется способом, указанным ниже:
+ А^к , Qfc+l Qfc,¿k
+ AQfc,
где
Aqfc = <
) — qfc
2 ,
а — Д^, Qfc,гk)
тах Д^-, Qj•г.) < а;
дД + дДз дТ) ^ ^)
дд + дд 3 ддУ (Ук ) д Т
AQfc = 3 ^ ) "д^ ^ .
(19)
(20)
Для реализации данного вычислительного алгоритма необходимо получить явные анали-
дТ дД дД
тические выражения для производнык матричнозначнык отображений ——, ——, ——. Эти
дд дд дд
производные описываются в [27, 28, 29], и для конкретной системы (4)-(7), (9), (10) будут выведены в последующих параграфах работы.
Условие
ПД^ ^) — а| ^ П
та^-,1^1 ) < е
I а ^ 1 ]
используется для остановки процесса вычисления последовательности ^, Qk). Сходимость алгоритма зависит от выбора значений параметров 7^ г =1, 2.
4. Дифференцирование матричнозначных отображений
Как видно, в уравнении (16) присутствуют производные матричнозначных выражений. В этом разделе подробно рассмотрено матричное дифференцирование на примере уравнения Риккати. Все полученные ниже выражения потребуются для вычислительного алгоритма. Для любых матриц А € Егхр, В € ЕрХ9 и С € [26]
со1(АВСт) = (С 0 А) со1(В),
где С 0 А — кронекерово произведение матриц С и А. Для любой матрицы А € Ерх? [26]
со1(Ат) = Хм со1(А)
(21)
где
= 2-1 _|(рд-1) + 1;к
(22)
и внутренний цикл берется по к = 1,Р9, а внешний — по ] = 1,Р9. Производная |-у гладкого матричнозначного отображения У: Мрх? ^ Мг Якоби д со1(^^ размерности (гв) х (р9).
д со1(Х )т
Для упорядоченного набора матричнозначных отображений У1,
представляет собой матрицу , УЬ, зависящих от ма-
триц Х1, ..., Х0 полагаем
д(Уь...,П) д(Х1,...,Х0)
/ 9Ц
дХ1
ЭУ1 \
9УЬ \ дХ1
дУь дХ /
Для любых гладких отображений X: ^ Ерхд и У:
трицы Z,
д (ХУ)
(23)
, зависящих от ма-
дХ
дУ
дZ
= (У 0 /р)—+ (/г 0 Х) —
дZ
дZ
и
д (Х 0 У)
дХ
дУ
(1 0 Тга>в 0 /,) (/** 0 со1(У)) — + (со1(Х) 0 V)—) .
Для любой блочной матрицы А с блоками А^ (Х) € Е"-^™2, г, ] = 1, 2,
(24)
дА = А ( Аи(Х) А12(Х) 1 = _д_ дХ дх1Аи(Х) А22(Х)) дХ'
0 0 0 0 + i 1 0 1 0 а21(х)+ ( 0 1
1 0 Ац(Х)+ ( 01 I 0 А12(Х) + 0 0 11 0 0 12
( П о ЛТ а? чдАц \
(12 0 Тть2 0 /щ
дА21 дХ дА12 дХ
дА22
у (^2 0 0 ) дХ /
0 А22 (X П =
(/2 0 Тть2 0 /п2 )
(/2 0 Тт2,2 0 /п1) (/2 0 Тт2,2 0 /п2)
(25)
—►
В частности, если п = ш^- = п при г, = 1, 2, получаем
дА
д ( Ац(X) А^)
дX д^А21 (X) А22 (X)
(12 0 Тп,2 0 1п)
Для любой блочно-столбцовой матрицы В с блоками В^^) е
( дЛи \ дХ дА21 дХ дА 12 дХ
дА22
\ дХ )
п,- X т
г = 1, 2,
дВ
д ( Bl(X)
дX д* К 0) 0В^) + (0 i ^=
0 Тт1,2 0 1п1) дХ1^
дВ2 дХ
у (/2 0 Тт1,2 0 ^ ) °ОХ2 /
Для любой блочно-строчной матрицы С с блоками С^^) е Епхт, г = 1, 2
^ = ^(С^) С2т) = ^ 1 0) 0 С1т + (0 1) 0 C2(X)
= ((/2 0 Тт1,1 0 /п)^ (/2 0 Тт2,1 0 /п)Ц) . (26) Векторизованное решение X е Епхп уравнения Ляпунова
— X + У + Ут = 0,
где А, У е Епхп — некоторые заданные матрицы, а матрица А устойчива по Шуру, имеет вид [26]
со^) = (/п2 — А х А)-1(/п2 + Хп,п) со1(У). (27)
Стабилизирующее решение Б е Епхп алгебраического уравнения Риккати
Б = АБАт + ВВт — Л0Лт,
где
0 = СБСт + ВВт, Л = (АБСт + ВВт)0-1,
А е Епхп, В е Епхт, С е Ерхп, В е Ерхт — заданные матрицы, единственно и гладким образом зависит от матриц А, В, С, В в окрестности тех их значений, где оно существует. Производные стабилизирующего решения Б алгебраического уравнения Риккати и сопутствующих матриц 0, Л имеют вид [26]:
дБ
д(А В С В) = (/п2 — 0 А) + Хп,п((ЛС) 0 ^))-1(/п2 + Хп,п) х
х ( ([^Б,В — ЛВ] 0 /п) — ([ВБ,В — ЛВ] 0 Л) ), (28)
д©
д (А, В, С, Я) дЛ
д (А, В, С, Я)
(С 0 С)
д (А, В, С, Я)
+ [0р2хп(п+т), (/р2 + ^рК^^ 0 Вр^
= (©-10 /щ Н(С 0 А)д (А, В, С, Я)'
+([С£, Я] 0 /га), Тр>га([А5, В] 0 /р)] - (/р 0 Л)
д©
д (А, В, С, Я)
где Р = А - ЛС.
5. Выражения для матричных производных
гт д(Г, А)
Получим явные аналитические выражения для производных ———, используя правила
д(Ч,
дифференцирования матричнозначных отображений, установленные в предыдущем параграфе.
Обозначим
^п = /2 0 Тщ2 0 /щ.
Пусть I = + 82 + и 8 = 1 + П2 + пр2 + ИТО2.
В соответствии с формулами (23)—(26), производные матриц замкнутой системы по параметру 9 и матрицам регулятора А, В, С можно выразить следующим образом:
дА
2 Л
2х 2
0 2х 2 0 2х 2 / 2
дА
дВ
0 2 р 2х р
С2 0 /
0 2х р
0
дС?
р
2 N
ип2хт2п 0п2 хт2п
/п 0 В2
0 2 х т2
^ = (/2 0 Тщ,1/р1)( 0ПР1хПр2
дС ' р \/п 0 Я12
дВ 1
д (А, В ,(7)
д(9,А,В ,С)
дВ 1 дВ 1 дВ 1 дА дВ дС?
дА? дА? дС?Л 04 п 2 х 1 —~ —~ —~ ,
02п 1х п2 02п 1х пр2 02п 1х пт2
дВВ 1
:1 дА? дВ дС?/ д(9,А,В ,С)
02п 1
: 02п 1х(«_1),
дВ 1
1
д (А,В ,С)
дС?
д (9, А, В?, С)
д (А, В 1,С,В?) д(А,В ,С)
д (А, В ЬС ,Р)
д (9, А, В ,С)
дС? Л
02пр1х1 02пр1х п2 02пр1х пр2 X I
дС? /
дА?
дА?
дА?
0
дА дВ? дС?
02п 1х п2 02п 1х пр2 02п 1х п т2
дС?
02пр1х п2 02пр1х пр2 ~
дС?
\ 0р11х п2 0р11х пр2 0р11х пт2 )
д( а? , В? 1,С ,Я)
(4п 2+2п 1+2 пр1+р11)х 1
д (а?, В ,С)
(30)
(31)
2
Получим производные решения уравнения Риккати (4) и сопутствующих матриц. Дифференцирование первого уравнения из (4) дает
дУ , _т дУ
(А 0 А ) _—+
д(А,ВьС,В) д (А, В1 ,(4, В)
+ 0 С? А)т) + ((К А)т 0 /2,,)) т.2„,„ + (Ьт 0 ьт) д(347111-14:В4> +
д" дГ
+ -- - - + С(/2п 0 (П-1Г)т) + ((П-1Г)т 0 /2п^Т2п1-^-—. (32)
д(А,Вь4,В) К ( ) ) (( ) } д(А,ВЬ<4,В)
Можно видеть, что
дА
д(А,В 1,(4 ,В) дВ 1
д (А,В 1,(4 ,В)
Также
д {В 1У А) д (А, В1 ,(4 ,В)
д (В В 0)
( ^4п2 04п2 X 2п1 04п2 х 2пр1 04п2хр11 , (33)
02п1х4п2 /2п1 02п1х 2пр1 02п1хр11 Ь (34)
/2п0 (В1^) ((УА)1 0 /г)Т2п,г 02п1 хпр1 02п1хр11 ( 0т11х4п2 ((У^в0Г 0/1 )^2п,1 0т11х2пр1 0т11 х т1 р1
д (А, В 1,(4 ,В)
Дифференцируя очевидное равенство ПП-1 = /, получаем
дП-1 . _ дП
(/ 0П)—_ _ _ _ +(П-1 0 /¿) _ _ _ _ !(а4,вВ 1,(4, " д (А, В 1,(4,В)
где ф = 4п2 + 2п/ + 2пр1 + р1/. Отсюда следует, что
-ч2 х^,
дП дП-1
— (П-10 /1 )-1(/10 П) _ ^ Ч. (35)
д (А, В 1,(4 ,В) д (А, В 1,(4 ,В)
С другой стороны, с учетом (34) и (21), имеем
дП-1 ^ „ чт дУ
_ _ _ _ = — (В 1 0 В 1)т-д (А, В 1,(4 ,В) д (А, В 1 ,(4 ,В)
— (((В^) 0 / )Т2п,1 + (/1 0 (В1У))) _ _В1 . (36)
Далее,
■ _ = ((АУв? 1) 0 /1) _ ^ _ + (/2п 0 П) д(В_тУА^ (37)
д(ДВьС,Я) д(ДВьС,Я) д(ДВьС,Я)
и
д~
д (а?, В 1,С,Я) =04п2х^. (38)
С учетом приведенных выражений (33)—(38), можно записать вид производной для
дт
из (32)
д(А,Б 1,С ,1) дУ
= /4п2 - (а?т 0 А?т) + Т2п,2п(Ьт 0 Ьт)(Вт 0 Вт) -
д (ДВ 1,С,Я)
- (/4п2 + Т2п)2П)(а?т 0 (В^)} (/4п2 + Т2п,2п^ (((/2п 0 0^) +
(/2п 0 (^В^У))) ? ^ + (((Уа?)т 0 Ьт)Т2п,1 -
7 д(Д В1, С, Я) у
- (Ьт 0 (Ьтвт^))) _ дВ^ 1. (39)
;д(Д В1, С, Я) /
ду
Подставляя выражение (39) для производной —^—г—— в формулу (36), можно
д(А,Б 1 ,С,1)
дп-1
получить производную ^ ^— ^ , и затем по формулам (35) и (37) — производные
дп д£ ' ь '
—^^—г—— и —г—г—г—— соответственно. Более того, д(А,Б 1, <С, I) д(А, Б 1,С,1)
д£ -т -т дУ
_ д _ = (Вт 0 (ПВт)) _ _ _ +
д(Д В1, С, Я) д(Д В1, С, Я)
-т ~ - т дП ~ - т дВ 1
+ ((ВтУГВо)т 0 /)-д-+ ((УВо)т 0 П)Т2п1-—-. (40)
(( 1 0) " д(ДВьС,Я) (( 0) ) ' д (Д В1, С, Я) V }
Затем, используя выражения (37) и (40), получим производные
дЬ дЬ д (А, В ЬС ,Я)
д(9, А, ВВ,С?) д(А, В,С,Я) д(9, а?, ВВ 1,С?) д£ _ д £ д (А,Д 1 ,С? ,Я)
д(9, А?, в? 1, С) д(А, Б,С,Я) д(9, А?, в?,С?) ;
д(А,Б 1,(5 ,в1)
где производная-^ ^ ^ определяется формулой (31).
д(д,А,Б ,С)
(41)
(42)
Поскольку
{ дЬ1
дГ
д(q, А, В,С)
\
д(д, А, В ,С) дЬ2
V д(д, А, В ,С) )
и М = Г1 + Г2, имеем
дМ
д^,А,В, (С)
/п1 /п1
дГ
д(q, А, В,(4)
(44)
Определим производные матриц Аад, Вад и из уравнения Риккати (5) реализации вспомогательной замкнутой по матрицам регулятора А, В, С:
-а
-а
д ^,А,В ,(4) д^,А,В ,(4)
+ П п
/(/п0 В1) 4 х
д(д,А,В ,С)
0п2х«
дЬ2
(/п 0 В1)
д(д, А, В, С)
V
0п2Х 5
/
дВ,(
д(q, А, В,(4)
(Тть2 0 /п)
/ !т п \ дх
' (/т1 0 В1)
д(д,А,В,С) | +
\
;пт1 х 5
/
+ (Тт1,2 0 /п)
0
пт1 х 5
V
/ ^т т ч дВ (В21 0 /п)
д(д,А,В) /
дС„
д(4
д(q, А, В,(4) д^,А,В,(4) где
дВ
производные
д ^,А,В ,(4) дЬ1 д£2
х 1 0 пр2 х п2 /пр2 0 пр2 х т2 п
и
д (д,А1,^ ,С4) д (д,А,В ,(4)
д^4 дС
нием (41), а производные
( 0пр2 х 1 0п
определяются блочным разбиением (43) и выраже-
и
дХ
д(д,А,В,С) д(д, А, В,С) д(д, А, В,С) (30) и (42) соответственно. Тогда
определяются формулами
/ дАщ
д а1, ВВ ,С)
\
д (д, А, В ,С)
дВ д (д,А,В ,С)
дСу,
V д(д,А,В,С) }
и
д(Аад,ВШ,СШ) [ дАи,,Ви,,Ст д(А ад, Bw, Сад )
д (^дВ ,С) V дд д(1,В )
Производные стабилизирующего решения Я уравнения Риккати (5) и сопутствующих матриц ^, Е,^ по параметру q и матрицам реализации вспомогательной системы ^ имеют вид
-Я
д(q, Aw ,Bw ,Cw)
-1
■ х х Т Т Т Т I
^4п2 — (А™ 0 Aw) — ^2п,2п(^ Bw 0 ^ Bw) | х
х ^ C0l(CWCw) + (/4п2 + Т2п,2п) 001(^ВWCw), (/4п2 + Т2п,2п)
(/2п0 (AW + ^BW)Я),
Й 0 ЙBWЯ)) + ((А^,Я) 0 )Т2п,т1, (/2п 0 q(CW + ^ВW))
д Е„
Т Т
((Е; В; )0(Е; В; ))-
дЯ
+
д (q,Aw ) ; ^ д )
( 0т1 х 1 0т2х4п2 (/т1 + ^т,1,т,1 )(Е; 0 (Е;Я)) 0т1х2пр1 )
дЕ; , л . _ ^ -Я
-((^Е-1) 0/т1)-
Т т
+ ^ 0(Еw Bw ))-
д(q,Aw,Bw,Cw) 44 w ^ ,Bw,CwГ д(q,Aw^,Cw)
+ ( ((в;Cw)т 0 Еw) (/2п0 (ЕwBWЯ)) ХтЬ2п^0 (ЯAw)т) (/2п0 (qЕwВW)) ) .
Очевидно, что
-Г
д (q,Aw ,Bw ) д Еw
дд д(А W , ^ , CW )
дХW дХW
д(q,Aw ,Bw ,Cw
С учетом блочный разбиений (45), (46) и (47) можем записать
д^ / дlw дlw д(а w , ВШ , cw )
д(q,а4,вв,(4) v дд д(aw,bw,cw) с)(а,в,с)
деw ( дХw дХw д(а w , bw , С'Ш )
дА4,Вв,С) V дд дА,Bw,Cw) д(Аг,В?,С)
Поскольку
-Г
д(q, А, В,(4)
/ дЬ^ \ д(д,А,В С)
дL2w
\д(д,А,В,С) У
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
и = + ¿2т, то
дМт = (/ / )_^__(51)
д(9, а?, ВВ,С) 1/пт1 /пт^ д(9, А?, ВВ,С). ( )
дР
Чтобы определить матричную производную-^ ^ ^ , рассмотрим уравнение Ляпу-
д(д,А,Б ,С)
нова (9). По формулам (24), (27)
дР
: {/4п2 - (Аад + В ) 0 (А + в
)}-1(В ов т /)
д дР
= {/4п2 - (Ат + В ) 0 (А + в
)}_1 х
дЬт
х (/4п2 + Т2п,2п)(((Ат + Вад¿т)Р) 0 Вад),
д Р
{/4п2 - (Ат + В ) 0 (А + в
)}_1 х
д (Ат ,Вт )
и тогда
х (/4п2 + Т2п,2п^ ( (Ат + В )Р (А + в
)рьт+в 0 /2п ,
дР дР д(Ат ,Бт )\
04п2 х 1 ^^--^ ^ ^ +
д9, А?, В? ,С) V д (Ат ,Бт) д (А, Б ,С)
дР дЬт дР д
дЬт д(9, А?, В, С?) дд(9, А?, В, С?) '
Найдем производную-^ . Поскольку
д (9, А, Б ,С)
2 Ф
где Ф = 1хасе(ЬтРР^ + ), имеем
д А дА д Ф ЗА д ()
+ я^ „, ^ (52)
д(9, А?, В, С?) дФ д(9, А?, в?, С?) дд(9, А?, В, С?) где
дФ дФ дР д Ф дЬт дФ дЕ„
д(9, А?, В, С?) дР д(9, А?, в?, С?) дЬт д(9, А?, в?, С?) дд(9, А?, в?, С?)
дФ дФ дФ
— = со11гасе(ш1)(Ьт 0 ¿т), = 2 соИгасе(т,1)((Ьт Р) 0 /т1), ^г" = соИгасе(ш1),
дР др,, д
матрица со11хасе(т1) е Е1хт1 образована последовательным объединением транспониро-
дД дД
ваннык столбцов единичной матрицы /т1 и производные —— определяются как
дФ дХ!
дД ш1 дД 1
— соигасе(ш1)(/т1 0 Еw).
д Ф 2Ф' д Е„
2
Найдем производные матриц реализации замкнутой системы из уравнения Риккати (6) в пространстве состояний А;1, В;, С21 и В21 по параметру q и матрицам регулятора А, В, С:
-А
11
д(q, А, В,(4)
д(А + ВзГ1 + (В1 + ВзЕ1^;) . _ „ . дГ^
- = (/п 0 Вз)-
д(q, А, В,(4)
д ^,А,В ,(4)
+
+ (/п 0 В1^ ^ + (Г^ 0 В1^ -Е ^ + (/п 0 (В1Е))- -Г1!
дВ
д(q, А, В,(4) -(—1 + ВзЕ1/2^/2
д(q, А, В,(4)
д ^,А,В ,(4)
д ^,А,В ,(4)
д ^,А,В ,(4)
дЕ1/2 дЕ = (/т1 0 (—3 + В1Е))--, + (ЕW/2 0 В1) -
д(
_= д(Сз + ВззГ^)
д (q, АТ, ВВ ,(7) д^,А,В ,(7)
= (/п 0 Взз)
д(q, А, В,(4)
дГ1! д (д, ВВ ,С)
д(q, А, В,(4)
дВ
д ^,А,В ,(4)
= (/т1 0 Взз)
д Е!/2
д(q, А, В,(4)
/ д^4
д(А;; , В, С21, В)
д ^,А,В ,0)
= (/т1 Взз)
-е!/2
д(q, А, В,(4)
11
где матричные производные
дЬ
1!
дЬ;
д (д, А, В ,С)
дВ
д (д,А,В С)
дС 21
д (д,А,В С) дБ
V д(д,А,В,С) дХ
и
д (д, А, В ,С) д(д, А, В ,С) д(д,А,В ,С) мулами (50), (43) и (42) соответственно, а матричную производную определить, продифференцировав очевидное равенство Е!/2Е!/2 = Е!:
определяются фор-
дх!/2
д(д,А,В ,С)
можно
!Е!/2 {(/т1 0Е!/2) + (Е!/2 0 /т1 )}-1 !Е
д(q, А, В,(4)
д^,А,В ,(4)
Производные стабилизирующего решения Б алгебраического уравнения Риккати (6) и сопутствующих матриц 0, Л по матрицам реализации системы А;1, В, С21, В, в соответствии
!
с выражениями (28)—(29), имеют вид
д с _ 1
'/п2 - ((А11 - Л Су 21) 0 а4ц) + Тп,п((Л^21) 0 (Ац - ЛС21))) х
д (А11,В ,С21,Я)
х (/п2 + Тп,п) (([(Ап -ЛС21)С,В-ЛЯ] 0/п) -([(Ац -Л^21)с,вВ-лЯ] 0Л)
д©
д(А11,В, СГ21, ЯГ)
= (С721 0 С21)
дС
+
дЛ
д(Ац, В, СГ21, ЯГ)
= (©-1 0 /п) (С21 0 Ац)
д(АшВ ,С21,Я)
+ ( 0р2хп(п+т1) (/р2 + ^р2,р2 )([С21С ВВ] 0 Вр2)
дС
д (Ап,В ,¿721,^0)
+
+ ([С721С, Я] 0 /п), Тр2,п([а4пС, ВВ] 0 /р2)] - (/р2 0 Л)
д©
д(АшВ, С21, Я)
(53)
Теперь можно выразить матричную производную
дЛ дЛ
дл
д (9, А, Б ,С)
_=_д(АШВ, ^21,рР)
д(9, А?, ВВ,С?) д(АШВ,^21,^^) д(9, А?, ВВ,С?) д(А111,вВ , С21, I)
следующим образом:
(54)
определяется выражением (53).
где матричная производная
Далее, найдем производные матриц Аи и Си реализации системы из уравнения Риккати (7) в пространстве состояний по параметру 9 и матрицам регулятора А, В, С?:
дА,,
д (9, А, В ,С)
где
©1 = (/п 0 (В3 + В1Е))
дМт
д (д,А,Б ,С)
2
0п2х« 0п2х«
\ ©2 ,
+ (/п 0 В1)
дС,
д (9, А?, В? ,С)
0
2пр1 х 8,
дм +(М! 0В1) дЕ
©2 = (/п 0 В2)
дС?
д (9, А, В ,С)
+ (/п 0 (Вз + В1Е))
д(д,А,Б ,С) дЫ„
д (д,А,Б ,С)
д (д,А,Б ,С)
+
/т т^ \ дм , „ ..т „ ч де + (/п 0 В1)____+ (Мт 0 В1)
Далее
д(А,, С,) д (9, А?, ВВ ,С)
д (9, А?, Б ,С)
( дАи \ д(д,А,Б ,С)
дС,
\д(д,А,Б,С) )
д(д, А, Б ,С)
(55)
дС?
д(9, А, В,С)
0 пт2 х 1 0 пт2 х п2 0 пт2 х пр2 /пт2 ,
дМ! дМ дХ и матричные производные-^ ^ ^ , -^ ^ ^ и-^ ^ ^ определяются выраже-
д (д,А,В ,С) д(д, А, В ,С) д(д,А,В ,С) ниями (51), (44) и (42) соответственно.
Производные стабилизирующего решения Т алгебраического уравнения Риккати (7) и сопутствующих матриц Т, М по матрицам реализации системы (8), в соответствии с формулами (28)-(29), имею вид
дТ
-(А„,В,,,С„.5иГ — ^^ + ^ —
ч -1
— Т2п,2п((Аи + Жтвт) 0 (^Х)) | (/4п2 + Т2п,2п) х
х ( [/2п, Жт] 0 (Аи + НтВти)Т (/2п N) 0 (Жтвт + ст) )
- Т , „т дТ
д(Аи,Ви,Си,Ви) 4 ^ ^ д(Аи,Ви,Си,Ви)
х ( /т22 + ^т2,т2 ) 0т2 х4п2 (/т2 0 (ВиТ)) 0т2х2пр1 (/т2 0 В„)
д^ . . дТ
дТ
— (/2п0 Т-1Н(Аи0 Вт) д(Аи,Ви,Си,Ви) +
д(Аи,В(,Си,Ви) 'Г и ^д(Аи,Ви,Си,Ви)
+ ( (/2п0 (ВтТ)) Т2п,т2 (/т 0 (А^Т)) (/2п 0 Вт) Т2п,т2 (/т2 0 (Г) ) +
т дТ
+ (Ж 0/т2 )-
д (Аи,Ви,Си,Ви) О ме им, ч о
дЖ ( дЖ дЖ дЖ дЖ
д(Аи,Ви,Си,Ви) V дАщ дВи дСи дБи Производные матриц регулятора имеют вид
-А -А -М! -А -л
+ ттт____+
д(q, А, В, (7) дМ! д(q, А, В, С4) дЛ дА, В, С)
дА дМ дА дЕ -41 д(С
+ ^____+ ^____+ —______(56)
дМ д(q, А, В, (4) дЕ д(q, А, -В, (4) дС дА, -В, (4)
дВ дЛ дС ( ) дЖ (.7)
/пт2 /пт2 ) „ , ^ ^ , (57)
д(q, А, В,(4) д(q, А, В,(4) д^,А,В,(4) у 7 д^,А,В,(4)
где
дА4 дА4
— = — (С2 + В2;М!) 0/п, д-4 = /п0 (Вз + В;Е! — ЛВ21),
дА4 дА4 дА4
— = /п0 —2, — = /п0 В; , — = М! 0 В; ,
-<4 дМ дЕ !
-Ж дЖ д(Аи, Си)
д^, А, В, С4) д(Au, Си) -А, В, (7)
и матричные производные
дМт дЛ
дМ
д £
д (Аи,Си)
д(д,А,Б,С) д(9, А?,В?, С?) д(9,А,В, С?) д(9, А, В, С?) д(9,А,В, С?)
определяются выражениями (50), (54), (44), (42) и (55) соответственно.
Теперь можно сформировать матричную производную дТследующим образом:
д(д, я)
д т (9,д) д (9,3)
где матричные производные
\ д(д,А,Б,(?)
дБ?
дС
и
жениями (56)—(57). Поскольку
д (д,А,Б ,С) д (д,А,Б ,С) д (д,А,Б ,С)
определяются выра-
дТ(9,3) = / дТ(д,д) дТ(д,0) д(9,3) V дд дд
дТ дТ
можно легко получить матричные производные —— и ——.
дд дд
Напомним, что производная
дЛ(<?,<Э)
дд
определяется выражением (52) и
дА(9,3) = а дА(д, о) дА(д, о) д (9,3) V дд дд
дА(д, о) дА(д, о) откуда нетрудно получить производные---и
дд
Заключение
дЯ
В данной работе предложен метод решения задачи анизотропийной -оптимизации на базе метода гомотопии. Применение разработанного алгоритма для решения специфической системы матричных уравнений, получаемой в задачах анизотропийной теории, позволяет успешно находить корни этой системы, в то время как стандартные методы выпуклой оптимизации оказываются не пригодны для использования. Подход на базе метода гомотопии является предпочтительным из—за того, что он основывается на заранее подобранном первом приближении решения задачи оптимизации, в качестве которого выбран Н2—регулятор, которое потом преобразуется в требуемый анизотропийный регулятор с помощью специальным образом организованного итерационного алгоритма. Также в работе изложены основные понятия дифференцирования матричных выражений и приведены примеры, которые могут быть полезны при реализации любых численных или аналитических
вычислений. В приложении приведены свойства кронекерова произведения матриц и дифференцирования ма рицы по ма рице, ко орые позволяю упроща ь громоздкие формулы производных от матричных выражений.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №12-07-00267.
Приложение
В этом разделе приведем свойства, которые использованы для упрощения громоздких выражений матричных производнык, полученный в предыдущих разделах. Всегда достаточно использовать только формулы (24)-(25) для дифференцирования любого матричного выражения, однако, более компактная запись матричных производнык упрощает дальнейшие выкладки и о ладку численных алгори мов при моделировании. Все ниже приведенные свойства справедливы для любык матриц А, В, X и У соответствующих размерностей. Символом Тр д обозначен специальный оператор (22).
(А 0 /п)(В 0 /п) = ((АВ) 0 /п);
(/п 0 А)(/п 0 В) = (/п 0 (АВ));
(Авх* 0 /р)(/* 0 Врх9) = (/в 0 Врх9)(Авх* 0 /,) = (А 0 Врхд);
Тг,р(Архд 0 /г= (/г 0 Архд);
1 х _ / •
1 2п,2п 1 2п,2п — -Мп2;
Т Т = / ;
(А А ) = (А А) ;
(А-1 0 /п)-1(/п 0 Ап) = (Ап 0 Ап), (/п 0 Ап)-1(А-! 0 /п) = (А-1 0 А-1);
(Архд 0 Архд— ^р,р(Архд 0 АрхдX (Архр 0 )^р,д — (/д 0 Архр);
(/р 0 Архд)^р,д — ^р,р(Архд 0 /p), (Архд 0 /р)^д,р — ^р,р(/р 0 Архд);
(/р 0 Впхд)^р,д — ^р,п(Впхд 0 /p), (Архд 0 — (/г 0 Архд);
дХрхд _ т _
!Х = 7рд;
!Хрхд
дХрхд _ ^ дХрхд
"дУ = 1р,д "дУ .
!Урхд !Урхд
Список литературы
1. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. State-space solution to standard H2 and H^ control problems // IEEE Trans. Automat. Control. 1989. Vol. 34. P. 831-847. DOI: 10.1109/9.29425
2. Zames G. Feedback and optimal sensitivity: Model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses // IEEE Trans. Automat. Control. 1981. Vol.26, no.2. P. 301-320. DOI: 10.1109/TAC.1981.1102603
3. Doyle J., Zhou K., Glover K., Bodenheimer B. Mixed H2 and H^ performance objectives II: Optimal control // IEEE Trans. Automat. Control. 1994. Vol.39. P. 1575-1587. DOI: 10.1109/9.310031
4. Francis B.A. A Course of H^ Control Theory // Berlin, Heidelberg: Springer, 1987. 141 p. (Ser. Lecture Notes in Control and Information Sciences; vol. 88.). DOI: 10.1007/BFb0007371
5. Berman N., Shaked U. H^, Control for Discrete-Time Nonlinear Stochastic Systems // IEEE Trans. Automat. Control. 2006. Vol. 51, no. 6. P. 1041-1046. DOI: 10.1109/TAC.2006.876808
6. Gerson E., Shaked U., Yaesh I. H^, control and filtering of discrete-time stochastic systems with multiplicative noise // Automatica. 2001. Vol.37. P. 409-417. DOI: 10.1016/S0005-1098(00)00164-3
7. Scherer C. Theory of Robust Control. Mechanical Engineering Systems and Control Group Delft University of Technology The Netherlands. April 2001. 160 p.
8. Scherer C., GahinetP., Chilali M. Multiobjective output-feedback control viaLMI optimization // IEEE Trans. Automat. Control. 1997. Vol. 42. no. 7. P. 896-911. DOI: 10.1109/9.599969
9. Semyonov A.V., Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P. Stochastic approach to H^,-optimization // Proceedings of the 33rd Conference on Decision and Control. Florida, USA. Vol. 3. 1994. P. 2249-2250.
10. Iwasaki T., Skelton R.E., Grigoriadis K.M. A United Algebraic Approach to Linear Control Design. London: Taylor and Francis, 1998. 304 p.
11. Gahinet P. Explicit controller formulas for LMI-based H^, synthesis // Automatica. 1996. Vol. 32. no. 7. P. 1007-1014. DOI: 10.1016/0005-1098(96)00033-7
12. Gahinet P., Apkarian P. A linear matrix inequality approach to H^, control // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 1994. Vol.4, no. 4. P. 421-448. DOI: 10.1002/rnc.4590040403
13. Apkarian P., Noll D.Nonsmooth H^-synthesis//IEEE Trans. Automat. Control. 2006. Vol. 51, iss. 1. P. 71-86. DOI: 10.1109/TAC.2005.860290
14. Apkarian P., Ravanbod-Hosseini L., Noll D. Time domain constrained H^-synthesis // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 2011. Vol. 21, iss. 2. P. 197-217. DOI: 10.1002/rnc.1589
15. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. State-space solution to anisotropy-based stochastic H^-optimization problem // Proc. 13th IF AC World Congress. San-Francisco, California, USA, June 30 - July 5, 1996. Vol. H. Paper IFAC-3d-01.6-H. P. 427-432.
16. Karny M. Towards fully probabilistic control design // Automatica. 1996. Vol. 32, iss. 12. P. 1719-1722. DOI: 10.1016/S0005-1098(96)80009-4
17. Diamond P., Vladimiriv I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. Anisotropy-based performance analysis of linear discrete time invariant control systems // International Journal of Control. 2001. Vol. 74, no. 1. P. 28-42. DOI: 10.1080/00207170150202661
18. Petersen I.R., James M.R., Dupuis P. Minimax optimal control of stochastic uncertain systems with relative entropy constraints // IEEE Trans. Automat. Control. 2000. Vol. 45, iss. 3. P. 398412. DOI: 10.1109/9.847720
19. Курдюков А.П., Максимов E.A. Решение стохастической задачи H^>-оптимизации для линейных дискретных систем с параметрической неопределенностью // Автоматика и телемеханика. 2006. №8. С. 112-142.
20. Тимин В.Н., Курдюков А.П. Многокритериальная субоптимальная анизотропийная фильтрация линейных дискретных стационарных систем // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления (ВСПУ 2014). М.: ИЛУ РАН, 2014. С. 901-910. DOI: 10.7463/0414.0704850
21. Андрианова О.Г. On some anisotropy-based analysis problems for linear discrete-time descriptor systems with nonzero-mean input signals // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. №4. С. 160-174. DOI: 10.7463/0414.0704850
22. Чайковский М.М. Синтез динамических анизотропийных субоптимальных регуляторов методами выпуклой оптимизации и линейных матричных неравенств // Конференция «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах» (УТЭ0СС-2012): матер. СПб.: ОАО «Концерн «ЦНИИ«Электроприбор», 2012. С. 316319.
23. Green M., Limebeer D.J.N. Linear robust control. N. J.: Prentice Hall, 1995. 538 p.
24. Ortega J.M., Rheinboldt W.C. Iterative solutions of nonlinear equations in several variables. New York: Academic Press, 1970. 599 p.
25. Юрченков А.В. Синтез анизотропийного робастного регулятора при структурированной неопределенности объекта управления // Управление большими системами. Вып. 50. М.: ИЛУ РАН, 2014. С. 24-57.
26. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Максимов Е.А., Тимин В.Н. Анизотропийная теория управления — новый подход к стохастической теории робастного управления // IV Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» (SICPRO'05): тез. пленар. докл. М., 2005. С. 9-32.
27. Курдюков А.П., Максимов Е.А., Чайковский М.М. Решение задачи стохастической H^,-оптимизации для дискретных линейных стационарных систем с неопределенностью методом гомотопии // Труды Института проблем управления РАН, № XXVII. М.: Институт проблем правления РАН, 2006. C. 5-36.
28. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., Tchaikovsky M.M. Computing anisotropic optimal controller for system with parametric uncertainty via homotopy-based algorithm // Proc. of the V international conference «System Identification and Control Problems» SICPRO'06 (Moscow, Institute of control sciences, Jan. 30 - Feb. 2, 2006). Moscow: Institute of control sciences, 2006. CD-ROM.
29. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., Tchaikovsky M.M. Homotopy-based algorithm for computing stochastic H^-optimal controller for LTI-system with uncertainty // Proc. of the 7th International Technical Conference on Process Control. Kouty nad Desnou, Czech Republic, 2006.
Science ^Education
of the Bauman MSTU
Science and Education of the Bauman MSTU, 2014, no. 11, pp. 635-663.
DOI: 10.7463/1114.0732189
Received: Revised:
01.10.2014 22.10.2014
ISSN 1994-0448
> Bauman Moscow State Technical University
Homotopy Method in Applied Problems of the Anisotropic Control Theory
Yurchenkov A. V.1'*
sasha_2264@mail.ru
1 Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: anisotropic control theory, homotopy method, matrix derivatives
The work describes a numerical method of solving the specific systems of matrix equations emerging in the tasks of the modern theory of control. Since the standard tasks of the control theory demand making a number of assumptions about input effect, at the slightest non-compliance the synthesized laws of control become either extremely inefficient or too much power consumable. As opposed to these assumptions, while setting the problem of anisotropic theory of control, it is necessary to know only the average anisotropy level of the input sequence. Consequently, anisotropic regulators are always found to be no worse than standard ones. In synthesis of anisotropic regulator a rather complex algorithm of its construction is the only difficulty. When considering a problem of ensuring robust quality of the control object in case of the structured uncertainty there is a need to solve a system of four connected Riccati equations, equation of a special form, and Lyapunov equation. To solve it by standard methods of convex optimization is impossible. The work shows how the standard mean square Gaussian regulator allows us to obtain as anisotropic regulator to meet requirements of robust quality when there is an imperfect knowledge of mathematical model of object of control, a lack of exact stochastic characteristics of the input control, parametrical uncertainty, etc. The article offers an algorithm based on the homotopy method with the Newtonian iterations to solve a problem of anisotropic optimization. It presents a computing procedure to reach the objective. Using a task of searching the anisotropic regulator to minimize the maximum value of anisotropic norm of transfer function of the control object, the article describes required matrix derivatives of stabilizing solutions of Riccati equations, equation of a special form, and Lyapunov equation. Properties of Kronecker product and matrix differentiation with respect to matrix are given.
References
1. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. State-space solution to standard H2 and H^ control problems. IEEE Trans. Automat. Control, 1989, vol. 34, no. 8, pp. 831-847. DOI: 10.1109/9.29425
2. Zames G. Feedback and optimal sensitivity: Model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses. IEEE Trans. Automat. Control, 1981, vol.26, no.2, pp. 301-320. DOI: 10.1109/TAC.1981.1102603
3. Doyle J., Zhou K., Glover K., Bodenheimer B. Mixed H2 and performance objectives II: Optimal control. IEEE Trans. Automat. Control, 1994, vol. 39, no. 8, pp. 1575-1587. DOI: 10.1109/9.310031
4. Francis B.A. A Course of Control Theory. Berlin, Heidelberg, Springer, 1987. 141 p. (Ser. Lecture Notes in Control and Information Sciences; vol. 88.). DOI: 10.1007/BFb0007371
5. Berman N., Shaked U. Control for Discrete-Time Nonlinear Stochastic Systems. IEEE Trans. Automat. Control, 2006, vol. 51, no. 6, pp. 1041-1046. DOI: 10.1109/TAC.2006.876808
6. Gerson E., Shaked U., Yaesh I. control and filtering of discrete-time stochastic systems with multiplicative noise. Automatica, 2001, vol.37, iss. 3, pp. 409-417. DOI: 10.1016/S0005-1098(00)00164-3
7. Scherer C. Theory ofRobust Control. Mechanical Engineering Systems and Control Group, Delft University of Technology, The Netherlands, April 2001. 160 p.
8. Scherer C., Gahinet P., Chilali M. Multiobjective output-feedback control via LMI optimization. IEEE Trans. Automat. Control, 1997, vol. 42, no. 7, pp. 896-911. DOI: 10.1109/9.599969
9. Semyonov A.V., Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P. Stochastic approach to H^-optimization. Proceedings of the 33rd Conference on Decision and Control, Florida, USA, vol. 3, 1994, pp. 2249-2250.
10. Iwasaki T., Skelton R.E., Grigoriadis K.M. A United Algebraic Approach to Linear Control Design. Taylor and Francis, London, 1998. 304 p.
11. Gahinet P. Explicit controller formulas for LMI-based synthesis. Automatica, 1996, vol. 32, iss. 7, pp. 1007-1014. DOI: 10.1016/0005-1098(96)00033-7
12. Gahinet P., Apkarian P. A linear matrix inequality approach to control. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 1994, vol.4, no. 4, pp. 421-448. DOI: 10.1002/rnc.4590040403
13. Apkarian P., Noll D. Nonsmooth H^-synthesis. IEEE Trans. Automat. Control, 2006, vol. 51, iss. 1, pp. 71-86. DOI: 10.1109/TAC.2005.860290
14. Apkarian P., Ravanbod-Hosseini L., Noll D. Time domain constrained H^-synthesis. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2011, vol.21, iss. 2, pp. 197-217. DOI: 10.1002/rnc.1589
15. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. State-space solution to anisotropy-based stochastic H^-optimization problem. Proc. 13th IFAC World Congress, San-Francisco, California, USA, June 30 - July 5, 1996, vol. H, paper IFAC-3d-01.6-H, pp. 427-432.
16. Karny M. Towards fully probabilistic control design. Automatica, 1996, vol.32, iss. 12, pp. 1719-1722. DOI: 10.1016/S0005-1098(96)80009-4
17. Diamond P., Vladimiriv I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. Anisotropy-based performance analysis of linear discrete time invariant control systems. International Journal of Control, 2001, vol. 74, no. 1, pp. 28-42. DOI: 10.1080/00207170150202661
18. Petersen I.R., James M.R., Dupuis P. Minimax optimal control of stochastic uncertain systems with relative entropy constraints. IEEE Trans. Automat. Control, 2000, vol. 45, iss. 3, pp. 398412. DOI: 10.1109/9.847720
19. Kurdyukov A.P., Maximov E.A. Solution of the stochastic -optimization problem for discrete-time linear systems under parametric uncertainty. Avtomatika i telemekhanika, 2006, no. 8, pp. 112-142. (English translation: Automation and Remote Control, 2006, vol. 67, no. 8, pp. 1283-1310. DOI: 10.1134/S0005117906080078).
20. Timin V.N., Kurdyukov A.P. Multicriteria suboptimal anisotropic filtering of linear discrete stationary systems. Trudy 12 Vserossiyskogo soveshchaniyapoproblemam upravleniya (VSPU 2014) [Proceedings of the 12th National Conference on Control Problems]. Moscow, Institute of Control Sciences of Academy of Sciences, 2014, pp. 901-910. DOI: 10.7463/0414.0704850 (in Russian).
21. Andrianova O.G. On some anisotropy-based analysis problems for linear discrete-time descriptor systems with nonzero-mean input signals. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2014, no. 4, pp. 160-174. DOI: 10.7463/0414.0704850
22. Tchaikovsky M.M. Synthesis of dynamic anisotropine suboptimal controllers by the methods of convex optimization and linear matrix inequalities. Konferentsiya "Upravlenie v tekhnich-eskikh, ergaticheskikh, organizatsionnykh i setevykh sistemakh" (UTEOSS-2012): mater. [Proc. of the Conference "Control in technical, ergatic, organizational and network systems"]. St. Petersburg, Publ. of JSC "Concern "CSRI"Electropribor", 2012, pp. 316-319. (in Russian).
23. Green M., Limebeer D.J.N. Linear robust control. N. J., Prentice Hall, 1995. 538 p.
24. Ortega J.M., Rheinboldt W.C. Iterative solutions of nonlinear equations in several variables. New York, Academic Press, 1970. 599 p.
25. Yurchenkov A.V. Synthesis of anisotropic robust controller when structured uncertainty of the control object. Upravlenie bol'shimi sistemami. Vyp. 50 [Control of large systems. Iss. 50]. Moscow, Institute of Control Sciences of Academy of Sciences, 2014, pp. 24-57. (in Russian).
26. Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., Maksimov E.A., Timin V.N. Anisotropic theory of control is a new approach to the stochastic theory of robust control. 4 Mezhdunarodnaya konferentsiya "Identifikatsiya sistem i zadachi upravleniya" (SICPRO'05): tez. plenar. dokl. [Abstracts of the 4th International Conference "System Identification and Control Problems" (SICPRO'05)]. Moscow, 2005, pp. 9-32. (in Russian).
27. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., Tchaikovsky M.M. Solution of the problem of stochastic H^ optimization for discrete-time linear time-invariant uncertain systems by the homotopy method. Trudy Instituta problem upravleniya RAN. No. 27 [Proc. of Institute of Control Sciences. No.27]. Moscow, Institute of Control Sciences of Academy of Sciences, 2006, pp. 5-36. (in Russian).
28. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., Tchaikovsky M.M. Computing anisotropic optimal controller for system with parametric uncertainty via homotopy-based algorithm. Proc. of the V international conference "System Identification and Control Problems" SICPRO'06. Moscow, Institute of Control Sciences, Jan. 30 - Feb. 2, 2006. Moscow, Institute of Control Sciences, 2006. CD-ROM.
29. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., Tchaikovsky M.M. Homotopy-based algorithm for computing stochastic H^ optimal controller for LTI-system with uncertainty. Proc. of the 7th International Technical Conference on Process Control, Kouty nad Desnou, Czech Republic, 2006.
