CC BY
71
УДК 681.5.013 + 621.18.5 ББК 32.965
СИНТЕЗ РОБАСТНОГО Я^-РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ КОТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКОЙ 1
Курдюков А. П. 2 , Тимин В. Н. 3
(Учреждение Российской академии наук Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
В статье с использованием И^-метода формирования контура с ограничением на размещение полюсов передаточной функции замкнутой системы в заданной области с привлечением аппарата линейных матричных неравенств решается задача синтеза робастного регулятора для управления котельной установкой. Требования к замкнутой системе формулируются как в виде частотных ограничений на сингулярные числа передаточной функции разомкнутой системы, так и в форме ограничений на размещение полюсов передаточной функции замкнутой системы в заданной области на комплексной плоскости. Проведена редукция И^-регулятора полного порядка, полученного в результате синтеза.
Ключевые слова: управление котельной установкой, И^-теория управления, линейные матричные неравенства (ЛМН), метод формирования контура, расположение полюсов замкнутой системы в заданной области, редукция регулятора.
1 Работа выполнена в рамках Межсекционной программы ОЭММПУ РАН №2 "Проблемы управления и безопасности энергетики и технических систем".
2 Александр Петрович Курдюков, доктор технических наук, профессор, ([email protected]).
3 Виктор Николаевич Тимин, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, ([email protected].) (Москва, ул. Профсоюзная, д. 65).
Введение
Энергетические системы включают в себя разнообразные источники производителей электрической энергии. Широкое распространение получили тепло-энергетические установки. Преобразование энергии топлива при горении в топке котла в электрическую энергию представляет собой сложный многоуровневый процесс. На тепловой электрической станции первичная внутренняя энергия топлива при сгорании его в топках котлов превращается в тепло продуктов сгорания. Это тепло нагревает воду и превращает ее в пар, который подается на турбину. В турбине тепловая энергия пара переходит в кинетическую энергию движущейся струи пара. Пар, проходя с большой скоростью между лопатками турбины, заставляет ротор турбины вращаться. Механическая энергия вала турбины передается электрогенератору, в котором она превращается в электрическую.
Котельная установка состоит из собственно котла, топочного устройства, пароперегревателя, водяного экономайзера, воздухоподогревателя, каркаса, обмуровки, арматуры, котельно-вспомогательного оборудования и трубопроводов. Котел барабанного типа состоит из системы труб поверхностей нагрева, объединенных между собой барабанами и камерами. Паровой котел предназначен для получения насыщенного пара. Топочные устройства предназначены для превращения внутренней энергии топлива в тепловую энергию продуктов сгорания. В пароперегревателе происходит перегрев насыщенного пара до заданной температуры за счет тепла продуктов сгорания. В водяном экономайзере питательная вода нагревается за счет дополнительного использования тепла дымовых газов и направляется в собственно котел с температурой, близкой к температуре насыщения. Воздухоподогреватель предназначен для интенсификации и повышения устойчивости процесса сгорания топлива, а также дальнейшего использования тепла продуктов сгорания. В паровых котлах тепло, выделяющееся 180
при сжигании топлива, передается от продуктов сгорания воде и пару. Передача тепла осуществляется через поверхности нагрева, которые у современных котлов представляют собой трубные пакеты (пучки), в которых дымовые газы проходят между расположенными в несколько рядов трубами. В паровых котлах барабанного типа с естественной циркуляцией вода из барабана отпускается по необогреваемым (опускным) трубам в нижние сборные коллекторы и затем вместе с образующимся паром поднимается самотеком по обогреваемым (подъемным) трубам опять в барабан. В барабане вода отделяется от пара и снова направляется в водоотпускные трубы. Основными поверхностями нагрева котлов с естественной циркуляцией являются: экономайзер, в котором питательная вода нагревается до поступления в барабан, испарительные трубы и пароперегреватель. Перегретый пар под давлением подается в коллектор.
Математическая модель физических процессов, происходящих в котельной установке, является сложной многосвязной нелинейной системой, поэтому задача ее автоматического управления до настоящего времени является актуальной. В данной работе используется динамическая модель котельной установки, идентифицированная на основе данных, полученных на тепловой электростанции компании Syncrude Canada, Ltd. (SCL) в номинальном режиме работы [29]. Котельная установка барабанного типа с естественной циркуляцией обеспечивает на выходе давление перегретого пара 6,306 МПа и температуру 500°С. Регулирование давления и температуры перегретого пара осуществляется изменением расходов воздуха и топлива в топке, питательной воды и пароохладителя.
К работе котельной установки в нормальном режиме работы предъявляются следующие требования: давление пара в паровом котле должно поддерживаться на постоянном уровне независимо от количества потребляемого пара; количество воды в котле должно поддерживаться на желаемом уровне для
181
исключения перегрева или затопления; температура пара должна поддерживаться на желаемом уровне, чтобы предотвратить перегрев паранагревателя и предотвратить попадание мокрого пара в турбину. Кроме того, в результате неточности описания математической модели в нормальных условиях работы появляются колебания регулируемых параметров, которые регулятору необходимо сглаживать.
Для решения задачи автоматического управления котельными установкам применялись различные методы синтеза регуляторов, а именно: управление с помощью гауссовского линейно-квадратичного (linear quadratic Gaussian-LQG) регулятора [11], управление с помощью модифицированного линейно-квадратичного гауссовского (LQG/loop transfer recovery-LTR) регулятора [17], Ню -управление по подходу смешанной чувствительности (mixed-sensitivity approach) [24], управление с учетом внутренней модели (internal-model control-IMC) [25], управление с помощью Ню-метода формирования контура (loop-shaping Ню approach) [29].
Синтез законов управления котельной установкой с целью улучшения робастной устойчивости и качества переходных процессов составляет достаточно сложную и актуальную задачу. С этой целью в данной работе исследуется возможность применения Ню -робастных регуляторов, полученных с помощью Ню-метода формирования контура при ограничении на размещение полюсов передаточной функии замкнутой системы в заданной области.
С инженерной точки зрения под синтезом системы управления можно понимать построение системы управления, обеспечивающей выполнение всех предъявляемых к ней технических требований. Проектируемая система управления должна обеспечивать приемлемое качество переходных процессов, необходимую точность и грубость (робастность) к неопределенности в модели объекта управления.
Требования к проектируемой системе могут формулироваться как во временной, так и в частотной 182
областях [2]. Расположение и вид корней характеристического полинома (полюсов передаточной функции замкнутой системы) определяют характер переходного процесса. Поэтому требования к запасу устойчивости и быстродействию, не рассматривая кривые переходного процесса, можно сформулировать, накладывая ограничения на корни характеристического полинома. Таким образом, задавая ограничения на расположение и вид корней характеристического полинома, мы задаем ограничения во временной области на вид переходного процесса и, очевидно, на максимальные значения регулируемой величины, значения перерегулирования, времени переходного процесса и др.
Требования к расположению полюсов передаточной функции замкнутой системы в некоторой заданной области на комплексной плоскости позволяет задавать ограничения на:
• быстродействие, которое может быть оценено по степени устойчивости (абсолютной величине действительной части ближайшего к мнимой оси корня);
• запас устойчивости, который может быть оценен по колебательности (максимальному отношению мнимой части корня к его действительной части) или параметру затухания (коэффициенту демпфирования);
• максимальную угловую частоту собственных колебаний системы (максимальную абсолютную величину мнимой части корня).
Размещение полюсов передаточной функции замкнутой системы в области, изображенной на рис. 1, гарантирует:
• затухание колебаний переходных процессов не менее п ;
• коэффициент демпфирования (параметр затухания) не менее £ = сову (или колебательность не более у = Ьду)
• максимальную угловую частоту собственных колебаний системы не более = а tg
В настоящее время в теории управления широко используется аппарат линейных матричных неравенств (ЛМН) [1, 8, 9, 10, 15, 16, 27]. Он хорошо подходит для синтеза регулятора в обратной связи, когда различные требования к замкнутой системе можно задавать в виде ЛМН. Концепция расположения полюсов в выпуклой области, которая может быть описана ЛМН, предложена в [9]. Класс областей, описываемый ЛМН, представляет достаточно широкое множество областей для размещения полюсов, включая полуплоскости, круги, секторы, вертикальные и горизонтальные полосы, а также любые пересечения перечисленных областей.
В концепции из работы [9] процедура синтеза регулятора сводится к минимизации какого-либо критерия оптимальности на заданной ЛМН-области. Так в работах [9, 10] рассматривается задача синтеза -оптимального регулятора с расположением 184
полюсов замкнутой системы в ограниченной выпуклой области на комплексной плоскости, которая сводится к решению ЛМН. В русскоязычной литературе данный метод более подробно описан в [4]. Вопросы чувствительности к возмущениям и шумам, а также точностные характеристики при таком подходе считаются менее сложными и не рассматриваются, однако они требуют дополнительного решения.
Альтернативным подходом является синтез системы управления в частотной области. Одним из широко распространенных современных методов синтеза в частотной области для многомерных систем является -метод
формирования контура, предложенный в работе [19]. Он основан на -теории управления, в рамках которой проводится синтез робастных алгоритмов управления, учитывающих неопределеность в описании модели объекта управления и действующих внешних возмущений.
Под формированием контура при синтезе системы управления понимают метод, при котором непосредственно определяют форму амплитудной частотной характеристики передаточной функции разомкнутой или замкнутой системы. В работе [32] при анализе и синтезе многомерных систем управления было предложено применять сингулярные числа. Сингулярные числа комплекснозначной матрицы А определяются как квадратные корни из собственных чисел произведения матриц А* А, где А* - эрмитово сопряженная матрица. Зависимость сингулярных чисел передаточной функции от частоты в многомерных системах является обобщением амплитудной частотной характеристики в одномерных системах. В системах с одним входом и одним выходом эти понятия эквивалентны. Сингулярные числа характеризуют по соответствующему выходу многомерной системы коэффициент усиления на заданной частоте. Для заданной частоты минимальный (максимальный) коэффициент усиления многомерной системы характеризуется минимальным (максимальным) сингулярным числом. В многомерных системах требования к форме
185
амплитудных частотных характеристик передаточных функций замкнутой системы можно сформулировать в терминах ограничений типа неравенств на сингулярные числа многомерных передаточных функций замкнутой [14, 32] или разомкнутой [13, 19] систем.
Основная идея -метода формирования контура в многомерных системах состоит в том, что максимальные сингулярные числа матричных передаточных функций замкнутой системы могут быть непосредственно аппроксимированы в соответствующих частотных диапазонах максимальными или минимальными сингулярными числами матричной передаточной функцией разомкнутой системы [13, 19].
Следовательно, требования к замкнутой системе в методе формирования контура могут быть заданы в частотной области в соответствующих частотных диапазонах в виде требований к максимальным и минимальным сингулярным числам многомерной передаточной функции разомкнутой системы [13, 19]. Основные требования к разомкнутой системе состоят в следующем :
• высокий коэффициент усиления (ограничение снизу на минимальные сингулярные числа) на низких частотах, который позволяет уменьшить ошибку слежения и влияние возмущений на входе и выходе объекта управления;
• малый коэффициент усиления (ограничение сверху на максимальные сингулярные числа) на высоких частотах для подавления шума и повышение робастности к неопределенности в модели объекта управления;
• плавный переход в области частот среза контура с наклоном, близким к -20 дБ на декаду. В районе частоты среза коэффициент усиления контура не должен убывать быстрее чем -20 дБ на декаду для того, чтобы была желаемая робастная устойчивость, запасы по амплитуде и фазе, перерегулированию и затуханию [23, 28].
В работе [19] предложен оригинальный метод формирования контура для многомерных систем. В нем впервые выдвинута идея использования нормализованной левой взаимно простой факторизации [31] модели объекта управления для обеспечения робастной устойчивости на основе решения задачи оптимизации [12]. Центральным элементом в методе формирования контура, предложенным в данной работе, является задача робастной стабилизации [18]. В русскоязычной литературе более подробное описание -метода формирования контура приведено, например, в [3, 4].
Задача робастной стабилизации состоит в нахождении максимальной величины неопределенности (величины робастного запаса устойчивости), при которой один регулятор обеспечит устойчивость замкнутой системы для всего семейства возмущенных объектов с ограниченными по И^-норме возмущениями. В -методе формирования контура задача робастной стабилизации решается не для исходного, а для нового обобщенного объекта, образованного с помощью формирующих функций (префильтра и постфильтра). Обобщенный объект представляет собой последовательное соединение многомерных передаточных функций двух формирующих функций и исходного номинального объекта управления. Требуемые характеристики качества и робастности замкнутой системы обеспечиваются благодаря выбору соответствующих формирующих функций, а решение задачи робастной стабилизации гарантирует устойчивость замкнутой системы. Важно отметить, что в данном методе не требуется информации о фазовой характеристике номинального объекта. Кроме того, значение величины запаса робастной устойчивости является единственным индикатором, характеризующим степень достижения задаваемых требований к замкнутой системе.
Один из недостатков -метода формирования контура состоит в том, что в явном виде не представляется возможным задавать требование к качеству переходных процессов в виде ограничения на коэффициент демпфирования (параметр
187
затухания). В частотной области апериодичность переходного процесса определяется наклоном в -20 дБ на декаду графиков сингулярных чисел (в логарифмическом масштабе) в области частот среза. Удовлетворение ограничения на коэффициент демпфирования (близость к наклону в -20 дБ на декаду) в -методе формирования контура [19] может быть обеспечен только с помощью формирующих функций, выбор которых представляет собой достаточно сложную задачу (особенно в классе формирующих функций низкого порядка).
Как уже отмечалось, задача -оптимизации была сведена к решению системы ЛМН [15], выпуклая область на комплексной плоскости также описывается системой ЛМН [9]. Использование единого аппарата ЛМН позволило модифицировать -метод формирования контура с учетом дополнительных ограничений на расположение полюсов передаточной функции замкнутой системы. Так, в [22] для решения энергетической задачи используется -метод формирования контура с ограничением на коэффициент демпфирования. В [4, 5] используются идеологии -метода формирования контура и метода размещения полюсов передаточной функции замкнутой системы в заданной ЛМН-области для решения задачи подавления внешних возмущений. С помощью аппарата ЛМН решена задача Н^-управления энергетической системой в аварийном режиме.
1. Краткий обзор задачи Н^-оптимизации с ограничением на размещение полюсов
Основная идея метода, изложенного в работе [9], состоит в минимизации функционала качества с ограничением на принадлежность некоторому множеству, т. е. в условной минимизации функционала. Функционалом качества служит -норма передаточной функции замкнутой системы, а в качестве множества выступает выпуклая область на комплексной плоскости, задающая ограничение на размещение полюсов передаточной функции замкнутой системы.
Применение аппарата ЛМН позволило свести задачу синтеза
Нж-субоптимального регулятора с размещением полюсов передаточной функции замкнутой системы в ограниченной выпуклой области на комплексной плоскости к решению системы ЛМН (см. п. 1.2 настоящей статьи).
1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Нм-ОПТИМИЗАЦИИ С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА РАЗМЕЩЕНИЕ ПОЛЮСОВ
Рассмотрим структурную схема замкнутой системы управления, изображенную на рис. 2. Внешними входами замкнутой системы являются сигналы й\ на выходе объекта управления О и на его входе. Выходом замкнутой системы является измеряемый выход объекта у, а выходом %2 - управление и, формируемое регулятором Кж в положительной обратной связи. О - передаточная функция объекта управления от сигнала управления и к выходу объекта у0.
1 { ¿2 \ ¿2 г > - в К \ Г к ¿1
и Уо У
Рис. 2. Замкнутая система управления
В современной теории управления при постановке задачи синтеза регулятора используется понятие стандартного объекта
управления Р(в)
'Ри(в) Р21(в)
РФ) Р22(в)
(см., например, [12]).
Замкнутой системе управления (см. рис. 2) соответствует стандартный объект управления Р(5) (см., например, [4, 5] вида
189
(1)
¿1(в)" у(в)" '/^1 С(в)" й1(в) + С(в)
.¿2(в). м(в) 0 0 (¿2 (в) _
м(в),
у(в) = С(в)]
¿1(5) ¿2(в)
+ С(в)м(в),
где /¿1 и /¿2 - единичные матрицы соответствующей размерности, 5 - переменная оператора Лапласа, а ¿(в), у(в), ((в) и м(в) -преобразования Лапласа сигналов соответственно г, у, й и м.
Соответствующие блоки матрицы передаточной функции стандартного объекта (1) имеют вид
Ри(в) =
^ 00
Р12(в) =
С
Р21(в)= [/* С, ^22(5)= С.
Передаточная функция замкнутой системы с объектом управления С и регулятором Кв обратной связи от всех внешних входов -ш = [й^, й^р]т к выходам замкнутой системы г = [ут,ит]т определяется формулой
(2) (С,Кте) =
(/ - СК^)-1 (/ - СК^)-1С Кте(/ - СК^)-1 К^(/ - СК^)-1С
В терминах стандартного объекта передаточная функция Ттг замкнутой системы определяется нижним дробно-линейным преобразованием (см., например, [33]) вида
Т^(С, Кте) = Тш*(Р, Кте) = Рц + Р12(/ - Р22Кте)-1Р21. 190
Описанию стандартного объекта в виде передаточных функций (1) в пространстве состояний (или (А, Б, О, П)-представление) соответствует система уравнений вида
х = Ах + Б1ад + Б2и,
(3) г = О1х + + П12и, у = О2Х + П21"Ш + П22и.
Представление в пространстве состояний (3) стандартного объекта (1) определяется всевозможными связями в замкнутой системе и включает матрицы (А, Б, О, П)-представления номинального объекта О (в).
Связь между матричными передаточными функциями Рц (5) стандартного объекта (1) и представлением в пространстве состояний (3) стандартного объекта определяется уравнениями вида
Рц(в) = Ог(з1 - А)-1Б3 + Бц, г,] = 1,2.
Опишем линейными матричными неравенствами ограниченную выпуклую область на комплексной плоскости, в которой необходимо разместить полюса передаточной функции замкнутой системы. Согласно [9], любая выпуклая область комплексной плоскости, симметричная относительно действительной оси, может быть аппроксимирована ЛМН-областью с любой заданной точностью. Выпуклую область V (см., например, рис. 1) левой комплексной полуплоскости С-, можно определить следующим образом:
(4) V = {г е С- : Ь + гМ + гМт},
где Ь = Ьт и М - действительные матрицы, г - комплексная переменная, а г - комплексно сопряженная. Область V, которая описывается линейным матричным неравенством, называется ЛМН-областью. Значения матриц Ь и М определяют конкретный вид выпуклой области на комплексной плоскости (см. [9] или, например, [4]) .
Сформулируем задачу синтеза регулятора с расположением полюсов замкнутой системы в заданной области при минимально
191
возможном значении -нормы передаточной функции
замкнутой системы.
Дан стандартный объект управления (1) в виде передаточных функций, которому в пространстве состояний соответствует система уравнений (3). Для заданной ЛМН-области, описываемой системой ЛМН вида (4), требуется найти динамический регулятор полного порядка в форме наблюдателя
(5) Хс = АсХс + ВсУ,
м = Сс Хс + ^сУ,
обеспечивающий
• минимально возможное значение 7 для -нормы передаточной функции замкнутой системы (2)
(6) ||тшг(Р,Кте)||те <7;
• размещение полюсов передаточной функции замкнутой системы Ттг в заданной выпуклой области V.
1.2. АЛГОРИТМ СИНТЕЗА ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ
Решение -субоптимальной задачи (6) для заданной 7 при ограничении на размещение полюсов передаточной функции замкнутой системы в заданной ЛМН-области (4) (см., например, рис. 1) сводится к решению системы ЛМН (7-9) [9]. Система ЛМН имеет следующий вид
(7)
К / / 5
^ 0,
(8)
Ь ®
К/ / 5
+ М ® Ф+ Мт ® Фт
< 0,
(9) 192
Ф11 Ф^ Ф21 Ф22
где
Ф
AR + B2Cc Ac
A + B2DcC2 SA + Bc C2
Ф
11
AR + RAT + B2C + Cc Bj (Bi + B2DcD2l)T
Bi + B2DcD2l
-Yl
Ф
21
A + (A + B2DcC2)t Ci R + D12C
SBi + BCD21 D11 + D12 Dc D21
Ф
22
ATS + SA + BcC2 + CjB, C1 + D12DcC2
T
(C1 + D12 + DcC2)T YI
где I - единичная матрица соответствующей размерности. Матрицы A, B1, B2, C1, C2, D11, D12, D21 и D22 определяются из (A, B, C, D)-представления стандартного объекта (3).
Символ ® означает кронекерово произведение матриц. Для произвольных матриц A и B элементы матрицы C = A®B имеют вид Cj = ajB.
Регулятор вида (5) определяется минимальным значением Y = Ymin, при котором существуют две симметричных матрицы R,S и матрицы Ac, Bc, Cc, Dc. Если ЛМН (7-9) разрешимы, то матрицы регулятора (5) Ac, Bc и Cc определяются из решения системы линейных уравнений
Cc = CcMT + DcC2R, Bc = NBc + SB2Dc,
(10) „ c
Ac = NAc MT + NBcC2R+
+SB2CcMT + S(A + B2DcC2)R,
где М и N - любые квадратные матрицы такие, что МЯт
/-КЗ.
Минимизация по 7 при ограничении в виде линейных матричных неравенств (7-9) проводится численно с помощью методов внутренней точки, описанных в работах [20, 21].
2. Динамическая модель котельной установки
Линейная динамическая модель энергетической котельной установки в отклонениях в окрестности номинального режима работы, полученная на основе процедуры идентификации, приведена в работе [29]. В ней показано, что в окрестности номинального режима работы котла линейная динамическая модель энергетической котельной установки достаточно хорошо аппроксимирует переходные процессы, происходящие в реальной системе. Матричную передаточную функцию между векторным входом и модели котельной установки и ее выходом уо обозначим через С(з), т. е. у0(з) = С(«)и(з). Координатами входного вектора и являются отклонения от номинального режима: расхода питательной воды (кг/с) - координата и1; расхода топлива (кг/с) -координата и2, расхода впрыскиваемого пароохладителя (кг/с) -координата из. Координатами вектора выходных переменных у0 являются отклонения от номинального режима - уровня воды в барабане котла (м) - у01, давления перегретого пара (МРа) - у02 и температуры перегретого пара - у03 (°С).
Передаточная функция С(з) имеет вид
(11)
"сп(в) ^12(5) ^13(4
ед= ^21(5) ад*) ад*)
Сз1(в) ^32(5) Сзз(5)
где
(-0,1б52 + 0,0525 + 0,0014) х 10 в2 + 0,01685
з
(3,15 - 0,032) х 10-3 С12(5)= + 0,0215*-, С13(5)=0,
^ . , -0,0395 х 10-3 . . 2,51 х 10-3
«21(5) = -, ^22Ы = -,
2П ; 5 + 0,018 , 2А ; 5 + 0,0157 '
(0,58852 + 0,20155 + 0,0009) х 10-3
«23 (5) =
«31 (5) = «32 (5) =
«33(5) =
52 + 0,0352й + 0,000142
(-1,185 + 0,139) х 10-3 52 + 0,01852й + 0,000091,
0,4485 + 0,0011 52 + 0,01275 + 0,000095,
0,582й - 0,0243
52 + 0,10765 + 0,00104'
Линеаризация производилась при следующих значения входных и выходных переменных:
и10 "40,68" у010 1,0
и0 = и20 = 2,102 , у00 = у020 = 6,45
и30 0 у030 466,7
Линейную динамическую модель С(з) будем называть объектом управления. Объекту управления (11) соответствует (с точностью до преобразования подобия) в пространстве состояний система линейных дифференциальных уравнений вида
(12) Хд = Ад Хд + Бд и
у0 = Сд Хд + Бд и,
где хд - п-мерное внутреннее состояние объекта. Матрицы объекта Ад, Бд, Сд, Бд имеют соответствующие размерности.
3. Задача синтеза регулятора для управления котельной установкой
В этом разделе формулируются требования к замкнутой системе управления котельной установкой, ставится оптимизационная задача и приводится процедура синтеза робастного регулятора. Задача -оптимизации формулируется в терминах передаточной функции замкнутой системы, выраженной через стандартный объект. В оптимизационной постановке задачи синтеза требования к замкнутой системе формализуются в виде формы ЛМН и формирующих функций.
3.1. ТРЕБОВАНИЯ К ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЕ Сформулируем требования к проектируемой замкнутой
системе. Для заданной модели объекта управления в виде многомерной передаточной функции С(з) замкнутая система с регулятор К(з) в виде динамической обратной связи (см. рис. 3) по измеряемому выходу у должна гарантировать устойчивость и для управляемого выхода уо обеспечивать
• переходные процессы, близкие к апериодическим;
• время регулирования, не превышающее заданного значения;
• заданный уровень подавления шумов и возмущений;
• высокий запас устойчивости замкнутой системы;
• робастность к неопределенности в модели объекта управления.
3.2. ПОСТРОЕНИЕ СТАНДАРТНОГО ОБЪЕКТА Рассмотрим структурную схему замкнутой систему с
объектом управления С(з) и регулятором Кте(з) в обратной связи, представленную на рис. 3. На рисунке также изображены префильтр ^1(5) и постфильтр (5), участвующие при синтезе регулятора К(5). 196
О,
-к>
1 1 —► О —► у0 №2 -¡Л 1
1 1
К
Рис. 3. Замкнутая система управления котельной установкой
Замкнутой системе управления соответствует стандартный объект управления Р(з) вида
(13)
У(з)
¿2(5)
у(з) = [/у ^С^]
/у
0 0
¿1 («) ¿2 («)
¿1(8) + "^С^Г
,¿2(5), /и
и(з),
+ ^СЖ^в),
где /у и /и - единичные матрицы соответствующей размерности.
Соответствующие блоки матрицы передаточной функции стандартного объекта (13) имеют вид
Рц(з) =
/у
00
Р12(3) =
/и
Р21(в) = [/у ^С^] , Р22(^) = ^С^ь
г
й
й
г
2
и
у
Передаточная функция замкнутой системы с объектом управления С и регулятором К в обратной связи от всех внешних
197
входов ад = [^т, к выходам замкнутой системы г = [ут, ит]т определяется формулой
(14)
TWZ Кгх) -
(I - О5К^)-1 (/ - О5Кте)-1О5
где О5 = ^О^ - обобщенный объект.
Описанию стандартного объекта в виде передаточных функций (13) в пространстве состояний соответствует (А, Б, С, Б)-представление вида (3).
(А, Б, С, Б)-представление стандартного объекта включает в себя матрицы не только (А, Б, С, Б)-представления номинального объекта О в виде (12), но и формирующих функций и ^2. Вектор внутреннего состояния х стандартного объекта (3) включает в себя векторы состояния номинального объекта хд (см. (12)) и формирующих функций и
3.3. ОПТИМИЗАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЯ КОТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКОЙ Для обеспечения заданных требований, указанных в п. 3.1, сформулируем математическую постановку задачи синтеза регулятора К(з) как задачу Н^-оптимизации.
Дан стандартный объект управления (13) в виде передаточных функций, которому в пространстве состояний соответствует система уравнений вида (3). Для заданных
• ЛМН-области V (см. рис. 1), описываемой системой ЛМН (4)
• и формирующих функций и ^2
требуется синтезировать регулятор К(5) в виде динамической обратной связи по измеряемому выходу у
и(я) = К (я^я),
обеспечивающий
• минимально возможное значение 7 для -нормы передаточной функции замкнутой системы Twz (14)
(15) II Twz — 7тат5
• размещение полюсов передаточной функции замкнутой системы Twz в заданой ЛМН-области;
• частотные ограничения на максимальные <г(ОК) и минимальные а(ОК) сингулярные числа разомкнутой системы.
Регулятор K(s) ищется в пространстве состояний в форме
наблюдателя в виде (5).
3.4. ПРОЦЕДУРА СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРА
Процедура синтеза регулятора состоит из следующих шагов:
Шаг 1. Формирование заданных требований. Задаются
• ЛМН-область, в которой требуется разместить полюса замкнутой системы,
• префильтр Wi (s) и постфильтр W2(s) и формируется обобщенный объект Gs = W2GW1, который задает желаемые сингулярные значения разомкнутой системы.
Шаг 2. Оценка совместимости требований. Решается задача Иж-оптимизации (15) для обобщенного объекта Gs при ограничении на расположение полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области на основе системы линейных матричных неравенств (7-9).
• Если решения симметричных матриц и матриц Ac, Вс, Cc, D c системы ЛМН (7-9) не существуют, то возвращаемся к шагу 1.
• Если решения Л, 5, Ас, Вс, Сс, Дс существуют, то из системы линейных уравнений (10) вычисляются матрицы Ас, Вс, Сс регулятора и определяется величина максимального запаса робастной устойчивости £тах = (см. [19] или, например,
[4]).
Если величина максимального запаса робастной устойчивости 0,25 < £тах < 0,5 (см., например, [30]), то переходим к шагу 3, иначе возвращаемся к шагу 1.
Шаг 3. Синтез регулятора при заданных ограничениях.
Искомый регулятор определяется в виде К =
Теоретическим базисом для -формирования контура является то, что не модифицирует желаемую форму контура существенным образом на низких и высоких частотах, если достигнутая £тах является слишком маленькой [33].
Существенную роль в процедуре синтеза играет выбор формирующих передаточных функций (префильтр и
постфильтр ^2). Выбор которых является достаточно сложной задачей, так как обобщенный ("формирующий") объект С3 задает желаемое поведение сингулярных чисел (требуемое разработчиком) разомкнутой системы во всем диапазоне частот. Величина -нормы замкнутой системы равная 1тт характеризует меру близости (точность приближения) между сингулярными числами желаемой разомкнутой системы ) и полученной в результате синтеза регулятора (см. [19]). В децибелах соотношение между ними имеет
вид
= ) ± 7ор4 (£Й).
На графиках (в логарифмическом масштабе) соответствующие сингулярные числа синтезированной разомкнутой системы находятся в некоторой полосе с шириной 20log ^тт относительно соответствующих сингулярных чисел обобщенного объекта. 200
Таким образом, -метод формирования контура с ограничением на расположение полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области позволяет синтезировать робастный регулятор с учетом требований к замкнутой системе во всем диапазоне частот. Плавный переход вокруг частоты среза контура (средние частоты) с наклоном, близким к -20 дБ на декаду, задается видом ЛМН-область с малым значением колебательности. Это обеспечивает переходные процессы, близкие к апериодическим в соответствии с заданной величиной колебательности, а время переходного процесса определяется заданной степенью устойчивости. Высокий коэффициент усиления на низких частотах и малый коэффициент усиления на высоких частотах определяются выбором соответствующих префильтра и постфильтра
Необходимо отметить, что решения системы линейных матричных неравенств, а следовательно, и регулятор, будут существовать тогда и только тогда, когда при выбранных векторах управления и измерения расположение полюсов в заданной области возможно с удовлетворением всех предъявляемых требований к замкнутой системе. Таким образом, совместимость требований к замкнутой системе определяется существованием решений системы линейных матричных неравенств (7-9).
4. Результаты синтеза
В работе для данного объекта синтезируется два регулятора. Первый является регулятором полного порядка и получен на основе методики, описанной в п. 3.4. Второй получен в результате редукции синтезированного регулятора полного порядка на основе метода сбалансированного отсечения [26]. В русскоязычной литературе данный метод описан в [3].
4.1. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЗАДАННЫХ ТРЕБОВАНИЙ К ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЕ
Рассмотрим синтез регулятора полного порядка. В методике, изложенной в п. 3.4 у разработчика системы управления в
201
процессе итерационной процедуры синтеза имеется возможность варьировать форму ЛМН-области и формирующие функции: префильтр ^1(5) и постфильтр ^2(з). Форма ЛМН-области задает требования к замкнутой системе, а с помощью формирующих функций задаются требования к разомкнутой системе в виде ^2(з)С(5)^1(5).
Обычно в качестве предварительного этапа перед процедурой синтеза регулятора производится масштабирование исходной (номинальной) модели объекта (см., например, [30]). Масштабирование производится для того, чтобы сделать влияние различных входных сигналов на выход величинами одного порядка. Коэффициенты первой сроки и первого столбца модели котельной установки (11) имеют малые значения и почти не сравнимы с коэффициентами других строк и столбцов. В данной работе проводится процедура масштабирования, а именно: выходная переменная у01 увеличивается в 100 раз, у02 - в 1000 раз, а у01 остается без изменений. Входная переменная и1 увеличивается в 10 раз, а и2 и остаются без изменений. Тогда масштабирующие матрицы имеют вид
100 0 0 10 0 0
0 1000 0 , 51 = 0 1 0
0 0 1 0 0 1
Очевидно, что масштабирующие матрицы в дальнейшем используются для построения исходного регулятора К = так как выбор и производится для масштабированной модели С = 52Спот51. Уточним, что передаточная функция Спот(8) исходной номинальной модели котельной установки задается видом (11). Графики сингулярных чисел заданной номинальной Спот и масштабированной моделей С = ^2Спот^1 приведены на рис. 4. Значения минимальных и максимальных сингулярных чисел на всех частотах для масштабированной модели отличаются примерно на 30 дБ, в то 202
время как для исходной номинальной модели разница достигает примерно 80 дБ.
-100 10"
Frequency (rad/sec)
Рис. 4. Сингулярные значения номинальной (пунктирная) и масштабированной (сплошная) моделей котельной установки
Формирование обобщенного объекта производится
с помощью префильтра ^(з) и постфильтра ^2(5) для масштабированной модели. Так как размерность управления и и выхода объекта у0 равна 3, то размерность матричных передаточных функций префильтра ^1(5) и постфильтра ^(з) также равна 3. Таким образом, каждая из формирующих функций представляется матричной передаточной функцией вида
Singular Values
80
60
40
20
10
10
10
10
W =
Will Wii2 Wiia" Wi21 Wi22 Wi23 Wi31 Wi32 Wi33
i = 1, 2.
В статье формирующие передаточные функции W1 и W2
203
выбирается диагонального вида
Wi (s) =
rMi о о
о
0,01 s ■
о о
о
0,01 s
W2(s) =
0,1 0 0
0 0,1 0
0 0 0,1
Отметим, что матричные передаточные функции префильтра и постфильтра имеют достаточно простой вид. Это существенно отличает -метод формирования контура с ограничением расположение полюсов от классического -метода
формирования контура [19].
В качестве ЛМН-области для данного объекта управления была выбрана область, которая образована пересечением двух полуплоскостей и сектора на комплексной плоскости (см. рис. 1). Заданная степень устойчивости была выбрана равной п =0,001. Ее определяет первая полуплоскость Re(A) < -0,001. Вторая полуплоскость Re(A) > -0,5 ограничивает максимальную угловую частоту собственных колебаний wo = 0,5 * = 0,5 замкнутой системы. Сектор с углом ^ = 4 ограничивает коэффициент демпфирования (параметр затухания) величиной не менее Z = cos^> = 0,707.
Решение задачи минимизации И^-нормы передаточной функции замкнутой системы (14) производится численно в системе Matlab с использованием программы hinfmix из пакета решения линейных матричных неравенств LMI Control Toolbox [15].
4.2. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ СИНТЕЗА
Рассмотрим частотные свойства замкнутой системы с регуляторами полного порядка и редуцированным. В результате процедуры синтеза регулятора полного порядка величина Ymin, равная -норме передаточной функции замкнутой системы, имеет значение 2,994. Следовательно, величина максимального запаса робастной устойчивости равна emax = Y—ln = 1/2,994 = 0,334 > 0,25. Приведенные значения характеризуют вполне 204
удовлетворительную оценку совместимости требований между качеством переходных процессов и робастной устойчивостью замкнутой системы, а также близость сингулярных чисел обобщенного объекта и разомкнутой системы с синтезированным регулятором полного порядка. Это подтверждается графиками сингулярных чисел обобщенного объекта и разомкнутой системы с регулятором полного порядка, приведенных на рис. 5.
Singular Values
50 ; ... .. ..........................................
-100 -
-150 10"
Рис. 5. Сингулярные значения обобщенного объекта (пунктирная) и разомкнутой системы с регулятором полного порядка (сплошная)
Регулятор полного порядка полученный в результате синтеза, имеет размерность (размерность матрицы состояния Ас), равную 16. Он редуцируется с использованием метода сбалансированного отсечения до 6 порядка.
Сингулярные числа разомкнутой системы с редуцированным регулятором 6-го порядка и регулятором полного порядка приведены на рис. 6. Как видно из графиков, редукция регулятора полного порядка приводит к незначительному изменению свойств
205
10 10
10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)
Рис. 6. Сингулярные числа разомкнутой системы c редуцированным регулятором (пунктирная) и регулятором полного порядка (сплошная).
Singular Values
50
10
10
разомкнутой системы, в основном в области низких частот. Максимальное отличие достигает примерно 10 дБ. В области высоких частот графики практически совпадают. Это говорит о том, что редукция Крегулятора не влияет на подавление высокочастотных шумов и не ухудшает робастных свойств регулятора.
Для обеспечения качества функционирования замкнутой системы (подавление возмущений, уменьшение ошибки слежения) необходимо обеспечивать малые значения максимальных сингулярных чисел функции чувствительности Б = (I — ОК)-1), а для обеспечения робастности системы необходимо обеспечивать малые значения максимальных сингулярных чисел функции дополнительной чувствительности Т = ОК(I — ОК)-1) (см., например, [14]). На рис. 7 для замкнутой системы с регулятором полного порядка сингулярные числа функции чувствительности а(Б(]ш)) показаны сплошной 206
Frequency (rad/sec)
Рис. 7. Сингулярные значения функции чувствительности и дополнительной чувствительности c редуцированным регулятором и регулятором полного порядка
Singular Values
10
10
10
10
линией, а функции дополнительной чувствительности а(Т(,/ш)) - штриховой линией. Для замкнутой системы с редуцированным регулятором сингулярные числа функции чувствительности Б = (I — СКге^)-1) показаны штрих-пунктирной линией, а сингулярные числа функции дополнительной чувствительности Т = (I — СКг-ы)-1) - пунктирной.
Согласно рис. 7 максимальные сингулярные числа функции чувствительности <г(£(,/ш)) с редуцированным регулятором и регулятором полного порядка имеют наклон примерно 20 дБ/дек на низких частотах и остаются меньше 0 дБ для частот меньших, чем 0,5 х 10-2 рад/с приблизительно. Для редуцированного регулятора наблюдается незначительное ухудшение ^(БО'ш)) (ухудшение подавления возмущений) примерно на 3 дБ.
Максимум (7(Б(^ш)) составляет приблизительно 4 дБ и достигается в районе 0,3 х 10-2 рад/с. Малая величина пика ¿7(Б(?'ш)) характеризует удовлетворительное подавление
207
возмущений на низких частотах и низкую колебательность или высокий параметр затухания замкнутой системы.
Анализ сингулярных значений функции дополнительной чувствительности a(T(ju)) показывает похожие результаты. Графики максимальных сингулярных чисел функции дополнительной чувствительности a(T(ju)) с редуцированным и регулятором полного порядка практически совпадают. Величины максимальных сингулярных чисел a(T(ju)) меньше 0 дБ на частотах, больших примерно 0,5 х 10-1 рад/с. Это означает, что для частот выше данной будет обеспечено подавление высокочастотных внешних возмущений, в частности, шумов измерения. Отметим, что максимум a(T(ju)) также составляет примерно 4 дБ. Незначительная величина пика a(T(ju)) характеризует высокое демпфирование замкнутой системы и робастность относительно мультипликативной неопределенности в модели объекта.
Рассмотрим запасы устойчивости по фазе и амплитуде замкнутой системы с синтезированными регулятором полного порядка и редуцированным регулятором. Для анализа многомерной системы использована программа LOOPMARGIN из пакета Robust Control Toolbox [6] системы Matlab. Программа LOOPMARGIN позволяет определять запасы устойчивости по амплитуде и фазе как для изолированных каналов, так и для всей многосвязной системы по алгоритму, представленному в [7]. В нашем случае многомерная передаточная функция разомкнутой системы имеет три входа и три выхода. Приведем результаты анализа для системы с регулятором полного порядка. Для изолированных каналов запасы устойчивости по амплитуде и фазе составляют по первому выходу 36 дБ по амплитуде и 53 град. по фазе, по второму выходу - 23 дБ по амплитуде и 56 град. по фазе, по третьему выходу - 12 дБ по амплитуде и 69 град. по фазе. Для многосвязной системы гарантированный запас устойчивости по амплитуде составляет 8,85 дБ, а по фазе -50 градусов.
Для системы с редуцированным регулятором запасы по
первому выходу составляют 35 дБ по амплитуде и 52 град. по фазе, по второму выходу - 22 дБ по амплитуде и 57 град. по фазе, по третьему выходу - 11 дБ по амплитуде и 86 град. по фазе. Для многосвязной системы гарантированный запас устойчивости по амплитуде составляет 8,6 дБ, а по фазе - 49 градусов. Таким образом, редуцированный регулятор с точки зрения запасов по амплитуде и фазе практически не отличается от регулятора полного порядка.
Рассмотрим корневые свойства замкнутой системы с регулятором полного порядка, полученной в результате синтеза. Корни характеристического полинома или собственные значения матрицы состояния А (А, В, С, Д)-представления передаточной функции замкнутой системы Т^^ с данным регулятором имеют следующие значения: А1 = —4,61 х 10-3, Л2 = —4,64 х 10-3, Аз,4 = (—5,34 ± 3,84г) х 10-3, Л5,6 = (—6,41 ± 5,41г) х 10-3, Л7,8 = (—8,98 ± 3,34г) х 10-3, Ад = —9,62 х 10-3, Aio.li = (—7,99 ± 6,41г) х 10-3, Л12,13 = (—10,04 ± 2,62г) х 10-3 А14 = —1,17 х 10-2, Л15.16 = (—13,60 ± 9,34г) х 10-3, А17 = —1,73 х 10-2, Л18 = —1,74 х 10-2, Л19.20 = (—19,10 ± 3,99г) х 10-3 А21 = —2,56 х 10-2, А22 = —3,02 х 10-2, Л23 = —3,27 х 10-2, Л24 = —4,11 х 10-2, Л25.26 = (—3,83 ± 2,88г) х 10-2, А27 = —7,79 х 10-2, Л28 = —8,16 х 10-2, Л29 = —1,03 х 10-1,
Лзо,31 = (-48,00 ± 1,94i) х 10-2 А32 = -4,83 х 10-1.
Как видно из величин собственных значений полученная степень устойчивости составляет п = 0,00461 > 0,001, минимальный параметр затухания равен ( = 0,764 > 0,707 для Л5)б = (-6,41 ± 5,41i) х 10-3, а частоты собственных колебаний не превышают ш0 = 2,88 х 10-2 < 0,5 для Л25>26 = (-3,83 ± 2,88i) х 10-2.
Таким образом, частотный и корневой анализы позволяют сделать вывод о том, что замкнутые системы с редуцированным регуляторот и регулятором полного порядка обеспечивают: переходные процессы, близкие к апериодическим; заданное время переходного процесса; заданный уровень подавления шумов и внешних возмущений; высокий запас устойчивости замкнутой системы; робастность к неопределенности в модели объекта управления.
5. Выводы
В работе исследуется возможность применения H метода формирования контура с ограничением на расположение полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области на комплексной плоскости для управления котельной установкой. Требования к замкнутой системе задаются формой ЛМН-области и формирующими передаточными функциями, а именно: префильтром и постфильтром. Выбор матричных передаточных функций префильтра и постфильтра существенно упрощается по сравнению с классическим -методом формирования контура. Решение задачи синтеза робастного регулятора производится с использованием аппарата линейных матричных неравенств. Синтезированы регулятор полного порядка и редуцированный регулятор. Оба регулятора для замкнутой системы гарантируют приемлемое качество переходных процессов и грубость к неопределенности в модели котельной установки.
Литература
1. БАЛАНДИН Д.В., КОГАН М.М. Cuнтез законов управления на основе линейных матричных неравенств.
- М.: Физматлит, 2007.
2. БЕСЕКЕРСКИЙ В.А., ПОПОВ Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1972.
3. БОЙЧЕНКО В.А., КУРДЮКОВ А.П., ТИМИН В.Н., ЧАЙКОВСКИЙ М.М. Некоторые методы синтеза регуляторов пониженного порядка и заданной структуры // Управление большими системами. - 2007. - Выпуск 19.
- С. 23-126.
4. КУРДЮКОВ А.П., ТИМИН В.Н. Я^ управление энергетической системой в аварийном режиме. Ч.1. Теоретические основы синтеза робастных регуляторов // Проблемы управления. - 2009. - №1. -C. 8-17.
5. КУРДЮКОВ А.П., ТИМИН В.Н. Я^ управление энергетической системой в аварийном режиме. Ч.2. Синтез робастного регулятора для управления энергетической системой // Проблемы управления. -2009. - №2. - C. 14-23.
6. BALAS G., CHIANG R., PACKARD A., SAFONOV M. Robust Control Toolbox. Natick. - MA: The MathWorks, 2006.
7. BLIGHT J.D., DAILEY R.L., GANGSASS D. Practical control law design for aircraft using multivariable techniques // International Journal of Control. - 1994. - Vol. 59. - №1. -Pp. 93-137.
8. BOYD S., EL GHAOUI L., FERON E., BALAKRISHNAN V. Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory. Philadelphia: SIAM books, 1994.
9. CHILALIM., GAHINET P. Я^ Design with Pole Placement Constraints: An LMI Approach // IEEE Trans. AC. - 1996. -Vol. 41. -№3. - Pp. 358-367.
10. CHILALI M., GAHINET P., APKARIAN P. Robust Pole
211
Placement in LMI Regions // IEEE Trans. AC. - 1999. - Vol. 44. - №12. - Pp. 2257-2270.
11. CORI R., MAFFEZZONI C. Practical optimal control of a drum boiler power plant // Automatica. - 1984. - Vol. 20. -Pp. 163-173.
12. DOYLE J.C., GLOVER K., KHARGONEKAR P.P., FRANCIS B.A. State-space solutions to standard H2 and H^ control problems // IEEE Trans. Automat. Contr. - 1989. - Vol.34. -№8. - Pp. 831-847.
13. DOYLE J.C., STEIN G. Multivariable Feedback Design: Concepts for a Classical/Modern Synthesis // IEEE Trans. Auto. Control. - 1981. - Vol. AC-26. - №1. - Pp. 4-16.
14. FRANCIS B.A. A Course in H^ Control Theory. Lecture Notes in Control and Information Sciences. - N.-Y.: SpringerVerlag, 1987.
15. GAHINET P., APKARIAN P. A Linear Matrix Inequality Approach to H^ Control // Int. J. Robust Non. Contr. - 1994. -Vol. 4. - Pp. 421-448.
16. KHARGONEKAR P.P., ROTEA M.A. Mixed H2/H^ Control: A Convex Optimization Approach // IEEE Trans. Aut. Contr. - 1991. - Vol. 39. - Pp. 824-837.
17. KWON W.H., KIM S.W., PARK P.G. On the multivariable robust control of a boiler-turbine system // in Proc. IFAC Symp. Power Syst. Power Plant Contr. Seoul. Korea. - 1989. -Pp. 219-223.
18. MCFARLANE D.C., GLOVER K. Robust Controller Design Using Normalized Coprime Factorization Description. - N.Y.: Springer-Verlag, 1990.
19. MCFARLANE D.C., GLOVER K. A Loop Shaping Design Procedure Using H^ Synthesis // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1992. - Vol. 37. - №6. - Pp. 759-769.
20. NEMIROVSKII A., GAHINET P. Interior Point Polynomial Algorithms in Convex Programming: Theory and Applications // SIAM Studies Appl. - 1994. - Math. - Vol. 13.
21. NESTEROV Y., NEMIROVSKII A. The Projective Method
for Solving Linear Matrix Inequalities // Math. Programming Series B. - 1997. - Vol. 77. - Pp. 163-190.
22. PAL B., CHAUDHURI B. Robust Control in Power Systems. N.-Y.: Springer Science+Business Media Inc, 2005. - Pp. 140150.
23. PAPAGEORGIOU G. Robust Control System Design: Я^ Loop Shaping and Aerospace Applications. PhD thesis. University of Cambridge. Department of Engineering, 1998.
24. PELLEGRINETTI G., BENTSMAN J. Я^ controller design for boilers // Int. J. Robust Nonlinear Contr. - 1994. - Vol. 4. -Pp. 645-671.
25. PETROVIX T.B., IVEZIC D.D., DEBELJKOVIC D.L.J. Robust IMC controllers for a solid-fuel boiler // Eng. Simulation.
- 2000. - Vol. 17. - №2. - Pp. 211-224.
26. SAFONOV, M.G., CHIANG R.Y. Schur Method for Balanced Model Reduction // IEEE Trans. on Automat. Contr. - 1989.
- Vol. 34. - №7. - Pp. 729-733.
27. SCHERER C., GAHINET P., CHILALI M. Multiobjective Output-Feedback Control via LMI Optimization // IEEE Trans. AC. - 1997. - Vol. 42. - Pp. 896-911.
28. SKOGESTAD S., POSTLETHWAITE I. Multivariable Feedback Control. - London: John Wiley and Sons, 2001.
29. TAN W., MARQUEZ H.J., CHEN T. Multivariable Robust Controller Design for Boiler System // IEEE Transactions on Automatic Control System Technology. - 2002. - Vol.10. -№5. - Pp. 735-742.
30. TAN W., CHEN T. Robust Controller Design and PID Tuning for Multivariable Processes. http://coblitz.codeen.org:3125/citeseer.ist.psu.edu/cache /papers/cs/28407/
http:zSzzSznyquist.ee.ualberta.cazSz tchenzSz. zSzpaperszSztan_ajc02.pdf/robust-controller-design-and.pdf (дата обращения 23.08.2008).
31. VIDYASAGAR M. A Coprime Factorization Approach. -USA, Cambridge: MIT Press, 1985.
32. ZAMES G. Feedback and optimal sensitivity: model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses // IEEE Trans. Auto. Control. - 1981. - Vol. AC-26. -№2. - Pp. 301-320.
33. ZHOU K., DOYLE J.C., GLOVER K. Robust and Optimal Control. - New Jersey: Prentice-Hall, 1996.
H^ ROBUST CONTROLLER DESIGN FOR BOILER SYSTEM
Alexander Kurdjukov, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, doctor of technical sciences, professor ([email protected]). Victor Timin, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, candidate of technical sciences, senior staff scientist, ([email protected].) (Moscow, Profsoyuznaya st., 65.
Abstract: This paper is devoted to the problem of the boiler system control. This problem solution is based on the technique of closed-loop pole placement in given LMI region of the complex plain, as well as loop shaping using LMI. Closed-loop performance requirements are established in form of both frequency-domain constraints onto the singular values of open-loop transfer function and constraints onto closed-loop pole placement at the complex plain. The designed full-order controller is reduced via balanced truncation technique.
Keywords: boiler system control, control theory, linear matrix inequality (LMI), loop shaping, closed-loop pole placement in LMI region, controller reduction.
Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии Б.Т. Поляком
