Связь ганкелевых сингулярных чисел линейной системы с ее частотными характеристиками Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.3

Л. А. Мироновский, Д. В. Шинтяков СВЯЗЬ ГАНКЕЛЕВЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

Рассматриваются линейные системы управления с ганкелевыми сингулярными числами высокой кратности. Для таких систем исследован вид частотных характеристик и показана возможность определения по ним значений сингулярных чисел без вычисления грамианов управляемости и наблюдаемости.

Ключевые слова: линейные системы, сингулярные числа ганкелева оператора, частотные характеристики.

Введение. Ганкелевы сингулярные числа сравнительно недавно привлекли внимание исследователей, но уже прочно вошли в арсенал методов теории управления. Они тесно связаны с современной методикой синтеза робастных регуляторов (| -синтез и Ню -теория) и

применяются для построения редуцированных моделей динамических систем, для оценки наблюдаемости и управляемости систем управления, а также как информативные диагностические признаки [1]. Средства для вычисления сингулярных чисел имеются в ряде математических пакетов.

Наибольшее из ганкелевых сингулярных чисел равно ганкелевой норме системы. Для их определения обычно необходимо вычислять грамианы управляемости и наблюдаемости системы. Поэтому имеет практическое значение исследование взаимосвязи ганкелевых сингулярных чисел и частотных характеристик, которые поддаются непосредственному измерению.

В литературе в основном исследовались системы с различными ганкелевыми сингулярными числами, в то время как их связь с частотными характеристиками наиболее отчетливо проявляется в случае чисел высокой кратности. Именно этот случай исследуется в настоящей статье, причем основное внимание уделено ситуации, когда все сингулярные числа одинаковы либо образуют две группы одинаковых чисел. Такие системы названы моносингулярными и бисингулярными соответственно.

Ганкелевы сингулярные числа линейных систем. Аппарат сингулярных чисел широко применяется в теории матриц, линейной алгебре и теории линейных динамических систем. Он представляет собой эффективное средство для вычисления ранга операторов, получения БУО-разложения, решения задач идентификации и редукции.

Напомним, что сингулярными числами матрицы А называются положительные квадратные корни из собственных чисел матрицы А А.

В теории динамических систем получили распространение два вида сингулярных чисел. Первый из них — это сингулярные числа матричной передаточной функции Q(p), определяемые формулой

где — собственные числа произведения матриц, указанных в скобках.

Количество сингулярных чисел определяется размерами матрицы Q(р). У скалярных систем (так называемых БКО-систем) имеется единственное сингулярное число, которое совпадает с максимумом амплитудно-частотной характеристики (АЧХ).

В настоящей статье рассматривается второй тип сингулярных чисел динамических систем — это ганкелевы сингулярные числа, определяемые формулой

С ЕЕ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

ъ Чк ww),

где Wc и Wo — грамианы управляемости и наблюдаемости системы.

Эти грамианы представляют собой симметричные квадратные матрицы, которые могут быть найдены путем решения матричных уравнений Ляпунова

WcAT + AWc = -BBT, WoA+AWo = -CTC,

где А, В, С — матрицы описания системы в пространстве состояний.

Количество ганкелевых сингулярных чисел равно n (размеру матрицы А, т.е. порядку системы) и не зависит от числа входов и выходов.

В пакете MathLab для вычисления грамианов управляемости и наблюдаемости имеется команда gram, а ганкелевы сингулярные числа могут быть найдены с помощью команды balreal.

Далее будем рассматривать линейные стационарные динамические системы с одним входом u (t) и одним выходом y(t), описываемые операторным уравнением y( p) = Q (p )u (p), где Q(p) — дробно-рациональная передаточная функция:

= bn-i pn-1 +...+b p+b0 = B(p)

pn + an-ipn-1 +...+ao" A(p)'

Ганкелевы сингулярные числа не зависят от выбора базиса в пространстве состояний и подобно коэффициентам передаточной функции представляют собой важные характеристики системы. Количество ганкелевых сингулярных чисел равно порядку характеристического полинома, однако среди них могут быть совпадающие (кратные). В общем случае линейная система порядка n имеет k различных сингулярных чисел ..., ok с кратностями гь ..., rk, k

где ^ r = n .

i=1

Рассмотрим подробнее два предельных случая максимальной кратности, когда к=1 и к=2, уделяя внимание взаимосвязи между ганкелевыми сингулярными числами и частотными характеристиками системы, и покажем, что в этих случаях сингулярные числа могут быть определены непосредственно по частотным характеристикам, без вычисления грамианов. Частотные характеристики моносингулярных систем.

Определение 1 [2]. Будем называть моносингулярной систему, все ганкелевы сингулярные числа которой равны по величине.

Моносингулярные системы образуют особый класс линейных систем, обладающих рядом специфических свойств. Подобные системы достаточно часто встречаются в инженерной практике. В частности, типичным примером моносингулярной системы в радиотехнике является фазовращательное звено, имеющее постоянную амплитудно-частотную характеристику. Произвольная моносингулярная система отличается от фазовращательного звена только наличием дополнительной прямой связи с входа на выход (т.е. постоянным слагаемым в передаточной функции), не влияющей на сингулярные числа.

Передаточную функцию конечномерной моносингулярной системы можно представить в виде

Q(p) = ±oAp-+d, (1)

A( p)

где A(p)— характеристический полином, коэффициент о равен сингулярному числу системы; d — константа, не влияющая на сингулярные числа.

Определение 2. Моносингулярные системы, коэффициент d которых равен нулю, будем называть центрированными. В теории управления они также известны как фазовраща-тельные звенья (all-pass systems). Передаточная функция таких систем определяется как

Q( р)=±

A(-Р) A(p) ■

(2)

Примером бесконечномерной моносингулярной системы является звено постоянного запаздывания на время Т, оно характеризуется трансцендентной передаточной функцией в~Тр .

Рассмотрим частотные характеристики моносингулярных систем.

Амплитудно-фазовая характеристика (диаграмма Найквиста) моносингулярной системы (1) имеет вид окружности с центром в точке (ё; 0) и радиусом а. Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) центрированной моносингулярной системы представляет собой окружность с центром в начале координат. Для доказательства этого достаточно подставить в формулу (2) р = у'ш и учесть, что |А(уш)| = |А(-./'ю)|. Отсюда получаем равенство ('ш)| = а,

представляющее уравнение окружности на комплексной плоскости. Отсюда же следует, что для центрированных моносингулярных систем (2) АЧХ постоянна и равна а .

Для моносингулярных систем вида (1) график АЧХ колеблется между двумя уровнями:

< А(ш) <|а+ё |. Количество максимумов и минимумов АЧХ равно числу витков диаграммы Найквиста системы и не превышает порядка последней. Перечисленные свойства иллюстрируются рис. 1, где приведены графики частотных характеристик для центрированных (а, б) и нецентрированных (в, г) моносингулярных систем.

Re

б)

A

г)

A | d+ст |

I d |

| d-ст |

Рис. 1

Таким образом, для моносингулярных систем взаимосвязь частотных характеристик и сингулярных чисел исключительно проста: диаграмма Найквиста имеет вид окружности с радиусом а, а АЧХ — вид равноволновых колебаний. Эти свойства позволяют определять значения ганкелевых сингулярных чисел непосредственно по АФХ и АЧХ, не вычисляя грамиа-ны управляемости и наблюдаемости.

Пример 1. На рис. 2, а показана схема моста Вина — Робинсона, который используется при построении генераторов синусоидальных колебаний. Его передаточная функция имеет вид

а

ю

w

б (Р ) =

1 (Тр)2 +1

Т=КС.

3 (Тр)2 + 3Тр+1

Диаграмма Найквиста (рис. 2, б) представляет собой окружность радиусом а =1/6 с центром в точке (1 / 6; 0).

а)

Рис. 2

Бисингулярные динамические системы. Рассмотрим частотные характеристики систем, имеющих две группы равных сингулярных чисел.

Определение 3. Будем называть бисингулярной систему, ганкелевы сингулярные числа которой могут принимать только два различных значения.

Любую бисингулярную систему можно представить как композицию двух моносингулярных блоков с перекрестными связями, коэффициенты усиления которых определяются сингулярными числами. Соответствующая структурная схема приведена на рис. 3. Здесь подсистемы 51 и £2 имеют передаточные функции вида (2) с сингулярными числами а и а2 соответственно, т.е. б1(р) = ±а1 Р) , б2(р) = ±а2 А Р) . Построенная таким образом система будет

4( Р)

4( р)

иметь сингулярные числа, равные а и а2 , их кратность будет равна порядку подсистем.

Рис. 3

Доказательство возможности такого представления опирается на сбалансированную каноническую форму Обера, описанную в терминах пространства состояний в работе [3].

Общая передаточная функция бисингулярной системы (см. рис. 3) определяется следующим образом:

1+а (р)б2 (р)+- а (р)+—62 (р)

б( р) = (51 + ¿2)-52-—-+а, (3)

Шр)б2(р) - Шр) - б2(р) - 1 - — - —

¿2 51

где ¿1 = ±а1, ¿2 = ±а2 .

Как и в случае с моносингулярными системами, бисингулярную систему, константа ё которой равна нулю, будем называть центрированной.

Помимо структуры с перекрестными связями, показанной на рис. 3, бисингулярную систему можно реализовать в виде параллельного соединения двух моносингулярных блоков.

Согласно результатам Гловера [4] имеет место следующая теорема. Пусть Q( р) — устойчивая рациональная передаточная функция порядка п с ганкелевыми сингулярными числами а1 > а2 > ... > а к , где число аг- имеет кратность г, и г + г +... + гк = п . Тогда функция Q(р) может быть представлена в виде суммы:

Q( Р) = ё + а^ (р) + а2 Ф2(р) + . + ак Фк (р),

где Фг- (р) — устойчивые фазовращательные передаточные функции.

Отсюда следует, что любая бисингулярная система может быть представлена в виде параллельного соединения двух фазовращательных звеньев, коэффициенты усиления которых равны сингулярным числам системы:

Q(р) = ^ = а + а1 + а2 А1(-р)А2(—р), (4)

А(р) 1 А(р) А1(р)А2(р) ' ' '

где А1(р), А2 (р) — устойчивые полиномы степени г и г + Г2 соответственно.

Необходимо отметить, что обратное утверждение в общем случае неверно, и два произвольных фазовращательных звена, соединенные параллельно, не образуют бисингулярную систему. Формулы (3) и (4) — это два различных канонических представления передаточной функции бисингулярной системы. Алгоритмы построения этих канонических представлений описаны в работах [2, 5].

Приведенные математические модели позволяют выяснить, как связаны сингулярные числа и частотные характеристики бисингулярных систем.

Теорема. Амплитудно-частотная характеристика центрированной бисингулярной системы полностью расположена в горизонтальной полосе (а —02, 01 +02), ширина которой равна удвоенному значению меньшего сингулярного числа.

Доказательство. Рассмотрим разложение Гловера (4) при ё=0. Соответствующая АЧХ определяется формулой

А(ш) =

А1(—7ш) + А1 (—7ш)А2 (—7ш)

+ а2

Так как

а 4(—/ш) — /т.

1 4(7 ш) = а1,

а2

А1( 7ш) А1(7ш) А2(7ш)

А1(—7ш) А2(—7ш)

= 02 , то, пользуясь неравенством

40) А2С/'®)

|а| — |Ъ| < |а + Ъ| < |а| + |Ъ|, которое справедливо для произвольных комплексных чисел, окончательно получаем: 01 — 02 < А(ш) < 01 + 02 . ■

Отсюда вытекает, что для любой бисингулярной системы существует значение коэффициента ё , при котором АЧХ будет иметь вид равноволновых колебаний, заключенных в интервале между суммой сингулярных чисел 01 +02 и их разностью 01 —02 . Ширина этого интервала определяется только сингулярными числами.

Следовательно, амплитудно-фазовая характеристика бисингулярной системы (годограф Найквиста) полностью расположена в круговой полосе (кольце), ограниченной двумя концентрическими окружностями радиусами 01 —02 и 01 +02 .

Пример 2. На рис. 4 приведена диаграмма Найквиста бисингулярной системы 8-го порядка с передаточной функцией

Q( р) =

29,33p8 +185,6p7 +1233p6 +1749p5 + 3890p4 +1711 p3 +1039p2 -191,1 p -147 5,333p8 + 68,27p7 + 274,1p6 +1185 p5 +1239p4 + 2985p3 + 916,8 p2 +1135 p + 58,82

Амплитудно-фазовая характеристика этой системы заключена между двумя концентрическими окружностями с центром в точке ё = 1,5 и радиусами а! +а2 = 4, а! - а2 = 2. Таким образом, ганкелевы сингулярные числа равны а! = 3, а2 = 1. Дополнительный анализ позволяет установить их кратности: г = 1, Г2 = 7 .

1т

Рис. 4

Заключение. Рассмотрена взаимосвязь частотных характеристик и ганкелевых сингулярных чисел линейных динамических систем. Основное внимание уделено исследованию малоизученного класса динамических систем — бисингулярных систем. Ганкелевы сингулярные числа таких систем принимают только два значения. Полученные результаты позволяют определять значения сингулярных чисел непосредственно по частотным характеристикам, без вычисления грамианов управляемости и наблюдаемости.

список литературы

1. Мироновский Л. А. Функциональное диагностирование динамических систем. М.: Изд-во МГУ, 1998. 256 с.

2. Мироновский Л. А., Шинтяков Д. В. Частотные характеристики фазовращательных и бисингулярных систем // Информационно-управляющие системы. 2007. № 5. С. 36—41.

3. Ober R. J. Balanced parametrization of classes of linear systems // SIAM J. Control and Optimization. 1991. Vol. 29, N 6. P. 1251—1287.

4. Glover K. All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariables systems // Intern. J. Control. 1984. Vol. 39, N 6. P. 1115—1193.

5. Курмаев И. Р., Мироновский Л. А. Фазовое разложение Гловера для бисингулярных систем // Сб. докл. 9-й науч. сессии ГУАП. СПб.: СПбГУАП, 2006. Ч. 2. С. 126—128.

Леонид Алексеевич Мироновский

Дмитрий Васильевич Шинтяков —

Рекомендована кафедрой вычислительных систем и сетей

Сведения об авторах д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения; кафедра вычислительных систем и сетей; E-mail: [email protected]

аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения; кафедра вычислительных систем и сетей; E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 14.11.07 г.