Синтез трисингулярных динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

X информационно-измерительные системы

УДК 681.326.74

синтез трисингулярных динамических систем

Л. А. Мироновский,

доктор техн. наук, профессор И. Р. Курмаев,

аспирант

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Выделен класс линейных стационарных систем с тремя группами кратных ганкелевых сингулярных чисел. Для таких систем, названных трисингулярными, установлен вид сбалансированного представления и найдены канонические структурные реализации. Разработан алгоритм декомпозиции трисингулярной передаточной функции на фазовращательные слагаемые и алгоритм синтеза систем с заданными ганкелевыми сингулярными числами и характеристическим полиномом.

Ключевые слова — линейные стационарные динамические системы, ганкелевы сингулярные числа, грамиа-ны управляемости и наблюдаемости, декомпозиция передаточной функции, фазовращательные подсистемы.

Введение

Линейные динамические модели широко используются при изучении реальных систем. В теории управления и теории систем изучены различные классы линейных моделей, такие как устойчивые, минимально фазовые, позитивные и др. В настоящей работе исследуется сравнительно новый и недостаточно изученный класс линейных систем с ганкелевыми сингулярными числами (ГСЧ) высокой кратности.

Системы с кратными ГСЧ обладают специальными свойствами и играют важную роль при решении классических задач оптимального управления, идентификации и редукции. Здесь можно упомянуть теорему Неванлины—Пика, расширение Нехари, фазовую декомпозицию Гловера [18]. Большинство известных результатов относятся к случаю систем, у которых все ГСЧ совпадают (так называемые моносингулярные системы). Такие системы достаточно часто встречаются в математике и инженерной практике. Например, в радиотехнике находят применение фазовращательные звенья, обладающие постоянной амплитудно-частотной характеристикой. Другой пример — мост Вина—Робинсона, который применяется при построении генераторов синусоидальных колебаний.

В работах [6, 7] исследованы динамические системы с двумя группами одинаковых ГСЧ (так называемые бисингулярные системы). В данной статье исследуется более широкий класс

систем, сингулярные числа ганкелева оператора которых образуют три группы кратных чисел (трисингулярные системы). Роль подобных объектов в теории линейных динамических систем аналогична роли операторов с кратными собственными числами в линейной алгебре. Как известно, последние представляют большую трудность для анализа (сложная структура инвариантных и корневых подпространств, наличие жордановых клеток высокого порядка, плохая обусловленность). В то же время наиболее тонкие и глубокие результаты линейной алгебры получены при исследовании именно таких операторов.

Исследование трисингулярных динамических систем (ТДС) требует постановки и решения задач синтеза этих систем. К числу таких задач относятся:

— получение блочно-сбалансированной и фазовой декомпозиций ТДС;

— установление вида передаточной функции ТДС в специальных случаях;

— разработка алгоритмов синтеза ТДС с заданными ГСЧ.

Статья посвящена решению этих задач.

Собственные и сингулярные числа ганкелева оператора

Приведем необходимые сведения о ГСЧ. Рассмотрим устойчивую линейную стационарную систему п-го порядка с одним входом и и одним

выходом у, заданную описанием в пространстве состояний

X = АХ + Ъи, у = сХ, (1)

где A — постоянная (п х п)-матрица; Ь и c — вектор-столбец и вектор-строка.

К числу важных вход-выходных характеристик системы (1), наряду с корнями характеристического полинома, относятся ее ГСЧ. Классический способ их определения основан на рассмотрении грамианов управляемости и наблюдаемости Wc и W0, которые могут быть найдены из матричных уравнений Ляпунова

AWC + Wc Ат + ЪЬТ = 0,

Ат Wo + Wo А + ст с = 0.

Собственные значения произведения грамиа-нов WcWo не зависят от выбора базиса в пространстве состояний. Если система устойчива, управляема и наблюдаема, то все эти значения вещественны и положительны.

Положительные числа ст^ ап — арифметические квадратные корни из собственных значений матрицы WcWo — называются ганкелевыми сингулярными числами системы (1).

При помощи линейной замены переменных описание (1) можно привести к виду, в котором грамианы равны и диагональны:

Wc = Wo = diag(o1,..., оп), (2)

причем диагональными элементами грамианов служат ГСЧ. Реализация системы (1), удовлетворяющая условию (2), называется сбалансированным представлением. Сбалансированное представление системы единственно, если все ГСЧ различны по величине.

Ганкелевы сингулярные числа скалярной системы могут быть введены с помощью кросс-грамиана Wco, определяемого матричным уравнением Ляпунова

AWco + Wco А + Ъс = 0. (3)

Собственные значения sn кросс-грамиана Wco будем называть ганкелевыми собственными значениями (ГСЗ) системы (1). Они отличаются от ГСЧ только знаками, т. е. имеют место равенства вп = 1прп , где коэффициенты

1к = ±1. ГСЗ более информативны, чем ГСЧ, поскольку их знаки несут дополнительную информацию о системе, в частности, разность числа положительных и отрицательных ГСЗ равна индексу Коши системы.

Далее будем рассматривать системы с кратными ГСЧ, причем ограничимся случаем, когда сингулярные числа принимают три различных значения.

Определение. Система (1), ГСЧ которой принимают только три различных значения Сті, Ст2, СТ3, называется трисингулярной. Ее передаточную функцию W(p) также будем называть три-сингулярной.

В частности, любая система третьего порядка с различными ГСЧ является трисингулярной.

Блочно-сбалансированная декомпозиция ТДС

При наличии кратных сингулярных чисел ст; у скалярной системы существует много сбалансированных представлений. Чтобы выделить среди них единственное, дополнительно потребуем диа-гональность кросс-грамиана системы. Полученная реализация будет представлять собой сбалансированную каноническую форму.

Опишем сбалансированную каноническую форму трисингулярных систем, следуя работам [3, 7]. Пусть Сті, СТ2, 03 — ГСЧ системы, Пі, п2, % — их кратности, так что Пі + П2 + П3 = п.

Матрицы Ь и c сбалансированной канонической формы имеют следующую структуру:

с =

Ь1,0,...,0, Ь2,0,...,0, Ьз,0,...,0

п1

п2

п3

i1b1,0,...,0, І2b2,0,...,0, i3b3,0,...,0

где 1к = ±1, Ы = 1, 2, 3.

Таким образом, матрицы Ь, c содержат по три блока

[ГТ1 ГТ1 ГТ1 1Т

вТВТ ,в31 ,

с = [Сі,С2 ,Сз ],

Вк = [Ьй ,0,---,0],

Ск = ІкВк ,

размеры которых определяются кратностью сингулярных чисел.

Матрица А сбалансированной канонической формы также имеет блочную структуру, согласованную с блочной структурой матриц Ь, ^ Ее диагональные блоки — квадратные матрицы А1, A2, Aз размерами П1, П2, П3, они имеют трехдиагональный ленточный вид:

А и —

ак1

-ак2

ак2

0

-а

к3

ак3 0 ак4

0

~акпк

а

кпк

0

2 Ск

(4)

Все диагональные элементы матрицы Ак, кроме первого, равны нулю, элементы первой наддиагонали положительны, элементы первой поддиагонали и элемент ак1 — отрицательны. Известно, что подобную структуру имеют матрицы фазовращательных систем (матрицы Шварца).

Внедиагональные блоки А^- матрицы А размеров пк х п ■содержат по одному ненулевому элементу (он расположен в левом верхнем углу):

А к]

ак1 0

0 0

0 0

— І'кІ'і Ак] ’ 1 £ к, ] £ 3,

причем элементы а^ вычисляются по формуле

ак]

-ъкъ]

№] Ск + С ]

(5)

Таким образом, сбалансированная каноническая форма ТДС характеризуется следующими блочными матрицами:

А1 А12 А13 В1'

А — А21 А2 А23 , ь — В2

А 31 2 3 < А3 В3

с — [Сі С2 Сз ].

Им соответствует система уравнений в пространстве состояний:

Хі — Аіхі + Аі2х2 + АізХз + віи, уі — Сіхі; Х2 — А21Х1 + А2Х2 + А23Х3 + В2и У2 — С2Х2; Х3 — А31Х1 + А32Х2 + А3Х3 + В3и, у3 — С3Х3,

у — У + У2 + Уз.

Структурная схема, отвечающая этим уравнениям, показана на рис. 1. Она содержит три фазовращательные подсистемы Sl, S2, Sз, соединенные обратными связями так, что выход каждого фазовращателя поступает на входы двух других.

Коэффициенты обратных связей к„г — —-----1

Vг Сд + Сг

на рис. 1 определяются значениями сингулярных чисел и не зависят от параметров самих фазовращателей.

Тем самым выполнена структурная декомпозиция ТДС на основе ее сбалансированного представления. Заметим, что внутренняя схемная реализация подсистем Sl, S2, Sз может быть любой

(6)

(6а)

и не обязательно должна описываться матрицами вида (4). Требуется лишь сохранить передаточные функции от входа и до выходов Уі, у2, Уз и систему сбалансированных обратных связей. Все это позволяет назвать полученную декомпозицию (см. рис. 1) блочно-сбалансированной.

По схеме рис. 1 можно построить передаточную функцию W(p) ТДС, выразив ее через передаточные функции Фі(р), Ф2(р), Фз(р) подсистем S1, S2, Sз и числа ві, S2, sз. Выписывая уравнения

У1— в1ф1 (р)(-к12У2- к13У3 +1);

у2 — в2Ф2 (р)(—к12у1 — к23у3 +1);

У3 — в3Ф3 (Р)(-к13У1 - к23У2 + 1)>

У — У1 + У2 + У3

и исключая переменные Уі, У2, Уз, получаем

Ж(р) — К°1°2°3 + 2(к12°102 + к13°103 + к23°2°3 ) - (01 + °2 + °3 ) 2к12к13к23°10203 - (к12°1°2 + к13°103 + к23°2°3 ) + 1

где использованы обозначения

01 — в1ф1 (р), Q2 — в2ф2 (р), °3 — в3Ф3 (р), К — к12 + к13 + к23 - 2(к12к13 + к12к23 + к13к23 ).

(7)

Полученная блочно-сбалансированная форма позволяет решать задачу синтеза ТДС с заданными ГСЧ любой кратности. Соответствующий алгоритм был разработан и реализован в пакете МА^АВ. Его исходными данными служат передаточные функции Ф^р), Ф2(р), Фз(р) и значения трех ГСЗ в!, S2, Sз, результатом являются матрицы А, Ь, с сбалансированного представления либо передаточная функция W(p) ТДС. Кратность ГСЧ синтезированной системы определяется порядками используемых фазовращательных подсистем.

Циклические трисингулярные системы

Важный подкласс ТДС получаем в случае, когда все три базовые подсистемы в схеме рис. 1 одинаковы. Будем называть такие ТДС циклическими. Циклические трисингулярные системы (ЦТС) обладают рядом специальных свойств, обуславливаемых регулярностью и симметричностью их структуры.

Кратность всех трех сингулярных чисел ЦТС одинакова и равна порядку П1 базовой подсистемы, а общий порядок системы равен 3п1. Размеры всех клеток матрицы А канонической формы (6) становятся одинаковыми, размеры клеток матриц Ь, с также выравниваются.

Передаточная функция для циклических систем получается из формулы (7) при Ф^р) = Ф2(р) = = Фз( Р) = Ф(Р):

(в1

-в3 ) Ф

Ж (р) —

Кф2 + 2 к125152 + к1351я3 + к235253 ф -1 в1 + в2 + в3

2к12к13к23 (в1 + в2 + в3 )ф3 - (к12®1®2 + к1381в3 + к23в2®3 )ф2 + 1

(7а)

Циклические системы обладают важным свойством — независимостью формы диаграммы Найкви-ста от вида и порядка базовой фазовращательной подсистемы.

Простейшая ЦТС получится, если взять базовый фазовращатель первого порядка с передаточной функцией:

—р + а , „ 2а

Ф( Р) — -

1—

р + а р + а

Тогда матрицы канонической формы (6) принимают вид

-а а12 а13

А — а21 —а а23 , ь— Ь2

а31 а32 —а V

' — [ЧЬ *2Ь2 *3^3 ].

Элементы матриц А, Ь и сингулярные числа связаны следующими соотношениями:

Ьк — V2

ас

к , ак]

ак] —

lklj ck + ° j

В частности, при а = 1 и положительных ГСЗ

получаем

А—-

2л/ С1С2 2^/ С1С3

С1

2^ С1С2

С1 + с3 2^ С2С3

С1 + с2

2л/ С1С3 ^ С2С3

с2 + с3

С1 + с3 с2 + с3

Ь:

л/2о2

72С3

, с — Ь

(8)

Поскольку матрицы (8) полностью определяются ГСЗ, коэффициенты передаточной функции W(p) такой системы также можно выразить через ГСЗ. Чтобы найти эту передаточную функцию, воспользуемся формулой

Ж (р) = с( рЕ — А)-1 Ь =1 с( рЕ — А)* Ь = ^,

А А(р)

где Е — единичная матрица; Д — определитель матрицы рЕ - А; В(р) и А(р) — числитель и знаменатель искомой передаточной функции.

Выполняя вычисления, находим канонический вид передаточной функции циклической системы третьего порядка

Ж (р) — 2к

р + В1 р + В0 р + 3 р + А1 р + В0

к — 8 + ^2 + в3;

(9)

В-, —-

в1 + в2 + в3

в! + Ъ2 82 + в3

Ъ3 + в1

В0 —

(81 - в2 )(в1 - 83 )(в2 - 83 )

(в1 + й2 )(й1 + є3 )(є2 + є3 )

Аі —

в1 - в2

в1 + в2

в1 - в3

в1 + в3

й2 - є3

82 + й3

(10)

К тому же результату приводит использование формулы (7а).

Рассмотрим задачу синтеза циклических систем третьего порядка с заданными ГСЗ в2, вз. Для ее решения можно использовать два подхода — матричный и структурный.

Первый подход опирается на формулы (8), которые позволяют получать матрицы описания в пространстве состояний циклической системы третьего порядка. Он дает матричное решение задачи синтеза для произвольного базового фазовращателя первого порядка. Формула (9) позволяет находить передаточную функцию полученной ЦТС.

Второй подход использует структурную схему рис. 1 и позволяет строить ЦТС при любом порядке базового фазовращателя.

Пример 1. Построим ЦТС третьего порядка с сингулярными числами СТ1 =2, СТ2 = 5, СТ3 = 9.

Используя матричный подход и формулы (8), получаем

-1 -0,9035 -0,7714 2 '

А— -0,9035 -0,7714 -1 -0,9583 -0,9583 -1 , ь — 3,1623 4,2426

с — [2 3,1623 4,2426].

Передаточная функция этой системы имеет вид

47432р2+20405р+288 Ж (р) = 4----- --------2-------------.

5929р3 +17787р2 + 3974 р + 36

Подставляя коэффициенты этой передаточной функции в равенства (10), убеждаемся, что они выполняются, т. е. передаточная функция циклическая.

На рис. 2 приведена диаграмма Найквиста этой системы. Заметим, что ее горизонтальный размер равен удвоенной сумме сингулярных чисел, а площадь — сумме их квадратов, умноженной на р: й = + s|) = 345,6.

Пример 2. Синтезируем циклическую систему сганкелевыми числами в1 = 1, в2 = 2, вз = 3.

Воспользуемся структурным подходом, взяв базовую подсистему с передаточной функцией

Ф(р) = р + 2 +1 = —4— . Вычисление коэффи-р + 2 р + 2

циентов обратных связей схемы рис. 1 дает * 1 1 * 11

*12 =—;----= —, *13 =—;----= т,

Sl + S2 3 Sl + sз 4

*23 = —= 5. s2 +s3 5

Это приводит к схеме блочно-сбалансированной декомпозиции, показанной на рис. 3.

Real Axis

■ Рис. 2. Диаграмма Найквиста циклической системы с сингулярными числами 2, 5 и 9

■ Рис. 3. Структура циклической системы для примера 3

Передаточную функцию этой системы получаем по формуле (7а):

5400р2+2760р+24 Ж (р) =---------------------^^-.

225р3 +1350р2 +361р + 2 Фазовая декомпозиция ТДС

Выше была получена блочно-сбалансированная декомпозиция ТДС (см. рис. 1). Ее вывод опирался на описание системы в пространстве состояний. Приведем другой вариант декомпозиции,

■ Рис. 4. Фазовая декомпозиция ТДС

который опирается на описание ТДС с помощью передаточной функции.

В теории управления используют различные разложения передаточных функций, например разложение на простые дроби, разложение на устойчивую и антиустойчивую части и др. Менее известно фазовое разложение Гловера, в котором передаточная функция представляется в виде суммы фазовращательных слагаемых [2].

При этом в качестве коэффициентов при отдельных слагаемых выступают ГСЗ системы. Применение фазового разложения для декомпозиции бисингулярных систем описано в работе [7]. Рассмотрим особенности его применения для ТДС. В этом случае фазовое разложение описывается следующим образом.

Пусть W(p) — устойчивая передаточная функция порядка п с ГСЧ Ст1 > Ст2 > аз кратности г2, Гз соответственно, так что Г1 + Г2 + Гз = п. Из теоремы Гловера [2] следует, что существует единственное представление W(p) вида

Ж (р) = d + о1Ф1 (р) +

+02Ф1 (р)ф2 (р) + „3Ф2 (р)ф3 (р), (11)

где d — константа; Ф1(р), Ф2(р), Фз(р) — устойчивые фазовращатели.

Отсюда вытекает, что любая устойчивая ТДС может быть представлена в виде соединения трех устойчивых фазовращателей согласно схеме, приведенной на рис. 4.

Передаточные функции фазовращателей Ф1(р), Ф1(р), Фз(р) имеют вид

Ф1 (р) = А^, Ф2 (р) = Агт,

А1 ( р) А2 ( р)

_ . . А(—р)

ф3 ( р) = ^тг ,

А( р)

где Al(p), A2(p) — устойчивые полиномы; A (p) — характеристический полином исходной системы.

Подставив эти передаточные функции в формулу (11), получаем

Ж (р)=d+01 А—)+„2 АЬр>. А-р+

А1 (р) А1 (р) А2 (р)

+03 (12)

3 А2 (р) А(р)

Заметим, что соответствующая реализация неминимальна, поскольку сумма порядков всех фазовращателей превышает общий порядок системы. Тем не менее, разложение (12), в силу его единственности, можно считать канонической формой передаточной функции для устойчивых ТДС.

Для практического применения фазового разложения нужно уметь находить полиномы Ai(p), A2(p) и константу d по заданной передаточной функции ТДС W(p). При этом ГСЧ ст1; s2, S3 в зависимости от постановки задачи могут задаваться заранее либо быть неизвестными. Порядки полиномов A^p), A2(p) в общем случае считаются априорно неизвестными.

Процедура получения фазового разложения (12) достаточно трудоемка, особенно если часть параметров исходной передаточной функции задана в символьном виде. Решение можно получить методом неопределенных коэффициентов, приводя все члены уравнения (12) к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты числителей при одинаковых степенях р справа и слева. Это приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров, решая которую, находим искомое разложение.

Для систем третьего порядка указанный алгоритм был реализован в пакете MAPLE и сводится к следующему.

Алгоритм фазового разложения передаточной функции W(p) третьего порядка.

Шаг 1. Задаем элементы фазового разложения (12) в символьном виде.

Шаг 2. Переносим все члены разложения (12) в левую часть и приводим их, включая заданную передаточную функцию системы W(p), к общему знаменателю.

Шаг 3. Выделяем в числителе коэффициенты при разных степенях p и приравниваем их нулю.

Шаг 4. Решаем полученную нелинейную систему уравнений, добавив ограничения для устойчивости полиномов Ai(p), A2(p). Подставив полученное решение в фазовое разложение, заданное на шаге 1, получим ответ.

Наибольшую трудность при выполнении алгоритма представляет последний шаг, на котором необходимо решать нелинейную систему алгебраических уравнений с семью неизвестными.

Пример 3. Найдем фазовое разложение передаточной функции третьего порядка:

W (р) = 12(900р2 + 230 p +1) .

900р3 +2700р2+361р +1'

Будем искать полиномы A^p), A2(p) первого и второго порядков соответственно: A1(p) = p + a, A2(p) = p2 + ^p + c0.

Для получения фазового разложения Гловера требуется найти значения семи параметров a, c0, c1, CT1, CT2, S3, d. Подставляем W(p), A1(p), A2(p) в уравнение (12):

W (p)-Id + Oi ^ + 02 l-M±cL

a + p p + c1 p + c0

— 0. (із)

a - p + o p - cip + со A(-p)

—;—+ °3^?---------------,, ,

a + p p2 + c1 p + c0 A( p)

Находим числитель левой части и выделяем коэффициенты при степенях р. Приравнивая их нулю и решая полученную систему нелинейных алгебраических уравнений, находим численные значения всех неизвестных:

115

а — —, Сп —--, с ——,

10 0 150 1 6

с1 — 3, с2 — 2, с3 — 1, d — 6.

Результат фазового разложения:

Ж(р) — 6 + 3(-М + 2 (1-Мр)(150р2-125р + 1) +

1 + 10 р (1 + 10 р)(150 р2 +125 р + 1)

+ (150р2 —125р +1)(-900р3 +2700р2-361 р + 1) (150р2 +125р +1)(900р3 +2700р2 +361 р + 1) '

Заметим, что константу d можно получить перед основными вычислениями. Подставим р — 0 и р — го в формулу (12). Это дает два равенства

К ,

— — d + С1 + С2 + С3; — — d — с. — С2 — С3.

a

Сложив их, получаем d — 1

. В част-

,an a0,

ности, в нашем примере имеем d = 12/2 = 6.

Синтез ТДС с заданным характеристическим полиномом

Фазовая декомпозиция ТДС (12) позволяет решать задачу синтеза ТДС, если в качестве исходных данных выступают характеристический полином системы и ее ГСЗ. В случае систем третьего порядка формальная постановка задачи сводится к следующему.

Даны ГСЗ S1, S2, S3 и характеристический полином A(p) = p3 + a2p2 + a1p + ao-

Требуется найти B(p) — числитель искомой

передаточной функции W(р) = В(р) . Алгоритм

А( р)

решения, реализованный в пакете MAPLE, содержит 5 шагов.

Алгоритм синтеза ТДС третьего порядка с заданным характеристическим полиномом.

Шаг 1. Записываем фазовое разложение Гловера, включив d в состав W(p).

ИНФОР^ S3

В результате получаем выражение (1з) при d = 0.

Шаг 2. Находим числитель правой части. Для этого приводим все слагаемые к общему знаменателю

«1А1 (-р) А2 (р) А( р) + 52 А1 (-р) А2 (-р) А( р) +

А1 (р) А2 (р) А( р)

+ «3 А1 (р) А2 (-р) А(-р) = N( р)

А1 (р) А2 (р) А( р) D( р)

Полином N(p) должен делиться на р + а нацело.

Кубический полином А(р) = рз + а2Р2 + а1р + а0 и числа в1, S2, Sз известны. Полином ^р) шестого порядка должен делиться на произведение А^р) А2(р) нацело, т. е. иметь вид ^р) = А1(р)А2(р)В(р), где В(р) — искомый полином третьего порядка. Выполняя деление ^р) на р + а, находим частное Q и остаток Я:

Я = -2аА(а)[(а2 + с)^ + S2) - аЬ^1 - S2)].

Приравнивая нулю выражение в квадратных скобках, получаем уравнение связи неизвестных

а, Ь, с, из которого выражаем с:

2

(а + с)(в1 + в2) = аЬ(в1 - в2),

с = аЬ(в -в2) - а2. (14)

(в! + Й2 )

Шаг 3. Частное Q, полученное на шаге 2, должно делиться на полином р2+Ьр+с нацело. Выполняя деление, получаем остаток в виде полинома от р первого порядка, его коэффициенты представляют собой полиномы от а, Ь третьего и четвертого порядков соответственно. Приравнивая их нулю, получаем два уравнения с двумя неизвестными: Р^а, Ь) = 0, Р2(а, Ь) = 0.

Шаг 4. Находим результанты полиномов Р1, Р2 по а и Ь. После их факторизации и отбрасывания несущественных сомножителей получаем два полинома шестого порядка Я^а), Я2(Ь). Вычисляя вещественные корни этих полиномов, находим искомые значения а, Ь.

Шаг 5. Для определения полинома В(р) подставляем найденные значения а, Ь, с [последнее находим по формуле (14)] в частное Q, полученное на шаге 2. Этим завершается синтез передаточной функции W(p) с заданным характеристическим полиномом и ГСЗ.

Замечание. Учет формулы (14) сокращает число неизвестных до двух и позволяет сразу начать с деления ^р) на А2(р). Это уменьшает число шагов алгоритма.

Пример 4. Пусть требуется синтезировать систему третьего порядка с ГСЗ Sl = з, S2 =2, Sз = 1

и характеристическим полиномом А(р) = 900рз + + 2700р2 + зб1р + 1.

Шаг 1. Выписываем формулу фазового разложения Гловера

ж (р)=3-р±а+2 (-р+а>(р2 - Ьр+с)+

р + а (р + а)( р + Ьр + с)

+ (-900р3 + 2700р2 - 361 р +1)(р2 - Ьр + с) (900 р3 + 2700р2 + 361 р +1)( р2 + Ьр + с)

и находим полином Щр) шестого порядка.

Шаг 2. Выполняя деление ^р) на р + а, находим частное Q и остаток Я:

R — —2а(361а -1 - 2700а2 + 900а3 )(5а2 - аЬ + 5с),

21

откуда с — -а + — аЬ.

5

Шаг 3. Выполняя деление частного Q на р2 + + Ьр + с, получаем остаток г — полином первого порядка. Его коэффициенты имеют вид

Р —-13500Ь4 + (—12600а + 13500)Ь3 +

+ (51300а-41400а2 -5415)2 +

+ (7220а - 36000а3 + 5 + 67500а2 ) -

—25а(361а-1-2700а2 + 900а3);

Р2 = 4500а3 + (-13500 + 6300Ь)а2 +

+ (3060Ь2 +1805 - 10800Ь)а --2700Ь2 - 5 + 1083Ь + 2700Ь3.

Шаг 4. Находим результанты полиномов Р1, Р2 по а, Ь. Выполняя их факторизацию и отбрасывая несущественные сомножители, получаем

R1 (а) — (810000а4 - 324000а3 +94221а2 --5220а +100)(—1 + 10а)2;

Я2(Ь) — (29160000Ь4 -97200000Ь3 +

+ 118995300Ь2 -60813000Ь +12613381)) х(—5 + 6Ь)2.

Приравнивая результаты нулю, находим ре-

1,5 1

шение а — —, Ь — —, следовательно, с — -

10 6 150

Шаг 5. Определение передаточной функции. Подставляя в частное Q найденные значения, получаем числитель В(р) передаточной функции W( р):

B( p) — -б p3-б p2 + — p +—.

50

150

Таким образом, искомая передаточная функция имеет вид

W (p) — -б

—-12-

900p3 + 900p2 - 99p-1 900p3 + 2700p2 + 3б1 p +1

900p2 + 230p +1

900p3 + 2700p2 + 3б1 p + 1

-б.

Заключение

В статье выделен и исследован класс линейных динамических систем, ГСЧ которых принимают ровно три значения. Получены две кано-

Литература

1. Francis B. A., Doyle J. C. Linear control theory with on Hinf optimality criterion. A survey // SIAM J. Control and Optimization. 1987. Vol. 23. N 4. Р. 815-844.

2. Glover K. All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariable systems // Int. J. Control. 1984. Vol. 39. N 6. P. 1115-1193.

3. Ober R. J. Balanced parametrization of classes of linear systems // SIAM J. Control and Optimization. 1991. Vol. 29. N 6. Р. 1251-1287.

4. Мироновский Л. А. Ганкелев оператор и ганкелевы функции линейных систем // Автоматика и телемеханика. 1992. № 9. С. 73-86.

нические декомпозиции таких систем — блочносбалансированная и фазовая. Соответствующие структурные схемы строятся на основе трех фазовращательных блоков. Отдельно рассмотрены циклические системы, характеризующиеся симметричной блочно-сбалансированной декомпозицией, и установлен вид их передаточной функции.

Предложены и реализованы алгоритмы синтеза ТДС с заданными ГСЧ, если дополнительно задан характеристический полином системы либо характеристические полиномы подсистем блочно-сбалансированной декомпозиции.

Полученные результаты могут быть полезны для решения задач идентификации, технической диагностики и редукции динамических систем.

5. Мироновский Л. А. Функциональное диагностирование динамических систем. — М.: Изд-во МГУ, 1998. — 340 с.

6. Мироновский Л. А., Шинтяков Д. В. Частотные характеристики фазовращательных и бисингуляр-ных систем // Информационно-управляющие системы. 2007. № 5. С. 36-41.

7. Мироновский Л. А. Линейные системы с кратными сингулярными числами // Автоматика и телемеханика. 2009. № 1. С. 51-73.

8. Пеллер В. В. Операторы Ганкеля и их приложения: Пер. с англ. / НИЦ «РХД». — М.-Ижевск, 2005. — 1028 с.

йи^ S5