Управление ценой при продаже портящегося товара Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008

Управление, вычислительная техника и информатика

№ 3(4)

УДК 519.2

Н.В. Степанова, А.Ф. Терпугов

УПРАВЛЕНИЕ ЦЕНОЙ ПРИ ПРОДАЖЕ ПОРТЯЩЕГОСЯ ТОВАРА

Рассматривается управление ценой продажи портящейся продукции, гарантирующее, что товар будет продан в течении торговой сессии и получена максимальная прибыль от его продажи

Ключевые слова: управление ценой, продажа, портящаяся продукция.

В предыдущих работах автора [1, 2] был рассмотрен вопрос об управлении ценой при продаже товара, который должен быть реализован в течение одной торговой сессии. Ниже рассматривается управление ценой при продаже товара, часть которого может испортиться в течение торговой сессии.

Предположим, что продукция портится с постоянной скоростью р, то есть если в какой-то момент времени г у нас есть 2(г) продукции, то за интервал времени [г, г + Аг] её испортится ц2(г )Лг + о(Лг).

Пусть далее цена продажи постоянна и равна с. Тогда поток покупок будет пу-ассоновским потоком с интенсивностью Х(с), так что за время Аг придёт в среднем Х(с)Аг покупателей, которые купят, в среднем, количество товара, равное а]Х(е)Лг + о(Лг).

Поэтому мы имеем

откуда, после деления на Аг и предельного перехода Аг ^ 0, получается следующее дифференциальное уравнение:

Если выдвинуть требование, чтобы весь товар был продан к моменту времени Т, то мы получим условие

1. Детерминированное приближение

1.1. Пр одажа по постоянной цене

Q{t) - Q{t + А/) = ^{і )А/ + а{к{е) А/ + о{ А/),

(і)

которое надо решить при начальном условии 2(0) = 2о.

Легко проверить, что решение этого уравнения имеет вид

из которого получается уравнение, определяющее цену продажи:

Найдём отсюда цену продажи с для линейной аппроксимации Х(с), когда

Цс) = Х0 -Х1-

Уравнение (3) даёт откуда получаем, что

Ибо

с = Со

Со а (е^т — 1)

Ибо

так что выручка от продажи нашей партии товара равна

( а Л

5 = ахсХ(с)Т = с0

Хіаі(г^т -1) ра р Ибо

1 + ^0 -

Х1а1 (еМ -1)

Иб)Т

(^ -1)

(4)

Если товар для продажи покупался по оптовой цене С, то прибыль от его продажи будет равна

р = б - ¿б0 = с0

і+-

Хо

Ибо

Ибот

(е"т -1)

¿бо •

(5)

Х1а1 (ецТ -1)

Ясно, что вся эта продажа имеет смысл лишь тогда, когда Р > 0. Отсюда получается, что оптовая цена С при покупке партии товара объёма Q0 должна удовлетворять условию

1 < і

1 + -

Хо

Ибо

Х1 Х1а1 (ец -1)

И Т

(е»т -1)

(6)

Найдём теперь оптимальный объём партии товара Q0, максимизирующий нашу прибыль. Очевидно, что оптимальное значение <20 находится из условия

1 + -

Хп

Ибо

Х1 Х1а1 (ец -1)

Иб)Т

(е"т -1)

¿бо

• тах,

Єо

или, в другой форме,

с0 I 1 +

И Т

-1

- а

бо -

2 2 с0И Тб0

Х1а1 (ецТ -1)2

• тах •

Єо

(7)

Максимум этого выражения будет удовлетворять условию <20 > 0, если выполнено следующее ограничение на оптовую цену

Л и Л ИТ

<І < €д I 1 +-I ---- •

01 ^ 1 ^-1 Решая задачу (7), легко получить, что оптимальное значение

бо =

с0 I 1 +

Хд

И Т

-1

■-а

Х1а1 (ецТ -1)

2и Тс0

и при этом максимальное значение прибыли

Р =

тах

с0 I 1 + ■

Хп

И Т

—а

Х1а1 (ецТ -1)2 4и Тсо

(8)

(9)

с

о

1.2. Нахождение закона управления ценой продажи товара

Пусть теперь производится управление ценой продажи товара и цена продажи c(t) в момент времени t выбирается из условия

am = , (Ю)

фО )

с некоторой, пока неизвестной функцией 9(t).

Тогда, в детерминированном приближении, Q(t) определяется решением следующего дифференциального уравнения:

&=-,ем-М, аю

at ф(г)

которое надо решить при начальном условии Q(0) = Q0.

Разделяя переменные и интегрируя, получим

Q(t) = Qo exp[~y.t - . (ю)

I o 9(z))

Рассмотрим частный случай, когда зависимость Х(с) имеет вид

Цс) = Х0 -

с.

о

Тогда цена продажи с(г) в момент времени г находится из условия

с 1 ОК)

aiХ(с) — a I Х0 + ■

I co) 9(t)

откуда получаем

6(0

c(t) = c0ll + -1 I. (13)

l -o VM¿))

Выручка от продажи нашей партии товара в течение времени T будет равна

S = К)alX(c(t))dt = c0 í 1 + ^1 JЩсИ--C- í^^t. (14)

о V 0o) o ф(/) ai0i о Ф (t)

Если товар приобретается по оптовой цене d, то прибыль от его продажи будет

равна

P = S- dQo = co íl + ^1--С--dQo . (I5)

V 0о ) о ф({) ai0i о ф (t)

Найдем оптимальный вид функции ф(г). Мы видим, что Р зависит от двух функционалов

j т* и j ем*.

0 ф(/) 0 ф (t)

Обозначая Q(t)/ф(г) = f (t), получим зависимость Р от двух функционалов -

J f (t)dt и J f 2 (t)dt .

0 0

В любом случае, попытка найти тах Р по виду функции/(г) приводит к задаче вида

T T

I f2 (t)dt + к I f (t)dt ^ extr,

(16)

где к - неопределённый множитель Лагранжа. Приравнивая нулю вариацию от (16) по f (t), получим, что f (t) = const.

Таким образом,

f (t) = Qt) = C

Ф (t)

или, в явном виде,

1 f І dz і

-----exp І -цг - I-----------I = C .

Ф(0 4 0 Ф(z)J

Переписывая его в виде

_^expf-J-*- I.Of

) І о ф(z) J

(17)

1 ( \ dz Л f ( \ dz

и замечая, что -------exp I -1-------I = -I exp I - I-------

ф(/) 4 0 Ф(z) ) I 4 0 Ф(z)

получим Отсюда имеем

і К dz exp| -fe

= -Cef*.

exp -i~~7~)] = -—e^ + C1.

о ф(Ю ) И

dz

Так как при t = 0 f----------------= 0, то

0 Ф( z)

и поэтому

1 = -—+—, — = і+—, и и

(К dz Л C C р 1 exp I - j------I =-------ец +1.

І о ф(z)) И И

Логарифмируя это выражение и дифференцируя, получим, после некоторых упрощений

Се-^ -1

Ф(7) = -

И

Возьмем константу С в виде С = ецСт с некоторым С > 1, тогда окончательно закон управления ценой примет вид

am = , Ф(*) =

Ф(г)

ц(СТ-t)

-1

И

Именно этот закон управления ценой и будет рассматриваться в дальнейшем. Заметим, что при р.^-0 ф(г) ^ СТ - t, то есть мы получаем тот вид ф(г), который обеспечивал максимум прибыли при продаже скоропортящихся товаров в предыдущих разделах.

Найдём теперь выручку и прибыль при данном законе управления ценой в детерминированном случае. Вычисляя интегралы, получим

«о=а , Ш * ~а£-, № - аУг 2

е“сг -1

о фО)

-1

(е^ст -1)2

Поэтому прибыль от продажи нашей партии товара равна

20рТ с0 Q0

х1) ецст -1 х1о1 (е^ст -1)2

0 •

(19)

При С = 1 это выражение совпадает с (5). Отсюда находятся оптимальное значение

а =

\ ) е»ст -1 и максимальное значение прибыли

- а

Х1а1 (ецСт -1)2

Р =

СО П + ^1-4Т- - Ч

2р Тс0

Хіаі (ецСт -1)2 4ц Тс0

(20)

(21)

которое при С = 1 совпадает с (9).

Однако в этом случае есть дополнительная возможность - провести оптимизацию и по параметру С. Обозначая комбинацию ецС -1 = г , получим

I2 а Х1а1

Р =

тах

со|1\^Тг - &2

4ц Тсо

и оптимальное значение г равно

горі

со (1+ К/= ^сор1т _1

2 а

Отсюда оптимальное значение С есть

Г 1 1л Г1 і С°(1 + 1о/^1)^Т

сор4 -^т >л а

Так как С > 1, то окончательно

Сор4 = тах

1, _Т 1п ^ .

()

(23)

2. Математическая модель порчи товара

Ниже предлагается одна из возможных математических моделей порчи товара.

Пусть товар состоит из отдельных элементов (например, картофель, фрукты и т.д.), которые могут испортиться в процессе хранения и которые при продаже необходимо выбрасывать.

Пусть в партии товара Q(t) таких элементов. Представим себе, что на интервале [?, t + Ы\ с вероятностью р = + о(Ы) каждый элемент может испортиться.

Обозначим через А2(г) число испортившихся на этом интервале элементов. Тогда каждый элемент можно рассматривать как опыт в схеме Бернулли, так что А 2(г) подчиняется биномиальному распределению

Р{Л® = С^рАе (1 - р)в-Ае .

Отсюда легко находятся статистические характеристики Ад. Используя свойства биномиального распределения, получим

М (А ® = др = бцАг + о(М),

и в диффузионном приближении коэффициент сноса процесса 0(г) будет равен

Иб(0.

Относительно М (А22} имеем

М{А02} = М{А® 2 + £{А® = б2ц2А2 + бцА?(1 - цА?) + о(цАг).

Поэтому в диффузионном приближении коэффициент диффузии процесса 2(г) будет равен р®г).

Ниже мы рассмотрим даже более общую модель, считая коэффициент диффузии процесса ®г) равным ст2®Х).

Таким образом, если рассматривать только процесс порчи товара, то его количество можно аппроксимировать диффузионным процессом

) = -цб(/ )Л+л]о2д()^. (24)

Если сюда добавить ещё процесс торговли, когда интенсивность потока покупок будет равна ’к(с(!:)), то диффузионная аппроксимация процесса ®г) примет вид

) = -(ц®/) + аЦс))^ + т]<з2д() + а2Х(с)^. (25)

Если используется управление ценой продажи по правилу

^(с) = ^,

фО )

то диффузионная аппроксимация процесса ®г) примет вид

¿60) = -(^+<2(( +^°2 + ]д(7 ^. (26)

Именно её мы и будем использовать в дальнейшем.

3. Первый и второй начальные моменты процесса 2(0

Пусть ®г) = М (®г)). Тогда, усредняя (26) и учитывая, что М{^,} = 0, полу-

^ ф(г)

Это уравнение было решено выше. Его решение имеет вид

_ мст-) -1

&) = & ,ст . . (28)

е^ -1

чим

Рассмотрим теперь процесс б2(г). Для функции f (г, 2) = 22 имеем

^ = 0; ^ = 26; Ц = 2

5г 56 эе2

и по формуле Ито получаем, что процесс 02(г) удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению:

2 (I) =

1 1 02/,\ . [ 2 а2

Ж)

& +

+ , 121 ст2 + °2 I ® (і)(^(

а ф(г)

(29)

ренциальное уравнение относительно б2(г):

Обозначим 22(г) = М{2 (г)}. Тогда, усредняя (29), получим следующее диффе нение относительно

О ( ) =-2 Гц + ——1 ^2 (г) + (^2 +—77 I 0(1), (30)

Ж \ —(0 у1 I а1—(г)/

2 (СТ) -!

которое надо решить с начальным условием ® (0) = 20 и с ф(г) =------------------

Однородное уравнение, соответствующее (30), имеет вид

-21 ц + -

И

(СТ -)

-1

02 (') ,

(31)

а его решение

(У

,ц(СТ)

-1)2

(ецСт -1)2

Будем искать общее решение уравнения (30) в виде

<2г (*) = С (/)

(е1

-1)2

(ецСТ -1)2

Подстановка этого решения в (30) приводит к уравнению

С'(/)

(У

м(ст -)

-1)2

(ецСт -I)2 откуда следует, что

= ст е(г) +

а2

«і ф0)

еМ(ст-) -1 а2

= ^2Єс

емст

-1

От

МСТ

С'(/) = а2а

Ибо'

а1

е"СТ -1

е"СТ -1

3ц(СТ-) - 1 Я| (ец(СТ-) _ 1)2

^ 'г ерСТ -1

р (СТ-т)

-1

ат + ^ ибо (ерСТ -1) [

(е>

р(СТ-т)

-1)2

Вычислим входящие сюда интегралы. Имеем

а т

= I-

т а т

і

•I и (СТ-т) і •> иСТ их ..

0 еи( ; -1 0 еи - еи И

1 еист -1

= — 1п

I I иСТ ПІ

И е - е

(32)

()

-1

(34)

(35)

о (е

а т

ц (СТ-т )

е2цт а т ,^СТ _ ^т )2

г^г

-1)2 0 (ецСТ - ецт )2 И 1 (ецСТ - г)

^ст е

,Ц*

цст

И 1 г - е

= - 1]п| 2 - ецСТ| И 1

И 1 (г - ецСТ)2

ец( цст - *>"

е

1

рСТ

= 11п е

рСТ

-1

^СТ

и V е^СТ - е^ е^СТ -1

Итак,

где f (г) =

Окончательно

С (г) = Оо2 + Оо/ (),

(-2

а а9

ц а{

(т - 1)1п

еиСТ -1 а2 еи/ -1

^ст

иСТ и/ « иСТ и/

е - е а{ е - е

62 (*) = 62

/ е^(СТ-) _ 1

е^СТ -1 ,

Vе 1 У

+ бо

/ ец(СТ-) _ 1

е^СТ _1 ,

Vе 1 У

(36)

(37)

(38)

Первое слагаемое в этом выражении есть 2 (г), а второе - дисперсия 2(г). Легко проверить, что £{2(0)} = 0 и £{2(СГ)} = 0, то есть продажа всего товара будет завершена в момент времени СТ.

4. Оптимизация процесса продажи

Рассмотрим теперь вопрос о выборе оптимального объёма ® партии товара, приобретаемой для продажи по оптовой цене ¿, и о выборе оптимального значения параметра С.

Пусть, как и ранее,

Це) = Х0-Х1 .

Тогда равенство

а1Х(е) =

ш

ф0)

определяет зависимость цены от времени

Далее получаем

С = Со| 1 + --------

^ а1Х1 ф(г)

чет = с0| 1__ Q^t) 1 Q^t)

Ху a1X1ф(t) ) ф(t)

е

0

Среднее значение выручки от продажи партии товара за время Т 5 = |М{а1сЦс)}Ж = с0 Г1 + ^°! |Ж-~С^- [^(^

0 V К) 0 Ф(?) «1^10 Ф2 (О

ІІІ

Но

так что

Далее,

так что

6(0 ибо

ф(0 ецСт -і

ТШ ж = .иТб0

о Ф(0

62 (^) И бо

е^ст - і , И2бо

ф2 () (е^ст -1)2 (ецст -1)

рст _

('¿IV) м _ и ^ >¿0 , И2бо р(С)

Ш _ , „СТ -.2 + , „ГГ -.2 р(С),

0 Ф2 (г) (е„с -1)2 (е„сг -1)

где

Р(С) = {/(г)Сг.

0

Теперь среднее значение прибыли от продажи нашей партии товара можно запи сать в виде

I Л _ I II / Г 2

р=б-¿а =

Гс Гі_________________________________^

01 ^ і -1 (^ст -1)2

а —,0 2 а2, (39)

Я! (Є^СТ -1)2

откуда из условия ЭР/ 5® = 0 и находится оптимальный объём партии товара

цГ а И2^(С)

Єо _

а{к1 (е„сг -1)2

2и 2Т

^ ) е„сг -1 Со а1Х1 (е„сг -1)2_

(40)

и средняя максимальная прибыль

Р =

а1Х1 (ецСт -1)2

4ц 2Т

1 + -

Хп

цт а и2^(с)

Хі ) е^ст -1 С0 а1Х1 (е^ст -1)2 Вычислим теперь -Р(С). Для него имеем

р (С) _

^ст2 , а2'' И а1 ,

Г Г е„сг 1 (е„сГ -1) 11п е -1

Второй интеграл после замены переменных ец = 2 легко вычисляется:

че„сГ - е„ у

Лг-

Г е„ -1

-е" ~ _|-

а2 е„сг ^_е____________

е„сГ -

(41)

(42)

[

^ -1 Л 1 Г 2 -1 Л 1, сСТ 1Ч1

J цст ¿7^ _ .. I ( цсг _ ..(е ^ п

0 - е . і (е - г)г .

( е^ст -1 ^ ест - ес

- СТе

С

Что касается интеграла

Г 1п(е„сг - е„ >* _ 17 1п(е„сГ - -) Л-, о И 1 -

то он через элементарные функции не выражается (он напоминает интегральный логарифм). Поэтому нахождение оптимального значения С возможно лишь численно.

т

2

5. Пуассоновское приближение

Рассмотрим теперь другое приближение для решения рассматриваемой проблемы, не являющееся диффузионным.

Обозначим через <2(ґ) количество имеющегося товара в момент времени і. Тогда имеем соотношение

0(1 + М) = б(/) -Д0(г), (43)

где А0(і) есть убыль товара за время Ді. Её можно представить в виде

Дб (*) = ДЄИСП () + АЄпр (/), (44)

где А бисп(і) есть количество испортившегося товара за время А і и А®р (і) - количество проданного товара за тот же промежуток времени.

Относительно статистических свойств этих величин мы примем следующие предположения.

Будем считать, что А0исп(і) есть случайная величина с параметрами М (АЄИСП (/)} = цб(/)А + о(Аг),

М(деисп(/)} = а2б(/)Д + о(Д). (45)

Относительно А<2пр(і), учитывая пуассоновость потока покупок, мы примем следующую модель:

(0, с вероятностью 1 - Х(с)Дг + о(Дг),

Дбпр() = \ к - . ч . . . ч (46)

с вероятностью А(с)Д? + о(Дг),

где £ есть размер покупки. Будем считать, что £ является случайной величиной с М{£} = а\ и М{£2} = а2.

Выведем теперь уравнение для М{<2(1)} = 2(г). Усредняя А<2(і) по факту покупок, получаем

М (Дб(г)} = [М (ДЄИСП (/)} + £ • Цс)Д ] + о(Д).

Усредняя эту величину по величине покупки, получим

М{Д0(/)} = [цб(г) + а1Х(с}] Дг + о(Дг),

или, с учетом закона управления ценой,

О(/)

м {ДОС/)} =

Поэтому, усредняя (43), получим

н°(/) -

ф(/)

м ті + Дг)} = м {£(*)} -

или 2(г + Дг) = ) -

цМ {£(/)}

Д/ + о(Д/).

м {б(/)} 1

нб(г) -

ф(г)

ё(г Г

Дг + о(Дг)

Дг + о(Дг).

Ф(г).

Отсюда получается дифференциальное уравнение для 2(г):

«<' ) 1 а,),

& V ф(г),

что совпадает с уравнением (27), полученным в диффузионном приближении.

Пусть теперь ®(г) = М(22(г)}. Возводя (43) в квадрат, получим

е2 (г + Дг) = е2 (г) - 2б(г )Ае(г) + (де(г) )2. (47)

Усредним это выражение при фиксированном <2((). Тогда имеем

М)} = (ц<2(() + а1Х(с))Аг + о(Аг) = | ц + ^^ 1)Лг + о(А1).

I Ф(^))

Далее, (Дб(/) )2 = АбИсп + 2Абисп Дбпр + ДбПр,

м (деи2сп} = а20(г )Д + о(Д), м (деисп }м (Дбпр} = 0(дг),

М(деп2р} = М{£2Цс) Д + о(Д)} = ^ЩМ + о^).

«1 фО )

Усредняя теперь (47) при фиксированном ®г), получим

м(е2(г + Дг)} = м(е2(г)} - 21 ц+16(г) Д +1 ^ I6(г) Д + о(Дг).

I ф(г)) \ а1ф(г))

Наконец, после усреднения по 0(г), имеем

е2 (г + Дг) = 62 (г) -2 ^ + _^т] 62 (г)Д + |^2 +-^т] б(г)Д + о(Д) ,

I Ф(г)) I «МО)

откуда получается дифференциальное уравнение для ®(0:

= -2^ц + -1^']е2(/) + Га2 + _-2-Ъ(0. (48)

Ж \ -(0) \ -1-(г) )

Это уравнение совпадает с уравнением (30). Таким образом, рассматриваемое приближение даёт тот же самый результат, что и диффузионная аппроксимация.

6. Распределение вероятностей длительности продажи товара

Пусть функция 2(г) удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению:

Рассмотрим функцию /^, г) = е . Для неё

-т~ = 0; тт- = -ре~ри ; ^2 = Ре

= 0 ; К. = -ре~Рв ; И. - р2е-Рв

ді 5Є 5Є2

и, согласно формуле Ито, эта функция удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению

Л (е-рв) = 1-^ре~ рв +

1ф(* ) 2а,

Рассмотрим функцию Ф(р, г) = М {е~р®} ,которая, по смыслу, является преобразованием Лапласа от плотности вероятностей _р(® ^ значений процесса 0(г) в

^р2е-р° 1 <И - ре-. (50)

2а ф(0 1 \а ф(*) '

момент времени I. Тогда, как следует из (50), для неё имеет место уравнение

Ъ ф( Р О) =

2а1 ф(і)

йі.

(51)

Учитывая, что

дФ( р, І)

др

-рв

уравнение (51) можно переписать в виде ^ ф( Р, О) = -

С р дФ(р, і) а2 р2 дФ(р, і) ^

ф(?) др 2 а1 ф(і) др

е \ дФ (л Р1 дФ „

ф(' ” I1 +ёДР =0 ■

Лі,

(52)

или в такой форме где в = 2ах/а2 .

Это уравнение является уравнением в частных производных первого порядка, которое решается методом характеристик. Уравнение для характеристик имеет вид

Ж ф (11

Ф(7) р{\ + р/Р) ^ р р + Р

ф.

Интегрируя, получим

^ Ни

{—— = 1п р - 1п(р + Р) - 1п С ,

0 Ф(и)

^ ру() . . ( \ Ли

С ) = ехр|-{—-

Р + Р I о —(и)

Общее решение уравнения (52) имеет поэтому вид

' Р^({)

откуда

ф( Р, і) = ф

Р + Р

Для нахождения функции р () учтём то, что в начальный момент времени г = 0 6(0) = 6о, что соответствует тому, что ^(2,0) = 8(2 - 20). Преобразование Лапласа от этой функции имеет вид Ф(р, 0) = е-р^° , и поэтому мы имеем соотношение

Ф

Р + Р

= е-рв°

Обозначая —= г , получим, что р = в , и поэтому

Р + Р

1 - г

ф(г) = ехр Г- I.

Тогда

Ф( Р, і) = ф| 1 = ехр

Р + Р

-Рбс

ру(і) ^ р + р РУ(І) р + р.

1 -

= ехр| -Рб(

ру(1)

р + Р- Рр

(52)

В этом выражении нас особенно интересует lim Ф(p,t) = exp f-ßßc-

y(t)

1 -У(і),

так как в обратном преобразовании Лапласа именно этот сомножитель будет стоять при 8(0. Это слагаемое соответствует тому, что в момент времени ї будет иметь место соотношение 2(?) = 0, то есть весь товар будет продан. Поэтому, если через т обозначить время продажи всей партии товара, то можно написать, что

У(і)

Ft (t) = р{т<= exp I -ßö0

(53)

1 -У(і),

Это и определяет функцию распределения длительности продажи товара.

Вернёмся теперь к рассматриваемой нами ситуации продажи портящегося товара. К сожалению, попытка провести такое же исследование не приводит к положительному результату, так как переменные р и ї не разделяются и для характеристик получается уравнение Рикатти, которое в квадратурах не решается. Единственный вариант, который нам удалось рассмотреть, это вариант, когда верно соотношение а2 = а2/а Ц. В этом случае мы приходим к рассмотренной ситуации, когда

1 и

Ф0)

= н+-

e

p(CT-t)

-1

Тогда мы имеем

г du г

J—- = p-t + ^j-

dz

,Ф(и)

MCT - z)

-1

Но

поэтому

ИІ-

dz

M.CT - z)

-1

du

euCT

= ln

-1

uCT ut ’

eu - eu

y(t) =

ß (CT-t)

-1

-1

Тогда окончательно для функции распределения длительности продажи получается следующее выражение:

F% (t) = exp

-ßßü

MCT-t)

-1

л

ßV,CT __ ßV,(CT-t)

(54)

ЛИТЕРАТУРА

1. Степанова Н.В., Терпугов А.Ф. Оптимальное управление ценой при продаже скоропортящегося товара. // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета. 2007. Вып. 4(17). С. 35 - 39.

2. Степанова Н.В., Терпугов А.Ф. Управление ценой при продаже скоропортящейся продукции // Вестник ТГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. 2007. № 1. С. 22 - 35.

Статья представлена кафедрой программной инженерии факультета информатики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 12 февраля 2008 г.