CC BY
35
Е.Е. Змеева, А. Ф. Терпугов УПРАВЛЕНИЕ РОЗНИЧНОЙ ЦЕНОЙ ПРОДАЖИ
Рассматривается управление розничной ценой продажи скоропортящегося товара, обеспечивающее его распродажу в течение торговой сессии.
ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ
Пусть партия товара, которую планируется продать, имеет объем Q0. Считается, что величина покупки | отдельным покупателем есть случайная величина с математическим ожиданием М{|} = а1 и вторым
начальным моментом М{|2} = а2. Сам поток покупок считается пуассоновским потоком с интенсивностью Х(с), зависящей от розничной цены с. Сам товар должен быть реализован в течение одной торговой сессии продолжительностью Т, иначе он теряет потребительские свойства и не подлежит продаже.
Будем считать, что торговая сессия начинается в момент времени 0 и кончается в момент времени Т, то есть она занимает интервал времени [0, Т]. Обозначим через Q(t) количество товара в момент времени t. Будем также считать, что Q(0) = Q0 фиксировано.
Рассмотрим следующую процедуру управления ценой с(0 товара
а{к(е^)) = р—; + kQ(Ї).
Она получается из следующих естественных соображений: дробь Q(t )/(Т - 0 есть та средняя скорость, с которой должен продаваться товар, чтобы он был весь продан к концу сессии. С другой стороны, а^с^)) есть та мгновенная скорость, с которой он продается в момент времени t. Мы требуем, чтобы эти две скорости были равны друг другу.
Найдем характеристики величины количества товара в диффузионном приближении. Ранее было показано, что процесс Q(t) может быть приближенно описан следующим стохастическим дифференциальным уравнением [1]:
dQ(t) = -а1Х(с)Л ^ л/а2X(C)dw(t).
В рассматриваемом случае это уравнение принимает вид
dQ(t) = ~0)+^(1))Л+ЩЩ+*0(^М!^). (1)
Найдем основные вероятностные характеристики процесса Q(t).
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ПРОЦЕССА 2(0
Обозначим М^^)} = Q(t). Усредняя уравнение (1) с учетом того, что приращения винеровского случайного процесса независимы и имеют нулевое математическое ожидание, получим следующее уравнение для ):
Ґ
dQ(t) =
л
Т -1
-
dt,
которое надо решить при начальном условии 6(0) = 60. Решая его стандартным методом разделения переменных, получим
6(Г) = в-ы (Т - Г)с . (2)
Учитывая начальные условия 6(0) = 60, получаем
6(!) = ^60 Т—■.
В частности, 6(Т) = 0 .
ДИСПЕРСИЯ ПРОЦЕССА 2(0
Пусть процесс 6(0 описывается уравнением й?6(0 = а(6,^Л + Ь(6^)йм>^), и нас интересует процесс у(?) = /(6,0. Тогда, как известно, этот новый процесс также является диффузионным и удовлетворяет уравнению
df ^^) =
д/ ^ ,д/ Ь2®,0д2f
у + а(д, о— + ■
дt дQ
+Ь^, t) ~f.dw(t).
дQ
дQ
dt +
Эта формула носит название формулы Ито [2]. Возьмем /(6, t) = 62. Тогда
/ = 0, / = 26 , ^ = 2,
д1 д6 362
и формула Ито дает
d(й2(t)) 2(t)+^Q(t) \\к +
1
+2Q(04 Iа1 Q(t) [ к + 1
Т -1
Т -1 ).
dt +
(3)
Обозначим М{2 (t)} = Q2(t). Тогда, усредняя (3), получим
Т Ь ]л+а «'> [ к+7-г,)л,
dQ1(t) = -2Q2(t )\к + или, с учетом (2),
dQ2(t)
dt
= -2Q2(t )\ к +
а2 Т -1
Т -1) а1 Т
Т~1
t
(4)
которое надо решить при начальном условии
62(0) = 602.
Это уравнение решается стандартным методом вариации произвольных постоянных. Однородное уравнение
dQ2(t)
^ = -2Q2(t )|к +
dt
1
Т -1 у
2Ы /гт ¿\2
имеет общее решение Q2 (t) = е (Т -1) с. Частное
решение неоднородного уравнения будем искать в
виде 62^) = е (Т-1) с(). Подстановка этого вы-
ражения в (4) приводит к уравнению
с'(, ) = 2
а2 Q0 ке
а1 Т (Т -1)2 а1 Т (Т -1)’ решение которого имеет вид
с (, ) = а °> е
- + с .
а1 Т Т -1
Таким образом, общее решение уравнения (4) имеет вид
Уравнение (8) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка. Оно решается методом характеристик [3]. Уравнение для характеристик имеет вид
------А-------------------= —^- = [1 --І-1 ¿р. (9)
(Т - !)Цк(Т -1) +1) р (1 + р/|3) Ур р + в)
Интегрируя его, получим
Ш - 1п(Т -1) = 1п р - 1п(р + Р) - 1п С , что и дает явный вид характеристик
-кір(Т -1)
Q2(t) = ^е^ Т—t --к - -2 а Т
- + е^к‘ (Т -1)2 с,
р + Р
(10)
и учет начального условия Q2 (0) = QC) дает
Поэтому общее решение уравнения (8) имеет вид -ыр(Т -1)
Ф(р,t) = ф| е
Q2(t) = е-ktQo —
а Т
Т -1
- + е
-2кі
Т-1 Т
Qo2 - - Qo
а
(11)
Отсюда
D{Q(t)} = DQ (,) = Q2(t) -Q2(t) =
= ^ Qoe-kt [і - Т
1 -I 1 - ^1 е~к‘
(5)
(6)
В частности, DQ (0) = DQ (Т) = 0 . Вместе с результатом Q(T) = 0 это говорит о том, что с вероятностью 1 Q(T) = 0 , то есть с вероятностью 1 к концу торговой сессии весь товар будет продан.
ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРОЦЕССА 2(0
Таким образом, процесс Q(t) начинается в Q0 и заканчивается в 0.
Рассмотрим /(Q, t) = е~ р° . Тогда
дЛ = 0, ЁИ = -pe-pQ , ^2 = р2е~р°,
р+р
где ф(-) - произвольная функция.
Ее вид найдем из того условия, что в момент времени t = 0 6(0) = 60 с вероятностью 1. Поэтому р(6,0) = 8(6 - 60), откуда следует, что Ф(р,0) = е~р60 .
Это приводит к уравнению
ф\-р— \ = е~ pQo Р + в
(12)
Обозначим = 2 . Тогда р = в2 и уравнение
(12) дает
р + Р
ф( 2) = ЄХр| -
Т - 2
_Ё£_
Т - 2
Qc
(13)
Отсюда и получаем явный вид функции Ф(р, t): ф( р, t) = ф|рТ^ е-к‘
(
дt дQ
и поэтому
дQ
= ехр
р + Р
вр(Т -1)е~
^0
(14)
d (р )=о[ к+Т~1 |р+^ \ е- *,*.
- ре ° Ук+гг,
р,е~к‘ +вТ + рТ (1 -е~к‘)
Таблицы обратного преобразования Лапласа [4. Ф-ла (23.65). С. 245] дают:
ехр
(7)
1
-1 »-
Л
Рассмотрим Ф(р, t) = М{е р6 }, которая является преобразованием Лапласа от плотности вероятностей р(6, t) значений процесса 6^) в момент времени t.
Тогда дФ( p, t) = -М {6е~р6 } и, усредняя (7), получим
др
у а( р+ь)) „¡ад
Преобразуем выражение для
р(Т -1)
2. 2
(15)
у =
р,є-кі +вТ + рТ (1 -е“к )
предварительно сделав замену у = Т(1- е ), получим
у =
Т -1р,є к +вТ + ру-рТ-ру
,є
р,є +РТ + р у
1
“іФ(р,t) = -| к +------\| р + —^р \—dt
а2 2 і дФ
или, в явном виде, дФ Т - ,
Т - ,)у 2а1 ) др
+ р | 1 + р )дФ = 0. (8)
іе
- к,
1 -
РТ+р у
ріе кі +РТ + ру
-к,
д, к (Т - ,) +1 У 2а1 ) др
В дальнейшем будем использовать обозначение
Р = 2а^а2 .
- рР(Т -1 )е Q =
р,е~кі +р Т + р у 0
Т_-±+^Qo(T - і) (Р Т + р у)
и поэтому
ехр
pß(T -1)e~
\
-Qo
T-t
—ßQo
ехр
pte +ß— + p у
( ß Qo(— -1) (ß-+p y) л
-(te kt + y)| p +
ßT
te +y
Сравнивая с (15) и беря
РТ 1 =PQo(T-,)(РТ + ру)
а
b =
te~kt +y
t(te +y )
получим окончательно
р^, і ) = е-(Т -і )PQ^
ß—
S(Q) + e
<h
V
ß Qo(— -1) (ß — + p y) e-
t(te kt +y)q
Iß QQo(— -1) (ß—+py) e~
t(te kt +Y
)
P(t<-) =FT (t) =exp I ---Л-ßQo
( 1
M {t} = J(1 - FT (t ))t = — 1 - eßQo J e
V o
dx
Найдем по правилу Лопиталя следующий предел:
1 в fe~^dz
lim —- e1f J e-/ z dz = lim —-j- =
f^0 R2 J B^0 Tile~4B
(16)
B^o в
= lim
f^o f e~
= lim —1— = 1.
б^0 2Бе-'/Б + е-/Б в^01 + 2В Отсюда следует, что при Б = УPQ0 << 1
еРй) | е-РаАйХ = Б е1в Б е-1^ = Б + о( Б),
и поэтому
M {t} = —| 1------— + о I —
1 ßQo VßQo
(20)
(17)
Отметим особую роль слагаемого е (Т *)вQ^t5(Q),
содержащего 5-функцию. Оно возникает потому, что величина покупки является случайной и, в принципе, может прийти покупатель и купить весь оставшийся товар, и тогда для продавца все закончится. Математически это происходит потому, что в точке, где Q(і0) = 0 , у процесса Q(t) равны нулю и коэффициент сноса, и коэффициент диффузии, и поэтому при
і > ,0 Q(t) = 0.
Однако этот результат позволяет вычислить и некоторые другие характеристики процесса продаж. Обозначим через т величину промежутка времени от начала торговой сессии до того момента, когда будет продан весь товар, то есть длительность продаж. Тогда из вида рассматриваемого слагаемого следует, что
Аналогично можно найти и асимптотику дисперсии величины т.
В качестве контроля правильности проделанных выкладок найдем математическое ожидание и дисперсию процесса 6(0 другим путем через функцию Ф(р, t). Имеем
т (р, о = 1п ф( р, о = -^р+Т 60 = -вр1+^ 60, pt + р Т рт + Р
т = ^Т.
По свойствам преобразования Лапласа получаем дТ Р2(1 -т)
др (рт + Р)2 0,
д¥
M {Q(t)} = -— dp
p=o
= Qo(1 -t) = Qo 11 - -
d2 У = 2ß2 t(1 -t)
dp2 (pT + ß)3
Qo
ö{Q(t)} =
д 2У
dp
p=o
= ß T(1 -T)Qo = “i—(l - —) Q
(18)
где ^т (t) есть функция распределения величины т.
Это позволяет вычислить, например, среднюю длительность продаж. Имеем
то есть имеем те же результаты, что были получены ранее непосредственным путем. Это является косвенным подтверждением правильности всех проделанных выкладок.
Рассмотрим теперь еще одну основную характеристику процесса продаж - выручку от продаваемой партии товара. Вообще она равна
(19)
S = a1 J c(t)X(t)dt.
(21)
Входящий сюда интеграл через элементарные функции не выражается.
Найдем асимптотику М{т} при Р60 >> 1, то есть
при большой величине партии товара 60 . Тогда величина В = 1Р60 << 1. Делая в интеграле замену переменных х/Р60 = Вх = г , получим
ев60 } е-р6^хйх = В е1 В Ве-1 Й .
Однако теперь она становится случайной величиной и надо искать ее характеристики.
Цена на товар с(і) определяется уравнением
aA(c(t)) = Qj- + kQ (t) .
(22)
Предположим, что нам удалось разрешить это уравнение относительно c(t) :
c(t) = MQ-i+kQ (t )| .
(23)
=e
e
Q
Тогда
S = ІЛ( 0-7 + kQ (t )Y Щ + kQ (t )| dt.
— -1
(24)
Найдем математическое ожидание £ = М{£} . Для этого надо усреднить (24) по значениям процесса 6^). Однако здесь есть одна тонкость, которую надо учитывать. Дело в том, что в выражении для р(6, t)
есть 8-образная компонента, которая соответствует тому, что в момент времени t весь товар уже продан. Ясно, что в такой ситуации выручки от продажи нет. Поэтому в (24) надо усреднять только по оставшейся части:
— -t
S -—ßQ°
S = e t
xI1
ß—
te kt + y
Q
V
ß Qo(— -1) (ß—+p y)
t(te kt +y
ß QQo(— -1) (ß— + p y)e'
-kt А
)
Вычислить это выражение возможно лишь при конкретизации вида Я,(с).
Найдем асимптотику величины £ при Р60 >> 1, используя для этого метод линеаризации. Определим величину с0 уравнением
60
a^(co) =
—
(25)
Отсюда приближенно
Ac(t) = ■
1
kQ+■
Q Qo
, ^ , (26) а{к'(с0) ^ Т -1 Т
Для получения дальнейших формул найдем сначала некоторые вспомогательные величины. Как говорилось выше, вероятность того, что к моменту времени t весь товар будет продан, равна
Т -1,
%o(t) = exp| -
t
-ßQc
Найдем условное математическое ожидание М{6 | т.е.} - величины 6(t) при условии, что товар есть. Имеем
М{6} = ^) • 0 + (1 - П (t))М{6 | т.е.} = 6 (Т -1)е~к.
Отсюда
поэтому
M{Q | т.е.} = , Qo(— t) • e-kt
— (1 -no( t))
(27)
M {QI k +
— -1
.Qo
—
= Qo ((— -1) +1) -ы - Qo
. = — (1 -n o (t)) —
M {Ac(t)| т.е.} =
((— -1) + 1)e-kt-(1 -n o (t)) Qo
(28)
— (1 -n o (t)) a1^'(co)—'
Вернемся к вычислению математического ожида-
—
S = a1 J c(t)X(t)dt. Используя разложе-
ния величины
Будем называть ее «стационарной ценой», так как она соответствует тому, что товар продается с постоянной скоростью.
Будем считать, что отклонения Дс(і) = с(і) - с0 цены с(і) от стационарной цены с0 малы. Тогда имеем
а1Х(с(і)) = + kQ = а1Х(с0) + а1Х'(с0)Дс(,) + К =
= ~ + а1Я'(с0)Дс(і) + К.
ние в ряд Тейлора, получим
с^ )Х(с^)) = с0Цс00) + (Я(с0) + сА'(с0 ))Дc(t) + К,
и принимая во внимание, что выручка идет лишь при наличии товара, будем иметь
Т
М {£} = ^0X^0) | (1 - П0 ^ )й +(Я(с0) +
0
Т
+с0^'(с0))|[((Т-1)+1)е^ -(1-П0(^+К = 0 Г (с0)Т
= | ас0Я(с0) + (Я(с0) + с0Г(со))гг60;^
I г (с0 )Т
Т
х| (1 -П)( t)) Л +(Х( с0) +
0
6 Т
+с0Я ' (с0)) (Т -1) + 1)е-ыЛ + К.
г (с0)Т 0
Т
Интеграл | (1 -л0^)) й уже был вычислен ранее -
0
это М{т} (20). Далее, 6о/Т = а{к(с0). Подставляя все это в предыдущее выражение и упрощая, получим
S и a1coX(co)— I 1 +
X(q,)
coX ' (co) e~k a1X(co) k —
e-kt -1 + -
1
ßQo (k— +1) (o) + co X ' (co)).
2 X ' (со)
Заметим, что Г (с)) < 0, и поэтому £ < (со)Т ,
то есть управление ценой, с целью продать весь товар до окончания торговой сессии, уменьшает среднее значение выручки по сравнению с продажей по стационарной цене. Однако это уменьшение имеет порядок 1 Р6о и поэтому невелико. Оно является своеобразной «платой» за окончание продаж в срок.
ЛИТЕРАТУРА
1. Змеев О.А., Новицкая Е.В. Вероятностные характеристики длительности торговой сессии и оценка ее параметров // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 66 - 75.
2. Терпугов А. Ф. Математика рынка ценных бумаг. Томск: Изд-во ТГПУ, 2000. 179 с.
3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.4. М.: ИТТЛ, 1957. 812 с.
4. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 465 с.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 18 мая 2005 г.
и
