CC BY
46
УДК 519.2+338.5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ОБЪЁМА ПАРТИИ ТОВАРА НЕПРЕРЫВНО ПОРТЯЩЕЙСЯ ПРОДУКЦИИ
Н.В. Степанова*, А.Ф. Терпугов
*Алтайский экономико-юридический институт, г. Барнаул Томский государственный университет E-mail: terpugov@mail.tsu.ru
Рассматривается задача определения оптимального объема партии продукции, выставляемой на продажу, часть из которой портится с течением времени (например, фрукты, овощи и т. п.). Находится величина объёма партии товара, обеспечивающая максимальную среднюю прибыль от её продажи.
Ключевые слова:
Портящаяся продукция, среднее время продажи, оптимальный объём партии.
1. Постановка проблемы
Пусть имеется некоторая продукция (например, фрукты, овощи и т. п.), которая портится с течением времени (овощи и фрукты гниют и т. д.).
Продавец покупает партию товара объёма (20 по оптовой цене й и продаёт её по розничной цене с. Ставится задача нахождения значения 0О, при котором средняя прибыль продавца будет максимальной [1].
2. Математическая модель порчи товара
Ниже предлагается одна из возможных математических моделей порчи товара.
Пусть товар состоит из отдельных элементов (например, картофель, фрукты и т. п.), которые могут испортиться в процессе хранения.
Пусть в партии товара Q(t) таких элементов. Представим себе, что на интервале [/, /+Д/] с вероятностью р=кД/+о(Д/) каждый элемент может испортиться. Обозначим через Д0(О число испортившихся на этом интервале элементов. Тогда каждый элемент можно рассматривать как опыт в схеме Бернулли, так что Д0(О подчиняется биномиальному распределению
Р{Дд} = СДдрдд (1 - р)д-Дд.
Отсюда легко находятся статистические характеристики Д0. Используя свойства биномиального распределения, получим
м {дд} = др = дш+о Д),
и в диффузионном приближении коэффициент сноса процесса Q(t) будет равен кQ(t).
Относительно M{ДQ 2| имеем
м {дд2}=м {дд}2 + в{дд} = = д2к2 дг 2+дш (1 -ш)+о(кД/).
Поэтому в диффузионном приближении коэффициент диффузии процесса Q(t) будет равен
Ниже мы рассмотрим даже более общую модель, считая коэффициент диффузии процесса Q(t) равным o2Q(t).
Таким образом, если рассматривать только процесс порчи товара, то его количество можно аппроксимировать диффузионным процессом
(1)
dQ (t) = -kQ (t )dt + sJv2Q (t )dwt,
где wt - стандартный винеровский случайный процесс.
3. Математическая модель продажи портящегося товара
Математическая модель продажи товара предложена в [1]. Пусть продажи образуют стационарный случайный процесс и х(/) есть количество товара, проданного к моменту времени Обозначим
a,mT lim 1
T
mT (a2 - a) +aTa, , = m0, lim 2-—--—- = ct„,
0 T T
(2)
где тт и ст/ - среднее и дисперсия числа покупок за время Т. Будем считать, что покупатели покупают товар независимо друг от друга и объём покупки % есть случайная величина с М{%}=а1 и М{%}=а2. Тогда диффузионное приближение для процесса х(/) имеет вид [2]
аХ(/) = тй<И + а0ём>1, (3)
где - стандартный винеровский случайный процесс.
Объединяя (1) и (3), можно предложить следующую математическую модель количества товара Q(t), оставшегося не проданным к моменту времени t
¿дЦ) = -(кд + т0^ + ^Jа'2Q+а2dwt, которой мы и будем пользоваться в дальнейшем.
4. Среднее время до окончания продажи товара
Обозначим через Т( Q) среднее время, оставшееся до продажи всего товара, если в данный момент времени количество товара, имеющегося в наличии, было Q.
Пусть прошло бесконечно малое время Д/. Тогда количества товара, имеющегося в наличии в этот
момент времени, будет О - Ах, где Ах количество проданного и испортившегося товара за промежуток времени А/. Поэтому имеет место следующее основное соотношение
Т (б) = А + М {Т (б-Ах)}.
Предполагая Т(О) дважды дифференцируемой функцией и разлагая её в ряд Тейлора, получим:
Т (б) = А + Т (0) - Т '(б)М {Ах} + +2 Т\б)М {Ах2} + о(А).
Учитывая математическую модель непроданного товара, получим
Т (б) = А/ + Т (б) - Т' (б)(кб + ш0)Ы +
+2 Т''(б)(—б + —о2)А + о( А/).
Сокращая Т(О), деля на А/ и делая предельный переход А/^0, получим уравнение относительно
ТО):
2 Т "(б)(—б + —о) - Т ' (б)Кб + то) = -1, (4)
которое надо решать при следующих граничных условиях:
1. Т(0)=0;
2. при растёт не быстрее, чем линейная функция.
5. Асимптотика для Т(О) при больших Q
Можно выписать точное решение для ур. (4), но оно очень громоздкое. Исследуем поэтому асимптотическое поведение Т(О) при больших значениях О, что соответствует тому, что объём партии товара, выставляемый на продажу, достаточно велик.
В этом случае ур. (4) можно приближенно заменить уравнением
1 Т''(б)°2б -Т'(б)кб = -1
2
или
—- Т' '(б) -кТ ' (б) = - б 2 б
(5)
Т' (б) = С (б)ехр {— б ].
Подставляя это решение в (5) и упрощая, придём к уравнению
С (б) = ^ехр {-Ц- б
откуда
так что
—V
2 г ёх
—
С (б) = С +— |
гт *
- б х
-ехр
2к
Т '(б) = С1 ехр (— б ] +
2 (2к } ёх ( 2к Л +-2ехр [-Г б|.|Т ехр ["-Г х| •
—
х
-
Однако в этом выражении первое слагаемое растёт как экспонента, что противоречит условию (2). Поэтому следует положить С\=0, и тогда окончательно
Т' (б) =—гехр [- б]^ ехр
— I гт Ну
2к
2
—
'■ ёх
2к
--2 х
— У
Т (б) =— Iехр [ — г) й21 ^ ехр I-
; ёх
2к
-х I.
Однако это выражение всё еще слишком сложно для аналитического исследования. Для его упрощения переставим местами интегралы, получим
Т (б) = -
—
; ёх
б ёх
I— ехр
0 х
г ах ( 2к | г ( 2к ] -| - ехр {-— х )|ехр 2 ]
2к
—
|ехр 2к
2к
—
2 I ёг +
Делая замены переменных
2к 2к
— х = - — 2 = П
— —
и обозначая (2к/—)О=О, получим окончательно
Т (б) =
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение. Обозначая Т(О)=Т1(О), запишем его в виде
Т'(б) = 2к Т1(б) —2'
Общее решение имеет вид
Т,(б) = Т'(б) = С ехр (— б
где С - произвольная постоянная.
Общее решение ур. (5) будем искать методом вариации произвольных постоянных в виде
-т
| (еб -1) Iе-
о ь б '
Заметим, что | —ё- = Е1 (б) - один из вари-
б -
антов интегральной показательной функции [3. Ф-ла 5.11], а
-
■1 - е
гт
= Е,(б) + 1пб + 7 [3. Ф-ла 5.1.39],
где у - постоянная Эйлера. Таким образом, Т (б) =к[еб Е,(б) + 1п б + 7].
к
При больших значениях аргумента верна асим_-птотика [3. Ф-ла 5.1.51], так что при больших Q приближенно
Т (0~ К
1п Q + у + 0\Х
или, возвращаясь к Q,
Т (Q)~ К
к
1пQ + 7+ о| ±
(6)
где у - некоторая константа.
6. Уточнение асимптотики
Вернёмся к уравнению (4). По аналогии с (6) будем искать асимптотику Т(О) в виде
Т О) = А 1п(1 + pQ), где А и в - некоторые константы. Тогда имеем
Т =
Ав
Т" (Q) = --
Ав2
1 + вQ, (1 + вQ)/
Подстановка этих выражений в (4) даёт
Ав2
-оЪ+о+
Ав
1 + вQ
(кQ + ш0) = 1. (7)
2(1 + вQ)2
Умножая это уравнение на Q и переходя к пределу Q^<», получим
А = 1/ к.
Далее,
. = к(1±ве)
к(1 + вQ)'
АвК + то) к(1 + вQ) = 1 + вQ к(1 + вQ) = вР2+тА к(1 + вQ) = вто-к
к(1 + вQ) к(1 + вQ) к(1 + вQ) и уравнение (7) принимает вид
в2
, 2^ 2Ч вт0 -К
Q+°о)+К+Ш)
= о.
Умножая на 1+вQ и переходя к пределу Q^<», получим
в =
2к
2т0 + о
что и даёт окончательное выражение для асимптотики Т^)
Т (Q) = Кп + К 2 * к \ 2т0 + о2
Заметим, что при такой асимптотике автоматически получается Т(0)=0.
7. Определение оптимального объёма партии товара
Пусть для реализации приобретается партия товара объёма Q0. Она продаётся со средней скоростью т0 по розничной цене с в течение времени Т0. Так как покупается она по оптовой цене й, то средняя выручка от продажи этой партии составит
П = тйсТй - dQ0,
где To=к-1ln(1+вQo).
Примем, что после реализации партии товара продавец тратит время Ть на приобретение следующей партии. Тогда средняя прибыль продавца в единицу времени составит величину
С =
тйсТй -dQо т0сК- 1п(1 + вQо)-dQо
Т + Т -'о т 1Ъ
К 1п(1 + вQо) + Тъ
Ш(1 + вQо) - gCQо т°с 1п(1 + вQо) + кТъ •
Величину (йк)/(т0с) в дальнейшем будем для краткости обозначать а.
Обозначим вQ0=z. Тогда задача нахождения оптимального значения Q0 примет вид
1п(1 + г) -аг
Г (г) =
1п(1 + г) + кТЪ
тах.
После некоторых упрощений, имеем кТЪ + аг
/' (г) =-
1 + г
- - а 1п(1 + г) - акТЪ
(1п(1 + г) + кТъ )2
Отсюда
/' (0) =
1 -а кТъ •
Очевидно, что продажа товара имеет смысл только тогда, когда /'(0)>0. Поэтому условие, когда имеет смысл торговать товаром, имеет вид а<1.
Само оптимальное значение 2 находится из условия/'(0)=0, которое приводится к виду
(1 + г) 1п(1 + г) = (а Тъ + г) - (1 + г) кТъ. (8)
Функция (1+2)1п(1+2) является выпуклой вниз монотонно возрастающей функцией, которая растёт быстрее, чем линейная, причем при 2=0 она принимает значение 0. С другой стороны линия
(*■ Тъ + г) - (1 + г)кТъ
есть прямая, которая при 2=0 принимает значение кТь(1/а-1)>0. Поэтому уравнение (8) имеет единственный корень, определяющий оптимальное значение 2, а, вместе с ним, и оптимальное значение Q0=z/в. Найти его можно лишь численно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Оптимизация розничной продажи скоропортящейся продукции. - Томск: Изд-во Томского ун-та, 2004. - 93 с.
Степанова Н.В., Терпугов А.Ф. Определение оптимального объёма партии товара скоропортящейся продукции // Вестник
Сибирского государственного аэрокосмического университета. - 2008. - Вып. 4 (2). - С. 60-64.
Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. - М.: Наука, 1979. - 830 с.
Поступила 12.03.2009 г.
УДК 336.226.332
ВОЗМОЖНОСТЬ ЗАМЕНЫ ТРАНСПОРТНОГО НАЛОГА ПУТЕМ УВЕЛИЧЕНИЯ СТАВКИ АКЦИЗОВ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ГОРЮЧЕ-СМАЗОЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ
А.А. Вазим
Томский политехнический университет E-mail: vazim@tpu.ru
С использованием данных Федерального казначейства и Росстата РФ проанализированы возможные последствия отказа от транспортного налога и одновременного увеличения ставок акцизов на реализацию горюче-смазочных материалов. Показано, что данное изменение в налоговой системе позволит получить положительные результаты социально-экономической политики в большей степени, чем негативные. Замена транспортного налога на повышение ставок акцизов упростит задачу увеличения доходов Дорожного фонда РФ. Рассчитаны возможные налогово-бюджетные последствия различных вариантов повышения ставки акцизов на реализацию горюче-смазочных материалов.
Ключевые слова:
Транспортный налог, акцизы, региональные налоги, региональные бюджеты.
В связи с финансово-экономическим кризисом и растущим дефицитом бюджетов на всех трех уровнях бюджетной системы возникает целый ряд предложений по налоговым новациям. К таким предложениям относятся предложения по отмене транспортного налога с одновременным увеличением ставок акцизов. Транспортный налог является целевым, он направляется на развитие и содержание автомобильных дорог. Однако в настоящее время возникает разрыв между растущими потребностями в финансовых поступлениях в бюджеты дорожных фондов и возможностью увеличивать налоговые доходы. Так, в ряде регионов страны законодатели уже повысили ставки транспортного налога до предельно возможного уровня, обозначенного ст. 361 Налогового кодекса, табл. 1 [1-7]. Кроме того, в настоящее время схема расчета налога не предполагает зависимости суммы налога и величины пользования дорогами. Таким образом, решить возникшее противоречие можно либо внесением изменений в Налоговый кодекс с сохранением схемы расчёта налога, либо отказом от транспортного налога с выбором нового источника налоговых поступлений.
Для выбора оптимального решения данной проблемы рассмотрим аргументы «за» или «против» изменений налоговой системы.
К конструктивным предложениям можно отнести законодательную инициативу депутатов Волгоградской думы об отмене транспортного налога с одновременным увеличением акцизов на дизельное топливо, на моторные масла, на автомобильный и на прямогонный бензин (далее - акцизы на ГСМ) [8, 9]. Такую позицию можно назвать соот-
ветствующей интересам автомобилистов, поскольку вместо фиксированной ставки транспортного налога предлагается платить акцизы в зависимости от объема потребления топлива. По мнению авторов законопроекта, недостаток существующей схемы сбора транспортного налога заключается в том, что водителям, которые проезжают сотни километров в день, и водителям, которые выезжают на дороги несколько раз в год, приходится платить одинаковую сумму. По действующим правилам транспортный налог рассчитывается исходя из мощности автомобиля, т. е. по количеству лошадиных сил [1-7]. В случае же повышения акциза, автомобилисты смогут платить налог в соответствии с пробегом автомобиля за год.
Кроме того, нововведение предоставляет в определенной степени возможность автолюбителям самим регулировать годовую сумму налоговых отчислений за имеющееся у него транспортное средство: для сокращения налоговых отчислений можно эксплуатировать автомобиль реже. Таким образом, документ предлагает более либеральную форму уплаты налогов за эксплуатируемый автомобиль: «Мы понимаем, что это приведет к увеличению цены на топливо, но ведь взамен водители не будут платить транспортный налог», - так выразил свою позицию Председатель комитета по бюджету, налогам и финансовой политике Волгоградской думы В.Г. Попов [8].
Однако новый законопроект не был поддержан. Так, против данного законопроекта высказались депутаты Мосгордумы и приняли постановление с отказом в поддержке инициативы волгоградских коллег. Однако ни одним противником законопро-
