CC BY
45
Е.В. Новицкая, А.Ф. Терпугов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ОБЪЕМА ПАРТИИ ТОВАРА И РОЗНИЧНОЙ ЦЕНЫ ПРОДАЖИ НЕПРЕРЫВНО ПОРТЯЩЕЙСЯ ПРОДУКЦИИ
Рассматривается задача определения оптимального объема партии товара, поступающего в розничную продажу, и определения его розничной цены в случае, когда продаваемый товар непрерывно портится со временем (фрукты, овощи и т.д.). Рассматривается также вопрос управления ценой розничной продажи, максимизирующий доход в единицу времени.
В последнее время стала приобретать большое внимание тематика, которая получила название микроструктуры рынка [1]. В ней рассматриваются вопросы установления цены продаваемого товара, изменения цены продажи в зависимости от времени и т.п. Данная работа находится в русле этой проблематики и продолжает работы [2, 3].
ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ
Пусть имеется некоторая скоропортящаяся продукция (например, фрукты, овощи и т.д.), которая портится с течением времени (овощи и фрукты гниют и т.п.).
Продавец покупает партию товара объема Q0 по оптовой цене ё и продает ее по розничной цене с. Ставится задача нахождения значений Q0 и с, при которых средняя прибыль продавца будет максимальной.
НАХОЖДЕНИЕ ПРИБЫЛИ (ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ СЛУЧАЙ)
Пусть Q(t) есть количество товара, имеющегося в наличии в момент времени t. Рассмотрим интервал времени [^ t + Дt]. Будем считать, что за этот промежуток времени произойдут следующие изменения.
1. Испортится количество товара ДQ(t) = )Дt + +о(Д?) .
2. За это время придут X(c)Дt + о(Д^ покупателей и каждый из них купит детерминированное количество товара а1.
Тогда имеет место соотношение
Q(t + Д^ = Q(t) - (^^) + a{k(c))Дt + о(Д).
Отсюда получаем следующее дифференциальное уравнение для Q(t)
dQ(t)
dt
• = -KQ(t) - a^(c) ,
(1)
Qoe
откуда получаем
-kTq
a1X(c)
(l-e-kT° )= 0 .
T = -lnl 1 +
Qo K
(3)
к ^ ахХ(с)
Так как на покупку этой партии товара было потрачено dQ0 денег, то прибыль от реализации этой партии составит величину
П = а1с!(с)Т0 - ё • Qo. (4)
КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ И НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ОБЪЁМА ПАРТИИ ТОВАРА
Будем считать, что после реализации партии товара продавец тратит время Ть на приобретение следующей партии. Тогда средняя прибыль продавца в единицу времени составит величину
Р =
ajcX(c) • K ln|l + Q|0(K) 1 к l a{k(c)
- dQ0
1 i h Q0K
K l1 +—rc
к l axX(c)
alcX(c) • lnl 1 +
QoK alX(c)
- dKQ0
lnl 1 +
QoK
(5)
+ kT,
а1Х(с)
Будем считать, что критерием оптимальности работы продавца является максимизация прибыли, получаемой за единицу времени, то есть критерий оптимальности имеет вид Р ^ тах .
с
Решим сначала задачу о нахождении оптимального объёма партии товара Q0. Представим (5) в виде
Qo к ^ ё Qo к
Р = atcX(c) •
lnl 1 + -
axX(c)j c axX(c)
lnl 1 + ■
QoK
+ кТь
а1Х(с)
Пусть розничная цена продажи с фиксирована. Обозна чим г = кQ0/ ахХ(с). Тогда Р можно представить в виде
1п(1 + г) - (ё/с) • г
которое надо решить при начальном условии Q(0) = Q0.
Решая это уравнение стандартными методами, получим его решение в виде
Q(t) = Qoe-к' -(1 - е-к'). (2)
к
Найдем момент Т0 окончания продажи этой партии товара. Он определяется соотношением
Р = a.cX(c) •
ln(1 + z ) + кТь '
и, при фиксированном с, задача примет вид
ln(1 + z) - (d/c) • z
f ( z) = -
• тах.
(6)
(7)
1п(1 + г) + кТь
Выясним сначала, при каких условиях этот максимум существует. Прежде всего заметим, что, так как при г > 0 1п(1 + г) < г, то при ё/с > 1 /(г) < 0 , что, впрочем, совершенно естественно. Поэтому надо рассматривать лишь случай ё/с < 1.
Заметим, что /(0) = 0 . Вычисляя производную от /(г), получим
f '( z) =
kT + dc)z - d ln(1+z) - d KTb
1 + z c c
(ln(1 + z) + kT4 )2
(8)
откуда следует, что
/(0) = > 0,
кТ4
т.е. в окрестности точки г = 0 /(г) монотонно возрастает.
к
Далее, из (7) легко получить, что при г ^ +да /(г) ^ -да, что говорит о том, что максимальное значение /(г) существует.
Само оптимальное значение г находится из условия /" (г) = 0, которое приводит у уравнению
кТь + (d/c) z d
d
1 + z
--ln(1 + z)-кТь — 0 .
cc
(9)
Qopt
z opt a1X(c)
(11)
X(c)
C +---:----— d -
opt
, • (13)
X (c) ln(1 + z opt)
В общем случае трудно решить вопрос о числе корней этого уравнения. Рассмотрим поэтому лишь частный случай, когда
X(c) — -
X 0
(14)
Вообще же, надо совместно решать следующую систему уравнений
X(c) _ ,
c + ~~— — d ~
-opt
X ' (c) ln(1 + z opt)
В силу сказанного выше, это уравнение всегда имеет корень.
Покажем, что этот корень единственный. Для этого перепишем уравнение (9) в виде
(1 + г)1п(1 + г) = кТь ^ -1] + (1 - кТь)г . (10)
Функция ф( г) = (1 + г )1п(1 + г) монотонно возрастает и выпукла вниз, так как при г > 0 ф " (г) > 0 и ф" (г) > 0. При г ^+да она растет как г 1пг, т.е. быстрее, чем аг . С другой стороны, правая часть (10) представляет собой график прямой линии, причем при г = 0 значение выражения, стоящего в правой части (10) положительно. Поэтому уравнение (10) имеет единственный корень и оптимальное значение г единственно.
Обозначая оптимальное значение г через гор4 (его можно найти лишь численно), можно найти и оптимальный объём партии товара:
(1 + zopt ) ln(1 + zopt ) = KTb ^- - 1J + (1 - KTb)z opt .
В силу сказанного выше, эта система, по-видимому, имеет единственное решение, хотя доказать этот факт не удалось.
УПРАВЛЕНИЕ РОЗНИЧНОЙ ЦЕНОЙ ТОВАРА
Выше рассматривалась ситуация, когда розничная цена продажи товара остается постоянной. Представляет интерес рассмотреть случай, когда розничная цена меняется со временем.
Пусть розничная цена c(t) есть функция времени t. Тогда, в детерминированном приближении, имеем следующее дифференциальное уравнение для количества товара в момент времени t:
dQ
dt
—-kQ - axX(c(t)),
(16)
НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ РОЗНИЧНОЙ ЦЕНЫ
Пусть теперь поддерживается z = z opt. Тогда Р зависит от розничной цены с через сомножитель
cX(c) ln(1 + zopt ) - X(c)d • zopt ,
и поэтому задача нахождения оптимальной розничной цены приобретает вид
cX(c) ln(1 + zopt) - X(c)d • zopt ^ max. (12)
Приравнивая нулю производную от этого выражения по с, получим уравнение
которое надо решить при начальном условии Q(0) = Q0.
Найдем решение этого уравнения, используя преобразование Лапласа. Пусть Q(p) и Х(р) есть преобразования Лапласа от функций Q(t) и Х(с^)). Применяя преобразование Лапласа к уравнению (16), получим (Р + к)0(р) - Qo = а1~(р).
и решение уравне-
Отсюда Q( p) —-^ -
p + к p + к
ния (33) имеет вид
г
Я(г) = 00^° - «11Х(с(х))е-К('-Т)dт. (17)
0
Обозначим через Т0 момент окончания продажи партии товара, т.е. в этот момент времени Я(Т0) = 0. Тогда имеем
Т0
-кТ0 - а1 |Х(с(х))е-<Т0-т)dт = 0,
0
откуда получается связь величин 0 и Т0:
Q0 — al j X(c(x))eKXdx — 0 .
(18)
1 + (Pc)T
с у > 1. Тогда легко получить, что X(c) c 1
X'(c) у Ptyct_1
и уравнение (13) приобретает вид
cf 1 - -1------= d zopt . (15)
L yJ Pyycy-1 ln(1 + zopt)
При y > 1 левая часть этого выражения для c е (0, + да) монотонно возрастает от -да до +да , и поэтому уравнение (15) имеет единственный корень copt, причем с ростом z opt розничная цена copt также возрастает.
Выручка от продажи этой партии товара составит
Т°
величину П(Т0 ) = a1 | c(x)X(c(x))dx , так что средняя
о
прибыль в единицу времени будет равна
То
[ c(x)X(c(x))dx - dQ0
P = a1 -°-----------------------.
1 T° + Tb
Учитывая (18), это выражение можно переписать так
То
То
j c(x)X(c(x))dx - d j X(c(x))eKXdx
P — a, —--------------------------------------------0-. (19)
1 То + Tb
Так как Т0 и Q0 связаны однозначно, то можно искать
к
максимум Р не по 00 и с(т), а по Т0 и с(т), т.е. решать задачу Р ^ тах . Это приводит к условиям
Т0,с(т)
1Гр
Т(0) = Лг + Т(0) - —М{{Л + ЛЕ,} +
*- = 0; -5^ = 0,
дТ0 5с(х)
где символ 5 означает вычисление вариации. Второе условие из (20) приводит к уравнению
(20)
д
дс(т)
[(с(х) - [екх)(с(х))] = 0 .
М {длг + ЛЕ,)2}+ о(Лг).
2 [02
Учитывая, что М {Л|} = аДЛг + о(Лг) и М {(Л^)2} = = а2ХЛг + о(Лг), получаем 0 = Лг - [О- (к0Лг + а1ХЛг) +
[Я
+ о(Лг) . Деля на Лг и переходя к преде-
которое в явном виде выглядит так:
с(т) + Х(с(т)) = ёект. (21)
Х"(с(т)) V '
Сравнивая это уравнение с уравнением (13) мы видим, что розничная цена продажи должна возрастать со временем. Объяснить это можно следующим образом. Пусть мы купили партию товара достаточно большого объема Q0. Так как товара много, то и количество испортившегося товара в единицу времени велико, и чтобы уменьшить потери от его порчи нам выгодно распродавать его даже по несколько меньшей цене. По мере продажи товара, его количество уменьшается, уменьшаются и потери от его порчи, и выгодно несколько увеличить розничную цену. Именно это и отражает уравнение (21).
Если считать, что зависимость с(т) найдена, то первое условие из (20) дает уравнение для определения оптимального значения Т0 :
| (с(х) - ёект) Х(с(х))ёх =
0
= Цс(Т,)) ()-ёекТ0) + Ть), (22)
откуда, зная Т0, можно найти и объем партии Q0 (см. (18)).
ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Вывод уравнения. В предыдущих разделах было рас-смотрено детерминированное приближения для про-цес-са продаж. На самом деле, конечно, процесс продаж является случайным процессом, и этот факт требует специального изучения.
Обозначим через ^) общий объем продаж на момент времени t. В этом разделе будет рассмотрено диффузионное приближение для процесса ). Как и в предыдущей главе рассмотрим следующую аппроксимацию этого процесса
= a1Хdt + ■yJa2xdw(t), (16)
где w(t) - стандартный винеровский процесс. Для краткости, у Х(с) в данном разделе не будет выписываться аргумент с.
Пусть Т^) есть среднее время до окончания продажи партии товара, если в данный момент мы имеем партию объема Q. Тогда, рассматривая малый интервал времени Дt, можно записать соотношение Т (б) = Дt + М {Т Т -кQДt -Д5}.
Считая Т (Q) дважды дифференцируемой функцией и разлагая выражение в правой части в ряд Тейлора, получим
2 dQ2
лу Дt ^ 0 получим, что Т(Q) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению
а2Х [2Т [Т 1
--------------------(к0 + а1Х) = -1,
2 [Я2 [Я
(24)
которое надо решать при естественном граничном условии Т(0) = 0 .
Нахождение асимптотики. Покажем, что при больших значениях Q решение этого уравнения имеет вид (3).
Для обоснования этого предположения получим асимптотику для Т (Q) непосредственно из уравнения (24).
Возьмем это уравнение и подставим в него решение в виде Т(Q) = А • 1п(1 + PQ). Тогда имеем
а2 X
Ар2
____________________АР_
2 (1+ Р02 1+ Р6
(кб + а1Х) = -1. (25)
Делая в этом выражении предельный переход б ^ ,
получим, что Ак = 1, т.е. А = 1/к .
Если взять А = 1/к , то выражение (23) примет вид
а2Х р2 а.Хр/к-1
—------------+ 1 '-------= 0.
2к (1 + PQ)2 1+ PQ
Умножая это выражение на 1 +Pб и делая предельный переход б получим, что а^р/к-1 = 0, т.е.
Р = к/ а1Х, что и подтверждает высказанное выше предположение.
Этим же путем можно получить и последующие члены асимптотики для Т (Q). Для этого будем искать Т (Q) в виде
1
Т (® = к1п(1+рє)+Шю+
+ РЄ (1+ Р02
с4
(1+ Р03 (1+ Р04
Запишем уравнение (17) в форме
+.
(26)
а2Х ё2Т п^ёТ
_.—-а,х(1+Р0 _=_1,
и подставим в него решение в виде (26). Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях 1——б > п0"
лучим, что
За? к
с; = 0 ; с2 = ——; с3 = 0 ; с4 =-—
1 2 4а1 X 3 4 16а! X2
(27)
и так далее. Таким образом, асимптотика для Т(Q) имеет вид
+
с
3
1
к
T(Q) = -ln(l + PQ) + - C2 ■ C4
2 ■ г + к (28)
(1 + PQ)2 (1 + PQ)4 с коэффициентами сп, приведенными выше. Отсюда ясна и область применимости этой асимптотики - она применима в области PQ >> 1.
Что касается дальнейшего исследования, то заметим следующее. Главный член асимптотики Т(Q) = — 1п(1 + PQ)
к
совпадает с тем выражением, которое было получено в детерминированном случае. Поэтому все результаты просто повторяются.
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
Рассмотрим теперь случай, когда величина покупки х есть случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону с плотностью вероятностей р( х) и поток покупок является пуассоновским потоком постоянной интенсивности Х.
Обозначим, как и выше, через Т(Q) среднее время до распродажи всего товара, если в начальный момент мы имеем партию товара объема Q. Тогда, рассматривая изменения состояний системы за малый интервал времени Дt, можно записать
Т(Q) = Дt + (1 - ХД)Т © - ^Д^ +
Записывая его в виде
- XAt J T(Q - x)p(x)dx + o(At),
(29)
откуда имеем
dT
- XA J ln(1 + P(Q - x)) p( x)dx = l .
AkPQ
1+PQ
I
-xaJ in
1 + P(Q - x) 1+PQ
p( x)dx = 1
и используя верное при Q ^ да разложение
lnl 1 + e(Q - x) 1 = ln[ 1 -■ x
1+PQ
1 +
1+ PQ 21 1+ PQ
1+ PQ
+ K
получим
Aíб+ы-вa^-H._Ë:a^+...=1, (31)
1 + Pб 1 + Pб 2 (1 + Pб)’
где ак = М{хк } .
После предельного перехода Q ^ да вновь получаем, что А = 1/к . При этом значении А выражение (31) можно привести к виду
1
1 XPa,
- +---—— + о
= 0.
т (Я) = Лг + (1 - ХЛг (0 - Яг ^ +
Я
+ ХЛг | т (Я - х) р( х)[х + о(Лг).
0
Раскрывая скобки, сокращая Т(Я), деля на Лг и переходя к пределу Лг ^ 0 , получим интегро-дифференциальное уравнение для Т (Я):
Я
Т ЧЯ)*Я+ХТ (Я) - X | Т (Я - х) р( х)[х = 1. (30)
0
Рассмотрим случай произвольного вида р(х) с един-
да
ственным ограничением: | р(х)[х убывает при Я ^ ж
Я
не медленней, чем ехр(-аЯ).
Будем снова искать асимптотику решения этого уравнения в виде Т (Я) = А 1п(1 + РЯ). Подставляя ее в в наше уравнение, получим
+ ХА 1п(1 + РЯ) -
1+ РЯ
Я
- ХА11п(1 + Р(Я - х))р(х)[х = 1.
0
В силу высказанного выше ограничения при Я ^ да это соотношение эквивалентно следующему
АКЯ + ХА 1п(1 + РЯ) | р( х)[х -
1 + PQ к(1 + Р0 L1+ PQ,
Умножая это выражение на 1+ PQ и снова делая предельный переход Q ^ да получим, что р = к/a{X, т. е. и в этом самом общем случае имеет место та же самая асимптотика.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ОБЪЕМА ПАРТИИ ТОВАРА С УЧЕТОМ НАКЛАДНЫХ РАСХОДОВ
Выше была рассмотрена задача определения оптимального объема партии товара, когда на закупку новой партии требуется некоторое время. Ниже будет рассмотрена ситуация, когда закупка партии товара требует некоторых накладных расходов, связанных, например, с транспортными расходами и т.д. В дальнейшем будем считать, что покупка партии товара объема Q стоит нам d • Q + G денег, где d - оптовая цена
товара, и G - накладные расходы.
Пусть мы купили партию товара объема Q. Тогда она будет продана в течение времени T (Q) =
1, f, kQ I
= — lnl 1 +-X I по розничной цене с, и мы выручим от
ее продажи T(Q) = a‘cX(c) ln[ 1 + -—Q-| денег. В даль-
к L a{X J
нейшем, где это не будет необходимо, аргумент с у X(c) мы будем опускать. Тогда средний доход в единицу времени будет равен
Р =
01^Х(^>1п[ 1+ JKQ I-dQ-G к і a1X
Ilni1 + KQ
a1X
= a1cX(c)-
ln| 1 + -
kQ i d kQ kG
a1X J c a1X a1cX
lnl 1 +
KQ
a{X
(33)
2
x
x
Обозначим для краткости г = —, у = —,
а1Х с
кО Т Р
g =------. Тогда выражение для Р примет вид
а1сХ
Р = alcX(c)
ln(1 + z) - yz - g
(34)
1п(1 + г)
и, при фиксированной розничной цене с задача определения оптимального объема закупаемой партии примет вид 1п(1 + г) - Yг - g
Р = a1ck(c)-
max. (35)
z
1п(1 + г)
Прежде всего выясним, когда вообще имеет смысл покупать товар для продажи. Для этого заметим, что, в силу неравенства 1п(1 + г) < г при Y>1 числитель у Р всегда отрицательный. Поэтому первое условие разрешимости задачи имеет вид Y<1, т.е. ё < с, что, конечно, совершенно естественно.
Для получения второго условия нарисуем на одном графике кривую у = 1п(1 + г) при г > 0 и прямую у=
= Y г + g при Y<1. Наиболее интересна ситуация, изображенная на рис. 1, так как в этом случае существует область значений г, а, следовательно, и Q, при которых Р > 0 .
G <
Y
a1cX(c)
водит к условию g < ln| — I — (1 - y) , или, в явном виде.
d
ln| —1-1 + ■
d I c
(36)
Р в виде Р = a1cX(c)
1-
Yz + g ln(1 + z)
(1 + г)1п(1 + г) - г = g/Y . (37)
Покажем, что это уравнение имеет единственный корень, который в дальнейшем будем обозначать гор1. Для
этого рассмотрим функцию /(г) = (1 + г) 1п(1 + г) - г . Очевидно, что /(0) = 0 . Далее, /'(г) = 1п(1 + г) > 0, откуда следует, что / (г) монотонно возрастает. Далее очевидно, что Пт /(г) = +да, откуда и следует, что
г^да
уравнение (37) при любых положительных значениях g/Y имеет единственный положительный корень гор,. Заметим еще, что, так как /"(г) = 1/(1 + г) > 0, то /(г) выпукла вниз. Зная гор , можно найти и оптимальный объем закупаемой партии товара
Qo = а1Х(с) гор, / к. (38)
Рассмотрим теперь более общую схему покупок, которая выглядит следующим образом: покупка совершается в тот момент, когда запас нашего товара станет равным Q1 и объем закупаемой партии равен Q0, так что сразу после покупки у нас будет партия товара объемом Q0 + Q1. Процесс покупок изображен на рис. 2.
Рис. 2
dQ
Для существования области значений z, для которых Р > 0 , необходимо, чтобы выполнялось условие max[ln(1 + z) - yz - g] > 0. Точка максимума этой разности
z
находится из условия [ln(1 + z) -yz - g ]' = —1-y = 0, от-
1 + z
куда следует, что максимум достигается в точке z = (1 - Y)/Y и этот максимум равен lnl11 - (1 - y) - g .
LyJ
Требование неотрицательности этого максимума при-1
В этом случае уравнение для Q(t) -^ + ^ = -а1Х
dt
надо решить в форме двухточечной задачи при условиях Q(0) = Q1 + Qo, Q(T) = Q1. Решение имеет вид Q(t) =
= (Ql + Qo)e^ ^ -е), и :
К
второе условие принимает вид Q(T) = (Q1 + Qo )e~'KT - — (1 - e_kT )= Q1. От-
сюда находится промежуток времени между покупками
Т = — 1пГ 1 + ——1. (39)
к ^ КЯ1 + а1xJ
Средняя прибыль в единицу времени равна
Р =
что и дает ограничение на величину накладных расходов. Найдем теперь оптимальное значение г. Записывая
a^X(c) •1 lni 1 + qKQ° . к ^ kQj + a1X
Ilnil + - kQ°
- d • q° - G
мы видим, что задача
Yz + g _ •
min.
к І kQ1 + a1X
Вводя обозначения z0 =kQ0/a1X, z1 =kQ1/a1X, Y = d/c, g = K^a1cX(c), приведем эту формулу к виду
максимизации Р сводится к задаче
1п(1 + г) г
Приравнивая нулю производную от этого выражения по г, после некоторых преобразований мы придем к уравнению
Р = a1cX(c)-
ln I 1 + - "°
1 + z1
- Yz° - g
ln I 1 + -
1 + z1
к
z
0
= a1cX(c) •
1 Yzo + g 1 / z \ . (40)
ln| 1 + 1 0 I
_ ^ 1 + z
z° I z о
монотонно убывает, величина lnl 1 +
1 + z1
1 + z1
z°
Р = a1cX(c) --
lnl 1 + -
kQ
(41)
Р = a1cX(c) --
(42)
d • a1X(c)ln(1 + z) = X(c) d • z
d • a1X(c)z + kG 1 + z *
(43)
c +
Но теперь заметим, что при возрастании z1 величина
также
монотонно убывает, величина ^г0 + gу 1п^1 + 1 +
монотонно возрастает и поэтому величина Р монотонно убывает. Поэтому максимум Р достигается при г1 = 0, то есть при Q1 = 0 и мы приходим к рассмотренному выше случаю.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ РОЗНИЧНОЙ ЦЕНЫ
Пусть мы покупаем партию товара объема Q. Тогда, доход в единицу времени составит (33)
+ кО
1п(1 + г)
Для нахождения оптимальной розничной цены с и оптимальной партии товара надо решить систему урав-
й дР 0 дР 0
нений — = 0 , — = 0 , которая, после некоторых уп-
дг дс
рощений, приобретает вид
Х'(с) 1п(1 + г)
К сожалению, вопрос о числе корней этой системы остается открытым, хотя, по-видимому, она имеет единственное решение.
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
Рассмотрим в заключение общий случай, когда учитываются и накладные расходы, и временные потери. В этом случае средняя прибыль в единицу времени имеет вид
a1cX(c)lnj 1 +
Р = -
Qk
a1X(c)
- d • kQ - kG
lnl 1+-q^| + k7;
Вводя величины z =
Qk d kG
------- Y = _ > g = —7Г7
c a1ck(c)
(44)
при-
(45)
а1Х(с)/
Обозначим г = ^^1)'^), так что ^ = га1Х(с). Тогда выражение для Р принимает вид
ё • а1Х(с)г + кО
а1Х(с)
ведем это выражение к виду
Р = а^с) •1п(1 +г) -тг - £
1п(1 + г) + кТь
Приравнивая нулю производную от Р по г, получим уравнение, определяющее оптимальное значение г, а, следовательно, и оптимальный объем покупаемой партии товара Q:
(1 + г)1п(1 + г) = (Y-кTь) + кТь(1 -1| + g . (46)
Y
1
Так как Y<— то кТь | —11+ g > 0 и поэтому уравне-
Y
ние(46) имеет единственный корень независимо от знака Y - кТь.
ЛИТЕРАТУРА
1. O'HaraM. Market microstructure theory. Blackwell Publisher Inc., 1997.
2. Китаева А.В., Новицкая Е.В., Терпугов А. Ф. Оптимизация продажи скоропортящейся продукции // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 95-105.
3. Змеев О.А., Новицкая Е.В. Вероятностные характеристики длительности торговой сессии и оценка ее параметров // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 66-75.
Статья представлена кафедрой теоретических основ информатики факультета информатики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Информатика» 30 апреля 2004 г.
