CC BY
35
Е.В. Новицкая
УПРАВЛЕНИЕ РОЗНИЧНОЙ ЦЕНОЙ ПРОДАЖИ СКОРОПОРТЯЩЕГОСЯ ТОВАРА
Рассматривается управление розничной ценой продажи скоропортящегося товара, обеспечивающее его распродажу в течение торговой сессии.
ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ
Рассмотрим следующую ситуацию. Продавец приобретает у оптового продавца партию товара объемом Q0, которую он потом продает на рынке покупателям. Считается, что величина покупки £, отдельным покупателем есть случайная величина с математическим ожиданием М{|} = а1 и вторым начальным моментом М{|2} = а2. Сам поток покупок считается пуассоновским с интенсивностью Х(с), зависящей от розничной цены с. Товар должен быть реализован в течение одной торговой сессии продолжительностью Т, иначе он теряет потребительские свойства и не подлежит продаже.
Достаточно неприятно, если к концу торговой сессии остается непроданный товар. Выбрасывать его жалко, пускать на переработку в продукцию низкого качества - тоже. Поэтому продавцы применяют разнообразные приемы, чтобы реализовать товар до конца торговой сессии, например, в ее конце устраивают распродажу остатков товара по низкой цене. Однако это не единственная и, по-видимому, не самая лучшая стратегия, и здесь имеется обширное поле для теоретического исследования. В данном разделе мы изучим только одну из таких стратегий управления ценой продажи товара, которая обеспечивает его реализацию до окончания торговой сессии.
Будем считать, что торговая сессия начинается в момент времени 0 и кончается в момент времени Т, то есть она занимает интервал времени [0, Т]. Обозначим через Q(t) количество товара в момент времени t. Будем также считать, что Q(0) = Q0 фиксировано.
Рассмотрим следующую процедуру управления ценой с(Ґ) товара а11(с(()) = Q(t) / (Т - ().
Она получается из следующих естественных соображений: дробь Q(t) / (Т - () есть та средняя скорость, с которой должен продаваться товар, чтобы он был весь продан к концу сессии. С другой стороны, а1Х(с(/)) есть та мгновенная скорость, с которой он продается в момент времени t. Мы требуем, чтобы эти две скорости были равны друг другу.
Найдем характеристики величины количества товара в диффузионном приближении. Ранее было показано, что процесс Q(t) может быть приближенно описан следующим стохастическим дифференциальным уравнением [1]: dQ(t) = -а^(с)Л + у] a2X(c)dw(t).
В рассматриваемом случае это уравнение принимает вид
Q(t)
dQ(t) = - т-^ dt + л1 ^ 7 dw(t) .
Q(t)
т -1
(1)
го процесса независимы и имеют нулевое математическое ожидание, получим следующее уравнение для
0 «) : йО (Г) = - А ,
Т -1
которое надо решить при на-
чальном условии О (0) = О . Решая его стандартным методом разделения переменных, получим
Q (0 = Qo 11 - Т
(2)
В частности, Q (Т) = 0 .
ДИСПЕРСИЯ ПРОЦЕССА 2(2)
Пусть процесс ) описывается уравнением ) = а(0, + Ь(0, t )^Ц)
и нас интересует процесс у(^ = /О, 0. Тогда, как известно, этот новый процесс также является диффузионным и удовлетворяет уравнению
df ©, t) =
V+a(Q t) £.+Ъ2Ш1 д + a(Q, t) дQ + 2 дQ2
+ ЧЯ, t) ).
dt +
Эта формула носит название формулы Ито [2]. Возьмем /О, 0 = О2. Тогда дflдt = 0, 5/790 = 20, с2/7522 = 2, и формула Ито дает
d (в)) =
2Q)
т + ’+-----------
І -1 а.
т -1
dt +
dw(t) .
(3)
Обозначим М{0 (t)} = 02(0. Тогда, усредняя (3), получим йй2^) = | - ^‘(°г^) + а~■ 1^, или с учетом (2)
Т -1
dQ2 (0 = -2 Q2 (0 + а2°0
dt
Т -1 ахТ
(4)
которое надо решить при начальном условии 02 (0) = <202.
Это уравнение решается стандартным методом вариации произвольных постоянных. Однородное уравнение
йб2 (0_ = -2 <2гЦ) = 2 О (t)
dt
Т -1
t - Т
имеет общее решение 02(0 = С^ - Т)2. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде 02(^ = C(t)(t - Т)2. Подстановка этого выражения в (4)
Найдем основные вероятностные характеристики процесса Q(t).
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ПРОЦЕССА Q(T)
Обозначим М)} = Q (t) . Усредняя уравнение (1) с учетом того, что приращения винеровского случайно-
приводит к уравнению С ^) =
1
а2°0______________
ахТ ■(t - Т)2
решение
которого имеет вид С ^) =
а2°0
1
ахТ Т -1
зом, общее решение уравнения (4) имеет вид
+ С. Таким обра-
Qг(t) =
a2Q0
а1Т
(Т -1) + С1(Т -1)2
а
и учет начального условия Q2 (0) = Q0 дает
) = а211 -т I +
a2Q0
1 -
Отсюда
D{Q(t)} = ^ (t) = Q2(t) - Q2(') =
= a2Q0 ' Гі "і
“ а, 'Т І ТІ .
(5)
(6)
В частности, Де(0) = -Ое(Т) = 0. Вместе с результатом Q (Т) = 0 это говорит о том, что с вероятностью 1 Q(T) = 0, т.е. с вероятностью 1 к концу торговой сессии весь товар будет продан.
ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРОЦЕССА д,(т
Таким образом, процесс Q(t) начинается в Q0 и заканчивается в 0. Рассмотримf(Q, ') = е-°. Тогда
д^д' = 0, дf/дQ = - ре-рв, 52f/5Q2 = р2е-рв, и поэтому
(')=[ Л.ре^'+а °
Т -1■
2а^ Т -1
р2е pQ |dt -
-ре pQл|—-;Jв--dw(t) .
(7)
= -М^е pQ } и, усредняя (7), получим
др
dt Ф( р, t) = -
1
дФ
дФ
или, в явном виде,
(Т ') дФ + Г1 + а2 ^ дФ 0
(Т-+ р|1+^р |^т = 0 .
д'
2а.
др
(8)
В дальнейшем будем использовать обозначение
Р=2аі/а2.
Уравнение (8) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка. Оно решается методом характеристик [3]. Уравнение для характеристик имеет вид
dp .
(9)
dt = dp = Г 1 1
Т - г1 р(1 + р/в) | р р + Р
Интегрируя его, получим -1п (Т - t) = 1п р - 1п (р + Р) --1п С, что и дает явный вид характеристик
р(Т -1)
С ' р + Р '
Поэтому общее решение уравнения (8) имеет вид
Ф( р, t) = Ф
р(т - ')
(10)
(11)
р + Р
где ф(-) - произвольная функция.
Вид общего решения найдем из того условия, что в момент времени t = 0 0(0) = 00 с вероятностью 1. Поэтому р(0, 0) = 5(2 - 00), откуда следует, что Ф (р, 0) =
. Это приводит к уравнению
Ф
рт р + Р
= е~pQo.
(12)
Обозначим рТ/(р + Р) = г. Тогда р = Р^/(Т - г) и уравнение (12) дает
Ф(I) = ехр| -
_Ё!_
Т - г
Qo
Отсюда и получаем явный вид функции Ф(р, '):
Ф(p, t) = ФІ рррІ+ р') І = ехРІ
Рр(т - ') р' + рт
Qo
(13)
(14)
Таблицы обратного преобразования Лапласа [4, формула 23.65, стр. 245] дают
ехР
1
а( р + Ь)
-ад
(15)
Так как
р(Т -1) = Т -1 р' + рт -рт = Т -1 р' + рт ' р' + рт '
1-
рт
р' + рт
рв(Т-')Q =-Т-!BQ , Р2Т(Т-') Q
р' + РТ Qo ' вQo '2(р + рТ/') Qo :
то
ехР
Qo 1 =
“Гг "
= е ' ехр
рР(Т - ') р' + рт
Г р2Т(Т - ')
' 2( р + РТ/')
Qo
(16)
Рассмотрим Ф(р, t) = М{е^р0}, которая является преобразованием Лапласа от плотности вероятностей р(0, () значений процесса 2(0 в момент времени t. Тогда
9Ф( р, t)
Сравнивая с (15) и беря Ь = РТ/', 1/а = р2Т(Т - t)Q0/t2,
получим окончательно
p(Q, ' ) = <
-(Т-' №/'
8(Q) + Ре-pTQo/'/ (Т' 2Qt)Qo /1:
Т(Т2-') P2QoQ
(17)
Отметим особую роль слагаемого е (Т t)p^^t5(0 , содержащего 5-функцию. Оно возникает потому, что величина покупки является случайной и, в принципе, может прийти покупатель и купить весь оставшийся товар, и тогда для продавца все закончится. Математически это происходит потому, что в точке, где 0(4) = 0 у процесса 0(() равны нулю и коэффициент сноса и коэффициент диффузии, и поэтому при t > 4 0^) = 0.
Этот результат позволяет вычислить и некоторые другие характеристики процесса продаж. Обозначим через т величину промежутка времени от начала торговой сессии до того момента, когда будет продан весь товар, т.е. длительность продаж. Тогда из вида рассматриваемого слагаемого следует, что
Т - '
Р(т <') = ¥% (') = ехр|------— PQo
(18)
где Fт(t) есть функция распределения величины т.
Это позволяет вычислить, например, среднюю длительность продаж. Имеем
М{т} = | (1 - Fт (0) = Т|\ - ере° { е~Ра/’йх^ . (19)
Входящий сюда интеграл через элементарные функции не выражается.
Найдем асимптотику М{т} при рО >> 1, т.е. при большой величине партии товара 00. Тогда величина
2
'
е
2.
х
В= 1/pQ0<< 1. Делая в интеграле замену переменных
x/pQ0 = Вх = г, получим
1 л В
eвQo І е-™0>xdx = -В е1 В ] е-VС .
0 В 0 Найдем по правилу Лопиталя следующий предел
1 В .
1іт—- е1 В І е~'1zdz = 1іт-В^0 в 11 в^п
В
І е-/ С
0
В^0 В2еЧ/В
= 1іт-
-1В
■ = 1іт-
1
= 1 .
В^0 2Ве-1 В + е-/В В^01 + 2В Отсюда следует, что при В= 1/pQ0 << 1
1 ! В
ет Іе= — е1 В І е= В + о(В),
0
В
и поэтому
М {т} = т 11 --^ + о| 1
Рр(1 -т) рт + р
р' + рт
Qo , т = ' / Т.
Тогда, по свойствам преобразования Лапласа,
5Т _ др
М {Q(t)} = -1р
д 2Т
Р2(1 -т) (рт + Р)2
Qo
= Ш1 - т) = Qo11 - ^
С0
р=0
2в2т(1 -т) в
3 Q0 :
Т
др (рт + в)
от)}=
д 2Т
др2
'
р=0
=вт(1 -т)°=0- Т I1 -
т.е. те же результаты, что были получены ранее непосредственным путем. Это является косвенным подтверждением правильности всех проделанных выкладок.
Рассмотрим теперь еще одну основную характеристику процесса продаж - выручку от продаваемой партии товара. Вообще она равна
£ = а, І с(')Х(')С' .
(21)
Однако теперь она становится случайной величиной и надо искать ее характеристики.
Цена на товар с(') определяется уравнением
а,Х(с(')) =
(22)
Предположим, что нам удалось разрешить это урав нение относительно с(¿):
)
с(') = л
Т -' )'
(23)
Тогда
Т - ' ) Т - '
С' .
(24)
Найдем математическое ожидание £ = М{£}. Для этого надо усреднить (24) по значениям процесса 0(0. Однако здесь есть одна тонкость, которую надо учитывать. Дело в том, что в выражении для р(0, 0 есть 5-образная компонента, которая соответствует тому, что в момент времени t весь товар уже продан. Ясно, что в такой ситуации выручки от продажи нет. Поэтому в (24) надо усреднять только по оставшейся части. Поэтому
х = а4 с' |Л( Т-7) ^ <
Г
_е-(Т-фQo/te-вTQo/t х
-І1
ЩА P2QoQ
dQ.
Ра ' ЧРа Г' (20)
Аналогично можно найти и асимптотику дисперсии величины т.
В качестве контроля правильности проделанных выкладок найдем математическое ожидание и дисперсию процесса 0(р) другим путем через функцию Ф(р, t). Имеем
Т(р, t) = 1п Ф(р, t) = -Рр(+-1) 00 =
Вычислить это выражение возможно лишь при конкретизации вида Х(с).
Найдем асимптотику величины £ при Р00>>1, используя для этого метод линеаризации. Определим величину с0 уравнением
а1(с0) = 007Т. (25)
Будем называть ее «стационарной ценой», так как она соответствует тому, что товар продается с постоянной скоростью.
Будем считать, что отклонения Дс(1) = с(1) - с цены с(1) от стационарной цены с0 малы. Тогда имеем
а^с^)) = = а!Х(с0) + а1Х’(с0 )Дc(t) + к =
= + аЛ,(с0)Дс(0 + ...
Т
Отсюда приближенно Дс(') = -
1
Q Qo
а,Х '(с0) I Т - ' Т
(26)
Для получения дальнейших формул найдем сначала некоторые вспомогательные величины. Как говорилось выше, вероятность того, что к моменту времени t весь
( Т -1: Л
товар будет продан, равна ^) = ехр1----------— Р00 | .
Найдем условное математическое ожидание М{01 т.е.} величины 0^) при условии, что товар есть. Имеем:
М{0} = П0 (t) 0 + (1 - п (1))М{0 | т.е.} = °т(Т - 0 .
Т
Отсюда
Qo(т -')
т (1 -*„(')).
Поэтому М\-y-7- <Y-
те > = Qo п0(7) и . .^ Т 1 -п0(')
Пс(')
(27)
(28)
-0^ 1 -П0(7)
Вернемся к вычислению математического ожидания ве-
личины
X = а, І с(' )Х(' )С' . Используя разложение в ряд Тей-
лора, получим с()Х(с(11))=с0Х(с0)+(Х(с0)+с0Х'(с0))Дс(1)+..., и принимая во внимание, что выручка идет лишь при наличии товара, будем иметь
е
2.
х
М {X} = а1с0Х(с0 )І (1 - л0 ('))С' + а! (Х(с0) + с0Х'(с0));
0
х І (1 - П0(')) Т ) 1--°( ) С' + к =
0 0 Та1Х(с0)1 -л0(')
Т
= а1с0^(с0)І (1 -п0('))С' +
+ с0^'(с0)) ■ Тк\с0)
І п0(' )С'
+ к
X и а1с0Х(с0)Т| 1 +
Х(с0)
1
(29)
dQ(t2) = -
С'2 +
Т - '2
Ж'*)
ах Т - '2
—dw(t2) .
Умножив на Ж'і) получим
dt2(Q(t1)Q(t2)) = -
= Q(tl)Q(t2) Ст .
т-7Г 2
+
а2 Q(t2)
—dw(t2) .
ах Т —12
Наконец, усредняя по реализациям, получаем дифференциальное уравнение для Л(1ь, t2):
дОД, t2)7дt2 = ОД, 12)7(Т - /).
Его общее решение имеет вид
Я(Ь, t2) = ОД) )(Т - t2).
Полагая ^ = tl, получаем
Л(1ь Ь) = С(1:)(Т- tl), С(М = Л(1ь 11)7(Т- 1ь), откуда следует вид Л(1ь, ^):
Т — t
Щх, ^ = Я^, О- 2
Т - '1'
Так как Я('и '1) = Л0('1,'1) +
Qo
Т - г
Щх, '2) =
Qo
Т - '1
то
Т - '2
Т - '1
Т — t
= ЗД, t1) —2 + М {0(1,)}М ш,)},
откуда получается явный вид функции корреляции флуктуаций процесса 0(0:
Интеграл | (1 -л0(1 ))йt уже был вычислен ранее -
0
это М{т} (20). Далее, 007Т = аьХ(с0). Подставляя все это в предыдущее выражение и упрощая, получим
Т -'
^ (Т1 , '2 ) = R0(t1, 'О'
= DQ (Т1 )
Т - '2
(30)
Т -11 "0Ч"1' Т -11 ■
Для нормированной функции корреляции, учитывая явный вид дисперсии процесса 0(0 (6) получим
■^0 (7Ь, t2 )
с0^'(с0) Рй)
Заметим, что Х'(с0) < 0 и поэтому £ < а1с0Х(с0)Т,
т.е. управление ценой с целью продать весь товар до окончания торговой сессии уменьшает среднее значение выручки по сравнению с продажей по стационарной цене. Однако это уменьшение имеет порядок 1/Р00 и поэтому невелико. Оно является своеобразной «платой» за окончание продаж в срок.
Найдем еще некоторые характеристики процесса Q(t).
ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ ПРОЦЕССА 2(2)
Пусть Я(11, 4) = М{0(11)0(12)} - функция корреляции процесса 0(0 и ЗДь t2) = Я(1ь t2) - М{0(11)}М{0(12)} -функция корреляции его флуктуаций.
Пусть далее ^ > 1ь. Тогда имеем
г('1, '2) =
Л|DQ (tl)DQ ('2) К(Т - '1)'
71(Т - '2)
(31)
ПЕРЕХОДНАЯ ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРОЦЕССА 2(2)
Пусть 0(0 = 0, 1 = 1, 2, и, как и ранее, ^ > 1ь. Рассмотрим функцию Ф(р,t2, 1ь) = М{е~р°2 | Q(tl) = }.
Аналогично тому, как это сделано выше, ее явный
р(Т - t2)
вид следующий: Ф(р, '2, '1) = ф
р + р
где ф(-) -
неизвестная функция. Ее вид находится из граничного условия Ф( р, '1, '1) = е- pQl. Отсюда ф|
р(Т - '1)
Делая замены что ф(і) = ехр| -
р + р Р1
Т - '1 -1 Ф( р, '2, '1) = ехр|-
= і , р =
р(Т - '1) I = e-pQl
р + Р 1 е Рі
Т - '1 -1:
получим,
а
Рр(Т - '2)
р(72 - '1) + Р(Т - '1)
Ql I . (32)
Обратное преобразование Лапласа дает
р^, '2ій, '1)=е-Т-'2>т/('2-Т1)
+ ре-(Т-'1) ¡(Т - 71)(Т ~ 'г^ I х
(Т2 - '1) Q2
(Т - '1 )Т - '2 )
РШ
(33)
( - t1)
Совместная плотность вероятностей р(02, t2; 0Ь, 1ь) = = р(02, t2 I 61,0р(01, 1ь) в явном виде не выписана из-за громоздкости. Ее знание позволяет вычислить дисперсию величины выручки £.
ЛИТЕРАТУРА
1. Змеев О.А., Новицкая Е.В. Вероятностные характеристики длительности торговой сессии и оценка ее параметров 77 Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 66-75.
2. Терпугов А. Ф. Математика рынка ценных бумаг. Томск: Изд-во ТГПУ, 2000. 179 с.
3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.4. М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1957. 812 с.
4. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 465 с.
Статья представлена кафедрой теоретических основ информатики факультета информатики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Информатика» 15 сентября 2004 г.
2
а
2
