Управление ценой при продаже скоропортящейся продукции Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2007 Управление, вычислительная техника и информатика № 1

УДК 519.2

Н.В. Степанова, А.Ф. Терпугов

УПРАВЛЕНИЕ ЦЕНОЙ ПРИ ПРОДАЖЕ СКОРОПОРТЯЩЕЙСЯ ПРОДУКЦИИ

Рассматривается управление ценой продажи продукции, гарантирующее, что товар будет продан в течение торговой сессии и принесет максимальную прибыль от его продажи.

Оптимизация продажи скоропортящейся продукции (молока, творога и т.д.) представляет определенный практически интерес, так как продукцию, не реализованную в течение торговой сессии, в лучшем случае надо пускать в переработку, а в худшем - просто выбрасывать. Поэтому при реализации такой продукции возникает ряд вопросов, таких как:

а) какой объем продукции надо завозить в торговую точку;

б) по какой цене ее продавать;

в) как управлять ценой продажи продукции, чтобы к концу торговой сессии она была полностью реализована.

Все эти задачи надо решать при вполне естественном критерии оптимальности

- максимизации прибыли, получаемой от реализации продукции.

1. Математическая модель

Пусть в торговую точку завозится партия продукции объемом Q0, которая должна быть продана в течение торговой сессии длительности Т. Пусть d - объем затрат на выпуск единицы продукции, так что производителю эта партия стоила Q0 d рублей.

Пусть c(t) - цена, по которой продукция продается в момент времени t. В данной работе рассматривается вопрос управления ценой продажи c(t) в зависимости от времени t и объема Q(t) продукции, не реализованной к этому моменту времени. Цель этого управления - добиться того, что продукция будет реализована к концу торговой сессии и при этом будет получена максимальная прибыль.

Будем считать, что поток покупателей является пуассоновским потоком интенсивности Х(с), зависящей от розничной цены с. Вид этой зависимости будет уточнен ниже.

Будем считать, что покупатели приобретают товар независимо друг от друга, и объем покупки £ - случайная величина с M= а{ и M{^2} = а2 .

Пусть Q(t) - количество продукции, которая осталась не реализованной в момент времени t. Рассмотрим решение задачи в так называемом диффузионном приближении, когда Q(t) аппроксимируется диффузионным случайным процессом. Как показано в [1], такую аппроксимацию следует брать в виде

dQ(t) = -a1X(c)dt + a2X(c )dw(t), (1)

где w(t) - стандартный винеровский процесс. Именно эту аппроксимацию мы и исследуем ниже.

В одном очень частном случае эта задача уже исследовалась в [1], где закон управления ценой с(?) продажи товара брался из соотношения

аКФ)) = О-). (2)

В настоящей работе будет исследован более общий случай, когда управление розничной ценой определяется соотношением

ахКФ)) = к 0-) (3)

с некоторым дополнительным коэффициентом к. Очевидно, что к>0 и при К=1 рассматриваемый нами случай переходит в (2). Поэтому к=1 может быть использовано для контроля.

Объединяя (1) и (3) можно сказать, что диффузионная аппроксимация процесса 2(г) имеет вид

сЦ2(() = -к ^ а + ^ К ). (4)

т - г \ а т - г

Найдем сначала некоторые характеристики процесса 0(г).

2. Математическое ожидание процесса 2(<)

Обозначим М{<2(()} = 2(1). Для краткости записи, аргумент I у 2(г) и 2(г) мы часто будем опускать.

Усредняя уравнение (4) с учетом того, что для винеровского случайного процесса М{(1^()} = 0 , получим

¿ОН) = -кО—-Л, (5)

которое является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными и которое надо решить при начальном условии 2(0) = Q0. Разделяя переменные

dQ &

■ = -к-

Q Т -1

и интегрируя, получим

1п <2 = 1п с + к 1п(т - г),

где С - постоянная интегрирования. Отсюда

ё(г) = С(Т - г)к.

Так как Q(0) = Q0 = СТк , то С = 20/Тк и поэтому

ви) = во [1 - Т ]К. (6)

При к=1 это совпадает с результатом, полученным в [1]. Графики функции /(х) = (1 - х)к при различных к приведены на рис. 1.

Рис. 1

3. Дисперсия процесса

Пусть процесс 2(г) описывается уравнением

) = а(2, г )& + Ь(б, г )dw{t), и нас интересует процесс у (г) = /(0,г). Тогда, как известно [2], этот новый процесс также является диффузионным и удовлетворяет уравнению

д/ ■ а(б,*)■5/ ■ Ь2(б’*) 52/

дг дб 2 дб

Эта формула носит название формулы Ито [2]. Возьмем /(б, г) = б2. Тогда

д/

Ж + Ъ(б,г)—й^(г). дб

и формула Ито дает

л (б2) =

„О а2 б -2бк^— + — к-

т - г а1 т - г

Лг + 2бЛ/— к б Лю(г)

а1 т - г

Усредняя, получим уравнение для бг () = М [б ()}:

+ 2к = ^2 к- ^

Л

т - г а1 т - г

(7)

(8)

Нас будет интересовать дисперсия процесса 0(г), то есть процесс ^ (г) = б2 - б2 • Учитывая (5), получим

= 26^ = -2кб2-^- ,

& & Т — /

или !Ш_1 + 2к-Я— = 0 . (9)

& Т -1

Вычитая (9) из (8), получим уравнение для дисперсии

^ + 2к_^ = £2к_1_ = £2к а Г, -±Г (10)

Ж Т - г £ Т - г £ Т ^ Т

которое надо решить при начальном условии DQ (0) = 0. Решая однородное уравнение

—р + 2 к—— = 0 ,

й/ Т — /

получим выражение

= -2к-°в

Ш Т — I

общее решение которого имеет вид

Бв (г) = с • (т - г)2к. (11)

Поэтому, используя метод вариации произвольных постоянных, общее решение

неоднородного уравнения будем искать в виде

Бв (г) = с (г) • (т -г)2к.

Подставляя это в (10), имеем

С'(0(Г - 02к = ^ к О0 {\ - 1Т 1 = ^ к О- (Т - trl,

Т \ Т у &1 Т

откуда

а2 бо ,\-к-1

Интегрируя, получаем

С(і) = С0 + ^■% (Т - і)-к, а т к

где С0 - произвольная константа. Поэтому

Бв (I) = С0 (Т -1)2к + ^■% (Т - Ок .

а т

Константу С0 находим из условия Бд (0) = 0. Тогда

І0 ’ с0

и поэтому £>е (г) =-^ Єо 11 -

д а, ^ Т

а2 Ро

а Т2к 5

" ( г У

1 -I1- т

а

2

а

При к = 1 это переходит в выражение

°°“»= “Г а ¥ (‘- ¥),

совпадающее с соответствующим выражением в [1]. Графики функции

Л (л> =(1 - х)К [1- (1 - х)К ]

при различных к приведены на рис. 2.

Рис. 2

Заметим еще, что

О2 = ов (г) + ё2 (г) = а2 во [1 - т

1 -II-т

+ Єо!1 -^

2к

(13)

4. Функция корреляции процесса Q(t)

Пусть Я(^,г2) = М(2(г1 )б(/2)} есть функция корреляции процесса 0(г), и Л (г1,г2) = Л(г1;г2) - М{<2(^ )}М(2(г2)} - функция корреляции его флуктуаций. Пусть t1 > гъ Тогда

,Є(*2 )

¿б(*2 ) = «*2‘

1 ¿2

'2 - 6('2 > *(,2 ).

(14)

Умножив на О/і), имеем

,Є(*1 №)

т - и

-<1 Т ¿2

Усредняя по реализациям, получаем дифференциальное уравнение для Л(^,г2):

<5^(А,¡2) _ к ^(^>^)

■ — ТС-

дії

т - и

Его общее решение имеет вид Я(г1, г2) = С(г1 )(Т - г2)к . Полагая ¡2 _ г1, получаем

R(ti, ti) = C(ti )(T - ti )K, с (t,) =

(T - h )K

откуда и следует вид R(t1; t2):

R(t1, ^2 ) _ R(t1, ^1)

(T -12 )K

(T - ti)K

Так как

то

О2

R(ti, ti) = Ro (ti, ti)+-ОК (T - ti )2K,

TA

K+% (T -12 )K(T - tl Г =

(T - t2 )K , Q (T - ti)

= ^0 (#1,*1 + М^ )}М(е(?2)}.

Отсюда получаем явный вид функции корреляции флуктуаций

*0 (Л> г2) = *0 (^1, г1 )~ ({1 )~ , Н > г1 ,

(Т - ?1)к У (Т - ?1)к

или в явном виде при t2 > ¿1

і-її-т

Для нормированной функции корреляции R (t1,¿2 )

r (ti, t2 ) =

pQ (ti ) DQ (t2 )

1 -

T

1 - І

При к = 1 эта формула переходит в соответствующую формулу из [1].

(15)

(16)

(17)

5. Математическое ожидание выручки и его оптимизация

Рассмотрим случай, когда зависимость Х(с) может быть аппроксимирована прямой линией:

с - с0

Х(с) = Х0 -Х{-

С0

(18)

Здесь с0 имеет смысл некоторой «стандартной» цены, так что X(c0) = с0. Такая аппроксимация возможна, если отклонения цены с от с0 незначительны.

В этом случае уравнение (3) приобретает вид

а,Х(с) = a ix0 + Х,-Х,- 1 = -^,

I со) T -1

К

С

0

откуда с = с011+7° —^ - <л I. (19)

V ^1 а1^1^))

Так как в единицу времени в среднем совершается Х(с) покупок, средний размер которых равен а\ по цене с, то среднее значение выручки в единицу времени

са{к{с) = Со ^1 + ^° —-Т— 1к . (20)

^ л1 а1Х1 т - г) т - г

Усредняя по объему партии товара ^(г), имеющегося в наличии в момент времени t, имеем

М{са{Х(е)} = с0 (1 + ^° !к-&— с0 к & -

Хх ) T -t а{Хх (T -1)2

^0 )к _6_____£0^1 В<2 + 6

Х1 ) Т -г а1Х1 (Т - г)2

Подставляя сюда явные выражения для Q и Вд, получим, что средняя выручка в единицу времени

М{щХ(с)} = со ^1 + ^к^^1 --

а{Ху (T _ t)2 \ а1

1-Il_ 1

T

+ |1 _Т)2К Qo2 !>• (22)

Отсюда средняя выручка за весь период торговой сессии

т

Б = |М{саЧс)}&. (23)

0

Вычислим входящие сюда интегралы по времени. Имеем

fil -1 ï JL = fzк-idz = I, (24)

01 T J T -1 j к ^

где сделана замена переменных z = 1 - T. Заметим, что этот интеграл имеет смысл при к > 0.

Перейдем к вычислению интегралов, входящих в (23), с учетом (22) со знаком «минус». Первый такой интеграл имеет вид

Jfi -1 Т-^Г =1 J z ^ = -^~

0 { T J (T -1 )2 T 0 T(к-1)

и конечен лишь при к > 1. Второй интеграл имеет вид

^-ТГтАт 4 р-2-* - 1

^ (T -1) т 0 Г(2к-1)

и конечен при к > 0,5.

Итак, для данной аппроксимации Х(с) имеет смысл рассматривать лишь случай к > 1. Для него

^=со їїі а -

с0 а2бо а'^Х1Т

1

1

г<2 2

собо к

к-1 2к-1) а\Т 2к-1

(25)

Задача выбора оптимального значения к пронимает вид

2

сово

или

а1Х1Т ф(к) = -

1

1

к -1 2к -1

3

-е<

к

к

- +

б0 а1 к

2 к-1

2

■ Ш1И ,

• Ш1П

к

(к- 1)(2к-1) а2 2к-1

Приравнивая нулю производную от этого выражения по к, получим

3 К 2 (к-1)(2 к-11 (4 к-3) + 4Й. (2к(2к-1) - 2к2) = 0.

(К-1)2 «2

После некоторых упрощений имеем выражение

а16о к(2к2 - 6к + 3)

а2 ~ 2(к-1)3 ,

которое надо решить в области к > 1.

Рассмотрим уравнение 2к2 - 6к + 3 = 0 . Его корни

6 ±л/36 - 24 3 ±л/3

(26)

(27)

(28)

4,2

(

так что

2к2 - 6к + 3 = 2

к —

з-л/3 ¥ з+л/з

к--

и поэтому это выражение меньше нуля в области

3—— < к < 3 + ^ , или 0,634<к<2,366.

2 2

Именно в этой области правая часть (28) положительна. Так как имеется дополнительное условие к > 1, то решение уравнения (28) имеет смысл лишь в области

3 + Тз

1 < к < -

2

= 2,366...

График зависимости оптимального значения к от параметра а$0/а2 приведен на рис 3.

Заметим, что при больших значениях параметра ах<201 а2 оптимальное значение к мало отличается от 1. Полагая к = 1 + е, получаем, что при малых е

к(2к2 - 6к + 3) 1

2(к-1)3

2г

поэтому при а$0/ а2 >> 1

(29)

а

2

Рис. 3

6. Определение оптимального объема партии товара, выставляемой на продажу

Существует также оптимальный объем партии товара <20, выставляемой на продажу. Так как себестоимость единицы продукции равна С, то прибыль, получаемая от продажи партии товара объема Q0, равна (с учетом (25))

р = |М{са{к(с)}Л - а • О, = со ^1 + ^ бо - а • бо -

с0 а20о

2 2 собо к

а^Х{Г (к- 1)(2к-1) а{Х{Г 2к-1 и оптимальный объем партии <20 определяется из условия д?/дб0 = 0 :

Спц + Ы-Л- с°

2со£о к

а{Х{Т (к - 1)(2к -1) а{Х{Т 2к-1

Отсюда

60 =

Хс

а

1+-° -—-

Х! ) с0 а[Х{Г (к - 1)(2к -1)

2 к2

а!Х!Т 2к-1

а1Х1Т + Х0 а 12к-1 а2

(30)

2 ^ Х1 с0) к2 2а1 (к -1)

Можно решать и более глобальную оптимизационную задачу - максимизацию прибыли по величинам <20 и к. Это означает, что мы должны решать совместно систему (28) и (30):

3

к

a1 q _ к(2к - 6к + 3)

~2 0 _ 2(к-1)3 ’

Q _ a{k{T Ґ + ^0 - _d^| 2к-1 - a2 к

2 [ !1 с0) к2 2a1 (к-1)'

(31)

Исключая Q0, получим уравнение для к:

a12X1T

1 + Х0 d \ к3 (к2 - 4к + 2)

А.1

(к-1) (2к-1)

2

(32)

которое надо решить в области к > 1 и условии к - 4к + 2 < 0 .

Уравнение к2 - 4к + 2 = 0 имеет корень, больший 1 при к = 2 + л/2 « 3,414 . График функции

V(к) = -

к3 (к2 - 4к + 2)

(к-1) (2к-1)

в области 1 < к < 3,414 приведен на рис 4. Отсюда, зная а1, а2, Х0, Х1, Т, d и с0, можно найти оптимальное значение к, а затем и оптимальное значение объема партии Q0, выставляемой на продажу.

Рис. 4

При больших Х1Т левая часть уравнения (32) велика и поэтому к мало отличается от 1. Полагая к = 1 + s, придем к уравнению

а,2Х,Г i 1» d Л 1

—I1+у° - - | = -,

a2 I ^1 c0) S3

откуда

к = 1 + g = 1-

3 a1%T f 1 + ^° - — 1111 c0

(34)

a

2

a2 _ a\X\T (і + ^0 _ d 2ajS3 2 ^ Xl c(

Qo _ii^41 +T0 —I • (35)

7. Плотность вероятностей процесса Q(t)

Рассмотрим /^, г) = ее. Тогда

д/ п д/ -д V 2 -

— = 0, -----= - ре , —- = ре .

дд 56 Эб2

Используя формулу Ито, получим, что процесс е~удовлетворяет уравнению

ж (е~Р° ) = [к^Ре~р° + КТ~Р2е^р°'] ж - ре~рв Jа2KQdw(t). (35)

4 т - г 2«! т - г ^ \а1 т - г

Рассмотрим функцию Ф(р, г) = М{е}, которая является преобразованием Лапласа от плотности вероятностей р(<2, /) значений процесса 0(г) в момент времени t. Тогда

ЭФ

= -M {e

,-pQ

dp

и, усредняя (35), получим

1 i ЭФ a2 2 дФ

dMP,t) = --—І кр — +—кp— | dt, (36)

T -1 ^ dp 2al dp

ЭФ (л a2 \ ЭФ

или, в явном виде, (Т - г)-------+ кр 11 +—— р I---= 0 . (37)

дг ^ 2«1 I др

В дальнейшем будем использовать обозначение в = 2ах/а2 .

Уравнение (37) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка. Оно решается методом характеристик, уравнение для которых имеет вид

л =К * , =к<1 --Ч¿р. (38)

Т -1 р{ 1 + РІР) ^ р p + р

Интегрируя, получим

- ln(T -1) = к(1п p - ln(p + в)) - ln C1,

или —^-ln(T -1) = lnp - ln(p + в) - ln C, (39)

к

что и дает явный вид характеристик

C = (T -t)1 к • (40)

Р + Р

Поэтому общее решение уравнения (37) имеет вид

Ф(р,t) = ф(^т(T-1)^к1 , (41)

IР + Р )

где ф(-) - произвольная функция.

Ее вид найдем из того условия, что при г = 0 Q(0) = <2о с вероятностью 1. Поэтому р(<2,0) = 8(2 - Q0), откуда следует, что Ф(р, 0) = е'р^° . Это приводит к уравнению

Обозначим

Тогда

Ф| —T| = e-pQ° •

1 Р + Р

гі/ К

Р + Р

Р =-

Pz

T1 к - z

и уравнение (42) дает

ф(z) = exp I -

PzQ0

T1 к -;

Отсюда получаем явный вид Ф(р, t):

ф( Р, t) = Ф

Р + Р

(T -1)

= exp

pfi(1 - t/T )1'K Q0 p + p- ^(1 -t/T K

В дальнейшем комбинацию (1 - t/T"f1 к будем обозначать как p, так

Ф(p,t) ■ expi--^

I p+p-pp.

Таблицы обратного преобразования Лапласа дают [3, ф-ла 23.65]

л

J

что

exp

1

-bQ (

JaQ 1

ча( р + Ь)

где 1\(-) - функция Бесселя от мнимого аргумента. Приведем (46) к этому виду. Имеем

¿’Ррбо В

Очевидно, что

Так как

то

р(1 -р) + Р р(1 -р) + Р

pPpQo ) Рр6о

A = - lim

P^D ^ p( 1 -р) + PJ 1 -р

p$pQa РрЄс

P2pQo

P2pQo

Итак,

p( 1 -p) + P 1 -p (p!-p) + P)(1 -p)

_ P$PQo _ PPQ0 p{\ _p) + P

Pp6q

і _p (p( і _p;»+p)(i _p;»

Ф(p, t) = exp I -

і-p

exp

P2pQq

(p(1 -p) + P)(1 -p)

-1+1

= exp

ppgg 1 -p

exp

Ppgg 1 -p

exp

Р2рЄс

(p+Р/ (1 -p))(1 -p)2

-1

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

Сравнивая это с (46), получаем, что

Р2р6о

1 -р

и поэтому для р(<2,1) имеем

р(в, () = ехр| -

Рр6о 1 -р

5(6) +е-М(1-р\ в Рв 11

1в2рвов Л

1(1 -Р)2

(47)

8. Распределение вероятностей длительности продажи товара

Отметим особую роль слагаемого, содержащего дельта-функцию. Она возникает потому, что величина покупки является случайной и, в принципе, может прийти покупатель и купить весь оставшийся товар, и тогда торговля закончится. Математически это происходит потому, что существует точка, где у процесса Q(t) равны нулю и коэффициент сноса и коэффициент диффузии, поэтому при I > г0

Q(t) = 0.

Однако это позволяет вычислить характеристики длительности продажи товара. Обозначим через т величину промежутка времени от начала торговой сессии до того момента, когда будет продан весь товар, то есть длительность продажи товара. Тогда из вида коэффициента при дельта-функции следует, что

р{т < (} = рг(г) = ехр| I = ехр

1 -р

1 - (1 - г/т)1 к

(48)

что и дает функцию распределения величины т.

Графики ^(г) для различных значений параметров вQ0 и к приведены на рис. 5 и 6.

Рис. 5

Рис. 6

Это позволяет вычислить математическое ожидание длительности продажи. Делая замену переменных 1 - г/Т = г, получим

(49)

При больших значениях Р20 показатель экспоненты быстро убывает с ростом г. Поэтому можно пренебречь г1* по сравнению с 1 и записать

I» ( 2^ ^

1 - 1 ехр _ 0 РЄ° 1 -£К V 1 г У йг

М{т} - Т

Делая замену переменных вво= и , получим

М{т} - Т

1 —

— I"ик -е и(Іи

\К J

= Т \ Г( к +1)'

_ (Рб0)к .

(50)

(РО>Т 0

что позволяет оценить время, когда весь товар будет продан.

ЛИТЕРАТУРА

1. Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Оптимизация розничной продажи скоропортящейся продукции. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. 93 с.

2. Терпугов А. Ф. Математика рынка ценных бумаг. Томск: Изд-во НТЛ, 2004. 163 с.

3. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 465 с.

,

Статья представлена кафедрой программной инженерии факультета информатики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 12 сентября 2007 г.