CC BY
47
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2008
Управление, вычислительная техника и информатика
№ 1(2)
УДК 519.2
Н.В. Степанова, А.Ф. Терпугов
ОБ ОДНОМ ЗАКОНЕ УПРАВЛЕНИЯ ЦЕНОЙ ПРИ ПРОДАЖЕ СКОРОПОРТЯЩЕЙСЯ ПРОДУКЦИИ
Рассматривается управление ценой продажи продукции, гарантирующее продажу товара в течение торговой сессии и максимальную прибыль от этой продажи.
Ключевые слова: управление ценой, максимизация прибыли, длительность продаж.
Пусть имеется некоторая скоропортящаяся продукция (например молоко, сметана, свежая рыба, овощи и т.д.), которая должна быть продана в течение торговой сессии (например дня). В противном случае товар снимается с реализации и пропадает.
Продавец покупает партию товара объема Q0 по оптовой цене С и продает ее по розничной цене с. Ставится задача нахождения значений <20 и с, при которых средняя прибыль продавца будет максимальной.
Будем считать, что торговая сессия начинается в момент времени 0 и кончается в момент времени Т, то есть она занимает интервал времени [0, Т]. Обозначим через <2(і) количество товара в момент времени і. Будем также считать, что ^(0) = <2о фиксировано. Предположим, что поток покупателей является пуассоновским потоком интенсивности Цс(і)), зависящей от розничной цены с(і).
Будем считать, что покупатели приобретают товар независимо друг от друга, и объем покупки £ есть случайная величина с М{£} = а\ и М{£2} = а2.
В одном очень частном случае эта задача уже исследовалась в работе Е.В. Новицкой [1], где закон управления ценой с(і) продажи товара брался из соотношения
В настоящей статье рассматривается случай, когда закон управления ценой с(г) продажи товара имеет вид
Найдем характеристики величины количества товара в диффузионном приближении. Процесс <2(і) может быть приближенно описан следующим стохастическим дифференциальным уравнением [1]
Постановка проблемы и математическая модель
(1)
Основные характеристики количества товара
dQ(t) = -а{К(с)Л + ^Ja2MC)dw(t).
В рассматриваемом случае это уравнение принимает вид
Q(t)
dQ(t) = -
T (1 -1 / T )Y
Q(t)
a t(1 -1 / t)Y
dw(t).
(2)
Найдем основные вероятностные характеристики процесса 0(г). Обозначим М{<2(1)} = 2(?) . Усредняя уравнение (2) с учетом того, что приращения винеров-ского случайного процесса независимы и имеют нулевое математическое ожидание, получим следующее уравнение для 2(г):
dQ(t) =---------Ой----сИ,
Т (1 - г / Т) '<
которое надо решить при начальном условии 2(0) = 20. Решая его стандартным методом разделения переменных, получим
1
Q{t) = Qo exp
1 -у
[(1 -1 /T)1-Y -1]} .
(3)
В частности, Q(T) = Q0 exp I -
1- у
, Q(T) = 0 при Y > 1.
Для нахождения дисперсии процесса 0(г) рассмотрим процесс 0 (г). Тогда, используя формулу Ито, получаем, что этот процесс удовлетворяет следующему уравнению:
d (Q 2 (t)) =
2Q (t) + ъ Q(t)
T(i -1 / t)y a T(i -1 / t)y
dt + 2Q(t )l
Q(t)
a t(i -1 / t)'
-dw(t). (4)
Обозначим M{Q (t)} = Q2 (t). Тогда, усредняя (4), получим
2Q2(t) + £2 . Q(t)
T(1 -1 / T)Y a T(1 -1 / T)Y
dQ2 (t) = 1 -
dt ,
или, с учетом (3),
dQ2 (t) dt
= -2-
Q2 (t)
T (1 -1 / T)Y
2Q0 exp [(1 -1 /T)1-Y -1]
^T (1 -1 / T)Y
(5)
которое надо решить при начальном условии Q2 (0) = Q0.
Это уравнение решается стандартным методом вариации произвольных постоянных. Само решение имеет вид
Q2 (t) = Q expjj—-[( -1 /T)1-Y -1]'[ +
a2Q0
exp
1 — у
[(1 — t / T )1-Y —1]| 1 — exp jJ- [(1 — t / T )Y — 1]
(6)
a
Отсюда
£>{£(/)} = ов (ї) = а (*) - Є2 (*) =
аіво
ехр
1-7[(‘ -'7Т- О})"1 - “Р{у- [(! -'7Т)И -1]
(7)
В частности, Бд (0) = 0, Бд (Т) = — <20 ехр < -
1 -у
1 - ехр < -
1
1 -у
, Од (Т) = 0
при у > 1. Вместе с результатом 2(Г) = 0 это говорит о том, что с вероятностью 1 2(Т) = 0, то есть с вероятностью 1 к концу торговой сессии весь товар будет продан при у >1.
Плотность вероятностей процесса Q(t)
Таким образом, процесс 0(?) начинается с и заканчивается в 0. Рассмотрим
/(6,1) - е~Р® . Тогда, используя формулу Ито, получим следующее уравнение:
в
Т (1 - і / т у
-ре
- Рв.
в
2а т(і - і / т)■
-р е
2е-^в і а -
ре
,-Рв а 2
в
ах Т (1 - і / Т)1'
-ац!(і).
Рассмотрим функцию Ф(р, г) = М{е }, которая является преобразованием
Лапласа от плотности вероятностей р(<2, /) значений процесса <2() в момент
времени t. Тогда р’) = -м{^е-} и, усредняя (1.7), получим
др
дФ а2 2 дФ і ,
р—+-----р — IЖ ,
Т(1 - і / Т)у { др 2а1 др
или, в явном виде,
дФ
дг
т (1 - г / т) у — + р 11+-^ р I—= 0.
2а1 ) др
(8)
В дальнейшем будем использовать обозначение в = 2а^/а2 .
Уравнение (8) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка. Оно решается методом характеристик. Решение имеет вид
Ф( р, і) = ехр
р-р ехр [(1-і / Т ) 1 -і]
р + Р-рехр 1^--[(1 -і/Т)1-т -і]
Єо
а
1
Находя обратное преобразование Лапласа, получим явный вид p(Q, t):
Г | 1 , , .1 Л
ехр \
p(Q,t) = exp
і- [(і - -7 Т )1-Y - і] і - exp ['r-Y [( - > /Т )1-' - і]
РЄо
8(Q)+Р exp
P-Qo
exp |1-Y[(1-'/ T t'-1]} Q.
‘-exp {^[t1-'/ T-‘]}д (‘-exp {^[О-/ T )‘-r-1]})2 Q
x I
exp
І- [Iі -''T ),-r -‘]}
(1 - exp[Iі -''T)1-’ - ‘f
-Р2Є<0
Отметим особую роль слагаемого f Г і
exp
exp
і -Y
[(і -1 / Т)1-Y - і]
і - exp [Д[(і -'7 Т)1-Г -і]
РЄо
8(Є),
содержащего 8-функцию. Оно возникает потому, что величина покупки является случайной и, в принципе, может прийти покупатель и купить весь оставшийся товар, и тогда торговая сессия для продавца закончится. Математически это происходит потому, что в точке, где 2(г0) = 0 , у процесса 6(1) равны нулю и коэффициент сноса, и коэффициент диффузии, и поэтому при * > *о 60) = 0.
Средняя длительность продаж
Полученный выше результат позволяет вычислить и некоторые другие характеристики процесса продаж. Обозначим через т величину промежутка времени от начала торговой сессии до того момента, когда будет продан весь товар, то есть длительность продаж. Тогда из вида рассматриваемого слагаемого следует, что
( ехр [(1 - і / Т)1-у -1]} Л
-Р-Єс
p(T<t) = FT (t) = exp
1--
1 - exp {l- [I1 -11T)1-Y -1]
(9)
где ^ ^) есть функция распределения величины т.
Это позволяет вычислить, например, среднюю длительность продаж. Имеем
M{т} = J(і - Ft (t)ddt = Т
о
і - e1
вЄо
1-expil-7
J e вЄс/x [(і-;)1п(і - x) + і] dx
і - X
Входящий сюда интеграл через элементарные функции не выражается.
Найдем асимптотику М{т} при Р20 >> 1, то есть при большой величине партии товара 60. Тогда величина В = 1/Р20 << 1. Делая в интеграле замену переменных х/ Р60 = Вх = г, получим
1-ехр! —— I
ев®° | е~-’0^!х [(1 -у)1п(1 -х) + 1]~
0 У 1 - X
1 „ Г dz
= 1е1'В I е-1* [(1 -у)1п(1 -в/В) + 1]-^--
В о 1 - */В
Найдем по правилу Лопиталя следующий предел:
1 ^ dz
Пт—-е1 | е 1г [(1 -у)1и(1 -г/В) + 1]
-у'
б^о В2 0 ^ 'У ' ' "'1 - г / В
В|1~еХРЬУ) ,, у
I е-1/г [(1 -у)1и(1 -г/В) + 1]
= Пт
0 1 - г / В
б^о В2е-1 б
ехр <! 1
= ит В (1 -ехР{-1/(1 -у)}
(1 -у)1п| 1 -1 + ехр<{-1---^ | +1
б^о 2Ве-1 б + е-1 б
Отсюда следует, что при В = 1/Р20 << 1
1-ехр-! —— I
еве° | е-Рбо/х ( — у) 1п(1 -х) + 1]~ ^Х
У
1-Г — = 0.
-у 1
0 1 — Х
Б| 1-ехр-!—-!
1 V I 1-У.и ,, у Лг
= -е1Б I е-1'2 [(1 — у)1и(1 — г /В) +1]]----------— = О(В)
В о 1 — г/г
и поэтому
мм=Г(1+0(ёУ- (11)
Оптимизация по значению параметра у
Рассмотрим теперь проблему выбора оптимального значения параметра у при условии у > 1, то есть при дополнительном требовании, что товар должен быть продан весь до конца торговой сессии.
Рассмотрим случай, когда зависимость Х(с) может быть аппроксимирована прямой линией:
Це) = Х0 -Х1 . (12)
е
0
Здесь с0 имеет смысл некоторой «стандартной» цены, так что X(c0) = с0. Такая аппроксимация возможна, если отклонения цены с от с0 незначительны.
В этом случае уравнение (1) приобретает вид
йуК(с) = a I Xq +Xj — Xj — | = Q
T ф (t / T)
где ф(z) = (1 - z)Y. Отсюда
c = Cq| 1 + —--
Q
, (13)
Х1 а1Х1Гф(1 / Г);
Так как в единицу времени в среднем совершается Х(с) покупок, средний размер которых равен аь по цене с, то среднее значение выручки в единицу времени
са{Х(с) = с0 (1 + — — 1 ^ ^ ^
, (14)
^ а1Х1 т ф(г / т); т ф(г / т)
Усредняя по объему партии товара ^(?), имеющегося в наличии в момент времени t, получим
M {ca{X(c)} = c01 1 +
Хс
в
--Сп
1
в2
- c0 I 1 +
Xj ) Tф(г / T) "ajXj T2ф2 (t / T)
Xo Л Q c0 Q2
Ху) тф(г / т) а{Х{ т2ф2 (г / т)' Отсюда средняя выручка за весь период торговой сессии равна
S = JM{ca]X(c)}dt.
(15)
(16)
Подставляя сюда явные выражения для 2 и 62, после громоздких преобразований получим
S =
c0Q0
Х1
—(1-) —(1-zY )
Л
,1-1
- qe
Y-1
dz
z 2y
(17)
где q = а2/(а120 - а2). Заметим, что в реальности объём партии товара, выставляемой на продажу, обычно велик, так что параметр д << 1.
Естественное желание максимизировать выручку от продажи товара 5 ^ тах приводит к условию
,Y-1
- qe
Y-1
dz
z 2y
• mm .
Y
(18)
Проблема нахождения оптимального значения параметра у решалась численно с помощью программы Mathcad 2001i Professional. Некоторые оптимальные значения у приведены ниже в таблице.
q 0 0,01 0,1
У 1 1,06 1,27
о
о
Отсюда видно, что оптимальное значение у мало отличается от 1 и, по-видимому, для практики можно рекомендовать значение у = 1.
Можно поставит также задачу о нахождении оптимального объёма партии товара 2о, выставляемой на продажу. Пусть товар приобретается по оптовой цене а. Тогда прибыль от продажи нашей партии товара
( 2 „ уч 1 „ Уч Л
А.1
(А,о +А.1) - -1- [бо - -2 1|
а{Г у -і ) 0
собо
|бо -
г-н -1 у
\
«2 | [ е Ї-1
а, ) J о
е г-1
- де
г-1
<І2
2у
(V,+*,) - ^ (а, - ^) і. ’-і"-' ’ 4 - і• '-,|'-' ’ 4
а,Т ( а,) 0 г 1 а, Т, г
Находя максимум Р по 0о, получаем
Qoopt
2Х1а1Т
С0 ^2
^0 +^1 + _2 - Л) а1Т
- а
(20)
где
V —^-г1) & V —^-г1) &
'- - IеГ-1 4 • '■ - IеГ-1 4
= IЄ
0 ^ 0 Максимальное значение прибыли при этом равно
Р =
тах
4 Х1а1Т
со12
(
а2
\
Х0 + 2 (12 Л)
V а1 Т /
- d
(21)
Используя численные методы поиска экстремума, можно найти и оптимальное значение параметра у, которое обеспечивает тах Ртах . Оно также мало отличает-
ся от 1, и поэтому можно приближенно брать у = 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Новицкая Е.В., Терпугов А.Ф. Оптимизация розничной продажи скоропортящейся продукции Томск: Изд-во Том. ун-та. 2004. 94 с.
с
і
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 26 ноября 2007 г.
