CC BY
32
характеристик. Описание системы формируется в виде формальной модели бизнес-процесса, наполненной статистическими характеристиками - временами и стоимостями выполнения функций, вероятностями развития процесса по вариантам. Расчет изменения вероятности пребывания системы в состояниях по шагам, а также среднего числа пребываний в состояниях невозвратного множества позволяет накопить статистику по каждому состоянию, показывающую общее число пребываний процесса в данном состоянии (среднее количество выполнения каждой функции, наступления каждого события). Сумма времен и стоимостей выполнения функций, взвешенная на накопленные таким образом вероятности, позволяет оценить бизнес-процесс. При этом изменение управляемых параметров позволяет оценить изменение стоимости и времени бизнес-процесса при различных состояниях внутренней и внешней среды предприятия. Развитие предложенных методов может состоять в автоматизации процессов построения цепей Маркова и их исследовании по структурным схемам бизнес-процессов.
Библиографический список
1. Conventions for process-oriented modeling of a risk management system with ARIS [Электронный ресурс] // IDS Sheer AG. Режим доступа: www.ids-scheer.de. Загл. с экрана.
2. Доррер, Г. А. Моделирование учебного процесса на основе теории цепей Маркова / Г. А. Доррер, А. Г. Доррер, Г. М. Рудакова // Информ. технологии. 2005. № 11. С. 63-69.
3. Доррер, М. Г. Восстановление структуры модели бизнес-процессов организации на основании параметров цепи Маркова, рассчитанных исходя из данных электронного документооборота/М. Г. Доррер, А. А. Некрасова//Вестник СибГАУ 2006. Вып. 5(12). С. 87-90.
4. Каменнова, М. Моделирование бизнеса. Методология АЕЖ. Практическое руководство / М. Каменнова, А. Громов, М. Ферапонтов, А. Шматалюк. М. : Весть-Метатехнология, 2001.
5. Кемени, Дж. Конечные цепи Маркова / Дж. Кеме-ни, Дж Снелл. М.: Наука, 1970.
6. Маршлин, А. М. Экономическая оценка инвестиционных проектов / А. М. Марголин. М.: Экономика, 2007.
7. Харрингтон, Дж. Оптимизация бизнес-процессов документирование, анализ, управление, оптимизация / Дж. Харрингтон, К. С.Эсселинг, X. Ван Нимвеген. М. : Азбука, 2002.
8. Шеер, А. В. Бизнес-процессы. Основные понятия. Теория. Методы: пер. с англ. / А. В. Шеер. 2-е изд., испр. и доп. М.: Просветитель, 1999.
9. Шеер, А. В. Моделирование бизнес-процессов: пер. с англ. / А. В. Шеер. 2-е изд., испр. и доп. М.: Серебряные нити, 2000.
M. G. Dorrer
WEIGHED PROBABILITY ESTIMATION OF THE BUSINESS PROCESS BASED ON THE FORMAL DESCRIPTION OF MARKOV CHAINS
The approach to the estimation of cost and time parameters on the basis of the business - process formal model and the collected statistics is offered. Two approaches for weighed estimation of the business process are offered: on the basis of the total time probabilities of the process period in the prescribed state and on the basis of the average number of the process periods in these conditions state. The received estimations can be applied for comparison of business process performance at procedure implementation and at consequences of business - process improvement estimation.
Key words: business process, Markov chains, weighed estimation
УДК519.2
Н. В. Степанова, А. Ф. Терпугов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ОБЪЕМА ПАРТИИ ТОВАРА СКОРОПОРТЯЩЕЙСЯ ПРОДУКЦИИ
Находится оптимальный объем партии скоропортящегося товара, обеспечивающий получение максимальной прибыли.
Ключевые слова: скоропортящийся товар, прибыль, объем партии.
Постановка проблемы. Пусть имеется некоторая данный товар снимается с реализации и подлежит ути-скоропортящаяся продукция (например, молоко, сме- лизации.
тана, свежая рыба и т. д.), которая должна быть прода- Продавец покупает (или получает от поставщика)
на в течение торговой сессии (например, дня). Непро- партию товара объема <2 по оптовой цене <Л (это может
быть и себестоимость продукции) и продает ее по розничной цене с. Ставится задача нахолсдсния значений (2 и с, при которых средняя прибыль будет максимальной.
Результаты данной работы являются обобщением полученных ранее Е. В. Новицкой [ 1; 2].
Нахождение средней прибыли. Будем считать, что покупатели приобретают товар независимо друг от друга и объем покупки £, есть случайная величина сМ{%\ = а и .\/{ ;2! = а2. Для вывода формул будем считать, что даже если вся партия товара продана, то совершаются некоторые фиктивные покупки, то есть, если бы товар был, то покупатели покупали бы его.
Пусть число покупателей п фиксировано. Тогда объем спроса на товар хп в течение торговой сессии можно представить в виде
Х„ = §1 +§2 + ■■■ + '%„■
Пусть нам удалось найти плотность вероятностей рп (х) величины х . Пусть нам также удалось найти распределение вероятностейр(п) числа возможных покупок п. Если через х обозначить общий объем спроса на товар в течение торговой сессии, то плотность вероятностей р(х) величины х найдется следующим образом:
СО
Р(х) = ^РЛх)Р(п) ■
п=1
Представим себе, что мы нашлир(х). Подсчитаем теперь среднюю прибыль продавца, если на продажу выставляется партия товара объема 0.
На покупку товара объема 0 он потратил Ос/ ^ денег.
Если х > 2, то будет продана вся партия товара. Эго
со
произойдет с вероятностью | р{х)йх, и продавец полу-
гл в
ЧИТ Ос денег.
Если х ] 2, то будет продана партия товара объема х, и продавец получит хс денег. Партия товара объема О х останется непроданной и ее придется направить на утилизацию. Если через с1 обозначить цену утилизации единицы непроданного товара, то на утилизацию придется потратить с1ш(0 - х) денег. Средняя выручка продавца составит в этом случае величину в в
с\ хр{х)йх - с1л | (б - х) р{х)йх. о о
Общая средняя прибыль продавца составит в этом случае
в
(1)
или
шем случае примет вид
Вычисляя производные, получим
§=С1РМЛ-
в
-с<2р(<2) + с£М6) - 1 Р(х) йх -
+ <(6р(6) - 4* = °>
ИЛИ
со ^
с\ р(х)ск - Й?п41 р(х)ск = й?0р4.
(2)
в О
Но, с другой стороны,
в со
| р{х)йх = 1 -1 р{х)йх,
О в
и поэтому уравнение (2) принимает вид
СО
(с + ) | р(х)ск = Й?0р4 + Й?п4
или, в явном виде,
'г ^ , + с1.
| р{х)йх = -
в
(3)
Это уравнение и является уравнением для определения оптимального объема выставляемой на продажу партии товара.
Заметим, что при с1 = О это уравнение переходит в уравнение, полученное Е. В. Новицкой.
Таким образом, осталось найти р(х).
Нахождениер{х). Обозначим через »(\\ ) характеристическую функцию случайной величины т. е.
8{ъ)=М{е**}.
Если I) ‘ с | = а2 - а* есть дисперсия величины х, то для
1 п " С о)) имеет место разложение [3]:
1п£(со) = /соах -
со Б{а}
+ О(со3).
(4)
51 = с(?1 р{х)йх + с| хр{х)йх -
в о
в
I (6 - Х)р(х)с1х -
о
со <2
51 = Сб| р{х)йх + с| хр{х)йх -
в о
в в
-ЛМ\Р(х)Лх + й?п41 хр(х)ск - й?ор4б.
0 0
Оптимальный объем партии товара, выставляемый на продажу , найдется из условия Л’ => тах , которое в на-
Рассмотрим случай, когда число покупок п » 1. Принимая во внимание те соображения, которые приводят к центральной предельной теореме, можно считать, что п является нормальной случайной величиной с М{п} = тТ и £>{и} = п).. а сами величины тт и п]. при больших Т асимптотически пропорциональны Т.
Тогда характеристическая функция величины
п
есть (со), а характеристическая функция
1=1
О (\у) величины х равна
СО
С*(со) = ^£и(со)/?(и) • (5)
п= 0
Учитьшая асимптотическую нормальность величины п, при 7» 1. можно приближенно записать
Ох (со) = -
1
(г-Шр )
«5 9 2
I gZ((ъ)е Т сЬ =
(2-тт)
гу/2п
Принимая во внимание формулу 3.323.2 [4]
е^‘к=гМт„
и вычисляя интеграл (6), получаем
( ст2
(5*(со) = ехр тТ 1п£(со) +—1п2 £(со)
V ^
Подставляя сюда разложение (4) для£(\у), получим
G» = exp| /coflj/Wj, --^-(/Wj-DID + afCT2) +ТО(со3) Перейдем от величины х к величине
х — п m
с=-
iJmTD{^} + afo2T и, используя свойства характеристических функций, получим, что
( „3 ^
G^ (со) = ехр
( 2 -- + ТО
, 2
v
со
2^2 ^/2
(mTD{^} + а1 ат) Устремляя Т ® Г, получим, что в пределе
limGc(co) = ехр-------
<ехр
2n(mT(a2 -a2) + ola2) (х - almT )2 2(тт (а2 - а\) + ст2 а\)
(7)
= 1-Ф
iJmT(a2 -af) + _ dovt + dut
2 2 атах j
с + d.
mT = J X(t)dt = A(T), ст2 = A(T)
0
и формула (8) приобретает вид
0opt = a1A(T) + Ja1A(T)'¥
1 —
с + d.
3. Потокповупателейявляется дважды стохастическим пу-ассоновским потоком, т. е. интенсивность Х(/) этого потокаяв-ляется стационарным слу чайным процессом с М{Х(/)} = X и функцией ковариации со\ (/.(/1). Х(12)) = Н(12 - .
Тогда, при фиксированной реализации 1(0-
М{п | X(t)} = JX(t)dt,
о
г г
//
т. е. Q является асимптотически стандартной нормальной случайной величиной \'(0.1). Поэтому при больших п и Т можно приближенно считать, что х является нормальной случайной величиной с М{х} = тх = агтТ и D{x} =
= ст2 = тт (а2 - а2) + ст2 а2, что и дает нам явный видр(х): р(х) = - 1
М{п2 | X(t)} = J X(t)dt + J J X(t1)X(t2)dt1dt2. 0 0 0 Усредняя по реализациям X(t), получим
М{п} = mT = XT ;
г г
М {п} = ХТ + J J (Х2 + R(t2 - /j )) dtxdt2 =
о о
г г
= ХТ + да2 + J Ji?(/2 - /j) dtxdt2,
так что
Это позволяет окончательно решить вопрос об оптимальном объеме 6>о|)| выставляемой на продажу партии товара. Он определится уравнением
СО
| p(x)dx =
Qoat
/ \
6о р4-«1даг
ст2 = ХТ +11Щ2 -^) dtldt2.
о о
Последний интеграл можно преобразовать к виду
Т Т Т / \
11Щ2 - ^) dtldt2 = 2Т| 1 - — .
0 0 О V Т )
При 71 —>■ оо асимптотически
ГГ 03
11Л(/2 - ^) с1^Ж2 ~ 2Т|
0 0 о
и поэтому при Т —>■ 00
<ХТ+ 2T\R{w)dw=T X + 2^R{w)dw\.
о V о
4. Поток покупателей является рекуррентным потоком с плотностью вероятностейр(т) интервалов времени х между отдельными покупателями. Пусть М{т} = х = 1/А, ,
mT ~ XT, ат ~ X к2Т.
где Ф( •) есть функция Лапласа. Обозначая через '!'(•) = к2- Тогда согласно [6], при Г—>оо
функцию, обратную функции Ф( • ), получаем окончательно
бор» = *№ +
+-\jтт(а2- а2) + ст2 а2 'I'
(1_doVt+d-^
Таким образом, во всех рассмотренных случаях однозначно определяется оптимальный объем 6>о|)| выстав-
с + d.
(8) ляемои на продажу партии товара.
Явное выражение для средней прибыли и его оптимизация. Выпишем теперь явное выражение для сред-Рассмотрим некоторые частные случаи этой формулы. в
1. Пусть поток покупателей является стационарным ней прибыли, заменяя в интегралах вида | • • • нижний пре-
пуассоновским потоком интенсивности 1. Тогда согласно [5\,пг =\Т, ст2 =ХТ и формула (8) приобретает вид
дел на -Г. Тогда выражение для S (1) можно записать в виде
6opt =а1ХТ +yJa2XTx¥
( d^+d.A
opt
с + d.
S = (с + dut)
да sd
Qj p(x)dx+ | xp(x)dx
(9)
При dш = 0 эта формула сводится к формуле Е. В. Новицкой [1].
2. Поток покупателей является нестационарным пу-ассоновским потоком с интенсивностью Х(1). Тогда, согласно [5],
_(^ор4 +й?п4)6-
Для краткости введем обозначения
тх = а1тТ , ст2 = тт(а2 - а2) + а2а2.
Заметим, что в общем случае тт и ст2 зависят от цены продажи с, так что да и ст2 также зависят от с.
Вычислим входящие в (9) интегралы. Имеем
| p(x)dx =-----j= | е 2az dx = 1 - Ф
в
в
C7 x\]'2,71 q
Q
t; t; ^ | xp{x)dx = | (x-mx)---------
1
V
(x-mx У
+m
ax^/2n
(x-mx )2
2a* dx =
2a* dx +
\fln
= тФ
ox sfln
..Ж ^
J ze~z2/2dz + т„Ф
r -J/г
'а*Ф
Q~mx
а
/
me
ф<г)=жехр[4
Тогда вьфажение для S примет вид
S=(c + dul)x
Q i-Ф
Q-mx
\Q~mx
-mr Ф| —----— | — ст^ф
(^ont +^ut)6-
dc
Обозначим для краткости
1-Ф
(Q0Vt~mA
= D(c).
Qopt-m*
dx(t) = m0dt + <J0dwt,
(11)
-(10)
Так как т ист2 зависят от цены продажи с, то, при известной их зависимости, оптимальное значение цены
дБ А
продажи с находится из условия £ => тах , или — - 0.
d + ~ь d +
------- = £>(с).
с + dш
Если поддерживать объем выставляемой на продажу пфп/и товфа на оттумэгьном уровне о^. то для него будет верно соотношение
где м> - стандартный винеровскии случайный процесс.
Обозначим через х(х) случайное время достижения процессом х([) порогового значения 2, если в начальный момент времени I значение процесса х(1) было равно х.
Введем функцию
Я(5,х) = М{^"(1)}, которая есть преобразование Лапласа от плотности вероятностей величины т(х).
Рассмотрим момент времени I + М. Тогда за промежуток времени Д/ процесс х([) приобретет приращение Дх, и время, оставшееся до достижения процессом х([) порогового значения (2, станет равным х(х + Дх). Так как время Д/уже прошло, то мы получим соотношение
х) =М{е-,'(х)}=М{е-,(ы+'(х+&х)} = е^М^&х + Ах)}, где М означает усреднение по величине Дх.
Далее имеем
е~ш = 1 - зД/ + о(Д/),
§(5, X + Дх) = §(5, х) +
дх 2 дх
Усредняя по Дх, получим
Я(5,х) =(1-5Д/)МДсХ
дх 2 дх
+о(Д/) =
= (1 - 5Д/) X
дх 2 +о(Д/) =
= g(s,x) +
дх
+ 1 ~sg(s?x) + mt.
= Т(1 -D(c)),
<5х
и вьфажение для средней прибыли приобретает несколько иной вид:
S = (c + djx х[QoptD(c) + тх( 1 -D{c)) -CT.cpmi-D(c)))] -
—(^opt )Q-
Подставляя сюда явное вьфажение для бор(и максимизируя полученное вьфажение по с, можно найти и оптимальную цену продажи товара.
Плотность вероятностей длительности продажи партии товара. Найдем в диффузионном приближении плотность вероятностей р(т) длительности продажи партии товара объема Q.
Пусть продажи образуют стационарный случайный процесс. Обозначим
Um5»V Цт^г(«2-«12)+^12 =ст2
Т 0 ’ Т 0 '
Тогда диффузионное приближение для процесса х(1) имеет вид
^51^+СТ2_^(51Х)
дх 2 дх2 xAt + o(At).
Сокращая х), деля на Д/, и делая предельный переход М —>■ 0, получим, что х) удовлетворяет следу-
ющему дифференциальному уравнению в частных производных:
32£(5,х) 2т0 дg(s,x) 25
_ 2 ■ 2 я----------гЯ(^,х)=0, (12)
дх ст0 дх ст0 которое надо решить при граничном условии »(\. О) = 1 (таккакх(0 = О).
Характеристическое уравнение
имеет корни
0.
ст;
Ъ(з) = -Рт + Ч-Тт<ъ-
\ ^0 ^0 ^0 Общее решение уравнения (12) имеет вид
я(5,х) = С^е^* +С2(5)е22М" .
При этом возникает одна тонкость: при х ® -Г х)
имеет экспоненциально нарастающее слагаемое, что не
соответствует действительности. Поэтому следует считать ( \(Л) = 0 и писать решение в виде g(s,x) = Cl(s)eh(s)X .
Так как = 1, то
g(s,x) = ez^(■s)(■x-^\
Процесс продаж начинается в момент времени / = О со значения х = 0. Поэтому нас интересует лишь
^ Л (13)
= ехр
4q-q?\A
У сто V СТ0 °0 у
Для нахождения плотности вероятностейр{() длительности продаж / надо найти обратное преобразование Лапласа от £(5,0). Для этого представим его в виде
я(5,0) = е^ме=___
Че-ДвЯ]. (14)
ап V \1 2x5п
= ехр
p(t) =
Q
У1
ехр
т.
2 (
2ст0/
t~
Q
т.
о J
(15)
4/(5) = lng(s, 0 ) = ^tQ- Q.f^ + Ц
CT0 V CT0 СТ0
Отсюда
и поэтому
Ч/'(5) = -
тп 2s — н-------------
СГ0 С7П
-1/2
м{0 = -у(0) = — = -0—т.
(16)
Далее,
и поэтому
y"(s) =
25
-3/2
D{/} = V'(0) = ^e =
ml
тТ(а2 -а2) + а2та2
Q-т2
(17)
Рассмотрим случай, когда M{t}
■ = JQ
»i.
у/В{(} ^ тт(а2-а2) + о2а2
В этом случае в сомножителях /3 2 и / можно приближенно заменить I на \I\t\ и тогда приближенно
P(t) =
л/27ГСТ(
ехр
2ст
/-
Q
(18)
ще
a2=D{t} =
mT(a2 -а1 ) + стга1 a^ml
Q-т2
т. e. приближенно длительность продажи распределена по нормальному закону
t~N
( QT тт(а2-а2) + а2та^^т2л
а\тът
Пользуясь свойствами преобразования Лапласа [7] и формулой (204) [7], получим явный вид р(1):
Прежде чем выписывать приближенное выражение дляp(f), найдем .\/{/| и Д{/}. Имеем
Таким образом, найден оптимальный объем партии скоропортящегося товара, выставляемого на продажу, обеспечивающий получение максимальной прибыли. Получено уравнение для определения оптимальной розничной цены и найдена плотность вероятностей длительности продажи партии товара.
Библиографический список
1. Новицкая, Е. В. Оптимизация розничной продажи скоропортящейся продукции/Е. В. Новицкая, А. Ф. Терпугов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004.
2. Китаева, А. В. Оптимизация продажи скоропортящейся продукции/ А. В. Китаева, Е. В. Новицкая, А. Ф. Терпугов Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 95-105.
3. Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко М.: Наука. 1988.
4. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. М.: Физ-матгиз, 1963.
5. Гнеденко, Б. В. Введение в теорию массового обслу-живания/Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. М.: Наука. 1987.
6. Кокс, Д. Р. Теория восстановления / Д. Р. Кокс, В. А. Смит. М.: Сов. радио, 1967.
7. Диткин, В. А. Интегральное преобразование и операционное исчисление / В. А. Диткин, А. П. Прудников. М.: Наука, 1974.
N. V. Stepanova, A. F. Terpugov DETERMINATION OF OPTIMAL AMOUNT OF PERISHABLE GOODS
The optimal amount of perishable goods that gives the maximum of profit is estimated. Key words: perishable good, profit, amount of goods.
