Управление подъемной силой и углом скоростного крена регулированием положения центра масс при посадке летательного аппарата без шасси на подвижную платформу Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.78:351.814.3

В. А. Афанасьев, А. А. Балоев, А. С. Мещанов, Э. А. Туктаров

УПРАВЛЕНИЕ ПОДЪЕМНОЙ СИЛОЙ И УГЛОМ СКОРОСТНОГО КРЕНА РЕГУЛИРОВАНИЕМ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС ПРИ ПОСАДКЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА БЕЗ ШАССИ НА ПОДВИЖНУЮ ПЛАТФОРМУ

Ключевые слова: поперечные перемещения центра масс, центр давления, управляющие параметры, посадка летательного аппарата без шасси на подвижную платформу, ракетные двигатели, разгон и торможение, закон управления,

сопротивление атмосферы.

Представлены результаты теоретических исследований в управлении пространственным движением в атмосфере многоразовых космических беспилотных летательных аппаратов (МКБЛА) путем поперечного смещения центра масс. Выбрана структура закона управления и получены формулы для вычисления управляющих параметров. Решена задача посадки МКБЛА без шасси на подвижную платформу (ПП), определённым образом перемещающуюся по взлетно-посадочной полосе (ВПП). Получен закон управления включениями-выключениями ракетных двигателей (РД) ПП, с помощью которых осуществляется разгон и торможение ПП, чтобы в заданный момент на указанном расстоянии получить такую скорость движения ПП, с которой приземляющийся МКБЛА касается поверхности ПП. Отсутствие шасси увеличивает надёжность посадки и массу полезной нагрузки (ПН), снижается удельная стоимость доставки грузов на орбиту и возвращения их на Землю. Эта же ПП используется для разгона других ЛА при горизонтальном старте.

Keywords: transverse displacement of the center of mass, center ofpressure, the control parameters, the aircraft is landed without landing gear on the moving platform, rocket engines, the acceleration and deceleration control law, the resistance of the atmosphere.

The results of theoretical research in the control of spatial motion in the atmosphere from the space Shuttle unmanned aerial vehicles (SSUAV) by transverse displacement of the center of mass. The structure of the control law had been chosen and the formulas for calculating control parameters had been received. Solved the problem of landing SSUAV without chassis on a moving platform (MP), a certain way of moving on the runway (MP). The resulting control law inclusions-shutdowns of rocket engines (RE) MP, by means of which the acceleration and deceleration of MP to given point at a specified distance to obtain a speed of the movement of MP, which landing MKBL touches the surface of MP. The lack of chassis increases the reliability of the landing and the useful load (UL), decreases the cost of delivery to orbit and return them to the Earth. This MP is used for other acceleration A V in horizontal launch.

Введение

Современные технологии позволяют создавать беспилотные летательные аппараты (БЛА) и в том числе многоразовые космические БЛА (МКБЛА) с системой перемещения центра масс (ЦМ), с существенно меньшими габаритами и массой, чем другие рулевые органы. При этом система перемещения ЦМ обеспечивает как балансировочное равновесие на некотором угле атаки с образованием подъёмной силы, так и регулирование подъёмной силы по направлению за счёт перемещения центра масс (ЦМ) в поперечных направлениях относительно связанной системы координат.

Взлётно-посадочные шасси на самолётах всегда являлись источником повышенной опасности и причиной существенного снижения массы ПН. В полной мере это относится к посадочным шасси американских космических челноков (space shuttles) и отечественного челнока «Буран». Отсутствие шасси на возвращаемых космических аппаратах (ВКА) может существенно снизить стоимость доставки ПН на околоземную орбиту и возвращения грузов на Землю.

Поперечное перемещение ЦМ в сочетании с применением в продольном движении [1] посадки МКБЛА без шасси на ПП существенно повышает эффективность и многофункциональность применения данного типа МКБЛА (рис.1) в решении задач: доставки грузов на орбиту и на МКС; возвращения грузов на Землю; доставки грузов на астероиды с целью уста-

новки зондирующей аппаратуры или зарядов для их раздробления; установки спутников наблюдения-зондирования поверхности Земли; установки на различных орбитах (при соответствующих объемах головной части аппарата с полезной нагрузкой и тяги) спутников связи; вывода на орбиту и затем возвращения на Землю нескольких спутников связи; снятия с орбиты вышедших из строя спутников связи и установки новых спутников. Тяги причаливания, показанные на рис.1, применяются на этапе стыковки МКБЛА с МКС

!¥ р-т ?

^-с---

Рис. 1 - Многоразовый космический БЛА (МКБЛА)

Постановка задач

Задача 1. Найти закона управления перемещением ЦМ с помощью специального механизма в поперечном направлении так, чтобы установить заданный угол скоростного крена

у = ук , при нулевой угловой скорости ук = 0 и тем самым создать боковую составляющую аэродинамической силы, с помощью которой происходит полёт в боковом направлении.

Задача 2. Найти закон включения- выключения разгонных и тормозных РД 1111, который обеспечивает посадку ЛА на 1111.

Перемещение центра масс для управления МКБЛА - решение задачи 1

Начало связанной системы координат 0х1у1х1 расположено в ЦМ, ось ОХ1 проходит параллельно оси симметрии, ось оу1 перпендикулярна оси ОХ1 и расположена в вертикальной плоскости симметрии, ось 021 дополняет тройку осей до правой системы координат (рис.2).

Считая БЛА статически устойчивым: с т - с, < 0 , где Ст = хт /1, с, = х, /1, хт - расстояние от наконечника до ЦМ, х, - расстояние от наконечника

до центра давления (ЦД), I - длина корпуса БЛА, а угол атаки а, образующийся от поперечного смещения ЦМ от продольной оси симметрии вниз на расстоянии Ду, достаточно малым, Су = С^а,

величину балансировочного угла атаки а определим из равенства моментов от силы лобового сопротивления СхдБ и подъёмной силы СуцБ (Ц -

скоростной напор, в - площадь миделевого сечения) на соответствующих плечах Ду > 0 и Ст - с, < 0 по следующей формуле:

а = -Сх Ду /С (ст - с, >]. (1)

Рис. 2 - Балансировочное равновесие МКБЛА на угле атаки а при поперечном смещении ЦМ на величину Ду

1о рис. 2 нетрудно представить случай, когда балансировочное равновесие невозможно, поскольку обе составляющие аэродинамической силы образуют моменты сил одного направления. Такой случай возникает при большом запасе статической устойчивости |ст - с,| и малом поперечном

смещении ЦМ.

При поперечном смещении ЦМ на величину Дz вправо, как показано на рис.3, под действием момента от подъёмной силы У на этом плече возникает вращение БЛА вокруг продольной оси, проходящей

через ЦМ, происходит подобно маятнику до установления балансировочного равновесия по заданному углу скоростного крена ук, как показано на рис.4. Однако такой колебательный процесс может продолжаться недопустимо долго. Чтобы сократить время установления балансировочного равновесия по углам скоростного крена, перемещение ЦМ предлагается проводить по закону управления, структура которого показана на рис. 5.

Рис. 3 - Вращение подъёмной силой с угловой скоростью у

Рис. 4 - Балансировочное равновесие под углом скоростного крена Y

Рассматривается задача управления БЛА по углам крена для образования балансировочного равновесия на угле скоростного крена у, благодаря которому образуется боковая составляющая аэродинамической силы, с помощью которой происходит полёт в боковом направлении. Решение задачи управления пространственным полётом МКБЛА состоит в построении закона управления перемещением ЦМ с помощью специального механизма в поперечном направлении так, чтобы установить заданный угол скоростного крена у = ук , при нулевой угловой скорости ук = 0 . Это достигается поперечным смещением ЦМ на величину Дх сначала в одном в одном направлении, а после достижения момента переключения ^ в противоположном направлении (рис. 5).

Вверху на рис.5 показан закон изменения углового ускорения / в результате поперечного смещения ЦМ вправо на величину Дz, а после достижения момента переключения ^ ЦМ смещается на такую же величину влево. Зависимости изменения угловой скорости у показаны в середине рис. 5. Внизу на рис. 4 показано изменение угла Y от начального значения Уо=п до конечного балансировочного значения tgyk = Дх/Ду , которое при малом поперечном смещении Дх вычисляется из простого соотношения: ук « Дх / Ду .

уо

Г] г

а

/ а

г1 \ а г —►

Рис. 5 - Структура закона управления перемещением ЦМ

Модель вращения БЛА с учетом малости угла у на первой части разворота t е ) запишем в виде дифференциального уравнения второй степени:

у = -СуцБДху /1, (2)

где I - осевой момент инерции, а знак минус в правой части означает то, что момент силы У направлен в сторону уменьшения угла у. Уравнение

(2) решается с начальными условиями: у0 = п, у0 = 0 . При замене переменных у = £ (у):

= (У) = бу бу = б^бу = Ц ) с№ бу (И бу с№ бу уравнение (2) с новой переменной £ понижает свой порядок и становится уравнением первого порядка: ((£ СуцБ

Дху = 0,

бу I

решаемое с начальными условиями: у0 = п; у0 = £0 = 0. После разделения переменных и интегрирования в пределах от £0 до £ и от у0 до у получаем выражение для величины текущей угловой скорости у :

у = СуЯБДгП2 - у2]/1 (3)

К моменту переключения угловая скорость достигает значения:

!_1 = -д/СуЦБДхП2 - /12]/1 (4)

Интегрирование уравнения (3) даёт выражение для текущей величины угла у :

у = п cos(JСqsIrДt). (5)

В момент переключения угол скоростного крена принимает значение:

У1 = п соэ^ (СуЦв /1 ). (6)

Подстановка (6) в (4) даёт зависимость угловой скорости от времени t1 :

!_1 (СуЦБ /1)Дх (СуЦБ /1)Дzt1). (7)

На второй части разворота t е[t1, tk) угловое движение описывается таким же уравнением (2), но

со знаком плюс, означающим, что момент от подъёмной силы направлен на увеличение угла у :

б2у / а2 - (СуцБ /1)Дху = 0 . (8)

После введения новой переменной £ приходим к уравнению:

(б£/ бу)£ - (СуЦБ /1)Дху = 0

с начальными условиями (6) и £1:

£1 =п^ (СуЦБ /1 )Дх э1п^/(СуЦБ/Т)^ ). Разделение переменных £ и у и интегрирование соответствующего уравнения в пределах от £1 до £ и от у, до у даёт выражение для текущей угловой скорости:

у = (СуЦБ/1)Дх[у2 - п2 ^2^(СУЦБ/7)^)] . (9)

В конечный момент выражение для угловой скорости имеет вид:

__ У к = _

= (СуЦБ/1)Дх[у2 - п2 cos(2^(СУqБ/1)Дх^)] (10)

Из условия ук = 0 получаем формулу для вычисления момента переключения:

^ = (J(í/cyЦБдZjarccos(Yk/п )2)/ 2. (11)

Подстановка (10) в выражение (6) даёт формулу для определения угла скоростного крена в момент переключения:

У1 = пcos ((arccos(yk/„ )2)/2). (12) Подстановка (11) в выражение (7) даёт формулу для вычисления угловой скорости в момент переключения:

У1 = -п^ (СуЦБ /1 )Дх siп((arccos(yk / „ )2)/2). (13)

Из выражения (9) для текущей скорости угла скоростного крена у запишем уравнение с разделёнными переменными у и t:

бу^(СуЦБ//)Ах[у2 - п2Ш8(2л/(СуцБ7/)Лх^)] =

Интегрирование последнего уравнения с учётом (11) даёт выражение:

1п|/к /(К 1 )| = -д/(СуЦБ /1)Дх •

• - (^ / СуЦБДх) arccos (ук /п)2) /2)

где балансировочный угол скоростного крена равен ук и Дх / Ду, а угол у1 вычисляется по формуле (12).

Из последнего выражения при t = tk, получаем формулу для вычисления полного времени разворота:

tk =7(//СуцБДх){(arccos (ук/п)2)/2 -

П-2 , (14)

- 1п Ук /(к 1 +>/ /12 - /к2)} Таким образом, получили формулы для t1 (11), У1 (12), у1 (13), tk (14), вычисления по которым полностью определяют закон программного управления механизмом поперечного смещения ЦМ для получения заданного угла скоростного

крена ул, обеспечивающего пространственное маневрирование МКБЛА в атмосфере только за счёт перемещения ЦМ.

Представленные результаты по конструированию закона управления поперечным перемещением ЦМ для пространственного перемещения в атмосфере пригодны в проектировании перспективных МКБЛА, в том числе для разработки программного обеспечения бортовой системы управления, осуществляющей управление полётом МКБЛА в реальных условиях.

Пример. Пусть МКБЛА имеет осевой момент инерции I = 1кгм2 и площадь миделевого сечения 5 = 1 м2. Разворот проводится на угол скоростного крена ук = п - Дz / Ду при скоростном напоре q = 1000 Па. Пусть балансировочный угол атаки а = 5 выдерживается при вертикальном поперечном смещении ЦМ Ду = 0,1 м. Производная

коэффициента подъёмной силы равна Су = 2 рад-1. Определим закон управления поперечным смещением при его величине Дz = 0,05 м. Вычислим комплексы:

Посадка многоразового космического беспилотного летательного аппарата без шасси - решение задачи 2

Рассматривается посадка ЛА на ПП, перемещающуюся по ВПП с помощью ракетных двигателей (РД), создающих ускорение как для разгона, так и для торможения 1111. Задача состоит в построении закона включения- выключения разгонных и тормозных РД, который обеспечивает посадку ЛА на ПП (рис. 6). Предполагается, что МКБЛА обладает аэродинамическим качеством, достаточным для выполнения горизонтального приземления. Пусть в начальный момент ПП имеет нулевые значения скорости V и координаты перемещения х :

t = /0, V(¿0) = V = 0 , х(/о) = Х0 = 0, (15) В конечный, заданный момент времени состояние платформы должно определяться следующими параметрами движения:

t = tk, V (^) = V

) = хк

(16)

которые вычисляются из прогноза поведения ЛА, заходящего на посадку.

I

1- 57,3

СyqSДz \ 2 - 5 -1000 -1-0,05

= 0,3385 с.

СyqSДz

I

2-5 -1000 -1-0,05 -1

-!— = 2,954 с '.

1 - 57,3

Балансировочный угол скоростного крена: ук = п - 0,05/0,1=2,6416 или 151,4°. Момент переключения вычисляем по формуле (11):

t, = -10,3385 агоооэ!2^16) = 0,1329 с.

К этому моменту угол скоростного крена достигает значения:

= п cos

(1 (2,6416^

—агоооэ! —1-

2 I п

= 2,902 или 166,3.

Угловая скорость угла скоростного крена достигла значения:

у., = -п - 2,954 эт

(1 ( 2,6416 х2 А

—агоооз I-

2 I п

= -3,5519 с-

-1

или 205,3 °/с.

1

tk = 0,3385{-агоооэ

2,6416

- 1п

2 V п 2,6416

2,902 + ^2,9022 - 2,64162

} = 0,2820 с.

Таким образом, закон управления поперечным смещением ЦМ на 0,05 м, который определён управляющими параметрами (или t1) и ук (или tk) за 0,2820 с обеспечивает разворот МКБЛА по крену на угол Ду = п -151,4° = 28,6°.

Рис. 6 - Схема посадки ЛА на подвижную платформу: 1 - взлётно-посадочная полоса, 2 -ЛА, 3 - РД разгона, 4 - подвижная платформа, 5 - РД торможения

Закон управления ракетными двигателями имеет структуру, показанную на рис.7 и в работах [2, 3].

Рис. 7 - Закон двигателями

управления ракетными

В момент ^ включается РД с тягой Р, создающей разгонное ускорение. В момент ^ разгонный двигатель отключается. Оба РД не работают до момента ^, когда включается тормозной РД с той же величиной тяги Р, но

2

направленной в обратную движению сторону. Тормозной двигатель работает до заданного момента времени ^. Неизвестными в законе управления являются момент останова ^ разгонного двигателя и момент включения t2 тормозного двигателя. Требуется найти такие значения ^ и ^, чтобы получить заданные конечные параметры движения (16).

Уравнения горизонтального поступательного движения ПП под действием ракетных двигателей с учётом сопротивления атмосферы имеют вид:

V = +n - с S

р_ 2m

V2

X = V,

(17)

с начальными (15) и конечными (16) условиями, где V - скорость перемещения платформы; n = P / m, P - сила тяги ракетного двигателя, одинаковая при разгоне (знак плюс) и торможении (знак минус); n -ускорение, получаемое платформой под действием ракетного двигателя; x - расстояние, преодолеваемое платформой на ВПП; m - масса платформы, Сх -коэффициент силы лобового сопротивления, S -площадь поперечного сечения платформы, m - масса платформы, р = const - плотность атмосферы.

Решение задачи конструирования закона управления движением платформы получим на основе аналитических решений дифференциальных уравнений поступательного движения (17) с начальными условиями (15) последовательно на трёх промежутках: t е [t0, ), t е t2) и t e [t2, tk ]. При этом параметры движения в конце первого и второго промежутков принимаются в качестве начальных условий для уравнений движения соответственно на втором и третьем промежутках.

1. Первый промежуток - полуинтервал времени, t e [t0, t1). Разгон платформы описывается уравнением:

V = n - CxSpV2/2m,

(18)

с начальными условиями (15). После разделения переменных и введения обозначений приходим к уравнению:

dV /(a2 - V2) = xdt,

(19)

где а = ,]2тп /(Сх5р), х = Сх5р /(2т). Коэффициент х имеет смысл баллистического параметра, умноженного на величину плотности. Если движение 1111 происходит на уровне моря, то р = 1,225 кг/м3.

При нулевом начальном значении скорости ПП, V, = 0, интегрирование (19) в пределах от ^ до t е t1) даёт зависимость для текущей скорости разгона от времени:

V = a(e2^(i-io'- (iЛ'+1).

(20)

Используя выражение для гиперболического тангенса, получаем:

V = a th(>X(t - to)). (21)

В конце первого промежутка трёхсоставной траектории движения ПП скорость определяется по формуле:

V = а Ц,/ПХ(t1 - ^)] . (22)

Интегрируя второе уравнение системы (17) в пределах от ^ до t е [t0, t1) и от х0 до х с начальными условиями t = ^, x(t0) = х0, получаем зависимость текущей дальности разгона от времени:

х = х0 + a{lnоh[д/пх (t - ^)] }/Л/ПХ .

С учётом ранее введённых обозначений получаем следующее выражение:

х = Х0 +{поЬ^/Пх(t - ^)]}/ х . (23) Протяжённость участка разгона составляет:

X = Х0 + ¡nоh(^ - to)]}/ х. (24) 2. Второй промежуток - полуинтервал времени, t е t2), п = 0 . Движение без тяги двигателя описывается уравнением:

dV / dt = -xV2.

(25)

с начальными условиями V(^) = Ц (8-22) и х(^) = х1 (24). Интегрированием (25) получаем выражение для текущей скорости:

V = ц/(1 + V х Р -11)).

Подстановка (22) с учётом ах = ТПх даёт зависимость текущей скорости от времени:

V=Цтпх^ - ^/¡1+^ с - ^ -11)}. (26)

В конце второго полуинтервала получаем величину скорости:

V2 = а - to)]/ (27)

/ ¡1+ТПх ^^/Пх (t1 -10 )](t 2 - ^)}'

Интегрируем уравнение для расстояния: X = а th^/nX (t1 - to)]/ ¡1^л/пх Чтпх (t1 - ^ -11)}. В результате получаем зависимость текущей дальности от времени:

x = x1 + a In

1+vn^ th^/nx (ti - to )](t - ti) / vnx.

В конце второго промежутка пройденное ПП расстояние равно:

I+,

x2 = x1 + a In

1 + л/ПхЦл/ЯБ^ -^)](^2 -11)^д/пх.

Подстановка (10-24) даёт выражение для даль ности:

«упх (t1 - ^)/ х+

л/пх (t1 - t0 )](t2 - t11 / х.

3. Третий промежуток - отрезок времени, t е [t2, ^ ]. Торможение ПП описывается уравнением:

x2 = x0 + Inch

+ In

1 + ^fnx th

(28)

dV /dt = -n - CxSpV2/2m

(29)

с начальными условиями: V (¿2) = V2 (27), x(t2) = х2 (28). Разделение переменных с введёнными обозначениями приводит к уравнению:

(30)

бУ /(а2 + У2) = -рСИ .

Интегрирование в пределах от t2 до t и от У2 до

У даёт зависимость текущей скорости торможения от времени:

У = а tg[arctg(V2 / а)-^Х"^ -12)]. Подстановка (27) даёт новое выражение для скорости:

У = аtg{arctc[1/[сth[л/nX-^)]^Л/ПХ(t-^)}В

момент касания ЛА платформы скорость равна: Ук = а tg{arctg[1/[сth[VnX (t1 - tо)]+ фй ||

-т[ХХп (tk -12)}

где tk и Ук - заданные значения. Интегрируем уравнение для расстояния на третьем промежутке в пределах от t2 до t е tk] и от х2 до х :

х = -tо )]+т1гХ1-4Хпк-t2)}интегри-

рование последнего уравнения с учётом выражения для расстояния (28) даёт формулу для определения дальности в момент посадки ЛА на 1111:

Хк = Х0 +

• (^ -tоЖ -О^^йдо^^(t1 -tо))+ (31)

+№))-4пХ {к -12)] |}/х

Таким образом, при известных ^ и tk получили систему из двух нелинейных алгебраических уравнений (30) и (31) с двумя неизвестными t1 и t2, определяющими соответственно момент отключения разгонного двигателя и момент включения тормозного двигателя. Завершающее торможение платформы с установленным на ней ВКА описывается уравнением (29) с известными начальными условиями: tk, Ук, хк. Интегрирование (29) и приравнивание нулю конечной скорости при t = ts даёт выражение: arctg (Ук / а)- у/хп 1 (^ - tk ) = 0 ,из которого определяется момент остановки:

^ = tk + (arctg( Ук / а ))^Л/Х"7 , (32) где п1 - тормозящее ускорение платформы вместе с ЛА. Полное расстояние, пройденное платформой до и после посадки на неё ВКА, определяется по формуле:

xs = xk + a In

cos

arctg— -Jxn (ts - tk) a

Выводы

ijxni- (33)

Таким образом, получены два результата существенно повышающих эффективность применения предлагаемого МКБЛА, а также модулей-ступеней многоразовой космической транспортной системы [1, 5].

Во-первых, представлены результаты

исследований динамики пространственного движения БЛА при управлении полётом в атмосфере за счёт поперечного смещения ЦМ. Смещение ЦМ в

продольном и поперечном (в вертикальной плоскости симметрии) направлениях обеспечивает создание балансировочного угла атаки и регулирование его величины. Поперечное смещение ЦМ перпендикулярно вертикальной плоскости симметрии обеспечивает формирование балансировочного равновесия на угле скоростного крена, благодаря которому образуется боковая составляющая подъёмной аэродинамической силы, используемая для расширения маневренных характеристик МКБЛА при посадке на ПП. Полученный результат представляет несомненную пользу при отладке строгих программ математического моделирования динамики полёта, управления, стабилизации и идентификации БЛА и его систем, состоящих из большого числа дифференциальных уравнений [4].

Во-вторых, исследовано управление движением ПП с помощью РД при посадке на неё МКБЛА без шасси. Решение заключается в построении закона управления включениями и выключениями разгонного и тормозного РД, который обеспечивает подход платформы в указанную точку ВПП с заданной скоростью в назначенное время. Координаты терминальной точки движения платформы, включая время её достижения, определяются из прогноза текущих параметров снижения МКБЛА. Полученный закон управления движением платформы позволяет оценить основные проектные параметры платформы: силу тяги РД, диапазон регулирования силы тяги, запас топлива, а также определить протяжённость ВВП. Результаты пригодны в проектировании перспективных ЛА, включая МКБЛА без шасси. Отсутствие шасси повышает надёжность выполнения полётного задания, а также снижает удельную стоимость полезной нагрузки, выводимой на околоземную орбиту и возвращаемой на Землю. Полученные результаты представляют собой достаточно простое математической обеспечение для оперативного построения программных управлений при разработке алгоритма многошагового управления движением посадочной платформы с помощью ракетных двигателей при неопределённостях в реальном масштабе времени.

Публикация осуществлена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Татарстан в рамках научного проекта № 15-48-02040.

Литература

1. А. С. Мещанов, Э. А. Туктаров, С. О. Богданов, Р. Ф. Калимуллин, Вестник технологического университета, 20, 20, 84-90 (2017).

2. В. А. Афанасьев, Г. Л. Дегтярев, А. С. Мещанов, Т. К Сиразетдинов, Изв. вузов. Авиационная техника, 1, 7377 (2013).

3. Афанасьев В.А., Балоев А.А., Дегтярёв Г.Л., Мещанов А.С. Сб. трудов XIX Всероссийского семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов: Ч. I. Самара, 15-17 июня 2016 г. -Самара, АНО «Изд-во СНЦ», 2-6, (2017).

4. В. Б. Федоров, А. В. Козлов, Вестник ЮУрГУ, 33, 165169 (2012).

5. А. С. Мещанов, Э. А. Туктаров, Р. Ф. Калимуллин, Вестник технологического университета, 20, 20, 9497 (2017).

© В. А. Афанасьев, кандидат технических наук, доцент кафедры «Прикладная математика и ракетодинамика» филиа-ла Южно-Уральского научно-исследовательского университета в г. Миасс, Челябинская область, e-mail: [email protected]; А. А. Бало-ев, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры автоматики и управления Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева-КАИ, e-mail: [email protected]; А. С. Мещанов, кандидат технических наук, профессор кафедры автоматики и управления, старший научный сотрудник, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева - КАИ, [email protected]; Э. А. Туктаров, аспирант той же кафедры, [email protected].

© V. A. Afanasyev, Candidate of Science, assistant professor of the applied mathematics and rocket dynamics chair at the South Ural scientific research university, city of Miass, Chelyabinsk region, Russian Federation, e-mail: [email protected]; А. А. Baloev, Doctor of Science, professor, professor of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, city of Kazan, Russian Federation, e-mail: [email protected]; А. S. Meshchanov, candidate of engineering sciences, professor, Associate Professor of department of Automation and Control, senior research scientist, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, [email protected]; E. A. Tuktarov, post-graduate student of department of Automation and Control, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, [email protected].