CC BY
51
УДК 629.78:351.814.3
В. А. Афанасьев, А. А. Балоев, А. С. Мещанов
КОНСТРУИРОВАНИЕ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ ПО КРЕНУ ДЛЯ БЕСПИЛОТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА СО СМЕЩЁННЫМ ЦЕНТРОМ МАСС
Ключевые слова: беспилотный летательный аппарат, смещённый центр масс, вращение по крена, угловое ускорение, ускорение от подъёмной силы, закон управления, управляющие параметры
Рассмотрено построение закона управления угловым ускорением, создаваемым рулевыми ракетными двигателями, для беспилотного летательного аппарата (БЛА) со смещённым центром масс (ЦМ), который ориентирует подъёмную силу, образующуюся при балансировочном угле атаки, для выполнения пространственных движений в атмосфере. Сначала включаются ракетные двигатели, создающие разгонное угловое ускорение. По достижении искомой точки переключения управляющее ускорение отключается, и торможение до момента достижения заданного угла и нулевой угловой скорости происходит под действием аэродинамического момента. Закон управления определяется двумя управляющими параметрами: моментом переключения и конечным моментом разворота.
Keywords: unmanned flight vehicle, displaced center of mass, roll rotation, angular acceleration, lift acceleration,
control law, control parameters.
We consider how to construct a control law of angular acceleration made by control rocket engines for an unmanned flight vehicle (UFV) with the displaced center of mass. The law shows how to orient the lift that generates at the balance angle of attack to make space motions into atmosphere. At first the rocket engines are switched on that produce the angular acceleration. On reaching a desired switching point the control acceleration is switched out, and the deceleration until a moment, when the required angle and zero angular velocity are achieved, takes place by action of the aerodynamic moment. The control law is determined by two control parameters: switching point and final turn point.
Введение
Рассматривается беспилотный летательный аппарат (БЛА), у которого центр масс (ЦМ) смещён в поперечном направлении от продольной оси для образования балансировочного угла атаки. Аэродинамическая конфигурация БЛА имеет вид конусообразного тела вращения большого удлинения, обладающего большим аэродинамическим качеством и малым баллистическим параметром. После схода с околоземной орбиты БЛА совершает полёт в атмосфере с определённым полётным заданием. Требуется установить закон управления угловым ускорением по крену для ориентации поперечной перегрузки от подъёмной силы в заданном направлении, чтобы совершать необходимые пространственные движения в атмосфере.
Для выполнения разворота БЛА снабжён двумя парами ракетных рулевых двигателей малой тяги, установленных в кормовой части корпуса для образования управляющих ускорений вокруг продольной оси в обоих направлениях. При развороте БЛА по крену в атмосфере действует аэродинамическая сила, приложенная в центре давления, не совпадающем с ЦМ. Возникает аэродинамический момент, воздействие которого нельзя учитывать как возмущение, поскольку его величина может достигать больших значений. Даже при незначительных смещениях линии действия подъёмной силы относительно ЦМ могут возникать огромные угловые ускорения.
Как показано на рис.1, если смотреть навстречу БЛА, ракетные двигатели осуществляют разворот БЛА против часовой стрелки, а момент от подъёмной силы направлен по часовой стрелке и противодействует управляющему моменту. На рис.1 также показана связанная система координат
оху2,начало которой о помещено в геометрическом центре, совпадающем с несмещённым ЦМ. Ось ох направлена по продольной оси к наконечнику, ось оу расположена в вертикальной плоскости симметрии, ось 02 дополняет тройку осей до правой системы координат.
■ 4
Рис. 1 - Разворот БЛА на угол крена ф^ с помощью ракетных двигателей: 1 - сила тяжести; 2 -ракетные двигатели; 3 - сила тяги; 4 - подъёмная сила; 5 - ЦМ; 6 - смещаемый груз
Постановка задачи углового разворота
Угловое движение БЛА по углу крена описывается дифференциальным уравнением:
ф + Ю ф = +П , (1)
где ф - угол крена; коэффициент ю определяется выражением:
ю = ^С$ар¥2Бут /(2/),
3
3
z
6
2
Су - производная коэффициента подъёмной силы по углу атаки а; р - плотность атмосферы; V -скорость полёта; £ - площадь миделевого сечения; ут - расчётное смещение центра масс БЛА в плоскости оху ; I - осевой момент инерции; п - управляющее ускорение по крену, создаваемое ракетными двигателями, со знаком плюс при разгоне и со знаком минус при торможении, с начальными условиями:
*0 = о, ф (0) = Ф0 = 0, ф(0) = Ф0 = 0, (2) которые определяют исходное балансировочное равновесие по углу крена. Коэффициент ю считается величиной постоянной в силу кратковременности переходного процесса в угловом движении.
Задача состоит в построении закона управления угловым ускорением, обеспечивающем разворот БЛА на угол фк:
* = *к , Ф(*к) = Фк = 0, ф(*к) = Фк , (3)
за время ¿к, пока неизвестное.
Решение задачи управления разворотом
Решение задачи управления разворотом по углу крена проведём методом аналитического конструирования составной траектории из двух последовательных промежуточных траекторий разгона и торможения. Данный метод применён для конструирования закона управления полётом возвращаемых космических аппаратов на переходных траекториях в атмосфере [1].
1. Первый промежуток * е [*0, ). Осуществляется разгон под действием управляющего ускорения до некоторого угла крена ф1. Уравнение (1) принимает вид:
2
ф + ю ф = п . (4)
Уравнение (4) с помощью замены переменных р = ёф/ ё* приводится к виду:
dp 2 —p = -ю ф + n . dф
(5)
После разделения переменных интегрирование в уравнении (5) в пределах от ф0 = 0 до ф и от фо = 0 до ф получаем решение для текущей угловой скорости вращения по крену:
ф = -у/2пф - ю2ф2 . (6)
В момент ti получаем формулу для вычисления угловой скорости по окончания разгона:
ф 1 =д/2пф! -ю2ф2 . (7)
Интегрирование (6) в пределах от фо = 0 до ф и от to = 0 до t даёт формулу для определения текущего угла разворота по крену:
ф = -П2-[1 - cosю(( -10)]. (8)
ю
По окончании разгона получаем формулу: ф1 =-П2 [1- cos ю((1 -10 )].
2. Второй промежуток, * е [*1, *к). Осуществляется торможение без ракетных двигателей только за счёт воздействия ускорения от аэродинамического момента. Такое угловое движение описывается уравнением:
ф + ю2ф = 0. (10)
с начальными условиями (7) и (9).
Используя прежнюю замену переменных, интегрированием получаем выражение для текущей скорости торможения:
ф=7Ф 2-ю2 (Ф2-ф12). (Ц)
В конце разворота по крену имеем:
фк =д/ф2-ю2 (-ф2 ) = 0. (12)
Подстановка (7) в (12) даёт формулу для определения угла отключения ракетных двигателей:
ф1 =
2 2
ю ф^
2n
(13)
Подстановка (13) в (7) приводит к формуле для вычисления угловой скорости в момент *1 :
ср 1 =Юф к.
1 -
4 2 ю ф k
4n 2
(14)
Из (11) следует формула для определения момента отключения управляющего ускорения:
1
t1 =— arccos
ю
f
1 -
4 2 A
ю Фk 2n2
(15)
Уравнение (12) с учётом (13) и (14) принимает вид:
/2 2 ср = Юд/фк -ф . (16)
Интегрирование (16) в пределах от ф1 до ф и от ^
до * даёт зависимость:
ф • ф1 / \ агсБш^—т - агсБт^-г- = ю(( - ).
Ы |фк|
В конце разворота имеем соотношение:
• фк ф1 / \ агс81п^-г - агс81п^-г = ю((к - ^).
Ы |фк|
Примем положительным угол разворота по крену против часовой стрелки: фк > 0 . Тогда с учётом (13) получаем:
1
tk = t1 +— arccos
ю 2n
(17)
С учётом (15) получаем формулу для полного времени разворота:
1
tk =-
С
arccos
1 -
4 2 A
ю Фk 2n2
+ arccos
ю2Фk 2n
. (18)
Пусть разворот происходит до угла крена фк, который удерживается в балансировочном равновесии с помощью ракетных двигателей. Тогда из (4) при ф = 0 получаем:
фь =-
2 '
Подстановка (19) в (18) при фk = фь даёт:
со
n
ю
2 1 2,094 гь = —агссо8— =-
ю 2 ю
(20)
Формула (20) справедлива только при достаточно малых углах разворота. Именно при таком допущении получены аналитические решения дифференциальных уравнений углового движения.
Геометрическая интерпретация углового разворота БЛА по крену с помощью ракетных рулевых органов представлена на рис.2, 3 и 4.
ф
п
балансировочное равновесие
управление
без управления
Рис. 2 - Управления разгон-торможение по крену
?о г1 к г
Рис. 3 - Угловая скорость при развороте
Ф Фк
Ф1
(о (1 (к (
Рис. 4 - Траектория углового разворота Пример
Пусть БЛА с моментом инерции относительно продольной оси /х = 5 кгм2 совершает полёт с балансировочным углом атаки а = 0,0794 (4,547°), возникающим от расчётного поперечного смещения центра масс ЛА на величину ут = 0,01 м, когда скорость полёта на высоте 40 км составляет V = 7000 м/с. Плотность стандартной атмосферы на высоте 40 км равна р = 0,0040 кг/м3. £ = 0,126 м2. Эффективность рулевых ракетных двигателей в канале крена
определяется величиной углового ускорения п = 1 с-2. Конечные условия:
фк = 20°(0,3491); фк = 0. Вычислим значение коэффициента:
2• 0,0794-0,0040-70002 • 0,126-0,01
' 2-5
= 1,980 с-1.
По формуле (19) получаем величину балансировочного угла крена:
фь =
1
ю2 1,9802
= 0,2551 или 14,615°.
Получили значение фь , которое вполне вписывается в принятое допущение.
По формуле (20) определяем время установления балансировочного равновесия:
гь =
21
-атссов— = 1,0578 с.
1,980 2
По формуле (15) вычислим момент времени г1:
г1 =
1
1,980
-атссоБ
1 -
1,98040,34912 ^
2 • 12
= 0,7612 с.
Вычислим полное время разворота по крену по формуле (18):
1 19802 • 0 3491
гк = 0,7612 +-агссо^-'-= 1,1739 с.
к 1,980 2 • 1
По формуле (14) вычисляем значение максимальной угловой скорости:
ф1 = 1,980 • 0,3491 1 -
1,98040,34912
2 • 1
2
= 0,1741 с-1
или 9,976°/с.
По формуле (13) определяем величину угла разворота, при котором происходит переключение управления с разгона на торможение:
ф1 =
1,9802 • 0,34912
2 • 1
= 0,2389 или 13,687°.
Первым управляющим параметром в структуре закона управления является любой из параметров углового движения в момент отключения рулевых ракетных двигателей: г1, ф 1 или ф1. Второй управляющий параметр в момент ?к имеет только теоретическое значение, поскольку на практике окончание разворота устанавливается либо по достижении заданного угла фк, либо нулевой конечной угловой скорости фк = 0 .
Заключение
Таким образом, построен закон управления разворотом по крену для беспилотного летательного аппарата со смещённым в поперечном направлении центром масс. Закон управления устанавливается двумя управляющими параметрами: моментом отключения управляющего углового ускорения, создаваемого рулевыми ракетным двигателями, и моментом достижения заданного угла разворота с нулевой угловой скоростью. Полученный закон управления является программным и формирует требуемый разворот только в модельных условиях, когда
со =
п
г
г
г
г
о
1
математическая модель ограничивается приближённым уравнениям углового движения второй степени и внешние и параметрические возмущения отсутствуют. На практике программная траектория, соответствующая программному закону управления, используется для синтеза управления по обратной связи и является основой для разработки алгоритма стабилизации. Результаты пригодны на начальных этапах проектирования перспективных БЛА, а также для разработки ботовых алгоритмов управления и стабилизации.
Публикация осуществлена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Татарстан в рамках научного проекта №15-48-02040.
Литература
1. В.А Афанасьев, А. А Балоев, А.С. Мещанов, Р.Т. Сиразетдинов. Управление возвращаемым космическим аппаратом на переходных траекториях в атмосфере. В сб. Труды XVII Всероссийского семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов: Часть I . Самара, 18-20 июня 2014 г. - Самара, Изд-во СНЦ РАН, 2014. С.18-21.
© В. А. Афанасьев - канд. техн. наук, Прикладная математика и ракетодинамика» филиала Южно-Уральского научно-исследовательского университета в г. Миасс, Челябинская область. ava46@mail.ru; А. А. Балоев - д-р техн. наук, проф. каф. автоматики и управления КНИТУ им. А.Н. Туполева-КАИ, a.baloev@mail.ru; А. С. Мещанов - канд. техн. наук, ст. науч. сотр., доц. каф. автоматики и управления КНИТУ им. А.Н. Туполева-КАИ, mas41@list.ru
© V. A. Afanasyev, Candidate of Science, assistant professor of the applied mathematics and rocket dynamics chair at the South Ural scientific research university, city of Miass, Chelyabinsk region, Russian Federation. ava46@mail.ru; A. A. Baloev, Doctor of Science, professor, professor of the automatics and control chair at the KNRTU after A.N. Tupolev-KAI, a.baloev@mail.ru; A. S. Meshchanov, Candidate of Science, senior staff scientist, assistant professor of the automatics and control chair at the KNRTU after A.N. Tupolev-KAI, mas41@list.ru.
