Управление перемещением центра масс беспилотного летательного аппарата за назначенное время Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.78:351.814.3

В. А. Афанасьев, Г. Л. Дегтярёв, А. С. Мещанов

УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ ЦЕНТРА МАСС БЕСПИЛОТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ЗА НАЗНАЧЕННОЕ ВРЕМЯ

Ключевые слова: беспилотный летательный аппарат, поперечное смещение центр масс, угловое ускорение, угол скоростного крена, разворот за назначенное время, закон управления, структура закона управления, управляющие параметры.

Представлены результаты исследований в конструировании закона управления угловым ускорением беспилотного летательного аппарата (БЛА), создаваемым поперечным смещением центра масс (ЦМ), при развороте на заданный угол скоростного крена за назначенное время. Выбрана структура закона управления, состоящая из трёх типовых промежутков: угловое движение при крайнем поперечном смещении ЦМ, вращение без углового ускорения и угловое движение при противоположном крайнем поперечном смещении ЦМ. Получены формулы для вычисления значений управляющих параметров, из которых вычисление момента времени начала углового движения без ускорения проводится по трансцендентной формуле одним из приближённых методов. Значения остальных параметров углового разворота, в том числе управляющих, вычисляются по простым формулам.

Keywords: unmanned flight vehicle, transversal displacement of center of mass, angular acceleration, angle of velocity bank, pivoting

in fixed time, control law, structure of control law, control parameters.

We present the results of researches in construction of a control law by the angular acceleration of an unmanned flight vehicle (UFV), produced by the transversal displacement of the center of mass (CM) during pivoting on a designated angle of the velocity bank in a fixed time. A structure of the control law is selected that has three typical intervals: angular motion at the CM absolute transversal displacement, rotation without angular acceleration and angular motion when the CM is in the opposite absolute displacement. Formulas are derived to calculate values of the control parameters from which calculation of a time moment of the begging of the angular motion without acceleration is implemented by means of a transcendental formula by using one of approximate methods. Values of the remainder parameters of the angular pivoting, including control ones, calculated by means of simple formulas.

Введение

Один из перспективных методов управления беспилотными летательными аппаратами (БЛА) состоит в поперечном смещении центра масс (ЦМ) от продольной оси БЛА. Например, структура закона управления ЦМ при развороте БЛА в новое балансировочное равновесие представляет собой два последовательных смещения ЦМ в поперечном направлении. При первом смещении БЛА приобретает вращательное ускорение в одном направлении и выполняет разворот до некоторого момента, называемого переключением, после которого ЦМ смещается в другое крайнее положение. При втором смещении БЛА получает тормозное угловое ускорение, в результате которого разворот заканчивается в момент достижения заданного угла скоростного крена с нулевой угловой скоростью. Построение закона управления состоит в определении значений двух управляющих параметров: момента переключения и момента завершения разворота.

Постановка задачи

Предполагается, что БЛА находится в балансировочном равновесии на угле атаки , как показано на рис.1.

Предлагаемый закон управления вместе с рассмотренными в работах [1,2,3] образуют комплект типовых законов управления, с помощью которых можно формировать разнообразные и сложные траектории разворота БЛА по углам скоростного крена.

В данной работе рассматривается построение закона управления поперечным смещением ЦМ при выполнении разворота на угол скоростного крена за назначенное время.

Рис. 1 - Балансировочное равновесие на угле атаки а

Центр давления (ЦД), в котором приложена полная аэродинамическая сила с составляющими X (лобовое сопротивление) и У (подъёмная сила), расположен на продольной оси, в то время как ЦМ имеет продольное смещение ст - с^ < 0, благодаря которому обеспечивается статическая устойчивость, и поперечное смещение Ду > 0 в вертикальной плоскости симметрии, благодаря которому образуется балансировочный угол атаки а и полная аэродинамическая сила. На рис.1 приняты обозначения: ст = хт /1, с^ = хй /1, хт - расстояние от наконечника до ЦМ, х^ - расстояние от наконечника до

ЦД; I - длина корпуса БЛА, а угол атаки а, образующийся от поперечного смещения ЦМ от продольной оси симметрии вниз на расстоянии у ,

достаточно малым. Cy = C^a, величину балансировочного угла атаки а определим из равенства моментов от силы лобового сопротивления

X = CxqS и подъёмной силы Y = CyqS , где q -

скоростной напор, S - площадь миделевого сечения, на соответствующих плечах Ay > 0 и ст - сd < 0 по следующей формуле:

a = -_£xA^. (1)

Cy (с'т - cd У

Из рис.1 видно, чтобы иметь устойчивое балансировочное равновесие по углу атаки, величина |ст - Cd | должна быть достаточно малой, а величина

|Ay| достаточно большой, иначе моменты от составляющих сил X и Y на соответствующих плечах относительно ЦМ будут иметь одинаковое направление и балансировочное равновесие окажется невозможным.

В начальный момент t = t0 угловая ориентация БЛА определяется следующими параметрами:

t = to, yOö) = У о = 0, гОо) = у 0 =п . (1) Требуется построить такой закон управления угловым ускорением y(t), чтобы к заданному моменту времени t = tk получить заданный угол скоростного крена при нулевой угловой скорости: t = tk , y(tk) = Уk = 0, y(tk) = Уk = arctg(Az / Ay), (2) где Az - боковое поперечное смещение ЦМ.

Математическая модель

Модель вращения БЛА с учетом малости угла У запишем в виде дифференциального уравнения второй степени:

у = ±CyqSAzy /1, (3)

где I - осевой момент инерции. Знак минус в правой части означает то, что момент силы Y направлен на уменьшение угла у , знак плюс означает, что момент силы Y направлен на увеличение угла у .

Другим допущением при использовании математической модели (3) является скоротечность выполнения разворота по углу скоростного крена, благодаря которому все величины в правой части (3), за исключением у , считаются постоянными.

При поперечном смещении ЦМ на величину Az вправо, как показано на рис.2, под действием момента от подъёмной силы Y на этом плече возни кает вращение БЛА вокруг продольной оси, проходящей через ЦМ, происходит подобно маятнику до установления балансировочного равновесия по заданному углу скоростного крена yk, как показано на рис.3. Однако такой колебательный процесс может продолжаться недопустимо долго. Чтобы сократить время установления балансировочного равновесия по углам скоростного крена, перемещение ЦМ предлагается проводить по закону управления, структура которого показана на рис.4.

Рис. 2 - Вращение БЛА подъёмной силой с угловой скоростью у

Рис. 3 - Балансировочное равновесие на угле скоростного крена у

Как видно из рис.4, структура закона управления у (t) состоит из трёх временных промежутков, каждому из которых соответствует своя типовая траектория углового движения. На первом промежутке t е [t0, ti) ЦМ смещён вправо, что образует момент от подъёмной силы на плече Az и соответствующее угловое ускорение у , направленное на вращение корпуса БЛА по часовой стрелке, если смотреть со стороны днища. В момент времени ti ЦМ возвращается в исходное положение, т.е. перемещается на продольную ось. Момент силы исчезает и угловое вращение продолжается с постоянной угловой скоростью у = const, t е [ti, t2). В момент времени t2 t е [t2, tk ] ЦМ опять смещается, но уже в противоположном поперечном направлении, в результате чего образуется угловое ускорение противоположного направления, которое уменьшает угловую скорость до нуля уk к моменту достижения заданного угла скоростного крена уk.

Величина Az считается положительной и одинаковой при смещении ЦМ в одном из двух возможных направлений. Нужное направление смещения ЦМ при развороте определяется соответствующим знаком в уравнении (3).

Yo

y = -

CyqSAz I

"У,

(4)

Yk

Рис. 4 - Структура закона управления угловым ускорением за назначенное время за счёт смещения ЦМ (верхний график)

На среднем графике рис.4 показано изменение угловой скорости. Траектория изменения угла скоростного крена показана на нижнем графике рис.4.

Решение задачи

Построение закона управления заключается в последовательном нахождении аналитических решений дифференциальных уравнений, описывающих каждую из трёх типовых траекторий, составляющих общую траекторию углового движения. При этом параметры в конце одной типовой траектории принимаются за начальные условия дифференциальных уравнений движения на последующей типовой траектории. В результате приходим к нелинейным алгебраическим уравнениям, связывающим между собой параметры углового движения, управляющие параметры закона управления, а также проектные параметры перспективного БЛА. При удачном выборе структуры закона управления и назначении управляющих параметров система алгебраических уравнений становится совместной и её решение одним из приближённых методом позволяет определить значения управляющих параметров и сформировать общую составную траекторию углового разворота. В некоторых случаях решение задачи управления доводится до простых вычислительных формул.

Первая типовая траектория. На промежутке t е[/о, ^) угловое движение БЛА под действием ускорения, создаваемого отклонением ЦМ вправо, как показано на рис.2, описывается уравнением (3) со знаком минус:

которому соответствуют начальные условия (1). Уравнение (4) решается с помощью замены переменной у = L(y), в результате которой

у=dii)=dy di=dL dL=

dt dy dt dy dt dy приходим к уравнению первой степени:

dLL+ A2 y = 0,

dy

2 CyqSAz

где A =-1-= const, которому соответствуют

начальные условия: y0 = л ; y0 = Lo = 0. После разделения переменных и интегрирования в пределах от Lo до L и от yo до y получаем выражение для величины текущей угловой скорости y :

y = - Ад/л

2 y2

(5)

В момент когда ЦМ возвращается в исходное положение на продольной оси, величина угловой скорости равна:

yi =

2 у2 .

(6)

Интегрирование уравнения (5), в котором y = dy /dt, в пределах от y o до y и от to = 0 до t даёт выражение:

y y o

arcsin— - arcsin—- = -At.

л л

Учитывая начальное условие yo = л, получаем выражение для текущего угла скоростного крена:

У = л cos At. (7)

В момент tj величина угла скоростного крена определяется выражением:

yj =л cos Atj. (8)

Подстановка (8) в (6) определяет связь между величинами tj и yj:

y! = -лA sin At! (9)

Получили два алгебраических уравнения (7) и (9) с тремя неизвестными tj, yj, yj.

2. Вторая типовая траектория. На втором типовом промежутке t e[tj; t2) угловое ускорение отсутствует и движение описывается уравнением:

y=o, (Ю)

с начальными условиями: t = tj, yj = л cos Atj, y1 = -лA sin Atj. Из (Ш) следует постоянная угловая скорость:

y = const = yj =-лA sinAtj. (П) Интегрирование уравнения (jj) даёт выражение для текущего угла скоростного крена на второй типовой траектории:

y = yj -лAsinAtj(t-tj). (U)

В момент времени t2 получаем значение угла скоростного крена:

y2 =Ут -лA sin Atj(t2 - tj).

j59

Подстановка (8) даёт выражение:

у 2 = rc[cos At1 - A sin At1 (t2 -11)]. (13)

Получили ещё два алгебраических уравнения (11) и (13) с двумя неизвестными: t2 , у2. Величина у2 не входит в число неизвестных, поскольку у2 = у1

3. Третья типовая траектория. Угловое движение на третьей типовой траектории, t е [t2;t¿ ], проходит под действием ускорения, создаваемым перемещением ЦМ от продольной оси в направлении, противоположном тому, в котором ЦМ был перемещён на первой типовой траектории, и описывается уравнением:

У = CygSAzy , (14)

где знак плюс в правой части означает, что момент от подъёмной силы направлен на увеличение угла скоростного крена, с начальными условиями (11) и (13). Используя такую же замену переменных, как и для уравнения на первой типовой траектории, интегрированием в пределах от у2 до у и от у2 до у получаем выражение:

у2 = л2А2 sin2 At1 + A2 у2 - л2А2 sin2 Atj(t2 -11)2 , из которого получаем выражение для текущей угловой скорости:

у = -Ад/ у 2 + л 2 sin2 At11 - А 2 (t 2 -11 )2 ,(15)

где знак минус выбран из физических соображений. В конце разворота получаем алгебраическое уравнение:

Уk = -W У2 + л2 sin2 Ati[l - A2 (t2 - ti)2

= 0.

из которого шеш соотношение:

у 2 + л 2 sin2 At1 1 - A 2 (t2 -t1 )2 = 0. (16) Интегрируем уравнение (15) в пределах от у2 до у и от t2 до t:

d-t =- A¡ у 2 + л 2 sin2 At1 [1 - A 2 (t 2 -11 )2 Получаем выражение:

ln

У^У2 + л2 sin2 At1

1 - A2 (t2 -11)2

1 - A2 (t2 -11)2 В конечный момент разворота имеем:

У 2 +Vt2 + л2 sin2 At1

= -A(t -12) .

ln

tk +Vt2 +^2sin2 At1

1 - A2 (t2 -11)2

У 2 + >/У2 +^2sin2 At1

1 - A2(t2 -11)2

= -A(tk -12).

С учётом (16) последнее выражение упрощается:

ln-

У k

= -A(tk -12).

.^ -2,- (17)

у2 ^у2-ук

Получили ещё одно алгебраическое уравнение (17) с двумя неизвестными у2, t2. Всего имеем пять уравнений (7), (9), (11), (13), (17) с пятью неизвестными: у1, у!, t2 , у2. Полученная система нелинейных алгебраических уравнений достаточно

просто решается в бортовом компьютере по алгоритму, описанному ниже.

Решение системы нелинейных уравнений

Из уравнения (13) выразим разность t2 -

л cos At1 - у2

t2 -11 =-1——,

ni sin Л t1

которую подставим в уравнение (16) и после преобразований получим:

л2 cos 2At1 - 2у2л cos At1 + у2 - у2 = 0 (18) Провели декомпозицию системы из пяти уравнений на две подсистемы: подсистема (8), (9) и подсистема (11), (13), (17), из которых вторая подсистема не зависит от первой. Поэтому сначала решим вторую систему, а затем первую. Вторая подсистема состоит из следующих трёх уравнений:

у 2 = л [cos At1 - A sin At1 (t 2 -11)];

ln

У k

У 2 +

i

У 2

■У 2

= -A(tk -12);

(19)

л2 cos 2At1 - 2у2л cos At1 + у^ - у2 = 0,

с тремя неизвестными: t1, t2 , у2 . Из второго уравнения системы (19) выразим время t2 : 1, У k

t2 = tk + — ln

A У 2 +Л 2-У 2

(20)

которое подстави в первое уравнение систе

(19):

Г Л

nA sin At

1 ,

tk + — ln

У k

A У2 + д/у2-У2

-1

= л cos At1 -у 2. (21)

Уравнение (20) вместе с третьим уравнением системы (19) образуют систему из двух уравнений с двумя неизвестными ti и у 2.

Третье уравнение системы (19) является квадратным уравнением относительно у2. Его решение имеет вид:

у 2 = л cos At1 2 sin2 At1 +у2 . 22)

Выражение (22) подставим в (20). После несложных преобразований получаем трансцендентное уравнение относительно времени t1 :

B(t1) ,

t1 = tk ±-

(23)

+ iln

У k

A +

л [cos At1 ± sin At1B(t1) + ^ 1 ± sin 2 At1B(t1) ] где B(t1) = .

1 + -

У 2

л2 sin2 At1

t1 — першй управ-

лшщий паршетр в конструируемом законе управления (рис.4). Величины ^, у к известны по условию задачи.

Уравнение (23) решается одним из приближённых методов. Надёжная сходимость к решению с

приемлемой точностью при использовании итерационных методов обеспечивается хорошим выбором начального приближения благодаря прозрачному физическому смыслу управляющих параметров.

После определения времени ^ по формуле (22) определяем значение угла скоростного крена у2. Затем по формуле (20) определяем время 12 . После этого по формулам (8) и (9) вычисляем значения у! и у!. Конструирование закона программного управления завершается нахождением значений моментов времени ^ и 12 или углов скоростного крена у! и у2 . Необходимая величина наибольшего поперечного смещения ЦМ Дz определяется в результате последовательных расчётов по приведённой методике.

Заключение

Таким образом, в статье представлены результаты исследований динамики углового движения БЛА, управляемого в атмосфере за счёт перемещения ЦМ. Представлена методика конструирования закона программного управления разворотами БЛА на заданные углы скоростного крена за назначенное время. Структура закона управления угловым поперечным ускорением, создаваемым при поперечном смещении ЦМ представляет собой два промежутка углового движения с противоположными по направлению угловыми ускорениями, разделённые промежутком с нулевым поперечным смещением ЦМ, когда он находится в нейтральном положении на продольной оси. Управляющими параметрами закона управления являются параметры углового движения в двух точках: первая точка - это момент окончания разгонного вращения по углу скоростного крена, вторая точка - это момент начала тормозного вращения, продолжающегося до заданного угла скоростного крена в течение заданного времени при нулевой конечной угловой скорости.

Получены формулы для вычисления численных значений управляющих параметров (время, угловая скорость, угол скоростного крена). Вычисления начинаются приближённым методом для момента времени окончания разгонного ускорения по транс-

цендентной формуле (23). После этого остальные параметры углового движения в первой и второй характерных точках структуры закона управления вычисляются по простым формулам.

Результаты пригодны для получения оценок проектных параметров перспективных БЛА на начальных этапах проектирования, а также в качестве надёжных начальных приближений при формировании строгих программных законов управления и соответствующих траекторий изменения углов скоростного крена по строгим математическим моделям углового движения в атмосферных условиях, максимально приближённых к реальным. Законы программного управления по углу скоростного крена составляют основу для разработки бортовых алгоритмов управления, стабилизации, идентификации по обратной связи.

Отметим, что при выполнении разворота по углу скоростного крена ЦМ смещается на одинаковую предельную величину как в одном, так и противоположном направлениях.

Публикация осуществлена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Татарстан в рамках научного проекта № 15-48-02101.

Литература

1. Афанасьев В.А., Балоев А.А., Мещанов А.С. Конструирование закона управления по крену для беспилотного летательного аппарата со смещённым центром масс. Вестник технологического университета. Том 18, № 12, 2015. С.155-158.

2. В.А. Афанасьев, Г.Л. Дегтярев, А.С. Мещанов. Управление по крену летательным аппаратом с регулируемым центром масс. «Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транспорта и энергетики» (АНТЭ-2015). VIII Международная научно-техническая конференция, 19-21 октября 2015 г.: Материалы конференции. Сборник докладов. Казань: Изд-во «Бриг», 2015. -С.388-397.

3. В.А. Афанасьев, В.И. Киселёв Управление возвращаемым космическим аппаратом с регулируемым центром масс. Наука ЮУрГУ. Секции социально-гуманитарных наук [Электронный ресурс]: материалы 67-й науч. конф. проф.-препод. состава, аспирантов и сотрудников / отв. за вып. С.Д. Ваулин; ЮУрГУ, Челябинск, 2015. С.1661-1669.

© В. А. Афанасьев, канд. техн. наук, доц. каф. прикладной математики и ракетодинамики филиала Южно-Уральского научно-исследовательского ун-та в г. Миасс, Челябинская область, ava46@mail.ru; Г. Л. Дегтярев, д-р техн. наук, проф., зав. каф. автоматики и управления КНИТУ им. А.Н. Туполева-КАИ, lugovaja.au@yandex.ru; А. С. Мещанов, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., доц. той же кафедры, mas41@list.ru.

© V. A. Afanasyev, Candidate of Science, assistant professor of the applied mathematics and rocket dynamics chair at the South Ural scientific research university, city of Miass, Chelyabinsk region, ava46@mail.ru; G. L. Degtyarev, Doctor of Science, professor, manager of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, lugova-ja.au@yandex.ru; A. S. Meshchanov, Candidate of Science, senior staff scientist, assistant professor of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, mas41 @list.ru.