CC BY
24
УДК 629.78:351.814.3
В. А. Афанасьев, Г. Л. Дегтярев, А. С. Мещанов, Т. К. Сиразетдинов
ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ПОСАДКА КОСМИЧЕСКОЙ ТРАНСПОРТНОЙ СИСТЕМЫ БЕЗ ШАССИ
Ключевые слова: космическая транспортная система, посадка без шасси, подвижная платформа, ракетные двигатели, разгон и торможение, закон управления, управляющие параметры, сопротивление атмосферы.
Рассмотрена задача посадки космической транспортной системы (КТС) без шасси на подвижную платформу (ПП), по определённому закону перемещающуюся по ВПП. Получен закон управления включениями-выключениями ракетных двигателей (РД), с помощью которых осуществляется разгон и торможение ПП, чтобы в заданный момент на указанном расстоянии получить такую скорость движения ПП, с которой приземляющаяся КТС касается поверхности ПП. Отсутствие шасси усиливает надёжность посадки, увеличивает массу полезной нагрузки и снижает удельную стоимость доставки грузов на орбиту и возвращения их на Землю. Эта же ПП используется для разгона КТС при горизонтальном старте.
Keywords: space transportation system, landing without undercarriage, moving platform, rocket engines, acceleration and deceleration, controlling law, control parameters, atmospheric drag.
We consider a problem how to land a space transportation system (STS) without the undercarriage on a moving platform (MP) that moves along the runway by using a control law. The control law has been developed to switch on and switch off rocket engines (RE) by means of which acceleration and deceleration of MP is performed in order to obtain such the MP movement velocity in a specified moment at the pointed distance, with which the landing STS touches with the MP surface. Absence of the undercarriage increases reliability of the landing, extends mass of payload and decreases a specific cost of load delivery in orbit and its return on the Earth. This MP could be used to accelerate STS for the horizontal start.
Введение
Взлётно-посадочное шасси на самолётах всегда являлись источником повышенной опасности и причиной существенного снижения массы полезной нагрузки. В полной мере это относится к посадочным шасси американских космических челноков (space shuttles) и отечественного челнока «Буран». Отсутствие шасси на космической транспортной системе (КТС) может существенно снизить стоимость доставки полезной нагрузки на околоземную орбиту и возвращения грузов на Землю. Для этого по взлётно-посадочной полосе (ВПП) пускают подвижную платформу (IIII), которая в определённый момент в заданной точке ВПП имеет скорость. совпадающую со скоростью приземляющейся КТС. которая совершает посадку на ПП без шасси. Эта же ПП используется для разгона КТС при горизонтальном старте. что существенно увеличивает полезную нагрузку самолётов и КТС и значительно снижает её удельную стоимость.
Постановка задачи
Рассмотрим посадку КТС на ПП. перемещающуюся по ВПП с помощью ракетных двигателей (РД). создающих ускорение как для разгона. так и торможения ПП. Задача состоит в построении закона включения и выключения разгонных и тормозных РД. который обеспечивает посадку КТС на ПП. Предполагается. что КТС обладает аэродинамическим качеством. достаточным для выполнения горизонтального приземления.
Пусть в начальный момент ПП имеет нулевые значения скорости V и координаты перемещения х:
t = to. V(to) = Vo = 0. x(to) = хо = 0. (1)
В конечный, заданный момент времени состояние платформы должно определяться следующими параметрами движения: ^ = tk , V^) = Vk, х^к) = xk , (2)
которые вычисляются из прогноза поведения КТС, заходящего на посадку.
Закон управления ракетными двигателями имеет структуру, показанную на рис.1 [1].
P
-P
Рис. 1
лями
Закон управления ракетными двигате-
В момент to включается РД с тягой Р , создающей разгонное ускорение. В момент ^ разгонный двигатель отключается. Оба РД не работают до момента t2 , когда включается тормозной РД с той же величиной тяги Р , но направленной в обратную движению сторону. Тормозной двигатель работает до заданного момента времени tk . Неизвестными в законе управления являются момент останова ^ разгонного двигателя и момент включения t2 тормозного двигателя. Требуется найти такие значения ^ и t2, чтобы получить заданные конечные параметры движения (2).
1. Простейшая задача управления движением платформы
В простейшей задаче управления движением ПП учитывается только действие сил тяги ракетных двигателей и не учитывается сопротивление атмосферы. Уравнения движения имеют вид [2]:
V = +n, x = V, (3)
где V - скорость перемещения платформы; n = P / m, P - сила тяги, одинаковая для обоих ракетных двигателей; x - расстояние, преодолеваемое платформой на ВПП; m - масса платформы, n -ускорение, получаемое платформой под действием разгонного двигателя (знак плюс) или тормозного двигателя (знак минус). Решение задачи конструирования закона управления движением платформы получим на основе аналитических решений дифференциальных уравнений поступательного движения (3) с начальными условиями (1) последовательно на трёх промежутках: t е [t0, ti), t е [ti, t2) и t e [t2, tk]. При этом параметры движения в конце первого и второго промежутков принимаются в качестве начальных условий для уравнений движения соответственно на втором и третьем промежутках.
1. Первый промежуток - полуинтервал, t е [to, ti). На нём происходит разгон, описываемый
уравнениями V = n , x = V , с начальными условиями (1). Последовательное интегрирование уравнений даёт выражения для текущих величин скорости и дальности при разгоне на первом полуинтервале:
V = Vo + n(( - to),
x = xo + Vo ((- to) + -П ((- to )2.
В конце первого полуинтервала величины скорости и расстояния определяются следующими выражениями:
Vi = Vo + n((i - to),
xi = xo + Vo ( - to) + 2 ((i - to )2. (4)
2. Второй промежуток - полуинтервал, t e [ti, t2). Здесь движение платформы осуществляется с выключенными РД, которое описывается уравнениями V = o , x = V , с начальными условиями (4). Интегрирование даёт следующие выражения для скорости и расстояния:
V = const = Vo + n((i - to),
x = xi + Vo (( - ti) + n((i - to ) - ti ). В конце второго промежутка составной траектории движения ПП величины скорости и расстояния определяются выражениями:
V2 = Vo + n((i - to ),
x2 = xi + Vo ((2 - ti ) + n((i - to X^2 - ti ). (5) Подстановка второго выражения из (4) во второе выражение системы (5) даёт величину расстояния в конце второго полуинтервала:
3. Третий промежуток - отрезок, / е , ¡к ]. На этом отрезке осуществляется торможение, которое описывается уравнениями V = —п, Х = V , с начальными условиями - первым выражением (5) и выражением (6). Последовательное интегрирование даёт следующие выражения для текущих величин скорости и расстояния на третьем отрезке составной траектории:
V = ^ — п(/ — ¡2) , х = х2 + ^ (( — ¡2 ) — 2(( — ¡2)2.
В конце третьего промежутка величины скорости и расстояния определяются выражениями:
Vk = V2 — п(гк — ¡2 ),
Хк = Х2 + V2 (( — ¡2 ) — 2 ( — ¡2 )2. (7)
Подстановка первого выражения из (5) и выражения (6) в уравнения системы (7) после преобразований даёт:
^ = ^ + П(?2 + ¡1 — 1к — ¡0) , хк = х0 + ^ ((к — ¡0 ) + 2 ((1 — ¡0)2 +
+ п((1 — ¡0 Х^к — ¡1) — 2 ((к — ¡2)2. (8)
При заданных значениях ¡к, Vк и Хк имеем систему (8) из двух нелинейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными ¡1 и ¡2 . Упростим решение системы (8), полагая начальный момент времени равным нулю ¡0 = 0, как это принято на практике. Из первого уравнения (8) выразим момент времени ¡2 :
¡2 =^к — ^ )/П — ¡1 + 1к + ¡0. Это выражение подставим во второе уравнение (8), после несложных преобразований приходим к квадратному уравнению относительно момента времени ¡1, решение которого при V) = 0 даёт формулу для вычисления моментов выключения разгонного и включения тормозного двигателей:
^ + пк ^
ti,2 =-
2n
x2 = xo + Vo ((2 -1o ) + "n ((i -1o )2 + + n((i -1o )(2 - ti)
(6)
+ 2nVktk + п2+ 4п(х0 — Хк )—VI , (9)
где знак минус перед радикалом соответствует моменту ¡1 , а знак плюс - моменту ¡2 .
Таким образом, определили закон управления работой РД в решении простейшей задачи: разгона посадочной платформы до заданной скорости Vk на заданном расстоянии Хк за заданное время ¡к - это прогнозируемые параметры движения КТС, совершающего посадку на ПП. Двигатель разгона выключается в момент времени ¡1 , а двигатель торможения включается в момент времени ¡2 . В течение времени ¡2 — ¡1 оба двигателя отключены. После этого платформа с установленным на ней КТС совершает торможение соответствующим двигателем до полной остановки. Такое движение описывается уравнением:
V = -и1,
где П1 - тормозящее ускорение, которое получает платформа вместе с установленным на ней ЛА, с начальными условиями: tk, Vk и Xk. Последовательное интегрирование даёт выражения для текущих величин скорости и расстояния:
V = п - - ^ К
X = Xk + Vk (( - tk )-^ (( - tk )2.
В момент полной остановки платформы t = ts, скорость равна нулю:
Vs = Vk -nl(ts -tk) = 0, откуда определяем момент завершения посадки:
ts = tk + Vk / "1, (10)
которая состоялась на расстоянии от начала движения посадочной платформы, определяемом формулой:
Суммарное время работы двух ракетных двигателей
^ = % + ^М2п1).
(11)
Пример 1. Пусть посадочная платформа разгоняется и тормозится двумя ракетными двигателями, создающими ускорение п = 50 м/с2 каждый. Требуется построить закон включения - выключения двигателей, чтобы за время tk = 10 с на расстоянии Xk = 2 км скорость движения 1111 составляла Vk = 250 м/с.
Решение. По формуле (9) со знаком минус перед радикалом получаем значения момента выключения двигателя разгона ^:
и =-
250+ 50-10
2 - 50
2 - 50
2-50-250-10 + 502102 -4-50-2000-2502 =
=5,564 с.
По формуле (9) со знаком плюс перед радикалом получаем значение момента включения двигателя торможения и2 :
и2 = 7,5 +—1—л/2-50-250-10+502102 - 4-50-2000-2502 =
2 2-50
=9,436 с.
Таким образом, получили, что посадочная платформа разгоняется с ускорением 50 м/с2 в течение 5,564 с до скорости:
V1 = У0 + п(( - и0 ) = 50 - 5,564 = 278,2 м/с, затем в течение 9,436-5,564=3,872 с движется с постоянной скоростью до момента и2 = 9,436 с. С этого момента она тормозится в течение 10-9,436=0,564 с с таким же ускорением 50 м/с2 до заданного момента и^ = 10 с. В этот момент скорость достигает заданного значения:
Vk = V) + П((2 + и1 - и0 - tk ) =
= 50(5,564 + 9,436 -10) =250 м/с на заданном расстоянии:
хк = 50(- 9,4362 +102 - 5,5642)+ 250 -10 = 2000 м.
составляет:
иЕ = и, + 4 - и2 = 5,564 +10 - 9,436 = 6,128 с.
1
2
Пусть платформа имеет массу т = 10 т. Тогда для получения ускорения 50 м/с2 сила тяги одного двигателя равна: Р = п - т = 50 -10000 = =5000 кН. С удельным импульсом I = 300 с массовый секундный расход топлива одного двигателя равен:
т = Р/(I - я) = 500000/(300 - 9,81) = 169,895 кг/с. За время работы обоих двигателей на ПП без КТС сжигается топливо массой:
тТ = т - иЕ = 169,895 - 6,128 = 1041,1 кг.
Пусть масса КТС без топлива составляет т1 = 40 т, тогда значение п1 равно:
п1 = Р /(т + т1 )= 500/(10 + 40)= 10 м/с2. Продолжительность посадки до полной остановки определяется формулой (10): ^ = 10 + 250/10 = 35 с. При этом протяжённость посадочной полосы вычисляется по формуле (11):
х, = 2000 + 2502 /(2 -10) = 5125 м. Расход топлива при завершающем торможении равен:
т1 = т - (и, - ик ) = 169,895 - 25 = 4247,4 кг.
Применение тормозного парашюта позволит существенно сократить тормозной путь и расход топлива при завершающем торможении.
2. Управление движением платформы с учётом атмосферы
Решение задачи разгона и торможения платформы в атмосфере облегчается тем, что её плотность остаётся неизменной и равной р = 1,225 кг/м3, если ВПП находится на уровне моря, в течение всего движения платформы. Уравнения движения 1111 с учётом сопротивления атмосферы имеет вид:
V = +п - СхБ-^ V 2, 2т
X = V.
(12)
с начальными (1) и конечными (2) условиями, где Сx - коэффициент силы лобового сопротивления, £ - площадь поперечного сечения платформы, т -масса платформы, р - плотность атмосферы.
1. Первый промежуток - полуинтервал времени, и е^, и1). Разгон платформы описывается уравнением:
К = п - С^-^ V2, 2т
(13)
с начальными условиями (1). После разделения переменных и введения обозначений приходим к уравнению:
dV
а 2 - V 2
(14)
где
а = ^ 2тп /(С-Бр),
% = СxSP/(2т) .
Последний коэффициент % имеет смысл баллистического параметра, умноженного на величину плотности. Поскольку движение ПП происходит на
1
уровне моря, то коэффициент % всего лишь в 1,225 раз превышает величину параметра ст = СХБ/(2т).
При нулевой начальной скорости 1111, — 0, интегрирование (14) в пределах от to до t е[% ¿1) даёт зависимость для текущей скорости разгона от времени:
е2-¿о )_ ,
V = а -т—г-. (15)
е2л/ «%(t-to г+1
Используя выражение для гиперболического тангенса, получаем:
V — а ш[[(( - ¿0)] . (16)
В конце первого промежутка трёхсоставной траектории движения ПП скорость определяется по формуле:
V = а - ¿0)] . (17) Интегрируя второе уравнение системы (12) в пределах от ¿о до t е [¿о, ¿1) и от Хо до х с начальными условиями t — ¿о , х(^) = Хо, получаем зависимость текущей дальности разгона от времени:
а
Х — Хо +
{{[(( - ¿о)]}.
С учётом ранее введённых обозначений получаем следующее выражение:
-%{[уП%(( - ¿о ). (18)
Х — Хп + ~
%
Протяжённость участка разгона составляет:
Х1 — Хо +
- {[((1 - ¿о)).
%
(19)
2. Второй промежуток - полуинтервал времени, t е [¿1, ¿2), п — о . Движение без тяги двигателя описывается уравнением:
¿V „2
т=~%У
(2о)
с начальными условиями V(¿1) — „1 (17) и х(^) — Х1 (19). Интегрированием (2о) получаем выражение для текущей скорости:
V —-
V,
1 + Vl%(t - ¿1 )■
Подстановка (17) с учётом а% — у[п% даёт зависимость текущей скорости от времени:
V — а th [((1 - ¿о)__(21)
а th [^((1 - ¿о)
1 + УП% th [П%((1 - ¿о) (( - ¿1)
В конце второго полуинтервала получаем выражение для скорости:
а
V2 —■
о^
1 +
Фч Л[[((1 -¿о)
((2 - ¿1)
(22)
Интегрируем уравнение для расстояния:
Х — -
а Ш [((1 - ¿о)
1 + 7"% th [ ((1 - ¿о) (( - ¿1 )
В результате получаем зависимость текущей дальности от времени:
а г 1п|1 + л/ПСТ ш[[((1 - ¿о ))(( - ¿1) .
Х — Х1 +
л/п%
В конце второго промежутка пройденное 1111 расстояние равно:
Х2 — Х1 +
фч
1п 1 + 4п% ш[[Пст ((1 - ¿о - ¿1) .
Подстановка (19) даёт выражение для дальности:
Х2 — Хо + 11псЩу[п%(1 -1 о ))+
%
+ 11п
%
1 + л/п% -1 о )(2 - ¿1)
(23)
3. Третий промежуток - отрезок времени, t е ^ 2, ¿к]. Торможение ПИ описывается уравнением:
¿V п о Р т/2 • —-п - СХS^—V .
(24)
Л Л 2т
с начальными условиями: V (¿2) — (22), х^) — Х2 (23). Разделение переменных с уже введёнными обозначениями приводит к уравнению:
¿V
а 2 + V 2
— -рЛ.
Интегрирование в пределах от ¿2 до t и от ^2 до V даёт зависимость текущей скорости торможения от времени:
" VI
а
Подстановка (22) даёт новое выражение для скорости:
V — а tg
аг^ ^ -4%Л((- ¿2)
V — а tg<!arctg-
1
— 4%П (( - ¿2.
- ¿о)]
В момент касания ЛА платформы скорость равна:
1
Vk — а tg•í аг^
сth[nx((1 - ¿о)]
-л/%п ((к - ¿2
(25)
где ¿к и Vk - заданные значения. Интегрируем уравнение для расстояния на третьем промежутке в пределах от ¿2 до t е [¿2, ¿к ] и от Х2 до х :
Х — а tg• aгctg
1
сЧ[((1 - ¿о)] + л/П%
(( - ¿2 ) .
Приходим к зависимости текущей дальности от времени:
х — х2 +—Ысоз! агс^
%
1
- ¿о) +>/"%
-А/%П(( - ¿2)
В конце последнего промежутка дальность равна заданной величине:
1
Хк — Х2 +--1п
%
агс^
1
сЦ[((1 -1о)] +4"%
а
-л/%п(( -и2)}
Подстановка (23) в последнее выражение и преобразования дают:
1
Xk = Xo +- 1п %
сЬ^п%((1 - и0 )] > 1 + Ш((( - и0 )(2 - их)]
X С08
arctg-
сЛ((((1 - и0 ^ +Л/п%
-фч( - и2 )
(26)
Таким образом, при известных ^ и и* получили систему из двух нелинейных алгебраических уравнений (25) и (26) с двумя неизвестными и1 и и2 , определяющими соответственно момент отключения разгонного двигателя и момент включения тормозного двигателя. Завершающее торможение платформы с установленной на ней КТС описывается уравнением (24) с известными начальными условиями: tk, Vk, Xk. Интегрирование (24) даёт выражение для текущей скорости при завершающем торможении:
V = а / а) - Л/%пТ((- ^)] ,
где п1 - тормозящее ускорение платформы вместе с ЛА. В момент завершения торможения, и = и,, скорость равна нулю, V, = 0, и из последнего выражения следует соотношение:
агс^(^/ а) - л/ст(и, - ) = 0,
из которого определяем момент остановки:
1 V1 и, = и* arctg-k- . (27)
л/%п1 а
Протяжённость завершающего торможения определяется из уравнения:
X = а tg
arctg ^ (( -
Интегрирование даёт выражение для полного расстояния, пройденного платформой до и после посадки на неё ВКА:
х:, х:* +
1п
С08
arctg ^ -л/%п1(( - ик)
(28)
Пример 2. Пусть платформа с площадью миде-левого сечения Б = 10 м2 имеет коэффициент лобового сопротивления Сx = 1. Требуется построить закон управления двигателями такой, чтобы через и* =8 с после начала движения на расстоянии X* = 1,126 км скорость движения платформы составила V* = 250 м/с.
Решение. Вычислим параметры % и а : 1,225
%= 1 -10 -
2 -10000
= 0,0006125 1/м;
2 -10000 - 50 „ос„1,1 .
а =,-= 285,714 м/с.
1 -10 -1,225
Нетрудно убедиться по формулам (25) и (26), что решение поставленной задачи дают следующие параметры закона управления: и0 = 0 , и1 = 6,8 с, и2 = 7,6 с. Время работы ракетных двигателей: Ь= Ь - и0 + и* - и2 = 6,8 + 8 - 7,6 = 7,2 с. Сила тяги РД равна: Р = п - т = 50 -10000 = 500 кН. Массовый секундный расход топлива равен:
т = Р/(I - я) = 500000/(300 - 9,81) = 169,895 кг/с. Суммарный расход топлива до касания ЛА платформы составляет:
тТ = т -иЕ = 169,89507,2=1223,244 кг.
Это больше, чем в примере 1, но зато касание платформы происходит на меньшем расстоянии от начала движения.
Завершающее торможение проходит до момента и,, рассчитываемого по формуле (27):
и, = 8 +—. 1 =arctg-д/0,000612510 "
250
=8+9,184=17,184 с.
285,714
На завершающее торможение расходуется топлива в количестве:
т1 = т(и, - ик ) = 169,895 - 9,184 = 1560,4 кг. Это намного меньше, чем по расчётам в примере 1. Полное расстояние, пройденное платформой до и после посадки на неё КТС составляет: 285,714
X, = 1,126 +
х1п
arctg-
^0,0006125-10
ЛГ А
-V0,006125(17,184-8)
= 2,775 км.
285,714
Протяжённость завершающего торможения составляет около 1,649 км, что намного меньше, чем в примере 1 (3,125 км).
Заключение
Таким образом, рассмотрена задача управления движением ПП с помощью РД при посадке на неё КТС без шасси. Решение задачи состоит в построении закона управления включениями и выключениями разгонного и тормозного РД, который обеспечивает подход платформы в указанную точку ВПП с заданной скоростью в назначенное время. Координаты терминальной точки движения платформы, включая время её достижения, определяются из прогноза текущих параметров снижения КТС. Полученный закон управления движением платформы позволяет оценить основные проектные параметры платформы: силу тяги РД, диапазон регулирования силы тяги, запас топлива, а также определить протяжённость ВВП. Результаты пригодны в проектировании перспективных КТС, включая ЛА различного типа без шасси. Отсутствие шасси повышает надёжность выполнения полётного задания, а также снижает удельную стоимость полезной нагрузки, выводимой на околоземную орбиту и возвращаемой на Землю.
Полученные результаты представляют собой достаточно простое математической обеспечение
X
1
а
для оперативного построения программных управлений при разработке алгоритма многошагового управления движением посадочной платформы с помощью ракетных двигателей при неопределённостях в реальном масштабе времени.
Публикация осуществлена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Татарстан в рамках научного проекта № 15-48-02101.
Литература
1. Афанасьев В.А., Дегтярев Г.Л., Мещанов А.С., Сира-зетдинов Т.К. Управление разворотами космического аппарата за назначенное время с помощью ракетных двигателей // Изв. вузов. Авиационная техника. - 2013. -№ 1 - С.73-77.
2. Афанасьев В.А., Дегтярёв Г.Л., Мещанов А.С. Проектные задачи причаливания ракеты к астероиду // Изв. вузов. Авиационная техника. - 2013. - № 2. - С.72-77.
© В. А. Афанасьев, канд. техн. наук, доц. каф. прикладной математики и ракетодинамики филиала Южно-Уральского научно-исследовательского ун-та в г. Миасс, Челябинская область, ava46@mail.ru; Г. Л. Дегтярев, д-р техн. наук, проф., зав. каф. автоматики и управления КНИТУ им. А.Н. Туполева-КАИ, lugovaja.au@yandex.ru; А. С. Мещанов, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., доц. той же кафедры, mas41@list.ru; Т. К. Сиразетдинов, д-р техн. наук, проф. каф. днамики процессов и управления КНИТУ им. А.Н. Туполева-КАИ, mas41@list.ru.
© V. A. Afanasyev, Candidate of Science, assistant professor of the applied mathematics and rocket dynamics chair at the South Ural scientific research university, city of Miass, Chelyabinsk region, ava46@mail.ru; G. L. Degtyarev, Doctor of Science, professor, manager of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, lugovaja.au@yandex.ru; A. S. Meshchanov, Candidate of Science, senior staff scientist, assistant professor of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, mas41@list.ru; T. K. Sirazetdinov, Doctor of Science, professor of the processes dynamics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, mas41@list.ru.
