Управление опционными ресурсами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Управление техническими системами

УДК 519.874

УПРАВЛЕНИЕ ОПЦИОННЫМИ РЕСУРСАМИ

А.В. Китаева, Н.В. Степанова

Томский политехнический университет E-mail: kit1157@yandex.ru

Рассмотрена модель c одним видом ресурса с ограниченным сроком использования, поставляемого в начале производственного цикла. Спрос на ресурс в процессе производства носит случайный характер: поток запросов образует стационарный процесс, объемы запросов есть независимые одинаково распределенные случайные величины с заданными средним и дисперсией. Найдены асимптотические распределения общего объёма спроса на сырье в течение производственного цикла идлительности использования ресурса. Получены уравнения для статистического оценивания необходимых параметров и приближенное значение оптимального объема опционного ресурса в смысле максимума средней прибыли предприятия.

Ключевые слова:

Управление запасами, стохастическая модель, нормальная аппроксимация.

Key words:

Inventory control, stochastic model, normal approximation.

Введение и постановка задачи

Системное исследование моделей управления запасами, отражающих неопределенность и динамику, началось в начале 50-х гг. ХХ в. с работ K.J. Arrow, Th.E. Harris и J. Marse hak [1], а также A. Dvoretzky, J. Kiefer и J. Wolfowitz [2]. Большое количество классических моделей управления запасами проанализировано в [3]. В настоящее время существует ряд стохастических моделей для решения проблемы управления запасами при различных условиях, встречающихся на практике, например работы sh.M. Ross [4], S. Chopra и P. Meindl [5], D. Beyer et al. [6]. Отличие рассматриваемой задачи от традиционных задач управления запасами состоит в том, что мы не рассматриваем стоимость хранения сырья, и дополнительные поставки опционного сырья невозможны, т. е. его можно расценивать как некоторый не возобновляемый во время производственного цикла ресурс.

Рассмотрим следующую модель производственного процесса, в котором может быть использовано так называемое опционное сырье, т. е. его применение не является обязательным в производстве. В случае его отсутствия предприятие работает в обычном режиме и выпускает стандартную продукцию. Потребность в этом ресурсе возникает по запросу заказчиков, носит случай-

ный характер и выгодна производителю, поскольку в конечном счете он получает дополнительную прибыль в размере с денежных единиц на каждую единицу использованного сырья. Приобретенное сырье имеет ограниченный срок годности, по истечении которого подлежит утилизации. Примером может служить крупное предприятие, выпускающее некоторую однородную продукцию, имеющую стабильный рынок сбыта, при этом на предприятие время от времени (не регулярно) поступают специальные заказы. Любое коммерческое предприятие стремится максимизировать свою прибыль, поэтому здесь возникает оптимизационная задача, рассмотрению которой и посвящена данная работа.

Введем необходимые для математического моделирования задачи обозначения. Пусть £ - это случайная величина, равная величине одного запроса на сырье, запросы приходят независимо друг от друга, Е{£}=а1, и Е{£2}=а2, где символ Е{£} обозначает математическое ожидание величины £.

При осуществлении производственного цикла длительности Т предприятие покупает некоторую партию опционного сырья объёма 0 по цене й за единицу. По истечении времени Т сырье использоваться не может и утилизируется по цене за единицу.

Общий объём спроса на сырье

в течение производственного цикла

Рассмотрим случай, когда число запросов на сырье п>>1 и образует стационарный случайный процесс. Пусть также длительность производственного цикла Т >>1. Тогда п можно считать приближенно нормальной случайной величиной с Е{п}=тТ и дисперсией Б{п}=аТ2, где величины тТ и <гТ2 пропорциональны Т[7, 8].

Обозначим через X общий объём спроса на сырье в течение производственного цикла, через р(-) - функцию плотности вероятностей случайной величины X.

Теорема 1. При стационарности потока заказов и больших значениях п и Тобъём спроса на сырье в течение производственного цикла можно считать нормальной случайной величиной со средним тх=а1тТ и дисперсией ст12=тТ(а2-а12)+стТ2а12.

Доказательство. Пусть число запросов на сырье п фиксировано, тогда объём Хп спроса на сырье в течение производственного цикла можно представить в виде Х„=<£+£2+...4, где £ - величина, равная объему /-го запроса. Плотность вероятностей р(-) можно найти по формуле полной вероятности

от

Р(х) = Х Рп(х)рп, где {д,,и=0,1,...} - распределе-

п=0

ние вероятностей числа возможных запросов за время Т, р„(-) - плотность распределения Хп.

Обозначим через g(■) характеристическую функцию случайной величины £, то есть g(w)=E{e,ъ,í}, через Л{£}=а2-а12 - дисперсию величины £. Характеристическая функция величины Хп есть gn(ffl), и характеристическая функция Ох(^) ве-

Gx (m) =

= exp

m

imam--(mTD[â,) + afo^ ) + O(m3)T

Перейдём от величины X к величине x - almT

z=-

■\]mTD{Ç} + ajaf Используя свойства характеристических функ-

ций, получим, что Gç (m) = exp

f 2 -m+о 2

V

m

( mTD{|} + axaT)

При Т^ю имеем lim Gz (m) = exp

то

есть асимптотически £ является стандартной нормальной случайной величиной.

Поэтому при больших п и Т

Р( х)< 1

■^2n(mT (a2 - af ) + aT aj2 ) ' f ( x - am )

2(mT (a2 - aj2 ) + aT aj ) Доказательство закончено.

x exp

(4)

Оптимальный объём партии сырья для производственного цикла

Найдем среднюю прибыль в течение производственного цикла. На покупку сырья объёма 0 будет потрачено <2й денег. Если Х>0, то будет использована вся партия сырья. Это произойдёт с вероятно-

ю р

личины X равна Gx(m) = gn(m)p(n). Для lng(-) стью Jp(x)dx, и предприятие дополнительно по-

справедливо разложение

ln g (m) = imaj -

m2 D{g} 2

+ O(m3).

Учитывая асимптотическую нормальность величины п, можно приближенно записать

_ (^_тт )2

| я" е

Gx (m) =-

1

a

л/2Л.

dz =

1

J

_ (z-mT)

faT

ezlng(m)e 2aT dz.

Принимая во внимание, что

ю

J

Ю 2 П f Т-2Л

e-ax +bxdx = .- exp \ a

V 4a y

и вычисляя интеграл в (2), получаем

от

m-T ln g(m) + ^-ln g(m)

Gx(m) ~ exp

Подставляя разложение (1) в (3), имеем

лучит Qc денег. Если X<Q, то партия сырья объёма Q—X останется неиспользованной, её придётся на-(1) править на утилизацию, будет получено cX, а потрачено dut( Q—X) денег.

Средняя прибыль предприятия составит величину

ю Q

S = cQ Jp(x)dx + c Jxp(x)dx -

Q 0

Q

-dut J (Q - x) p( x)dx - Qd.

0

Оптимальный объём партии сырья для производственного цикла найдём из условия S ^ max, т. е.

Q

= c Jp(x)dx - dut Jp (x)dx - d = 0.

dQ Q 0

Q ю

(3) Учитывая тождество Jp( x)dx = 1 -Jp( x)dx, по-

0Q

лучим уравнение для определения оптимального

(2)

n=0

объёма партии сырья Qopt для производственного цикла

d + d,„

J p(x)dx -

Qop

c + d,„

J p( x)dx = 1-Ф

у[тт(а2 _а2) + оТа2 у

где Ф(-) есть функция Лапласа. Обозначая через ¥(■) функцию, обратную к функции Ф(), получаем окончательно

С + і

Qopt = a1mT + -^mT (a2 - a12) + o^afF

1-

d + du

c + d,„

. (5)

Рассмотрим два частных случая формулы (5).

1. Поток запросов является стационарным пуас-соновским потоком интенсивности Я. Тогда тТ=ЯТ, оТ2=ЯТи формула (5) приобретает вид

Öopt = aAT + 4^F

1 -

d + dul

c + d,„

2. Поток запросов является дважды стохастическим пуассоновским потоком, интенсивность X(t) этого потока является стационарным случайным процессом с E{X(t)}=X и функцией ковариации cov (X(tl),X(t2))=R(t2-tl).

Тогда, при фиксированной реализации X(t),

T

E{n | X(t)} = jX(t)dt,

0

T T

E{n21 X(t)} = jA(t)dt + j jX(t1)X(t2)dt1dt2 0 0 0 Усредняя по реализациям X(t), получим E{n} = mT = XT,

T T

E{n} = XT + jJ(A2 + R(t2 -tj))dtjdt2 =

T T

JJr (t2 -11) dt1dt2,

так, что

oT = AT +

jjR(t2 -11) dt1dt2.

Таким образом, (2ор1 является квантилем распределения вероятностей общего объёма спроса на сырье в течение производственного цикла. Эту величину можно найти различными статистическими методами, наблюдая за процессом поступления спецзаказов или пользуясь приближенной формулой (4).

В последнем случае оптимальный объём 0ор1 сырья для производственного цикла определится уравнением

¡г, Л - -

Qo.pt _ а1тт

| ^Щ2 _ t1) с^с^2 = 2Т || 1 _ — (—)с—.

0 0 0 V Т)

При Т^ от

Т Т от

/К _ ^ ) сС^2 ~ 2Т |я(—)С—

0 0 0

и поэтому

_ от / от

а2~ЯТ + 2Т|д(—)с— =Т Я+ 21Я(—)С—

0 V 0

Таким образом, в рассмотренных случаях однозначно определяется оптимальный объём 0ор1 партии опционного сырья для производственного цикла.

Длительность использования опционного ресурса

Процесс длительности использования опционного ресурса в течение производственного цикла также представляет интерес, как для потенциальных заказчиков, так и для производителя.

Найдём плотность вероятностей д(-) длительности использования опционного сырья объёма 0 в диффузионном приближении.

Будем считать, что запросы образуют стационарный случайный процесс. Обозначим

a,mT m-r (a2 -a,) + ara1 2

lim 1 1 = m0, lim T 2--------------------—-------= <r0.

T—ot T T ——от T 0

Тогда процесс спроса на сырье Х(-) удовлетворяет уравнению

сСХ (t) = т0Л + о0<С—1,

где ^ - стандартный винеровский случайный процесс.

Обозначим через т(х) случайное время достижения процессом Х(-) порогового значения 0, если в начальный момент времени / значение процесса Х(-) было равно х.

Теорема 2. В диффузионном приближении плотность вероятностей длительности использования опционного сырья объёма 0

( ч ( ~ \2 Л

q(t) =

exp

m„

2a0t

t - S-

m„

t > 0.

Доказательство. Рассмотрим преобразование Лапласа от плотности вероятностей величины т(х)

g (s, x) = E{e- ST( x)}.

Возьмем момент времени t+At. Тогда за промежуток времени At процесс X(-) приобретёт приращение Ах и время, оставшееся до достижения процессом X(-) порогового значения Q станет равным т(х+Ах). Получаем соотношение

g(s, x) = E{e-т(х)} = E{e-s(A+T(x+Ax>} =

= e

Xx {g(s, x +Ax)},

Последний интеграл можно преобразовать к виду

где ЕДх означает усреднение по величине Ах. Разложим экспоненту и функцию g(s,■) в ряд:

е *Д‘ = 1 - 5Д? + о (А?),

ё (5, х + Ах) = ё (5, х) + дё(5’Х) Ах + дх

+2(Дх)1 + о«Дх)2).

2 дх Усредняя по Дх, получим Я(5х) =

= (1 - 5Д?) Ед

ё (5, х) Ах +

дх

+ і 2

2 дх2

= (1 - 5Д?)

= Я(5, х) +

ё (5, х) + т0Д?

дё (5, х)

дх

+ ^о_ д Я(^ х) Д?

дх2

- 5£ (5, х) + т(

+ а02 д2я(5, х)

дё (5, х) + дх

+ о( А?) =

+ о( А?) =

А? + о(Д?).

52ё(5, х) 2т0 дё(5, х) 25

дх2

дх

-------2 Я (Л х) = 0

(6)

/ 0 ^ о

с граничным условием g(s, 0=1 (так как г(0=О)

. т 25

Характеристическое уравнение г + 2 -имеет корни

= 0

, . т0 25 т0

г1(5) = № + ^ > °

\ ^0 ^0 ^0

т

25 т„

и ^2(5) = -4Н-+т--Г< 0.

I ~4 ~2

[ <ГЛ

Я(5,0) = е ^)е = ехр

(7)

Для нахождения плотности вероятностей #(■) длительности использования опционного сырья надо найти обратное преобразование Лапласа от ¿(5,0). Для этого запишем (7) в виде

ё (5,0) = е

= ехр

Пользуясь свойствами преобразования Лапласа и формулой [9. Ф. 204], получим явный вид плотности д(-), что и требовалось доказать.

Найдём среднее Е{т} и дисперсию Б{г}. Имеем

¥(э)=1п я( 5,0)=о Q _ а 0+000 V °0 00

Отсюда

^'(5) = -

т00 25

—+ —

2

<ТП ^

-1/2

е

2 дх2

Поделив на А/ и перейдя к пределу при А?—>0, получим, что ¿(5,х) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

поэтому

Далее

поэтому

Е{т} = -|/(0) = е .

¥" (5) =

т02 25

—- + — *4 ут- 2

СТП ап

-3/2

е

од = ^" (0) = ^т е =

тт (а2 - а2) + стТа2

т„ а т.

ет2

Найдем приближенное выражение для #(•) в случае, когда

Е{т}

л/^М

Єт0

>> 1.

(8)

Условие (8) можно рассматривать как одно из условий стабильной работы производства. Разлагая ¿(д,0) в ряд по малому параметру

ет0

получим

'0

Общее решение уравнения (6) имеет вид

я (5, х ) = С1( 5)ег‘(5> х + С2( 5 )е"2(5 )х.

При х—-от функция ¿(5,х) должна стремиться к нулю, поскольку т(х) должно бесконечно возрастать. Поэтому следует считать С2(5)=0 и рассматривать решение в виде ¿^х^С^)^1. Так как ¿(5,0)=1, то

Процесс производства начинается в момент времени /=0 со значения х=0. Поэтому нас интересует

ё(5,0) * ехр

е

-5 — + 5 т

т

0 У

что соответствует гауссовскому распределению ( ЄТ тГ(а2 - а,2) + а>а,2 е^

N

3 3

а1т3.

Обозначим

а1тт = тх, тт (а2 - а2) + аг2а2 = ах2. Тогда

т ~ N

(9)

Статистическое оценивание числовых характеристик системы

Как видно из (5) и (9), оптимальный объём опционного сырья и распределение длительности ис-

2

пользования опционного сырья зависят от параметров mx и ст/. Эти параметры можно определить на основе опытных данных. Рассмотрим один из возможных способов такого определения.

В течение каждого производственного цикла возможны два варианта:

1. Будет использовано X<Q опционного ресурса. Пусть таких циклов было N, и мы получили выборку x1,x2,xi,^,xN.

2. Будет использован весь ресурс, длительность его использования т< T. Пусть таких циклов было М, и мы имеем выборку tbt2,...,tM.

В общем, мы получили выборку объёма N+M: (x1,x2,x3,.,xN; tbt2,...,tM). Оценим параметры тх и стх методом моментов.

Найдём £PfX<Q} - условное математическое ожидание величины Xпри условии, что в конце производственного цикла сырье останется, т. е. X< Q. Вероятность условия равна

Jexpf-<XCTl 1 dx = oiQ-- Л

1

a

л/2Л_

a

Далее

Q _ (x)'

1 г a

jn J

xe 2a

ax42n

q _ (i_m, )2

1

л/2П

a

J (x _ mx )e

2a2

Q (x_mx )

+m„

a

л/2П _

(

= m Ф

Q _

a

a

exp

(Q _ mx )2

2a 2

Обозначим

ф(z) =

Тогда

E{X|X < Q} = mx _a^

Так как длительность использования опционного ресурса имеет асимптотически нормальное ра-

QT о2 2Л

——,—зQT I, то аналогично

(

спределение т ~ N

Е{т | т < T} = QT- ax2QT2.

т _ QT/m

QT m x

mx _ax

a xQT2

I mx

^ Q _ m ^

ax

= x,

T _ qt/і

mx

л/^QTvm:

(10)

Рассмотрим оценки, полученные по методу максимального правдоподобия.

Учитывая полученные результаты, для совместной плотности вероятностей выборочных значений можно записать функцию правдоподобия

L = П

1

=i axV2n 1

exp

^ (x, _ mx )2 Л

2a 2

exp

хП_/=---------

j=^2na2QT 7 mx Её логарифм имеет вид

(tj _ QT/mx)

2ax2QT V m.

3

x у

_2ln L = I

N (x, _ mx )2 , M (0 _ QTlmx )2

a

-I-

j=i

ax2QT 7 mx3

+(M + N) ln стХ - M ln mX + const.

Оценки параметров тх и <rx2 следует искать из системы уравнений

d(-2ln L) _ ^ (xt - mx )2

3(ax2)

-=_r

(ax2)2

M (tj _ QT/mx )2 N + M n

_I j 20^?/ 3 +---— = 0,

=i(ax2)2 QT 7 mx3 5(_2 ln L) x _ m.

a

5m,

+ 2

QT M t7- _ QT/mx

a

mx

2

-I

j=i

ax2QT 7 mx3

+3m;£ (,j - QT^)2 _3M = 0.

^ ax2QT2 mx

(11)

j=i

Найдем выборочные средние значения

_ 1 ^ - 1 ^

х =— > х,, t = — > tí.

Тогда по методу моментов оценки параметров т х и 0х следует искать из следующей системы уравнений:

Решение систем (10) и (11) возможно лишь численно.

Заключение

Итак, вопрос управления запасами опционного сырья в рамках рассматриваемой модели теоретически исследован достаточно полно. Полученные результаты носят асимптотический характер, поэтому было бы интересно посмотреть на результаты имитационного моделирования, чтобы оценить практическую скорость сходимости к нормальным законам распределения.

Заметим также, что в модели есть еще один частично настраиваемый параметр: величина с, связанная с дополнительной прибылью предприятия при использовании опционного сырья. Следует, однако, учитывать, что, вообще говоря, величины тТ и оТ2также должны зависеть от с.

Оптимизация средней прибыли предприятия по параметру с и имитационное моделирование могут составить дальнейшее направление работы.

z

e

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Arrow K.J., Harris Th.E., Marschak J. Optimal Inventory Policy // Econometrica. - 1951. - V. 19. - № 3. - P. 250-272.

2. Dvoretzky A., Kiefer J., Wolfowitz J. On the optimal character of the (S, s) policy in inventory theory // Econometrica. - 1953. - V. 21. -№ 4. - P. 586-596.

3. Chikan A. Inventory models. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1990. - 418p.

4. Ross Sh.M. Applied probability models with optimization applications. - N.Y.: Dover Publications, 1992. - 198 p.

5. Chopra S., Meindl P. Supply chain management. - London: Prentice Hall, 2001. - 534 p.

6. Beyer D., Cheng F., Sethi S.P., Taksar M. Markovian demand inventory models. - N.Y.: Springer, 2010. - V. 108. - 255 p.

7. Лопухова С.В., Назаров А.А. Исследование рекуррентного потока // Вестник ТТУ. УВТиИ. - 2007. - № 1. - С. 67-70.

8. Лопухова С.В., Назаров А.А. Исследование MAP потока методом асимптотического анализа N-го порядка // Вестник ТГУ. -2006. - № 293. - С. 110-115.

9. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральное преобразование и операционное исчисление. - М.: Наука, 1974. - 544 с.

Поступила 11.04.2013 г.

УДК 519.6

ДИАЛОГОВАЯ ПРОЦЕДУРА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВЕКТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

В.И. Рейзлин, В.А. Орлов*

Томский политехнический университет *ООО «Оптимальное решение», г. Томск E-mail: vir@tpu.ru

Рассматривается методика решения задач многокритериальной оптимизации с математическими моделями, содержащими множество переменных, значения которых не регулируются лицом, принимающим решение. Вводится понятие толерантности варианта решения, родственное понятиям устойчивости, живучести и т. п.

Ключевые слова:

Многокритериальная оптимизация, критерии оптимальности, оптимальность по Парето, лицо, принимающее решение.

Key words:

Multicriteria optimization, optimality criteria, Pareto optimality, decision-maker.

Любой ситуации принятия решения присущи следующие общие элементы:

а) Множество переменных, значения которых выбираются лицом, принимающим решение (далее - ЛПР). Будем называть такие переменные вариантами решения или просто вариантами.

б) Множество переменных, значения которых либо по желанию, либо по необходимости не регулируются ЛПР. Будем называть такие переменные условиями.

в) Способ оценивания качества вариантов решения при каждом из условий. Обычно это одна или несколько вещественнозначных функций, зависящих от вариантов и условий.

Перейдем к математической формулировке задачи.

В данной работе предполагается, что варианты решения описываются п-мерными вещественными векторами х=<хь...,хп>еЛп, условия - также векторные величины р=<р1,...,рп>еВт. Компоненты векторов х назовем конструктивными параметрами, а компоненты векторов р - внешними параметрами. Пару векторов <х,р> будем называть ситуацией, т. е. ситуация - это вариант решения х при условиях р.

Будем предполагать также, что заданы параметрические ограничения

х;л<х<х^ для всех / от 1 до п, р [<р<р:' для всех / от 1 до т, определяющие в пространстве параметров ВпхВт прямоугольный блок Б=ХхР, который будем называть исходным блоком, а блоки Хи Р, соответственно, блоком вариантов и блоком параметров.

Кроме параметрических ограничений рассмотрим функциональные ограничения 0^(х,р)^1'', 1< /<г, вырезающие в исходном блоке некоторую криволинейную область О, которую назовем областью возможных ситуаций. Проекцию области О в пространство конструктивных параметров обозначим через О\Х. Множество О\Х - это множество альтернативных вариантов решения, из которых приходится делать выбор.

Функции &(х,р) предполагаются непрерывными. Определяемая ими область О, вообще говоря, может быть любым замкнутым множеством. Единственное ограничение - ее объем не должен равняться нулю. С математической точки зрения требования, предъявляемые к области О, должны быть более жесткими: область О должна совпадать с замыканием множества своих внутренних точек.