CC BY
21
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2017 Управление, вычислительная техника и информатика № 39
УДК 519.872
Б01: 10.17223/19988605/39/5
Е.Ю. Лисовская, С.П. Моисеева
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕМАРКОВСКОЙ БЕСКОНЕЧНОЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ ТРЕБОВАНИЙ СЛУЧАЙНОГО ОБЪЕМА С ВХОДЯЩИМ РЕКУРРЕНТНЫМ ПОТОКОМ
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-31-00292 мол_.
Рассматривается система массового обслуживания 01/01/<» с требованиями случайного объема. Решается задача исследования суммарного объема требований, находящихся в системе в стационарном режиме функционирования. С помощью метода асимптотического анализа при условии высокой интенсивности входящего потока доказано, что распределение вероятностей суммарного объема требований в системе является гауссовским. Ключевые слова: бесконечнолинейная система массового обслуживания; метод динамического просеивания; случайный объем требований; метод асимптотического анализа.
При проектировании систем обработки и передачи сообщений, таких как систем коммутации сообщений и систем обработки радиолокационной информации возникает задача определения объема памяти, предназначенной для хранения информации о сообщении во время его передачи и обслуживания. Величина такого объема определяется непрерывной случайной величиной, которую будем называть суммарным объемом требований [1].
Задача определения характеристик суммарного объема требований в классических системах теории массового обслуживания и ее приложениях к решению задач проектирования компьютерных и коммутационных систем обсуждалась в работах [2-4], где исследовались некоторые характеристики таких систем в предположении, что входящий поток является простейшим, время обслуживания распределено по экспоненциальному закону, а параметры обслуживания требования могут зависеть от объема требования.
Современные потоки данных в информационных и телекоммуникационных системах включают в себя интегрированные потоки, содержащие передачу текста, голоса и видеоисточников, что требует использования более сложных моделей потоков. В качестве таких моделей, как правило, используют математические модели модулированных или рекуррентных потоков [5, 6]. Для исследования систем с входящими непуассоновскими потоками, например, рекуррентным и марковски модулированными потоками, в работах [7-9] предлагается использовать метод асимптотического анализа, позволяющий находить приемлемое для практических приложений решение в определенных условиях.
1. Постановка задачи
Рассмотрим систему массового обслуживания (СМО) с неограниченным числом приборов, на вход которой поступает рекуррентный поток, заданный функцией распределения длин интервалов между последовательными моментами поступления заявок в систему А(х). Продолжительность обслуживания заявки имеет произвольную функцию распределения, одинаковую для всех приборов В(х). Предполагаем, что каждое требование характеризуется некоторым случайным объёмом V > 0, G(y) = Р{V < у} -функция распределения случайной величины V. Объемы различных требований независимы. По окончании обслуживания заявка покидает систему и «уносит» свой объем.
Пусть /(1) - число заявок, находящихся на обслуживании в системе в момент 1, У(1) - полная сумма объемов требований, находящихся в системе в момент времени 1.
Поставим задачу нахождения характеристик двумерного случайного процесса {i(t),V(t)}. Отметим, что исследуемый процесс не является марковским. Поэтому для его исследования будем использовать метод динамического просеивания [10].
Построим просеянный поток для рассматриваемой СМО GI|GI|<». Для этого зафиксируем некоторый момент времени T. Полагаем, что заявка входящего потока, поступившая в систему в момент времени t < T с вероятностью
S(t) = 1 - ß(T -1),
формирует событие просеянного потока, а с вероятностью 1 - S(t) эта заявка в просеянном потоке не рассматривается.
Обозначим n(t) - число событий просеянного потока, наступивших до момента времени t, W(t) -суммарный объем просеянных требований. Тогда, если в начальный момент t0 < T система была свободна, то для момента времени T для любых m и v выполняются равенства
P{i(T) = m} = P{n(T) = m}, P{V(T)< v} = P{W(T) < v}.
Следует отметить, что использование метода просеянного потока позволяет точно определить характеристики процесса V(t), так как в просеянном потоке присутствуют только те заявки, которые не закончат обслуживание к моменту времени T.
2. Дифференциальное уравнение Колмогорова
Введем обозначение P(z,n,w,t) = P{z(t) < z,n(t) = n,W(t) < w} - распределение вероятностей трехмерного Марковского процесса, где z(t) - остаточное время от момента t до момента наступления следующего события в исходном рекуррентном потоке. Для этого распределения составим At-методом прямую систему дифференциальных уравнений Колмогорова. По формуле полной вероятности запишем равенство
P(z, n, w, t + At) = [p(z + At, n, w, t) - P(At, n, w, t)] + P(At, n, w, t )(l - S (())A(z) +
V
+ S(()A(z)JP(At,n -1, w - y, t)G(y) + o(At), (1)
0
z > 0, n = 0,1,2,..., w > 0 .
Из (1) получаем систему дифференциальных уравнений Колмогорова
8P(z, n, w, t) 8P(z, n, w, t) + 8P(0, n, w, t) (z)-1) + dt 8z 8z
+
S ( )(z)
с начальным условием
0 82 82
2 > 0, п = 0,1,2,..., у > 0,
ч (2), п = 0,у > 0, Р (2, П, У, Г0 ^
[ 0 иначе.
Здесь и далее Л(2) - стационарное распределение вероятностей значений случайного процесса 2(г), определяемое выражением
2 1
Я( 2) = XI (1 _ А( х))йх, где X = --.
0 | (1 _ А( х))йх
0
Введем частичную характеристическую функцию вида
и(,и1,и2,г) = £езипIеМуР(,п,йм>,г), 2 > 0.
П=0 0
Учитывая, что
Y jn f eju2w f dP(0, n - 1, d (w - y),t )dG (y ) = eu dh(0,u!, u2,t) G . ( )
n=1 f f dz dz 2 '
где G (u2) определяется как
да
G * (u 2 )=J eju2 ydG (y ),
можно записать дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка
^ ^ ^ 1) = ^ ^u 2,1) + ^ u2, 1) [A(z) -1 + 5 ( О * (u2)-1)] (2)
с начальным условием
h(z, и1, и 2, 10 ) = ). (3)
3. Метод асимптотического анализа
Так как прямое решение уравнения (2) не представляется возможным, то для решения задачи (2)-(3) воспользуемся методом асимптотического анализа [11] в условии неограниченно растущей интенсивности входящего потока [10]. Запишем функцию распределения длин интервалов между моментами поступления заявок в систему в виде А(№), где N ^ да - параметр высокой интенсивности потока. Тогда, выполнив преобразования, уравнение (2) примет вид
1_и1,и 2,1) = и1, и2,1) + и1,и 2,1) [A(z) -1 + 5 ( )А^)( * О * (и 2)-1)] (4) N д1 дz дz
с начальным условием
h(z, щ, и 2, 10 ) = R(z). (5)
Асимптотический анализ первого порядка проведем в виде доказательства теоремы 1. Теорема 1. Асимптотическая характеристическая функция распределения вероятностей процесса ), п(), У()} первого порядка имеет вид
, и1 ,и 2,1) = )ехр< Ш[[1 + ]и 2 а1 ]] 5 (т Ш,
I (0 \
где а1 - математическое ожидание случайной величины, определяемой функцией распределения объема требований О(у).
Доказательство. Выполним в выражениях (4) и (5) замены
е = -1, и1 = ем?1, и2 = е^2, h(z, и1, и2,1 ) = /1 (z, м>1, 1, е). (6)
Тогда задача (4)-(5) примет вид
е dfi(z, wi, w2,t, в) = dfi(z, wi, w2,t, в) + dfi(0, wi, w2,t, e) Г^) -1 + s(t)A(z)(e ^ G* (8w2 )-1)] (7) dt dz dz
с начальным условием
fi (z, Wi, W2, to, e )= R(z) . (8)
Найдем асимптотическое, при e ^ 0, решение задачи (7)-(8), т.е. fi (z, wi, w2, t) = lim fi (z, wi, w2, t, e).
8—>0
Этап 1. Положим в (7) e ^ 0, получим
dfi (( wu w2 , t) + dfi (0, wb w2 , t) (((z)-i) = 0 dz dz
Можем сделать вывод, что fi (z, w1, w2, t) может быть представлена в виде
fi (wi, W2, t) = R(z)ф (wi, W2, t), (9)
где Ф1 (wi, w2, t) - некоторая скалярная функция, в силу (8) удовлетворяющая условию Ф1 (wi, w2, t0 ) = i.
Этап 2. Выполним в (7) предельный переход 2 ^ да. Получим
е 8/1(ю,у1,у2,в) = 8/1(0,у1,у2,в)5(()(е^с*(8у2)_ 1).
8г 82
Подставим сюда выражение (9), воспользуемся разложениями
е/ем1 = 1 + /ем + о(е2), е/ем'2 = 1 + /ем2 + о(е 2),
поделим обе части на е и произведем предельный переход при е ^ 0. С учетом того, что Я (0) = X [10], получим дифференциальное уравнение относительно функции Ф1 (у1, м2, г):
8ф1 (и8;^ г)=Ф1 (, ^2, ои/+)], (ю)
ю
здесь и далее а1 = | уйО (у) - математическое ожидание случайной величины, определяемой функцией
0
распределения объема требований G (у). Решение (10) с учетом начального условия дает
Ф1 (,У2,0 = ехр|х((1 + °1 ))(т)т|. Подставляя данное выражение в (9), получаем
/1 (м1, г) = Я()хР |1(М + /м2а1 ))5<11 . В силу замен (6) можно записать асимптотическое, при е ^ 0, приближенное равенство:
Л(, и1, и 2, г ) = /1 (, ^1, ^2, г, е) /1 (2, ^1, ^2, г ) = Я? )Ф1 (^1, ^2, г ) =
= R(z )exp<! X
Uy Ы'-у
j—+j—a1 8 8
JS(t)cCt > = R(z)exp< Nk[ju1 + ju2a1]]S(т)cCt >.
t J l t0 J
Теорема доказана.
Функция h(u1, u2, t)= lim h(z, u1, u2, t) есть характеристическая функция для процесса {n(t),V(t)} -
z ^да
числа событий, наступивших в просеянном потоке к моменту времени t и суммарного объема требований в просеянном потоке к моменту времени t.
Следствие. Полагая t = T, t0 = -да, для характеристической функции процесса {i((), V(t)} в стационарном режиме получим
h(u1, u 2 ) = exp{NX61 [ju1 + ju 2 a1 ]},
здесь и далее
да
b1 = J (1 - B(t ))cCt
0
определяет математическое ожидание случайной величины с функцией распределения ß(x). Асимптотический анализ второго порядка проведем в виде доказательства теоремы 2. Теорема 2. Асимптотическая характеристическая функция распределения вероятностей процесса {z(t),n(t),V(()} второго порядка имеет вид
2 ( t t >\
h(z, u1, u 2, t) = R(z )exp JNX((u1 + ju 2 a1 )) S(t)cCt + (u1) NX J S (т )cCt + Nk J S 2 (t)cCt
2
+
V '0 '0 у
, (u2)
2 ( t 2 t ^ 2 ( t t ^ NXa2 J S(t)cCt + Na12к J S2 (т)cCt +(j)2u1u2 NXa1 J S(t)cIt + Na1K J S2 (т)с1т
2 V t0 t0 у V t0 t0
где
к = 2(f '(0)- Xf (да)),
а2 - второй начальный момент случайной величины, определяемой функцией О(у); функция /^) -некоторая функция.
Доказательство. В уравнении (4) выполним замену
h(z, и1, и 2, ?) = h2 (z, и1, и2, ?)ехр< Ш1(и1 + ''и 2 а1)) 5(т)т!>, (11)
I (0 \
получим уравнение относительно функции h2 и1, и 2,1):
Ш дк2 (и2,1) + ' + 'и2а)() (z,и„и2,1 ) =
= ^2 и 2,1) + ^^^ [A(z)-1 + 5 (1 )А^ )(' О * (и2)-1)], (12)
с начальным условием
^ (z, и1, и2,10 ) = Л^). (13)
Выполним здесь следующие замены:
е2 = Ш-, щ = ем'1, и2 = е^2, h2(z,и1,и2,?) = /2(р,w1,w2,1,е). (14)
С использованием этих обозначений задача (12)-(13) перепишется в виде
2 д/2(z, w1, w7,1,е) _ / ч. / . ч0/ч д/2(z, w1, w7,1,е)
е2 - д + /2(z,w1,W2,1,е)(( + jеw2а!)() = 7 д +
д1 дz
+ \ä(z ) -1 + S (t)A(z )(ej8Wi G * (ew2 )- i)] (15)
dz
с начальным условием
f2 (z, Ui, U2, t0, 8) = R(z) . (16)
Найдем асимптотическое, при e ^ 0, решение этой задачи, т.е. f2 (z, w1, w2, t) = lim f2 (z, w1, w2, t, e).
, Wi, w2
e—0"
Этап 1. Выполним предельный переход при e ^ 0 в (15), получим
df2 (z, Wi, W2, t) df2 (0, Wi, W2, t)
• + ■
(A(z)-1) = 0.
дz дz
Отсюда следует, что /2 (, w1, w2,1) можно записать в виде
/2 (, W1, W2,1 ) = )Ф2 (W1, W2,1), (17)
где Ф2(w1,w2,?) - некоторая скалярная функция, удовлетворяющая условию Ф2(w1,w2,10) = 1. Этап 2. Решение уравнения (15) запишем в виде разложения
/2 (, Wl, W2,1, е) = Ф 2 (, W2,1 )) + (/е^ + ах )5 (1)/ ^)]+ о(е2), (18)
где / () - некоторая функция. Подставим это выражение в (15). Используя разложения
'1 = 1 + 'е^ + о(е2), '2 = 1 + + о(е2),
получим
1(1 + jеw2 а1)) ()) )Ф 2 (wl, W2,1) = Ф 2 (wl, W2,1 ){Л'^) + + ((1 + jеw2 а1)) ()/' ^ )+ )-1)+ ^5 (1 )A(z + jеw2 а1) + + / '(0)5 ( '1 + jеw2 а1 )(A(z)-1)}+ о(е2).
Учитывая, что
Л'^ )=Х(1 - А(^)),
приведя подобные и сократив обе части на (+ 'гк2а1 )5 (?), получаем дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции / ():
) = /' ^) + /' (0)[А^) -1]+ ), решение которого дает следующий результат:
/(2) = 11 (А(и) _ ^(и))и + /'(0)) (((и) _ 1) .
Нетрудно показать, что
/ '(0)= 1/ (ю) + -К,
2
где величина к определяется по формуле к = X3 (о2 _ а2) [10], величины а и о2 - математическое ожидание и дисперсия случайной величины с функцией распределения А(х).
Этап 3. В (15) выполним предельный переход при 2 ^ да. В силу способа построения функции (2, м1, м2, г, е) она является монотонно возрастающей и ограниченной сверху функцией по 2. Следовательно,
Ит 8/2 (2 »Ь г, е) = 0
82
Учитывая это и применяя разложения
(ем1)2 ,
е/ем1 = 1 + /е» +
о(е3), е/ем2 = 1 + /ем2 ++ о(е3),
2
2
в результате несложных преобразований получаем
е2 8/2Ц^ ^^е) + /2(ю,^У2,г,е+ /ем2а)() =
8/2 (0, ^ W2, г, е) £ (() 82 ^
8г (
/ем>1 + /ем>2 а1 +■
+ а2 +С/8»,Х(8М2 >>1+ о(е3)).
Подставим сюда разложение (18), при 2 ^ да запишем
2 8Ф2(м,,г) л/ \ / \
е2-п 1 2, > +1 (у + /ем2>1 )>)Ф2М,У2,г) +
8г
+ 1 ((//8М1 )2 + 2(//8М1 >/8М2 >>1 + (/8М2 а1 )2 ^ 2 (г)/(ю)ф 2 (»1, М2 , г> :
(/еМ1 )2 , (/еМ2)2
= Ф 2 М М2, г ) (О
/еу + /ем 2 а1 + ■
"а2 +(еМ1 Х(еМ2 К 1 +
+ (м )2 + 2(/ем )(/ем2 >»1 + (ем а1 )2 )>2 (г Ф 2 М, »2, г) + о(е3).
Приводя подобные слагаемые и сокращая на е2, учитывая (19) и переходя к пределу при е ^ 0, получим дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции Ф 2 (м1, м2, г):
8Ф 2 » *"2'г) = Ф 2 (У. »2,»)jХ/!2lI )+ к? 2 (г))+
^ ^ . ()+ ,2 .V2 (^ ()+ ^ 2 ( ^
Решение этого уравнения с учетом начального условия, имеет вид
Ф 2 (»1, »2, г) = ехр • 11v (т )йт + к | v2 (т )йт
((м2 )
2
1а2 | V(т)йт + а12к | V2 (т)йт
V
Л
+ (М /) 1а11V (т)т + а1 к | V2 ()йт подставляя которое в (17), получаем
V г0
г —гю
2
2
+
+
2
V '0
г
Г ( - )2 ( t t
f2 (z, w1, w2, t) = R(z)expJ X f s(i)dx + к f S2 (т)dx
V '0
(jW2 У
(
2
Л
t Л
2
1а215 (т)йт + а12 к /52 (т)йт + ()() 1а1/5 (т )йт + а1 к /52 (т)йт
V / V у
Выполним в выражении (20) замены, обратные к (14) и (11), получим следующее выражение для асимптотической характеристической функции Н и1, и2,1) числа событий просеянного потока, наступивших до момента времени 1, и суммарного объема требований, находящихся в просеянном потоке в момент времени 1 :
h(z,u1,u2, t) = R(z)exp< Nl(ju1 + ju 2 ai)) S (т)т + —L [nX fS ( т )dT + Nk f S 2 (т )dT
2
Л
(ju 2 )2
V t0 ( t
t Л
2
NXa2 f S (т )dт + Na12 к f S2 (т d + (ju1 X ju 2) NXa1 f S (т )dт + Na1 к f S2 (т ^т ¿0 ^0 у V t(0 t(0
Теорема доказана.
Функция h(u1,u2, t)= lim h(z,u1,u2, t) есть характеристическая функция для процесса {n(t),V(t)} -
z—f
числа событий, наступивших в просеянном потоке к моменту времени t и суммарного объема требований в просеянном потоке к моменту времени t.
Следствие 1. Полагая t = T, t0 =-f, для характеристической функции процесса {((),V(t)} в стационарном режиме получим
Г ( u )2
h(u1,u2 ) = exp<! ju1 NXb1 + ju2NXb1a1 + -—— (Nkb1 + Nkö2 ) +
2
(— 2) (Nka2b1 + Na12 кЬ2) + (ju1 )ju 2 )NXa1 b1 + Na1 кЬ2) j
(21)
где
Ъ2 = /(1 - В(т))2 йт .
0
Из вида функции (21) очевидно, что двумерный процесс {/(? ),У (1)} является асимптотически гаус-совским с вектором математических ожиданий
а = N • [1Ъ1 1а1Ъ1 ]
и ковариационной матрицей
K =
2
Gi TGiG2 rOiG 2 G 22
= n ■
Xb1 + Kb2 Xa1b1 + a1Kb2 Xa1b1 + a1Kb2 Xa 2 b1 + a12 Kb2
Следствие 2. Асимптотическая характеристическая функция суммарного объема требований в системе в стационарном режиме имеет вид гауссовской характеристической функции
h(u, t) = expj juNXa1b1 + (ju) (NXa2b1 + Na12Kb2 )|
с параметрами a = NXaibi и a2 = NXa2b1 + Na12 Kb2 .
Заключение
В результате проведенного исследования построена математическая модель обслуживания требований случайного объема в бесконечнолинейной системе массового обслуживания 01|01|да. С помощью
+
0
+
+
метода асимптотического анализа при условии высокой интенсивности входящего потока доказано, что распределение вероятностей суммарного объема требований в системе является гауссовским.
ЛИТЕРАТУРА
1. Моделирование процессов и систем обработки информации: курс лекций / О.М. Тихоненко. Минск : БГУ, 2008. 148 с.
2. Sengupta B. The Spatial Requirement of M/G/1 Queue or: How to Design for Buffer Space Modeling and Performance Evaluation
Methodology // Lect. Notes Contr. Inf. Sci. / eds. by F. Baccelli, G. Fayolle. Berlin, 1984. V. 60. P. 547-562.
3. Тихоненко О.М. Распределение суммарного объема сообщений в системах массового обслуживания с групповым поступле-
нием // Автоматика и телемеханика. 1987. № 11. С. 111-120.
4. Тихоненко О. М. Распределение суммарного объема сообщений в однолинейной системе массового обслуживания с группо-
вым поступлением // Автоматика и телемеханика. 1985. № 11. С. 78-83.
5. Kang S.H., Kim Y.H., Sung D.K., Choi B.D. An application of Markovian Arrival Process to modeling superposed ATM cell streams
// IEEE Transactions on Communications. 2002. V. 50, No. 4. P. 633-642.
6. Klemm A., Lindermann C., Lohmann M. Modelling IP traffic using the batch Markovian arrival process // Performance Evaluation.
2003. V. 54. P. 149-173.
7. Лисовская Е.Ю., Моисеева С.П. Асимптотический анализ системы MMPP|GI|<» с обслуживанием требований случайного
объема // Труды Томского государственного университета. Т. 299. Сер. физико-математическая: Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем : материалы IV Междунар. молодеж. науч. конф. Томск, 20-21 мая 2016 г. / под общ. ред. И.С. Шмырина. Томск : Издательский Дом Том. гос. ун-та, 2016. С. 99-104.
8. Лисовская Е.Ю., Моисеева С.П. Исследование бесконечнолинейной системы массового обслуживания требований слу-
чайного объема с входящим MMPP-потоком // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2016) : материалы XV Междунар. конф. им. А.Ф. Терпугова (12-16 сентября 2016 г.). Томск : Изд-во Том. ун-та, 2016. Ч. 1. С. 77-82.
9. Лисовская Е.Ю., Моисеева С.П. Суммарный объем заявок в бесконечнолинейной системе массового обслуживания с рекур-
рентным входящим потоком // Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь (DCCN-2016) = Distributed computer and communication networks: control, computation, communications (DCCN-2016) : материалы Девятнадцатой междунар. науч. конф., 21-25 нояб. 2016 г. : в 3 т. / под общ. ред. В.М. Вишневского, К.Е. Са-муйлова. М. : РУДН, 2016. С. 313-325.
10. Бесконечнолинейные системы и сети массового обслуживания / А.Н. Моисеев, А.А. Назаров. Томск : Изд-во НТЛ, 2015. 240 с.
11. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания / А. А. Назаров, С. П. Моисеева. Томск : Изд-во НТЛ, 2006. 112 с.
Лисовская Екатерина Юрьевна. E-mail: ekaterina_lisovs@mail.ru
Моисеева Светлана Петровна, д-р физ.-мат. наук, доцент. E-mail: smoiseeva@mail.ru
Национальный Исследовательский Томский государственный университет
Поступила в редакцию 30 декабря 2016 г.
Lisovskaya Ekaterina Yu., Moiseeva Svetlana P. (National Research Tomsk State University, Russian Federation). Asymptotical analysis of a non-Markovian queueing system with renewal input process and random capacity of customers. Keywords: Infinite-server Queue; dynamic screening method; customer with random capacity; asymptotic analysis method.
DOI: 10.17223/19988605/39/5
In this paper, the GI/GI/да queueing system (QS) with random capacity customers is studied. The arrival process is a Renewal process. The system has an unlimited number of servers and service times on each server are i.i.d. with distribution function B(x). All customers have a random capacity v > 0 with probability distribution G(y) = P{v < y} and the customers capacities are independent. Moreover, we assume that service time and customers capacity are mutually independent. After the service, customers leave the system and "take away" the capacity.
We considered two-dimensional stochastic process {i(t), V(t)}, where i(t) and V(t) denote the number of customers in the system and the total customers capacity at time t, respectively.
We proposed the dynamic screening method for its investigation. Note that this method exactly determines the characteristics of the process V(t) since the screened process contains only those customers, which do not finish the service at the moment T.
We obtained the system of Kolmogorov differential equations and by using the partial characteristic function, we wrote the main equation:
9h{z'U" U ?) = ^ U" U2'?) + 5h(° U" U ?) A(z) -1 + S (t )A(z )(e - G * (u2) -1)1
dt dz dz
with the initial condition
h(z, Uj, u 2, 10) = R(z).
By using the asymptotic analysis method under the condition of an infinitely growing arrival rate, we obtained that in steady state regime the characteristic function of the customers number in the system and the total customers capacity corresponds to a two-dimensional Gaussian distribution
1. Tihonenko, O.M. (2008) Modelirovanie protsessov i system obrabotki informatsii [Modelling of processes and information processing
systems: lectures]. Minsk: BSU.
2. Sengupta, B. (1984) The Spatial Requirement of M/G/1 Queue or: How to Design for Buffer Space Modeling and Performance Eval-
uation Methodology. In: Baccelli, F. & Fayolle, G. (eds) Lect. Notes Contr. Inf. Sci. Vol. 60. Berlin. pp. 547-562.
3. Tihonenko, O.M. (1987) Raspredelenie summarnogo ob"ema soobshcheniy v sistemakh massovogo obsluzhivaniya s gruppovym
postupleniem [Distribution of the total volume of messages in a queuing system with batch arrival]. Avtomatika i telemekhanika -Automation and Remote Control. 11. pp. 111-120.
4. Tihonenko, O.M. (1985) Raspredelenie summarnogo ob"ema soobshcheniy v odnolineynoy sisteme massovogo obsluzhivaniya s
gruppovym postupleniem [Distribution of the total volume of messages in a single-server queuing system with batch arrival]. Avtomatika i telemekhanika - Automation and Remote Control. 11. pp. 78-83.
5. Kang, S.H., Kim, Y.H., Sung, D.K. & Choi, B.D. (2002) An application of Markovian Arrival Process to modeling superposed ATM
cell streams. IEEE Transactions on Communications. 50(4). pp. 633-642.
6. Klemm, A., Lindermann, C. & Lohmann, M. (2003) Modelling IP traffic using the batch Markovian arrival process. Performance
Evaluation. 54. pp. 149-173. DOI: 10.1016/S0166-5316(03)00067-1
7. Lisovskaya, E.Yu. & Moiseeva, S.P. (2016) [Asymptotic analysis MMPP|GI|o> queue with random customers capacity]. Matematich-
eskoe i pro-grammnoe obespechenie informatsionnykh, tekhnicheskikh i ekonomicheskikh sistem [Mathematical and software information, technical and economic systems]. Proc. of the 4th International Youth Scientific Conference. Tomsk: Tomsk State University. pp. 99-104. (In Russian).
8. Lisovskaya, E.Yu. & Moiseeva, S.P. (2016) [Study of infinite-server queue with random customers capacity with the MMPP arrives].
Informatsionnye tekhnologii i matematicheskoe modelirovanie (ITMM-2016) [Information technology and mathematical modeling (ITMM 2016)]. Proc. of the 15th International Conference named after A.F. Terpugov. Vol. 1. Tomsk: Tomsk State University. pp. 77-82. (In Russian).
9. Lisovskaya, E.Yu. & Moiseeva, S.P. (2016) [The total volume of customers in the infinite-server queuing system with renewal input
process]. Raspredelennye komp'yuternye i telekommunikatsionnye seti: upravlenie, vychislenie, svyaz' (DCCN-2016) [Distributed computer and communication networks: control, computation, communications (DCCN-2016)]. Proc. of the 19th International Conference. Moscow: PFUR. pp. 313-325. (In Russian).
10. Moiseev, A.N. & Nazarov, A.A. (2015) Beskonechnolineynye sistemy i seti massovogo obsluzhivaniya [Queuing systems and networks with infinite number of servers]. Tomsk: NTL.
11. Nazarov, A.A. & Moiseeva, S.P. (2006) Metod asimptoticheskogo analiza v teorii massovogo obsluzhivaniya [Method of asymptotic analysis in queuing theory]. Tomsk: NTL.
and the asymptotic characteristic function of the total customers capacity corresponds to a Gaussian distribution
REFERENCES
