Вероятностные характеристики абсолютного максимума гауссовского случайного процесса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.246

Радиотехника и связь

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АБСОЛЮТНОГО МАКСИМУМА ГАУССОВСКОГО

СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

В.П. Литвиненко, О.В. Чернояров, Л.А. Голпайегани

В работе описаны методики получения общих выражений для функций распределения абсолютного максимума нестационарного гауссовского процесса. Рассматриваются дифференцируемые и недифференцируемые случайные процессы. Показано, что вид закона распределения зависит от аналитических свойств процесса, а именно, от существования его непрерывной производной. На основе полученных результатов записаны формулы для вероятностей непревышения порога стационарными дифференцируемыми и недифференцируемыми гауссовскими случайными процессами. В результате решения решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова получены статистические характеристики гауссовского марковского или локально марковского случайного процесса. Установлено, что в ряде частных случаев предложенные асимптотические аппроксимации удовлетворительно описывают истинные распределения в широком диапазоне значений параметров случайного процесса. Полученные результаты подтверждаются методами статистического моделирования, с их помощью установлены границы применимости полученных оценок статистических характеристик. Предложенные подходы при соответствующем обобщении могут быть использованы для определения предельных характеристик негауссовских случайных процессов

Ключевые слова: гауссовский случайный процесс, функция распределения абсолютного максимума, вероятность пересечения барьера, выбросы случайного процесса, уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова

Введение

Задача определения предельных характеристик гауссовских случайных процессов имеет широкие приложения в статистической радиофизике и радиотехнике, теории надежности, анализе предельных отклонений с устойчивости технических систем и т.д. В известной литературе получен ряд конструктивных результатов, связанных с пересечением барьеров гауссовскими случайными процессами [1-4 и др.]. Показано, что вид функции распределения

F(h)= P[ sup £(t)< h] (1)

te[0,T ]

абсолютного максимума гауссовского случайного процесса £(t) зависит от существования его непрерывной производной.

Распределение абсолютного максимума дифференцируемого гауссовского случайного процесса

Рассмотрим вначале нестационарный гауссовский случайный процесс £(t) с математическим ожиданием m(t) = ^(t) и ковариационной функцией 5(t1,t2)=([^(t1)-m(t1)][^(t2)-m(t2)]), непрерывный в сред-неквадратическом вместе с первой производной Ё,(t).

Обозначим n(h, t) - среднее число выбросов реализации £(t) за уровень h в элементарном интервале [t, t + dt]. Положим, что порог h достаточно велик, h -m(t)>>a(t), t e[0,T],

Литвиненко Владимир Петрович - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, тел. 8(473) 271-44-57, e-mail: [email protected] Чернояров Олег Вячеславович - НИУ «МЭИ», д-р техн. наук, доцент, тел. 8-977-811-93-83, e-mail: [email protected] Голпайегани Лейла Абдолмаджид - НИУ «МЭИ», аспирант, тел. 8-968-095-01-46

где ст2 (t) = B(t, t) - дисперсия процесса £(t) . Тогда поток выбросов реализации E,(t) за уровень h можно приближенно считать пуассоновским. К тому же выбросы на различных элементарных интервалах будут приближенно статистически независимы [4, 7]. Следовательно, вероятность непревышения порога h приближенно равна

P[ sup |(t) < h] И exp[- Й(h)], Й(h) = Г n(h, t) dt. (2)

te[0,T ] j0

Общая формула для среднего числа выбросов нестационарного гауссовского случайного процесса получена в [3]:

П(й,t) = [ 4Щ/2жа2(t) ]exp{- [h - m(t)]2/2a2(t) }x (3)

x {exp [- M12 (t)/2]+ V2»M1(t)®[M1(t)] },

l2

B2 (t ) = ст 2 (t)

"52 B(t1, t2)" "5B(t1,12)"

dt1dt2 t _ 5t2 _

M1 (t ) = -

<t

¡ст 2 (t) ^ + [h - m(t)]

5B(t1, t2)

dt2

а ф(х) = | ехр(- и - интеграл вероятности.

В общем случае функция в правой части (2) не является неубывающей функцией h. Поэтому для произвольных h в качестве аппроксимации функции распределения абсолютного максимума процесса £(/) можно использовать выражение

ехр[-П(к)], h > к 0 , h < к

F (h),

(4)

mm ■

Здесь кт1П - наименьшее значение к, для которого при любых е>0 выполняется неравенство

1

Й(А)>П(А+е).

Аппроксимация (4) функции распределения наибольших значений является приближенной, однако ее точность возрастает по мере увеличения А и Т [4, 7]. При малых значениях А и Т аппроксимация (4) может оказаться слишком грубой. Поскольку при Т ^ 0 распределение наибольших значений процесса ^(г) сходится к гауссовскому распределению, то аналогично [8] вместо (4) можно использовать также аппроксимацию вида

FG (А) ехр[-П(А)], А > /

F (А),

. ^ (/шт )еХР[- П (/тт ^ А < Ат

(5)

где FG(А) = ф[(А - т(о))/ст(о)] - функция распределения гауссовской случайной величины с параметрами ~ N (т(о), ст2 (о)). Аппроксимация (5) в отличие от (4) асимптотически точна не только при Т ^ да , но и при Т ^ 0 . При больших значениях А и Т аппроксимации (4) и (5) практически совпадают.

Формулы (4), (5) очевидным образом обобщаются на случай порога А(г), зависящего от времени.

Если гауссовский случайный процесс является стационарным, так что т (г )= т , ст 2 (г) = ст 2,

В(^, г2 ) = в(г

2 - г1), то формула (5) существенно упрощается и принимает вид [8]

F (А),

FG (А) еХР

а

ехр

(А - т) 2ст2

2 Л

^(т) ехр|- —

А > т,

А < т .

(6)

Здесь а= Т/хс , а хс =

Ц- d 2 В(т)/ dт2

- вели-

х=0

чина, характеризующая время корреляции (эквивалентную ширину спектра) процесса ^(г).

Как показывают результаты статистического моделирования, формулы (5), (6) обладают удовлетворительной точностью при произвольных а и А > т + ст .

Распределение абсолютного максимума не-дифференцируемого гауссовского случайного процесса

Рассмотрим теперь недифференцируемый гауссовский случайный процесс ^(г) с начальной плотностью вероятности

К*;о)=-

1

ехр

(х - то)2 2ст2

(7)

Здесь т0 = т(о) и ст^ =ст2 (о) - математическое ожидание и дисперсия процесса в момент времени г = 0 . Ограничимся частным, но важным случаем, когда процесс Е,(г) является марковским случайным процессом с

постоянными коэффициентами сноса и диффузии К1,

К 2.

Представим (1) в виде

F(А) = ^[л(г)> 0], г е[0,Т], где л(г) = А -Е,(г). Тогда для вероятности (1) можно записать

F(А) = |wл(z;T) dz.

(8)

Здесь wл(z;/) - одномерная плотность вероятности реализаций случайного процесса л(г), ни разу не достигших границ z = 0 и z = да на интервале [0,г].

В силу предполагаемой марковости процесса Е,(г) процесс л(г) также будет являться марковским с коэффициентами сноса и диффузии

К1г| = -К1, К2г| =К 2 (9)

и начальной плотностью вероятности, определяющейся согласно (7) как

^;0) = -

1

ехр

^ - А + т0 )2

2ст 0

(10)

В силу марковских свойств процесса л(г) функция wrl(z;г) может быть найдена из решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) [2]:

дw^(z;t)

дг

= "& [К1^wл(z;г)]+ 2[К)] (11)

при начальном условии (10) и граничных условиях wл(о; г ) = wл(да; I ) = 0.

Для решения (11) приведем его к каноническому виду. Обозначая

н>лО?; I ) = и I )ехр

К

1л

2К 2

г +-

К

1л

К 2

(12)

^ 2л 2л

и подставляя (12) в (11), получаем, что функция г) удовлетворяет уравнению

ди л(х;г )/дг = (к 2л 12) д 2и л(z; г )/& 2 при начальном и граничных условиях

и л^;0) = wл(z;0)exp(- К1л z|K 2л),

(13)

(14)

и л(0; г ) = и л (да; г ) = 0. Согласно [2] решение уравнения (13) с учетом (14) имеет вид

ил(^ г ) =

х < ехр

1 да "Т=—| ^1;0) ехР 42%К2лг 0о

.К}

К

1л

(? - zl)2 2Кмг

-ехр

2К2лг

(15)

dz1.

Подставляя (15) в (12), получаем решение уравнения ФПК (11)

ст

z

z

X

ст

w„ (z; t) = J wл (z1 ;0) exp

K

1л

K

2K

t + - Zj)

2Л

K

2л

x < exp

(z - zj )2

2К2л!

exp

(z + zj )2 2^t

(16)

dz1

■J^K:

2л

Наконец, подставляя (16) в (8) с учетом (9) находим функцию распределения абсолютного максимума гауссовского марковского процесса с постоянными коэффициентами сноса и диффузии

F (h) = JJ wл(zj;0) exp

0 0

(z - z1)

-KtT -KL(z -z-)

2K 2

K 2

x^ exp

2K2T

exp

(z + zj )2 2K 2T

dzdz1

2t

Интегрирование в (17) по переменной z можно выполнить аналитически. В результате с использованием явного вида плотности вероятности

w^z;0) (10), имеем F (h) = -

Ф

z - K1T

4KT

-exp

J exp

2K1 z

~K7

(z - h + m0 )2

2a 0

1-Ф

z + K1T

4KT

w

dz.

Здесь индекс "1" у переменной интегрирования опущен. Аналогичная методика может быть использована для нахождения вероятности пересечения гауссовским марковским случайным процессом с произвольными коэффициентами сноса и диффузии наклонных барьеров, если при этом удается разрешить уравнение (11).

Если гауссовский марковский или локально марковский [8] случайный процесс £(t) является стационарным (в том числе с непостоянным коэффициентом сноса), функция распределения (1) может быть найдена следующим образом. Согласно [9], для вероятности (1) имеем

P[ sup £(t) < h] « exp (- pT), (18)

ie[0,T ]

где

dx

x0

t (x Г

(19)

а wsг (х) - стационарная плотность вероятности случайного процесса Е,(г), определяемая из (7). Формула (18) получена в [9] для случая, когда К2Т/2ст^ >> 1 и

wsг (А)<< 1. (20)

Очевидно, условие (20) выполняется, когда А >> т0.

Значение х0 в (19) выбирается в области максимальной вероятности значений процесса Е,(г), так что можно положить х0 = т0 . Тогда, используя для вы-

-exp[(h - m0 )V2a0 ][ 1 + o(h~1)] (21)

числения интеграла (19) асимптотическую формулу Лапласа [10], при h ^ да получаем

1 = 2a 0

p K 2 h - m

Значит, при больших h согласно (18), (21) для вероятности (1) можно записать

P[ sup £(t) < h] « exp[- 89(h)], (22)

ie[0,T ]

Здесь

9(h)=(h - ^ exp a

(h - m0)2

2a 0

(17) а 8 = K2t/2a0 и имеет такой же физический смысл,

как величина а в формуле (5). Как следует из вывода формулы (18) в [9], точность приближенной формулы

(22) растет с увеличением 5 и А.

Поскольку правая часть (22) является неубывающей функцией лишь при А > Ашт , для функции распределения абсолютного максимума процесса £(г) используем аппроксимацию

ехр[-8Ф(А)] , А > Ашln,

0 , А < Ашln,

где Аш1п - наименьшее значение А, для которого при любых е> 0 выполняется неравенство ф(А)>ф(А +е). Нетрудно видеть, что Аш1п = т0 + ст0.

При не очень больших значениях 5 и А формулу

(23) можно несколько уточнить, подобно [8] положив

F (h) =

(23)

F (h)s

Fa (h) exp[- 8<p(h)] , h > hm

FG (hmin ) exp [- 89(hmin )] , h < hm

(24)

где FG (а) определяется так же, как в (6). В отличие от (23) аппроксимация (24) асимптотически точна как при 8 ^ да, так и при 8 ^ 0 . При больших 5 и А аппроксимации (23) и (24) практически совпадают.

В ходе экспериментальной проверки было установлено, что формула (24) обладает удовлетворительной точностью при 8 > 5 и А > Аш1п .

Заключение

Таким образом, представленные методики позволяют найти законы распределении абсолютного максимума нестационарных гауссовских случайных процессов, и могут быть при соответствующем обобщении использованы для определения предельных характеристик негауссовских случайных процессов. Вид закона распределения абсолютного максимума зависит от того, является ли вероятностный процесс дифференцируемым или недифференцируемым. Сопоставление с экспериментальными данными, полученными в ходе статистического моделирования для ряда частных случаев, показывает, что предложенные формулы хорошо описывают истинные распределения в широком диапазоне значений параметров случайных процессов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 14-49-00079).

x

x

a

x

Литература

1. Жиглявский, А.А. Обнаружение разладки случайных процессов в задачах радиотехники / А.А. Жиглявский, А.Е. Красковский. - Л.: ЛГУ, 1988. - 224 с.

2. Тихонов, В.И. Марковские процессы / В.И. Тихонов, М.А. Миронов. - М.: Сов. радио, 1977. - 488 с.

3. Тихонов, В.И. Выбросы случайных процессов / В.И. Тихонов. - М.: Наука, 1970. - 392 с.

4. Тихонов, В.И. Выбросы траекторий случайных процессов / В.И. Тихонов, В.И. Хименко. - М.: Наука, 1987. -340 с.

5. Durbin, J. The first-passage density of a continuous Gaussian process to a general boundary / J. Durbin // Journal of Applied Probability. - 1985. - Vol. 22. № 1. - P. 99-122.

6. Abrahams, J.A. Survey of Recent Progress on Level-Crossing Problems for Random Process / J.A. Abrahams // Communications and Networks. A Survey of Recent Advances. -New York: Springer-Verlag, 1986. - P. 6-25.

7. Крамер, Г. Стационарные случайные процессы / Г. Крамер, М. Лидбеттер. - М.: Мир, 1969. - 400 с.

8. Теория обнаружения сигналов / П.С. Акимов, П.А. Бакут, В.А. Богданович и др.; под ред. П.А. Бакута. - М.: Радио и связь, 1984. - 440 с.

9. Стратонович, Р.Л. Избранные вопросы теории флук-туаций в радиотехнике / Р.Л. Стратонович. - М.: Сов. радио, 1961. - 560 с.

10. Федорюк, М.В. Метод перевала / М.В. Федорюк. -М.: Наука, 1977. - 368 с.

Воронежский государственный технический университет

Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт»

PROBABILITY CHARACTERISTICS OF THE ABSOLUTE MAXIMUM OF GAUSSIAN RANDOM

PROCESS

V.P. Litvinenko1, O.V. Chernoyarov2, L.A. Golpayegani3

1PhD, Associate Professor, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russian Federation

e-mail: [email protected]

2Full Doctor, Associate Professor, National Research University "Moscow Power Engineering Institute", Moscow, Russian Federation

e-mail: [email protected] 3Graduate student, National Research University "Moscow Power Engineering Institute", Moscow, Russian Federation

e-mail: [email protected]

In this paper, methods are described for obtaining general expressions for absolute maximum distribution functions of nonsta-tionary Gaussian process. Differentiable and nondifferentiable random processes are considered. It is shown that the form of the distribution law depends on the analytical properties of the process, namely, on the existence of its continuous derivative. On the basis of the results obtained, formulas are written for the probabilities of non-exceeding the threshold by stationary differentiable and nondifferentiable Gaussian random processes. As a result of solution of the Fokker-Planck-Kolmogorov equation, the statistical characteristics of Gaussian Markov or locally Markov random process are obtained. It is established that in a number of particular cases the proposed asymptotic approximations describe satisfactorily the true distributions over a wide range of values of the parameters of the random process. The obtained results are confirmed by the methods of statistical modeling; with their help the boundaries of applicability of the obtained estimates of statistical characteristics are established. The proposed approaches, with appropriate generalization, can be used to determine the limiting characteristics of non-Gaussian random processes.

Key words: Gaussian random process, distribution function of the absolute maximum, probability of barrier crossing, outliers of random process, Fokker-Planck-Kolmogorov equation.

References

1. Zhiglyavskiy A.A., Kraskovskiy A.E. "Detection of abrupt changes in random processes for radio engineering tasks" ("Ob-naruzhenie razladki sluchainykh protsessov v zadachakh radiotekhniki"), Leningrad: Leningrad State University, 1988, 224 p.

2. Tikhonov V.I., Mironov M.A. "Markov Processes" ("Markovskie protsessy"), Moscow, Sovetskoe Radio, 1977, 488 p.

3. Tikhonov V.I. "Outliers of random processes" ("Vybrosy sluchaynykh protsessov"), Moscow: Nauka, 1970, 392 p.

4. Tikhonov V.I., Khimenko V.I. "Outliers of random process trajectories" ("Vybrosy traektoriy sluchaynykh protsessov"), Moscow, Nauka, 1987, 340 p.

5. Durbin, J. "The first-passage density of a continuous Gaussian process to a general boundary", Journal of Applied Probability,, 1985, vol. 22, no. 1, pp. 99-122.

6. Abrahams J.A. "Survey of recent progress on level-crossing problems for random process", Communications and Networks. A Survey of Recent Advances, New York, Springer-Verlag, 1986, pp. 6-25.

7. Cramer H., Leadbetter V. "Stationary and related stochastic processes", New York, Wiley, 1967, 348 p.

8. Akimov P.S., Bakut P.A., Bogdanovich V.A. et al. "Signal detection theory" ("Teoriya obnaruzheniya signalov"), Moscow, Radio i Svyaz', 1984, 440 p.

9. Stratonovich R.L. "Selected problems of fluctuation theory in radio engineering" ("Izbrannye voprosy teorii fluktuatsii v ra-diotekhnike"), Moscow, Sovetskoe Radio, 1961, 560 p.

10. Fedoryuk M.V. "The saddle-point method" ("Metod perevala"), Moscow, Nauka, 1977, 368 p.