Исследование кинетического уравнения Павулы для нестационарного гауссовского случайного процесса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958: 519.218

А.М. Лавров

ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПАВУЛЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО ГАУССОВСКОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Рассматривается вопрос о переходной плотности, то есть фундаментальном решении кинетического уравнения Павулы для одномерной плотности вероятности нестационарного гауссовского случайного процесса. Полученные результаты можно применить к некоторым характерным задачам статистической радиофизики, теории случайных процессов и дифференциальных уравнений в частных производных.

гауссовский (нормальный) случайный процесс, кинетические коэффициенты, марковские и немарковские случайные процессы, переходная плотность, уравнение Фоккера - Планка - Колмогорова.

В литературе (см., напр. [5; 9]) неоднократно подчеркивалось, что кинетическое уравнение для переходной плотности вероятности w(x,t | х0,10) случайного процесса х(1;), выведенное первоначально для марковских процессов,

(так называемое уравнение Фоккера - Планка - Колмогорова (ФПК)), справедливо также и для немарковских процессов с последействием. При этом в марковском случае кинетические коэффициенты Ап (х, 1) определяются соотношением

В работе [11] американский математик Р. Павула вывел обобщенное уравнение ФПК на условную плотность вероятности w(x,t|X,T), которое в явном виде отражает немарковость процесса:

дw _ д

д дх

Ап(х, 1) _ Нт (1/ А)< [х(1 + А) - х(1)]п | х(1) ).

(2)

(3)

где

Ап (х, 1; X, Т) _ Пт (1/ А) <[х(1 + А) - х(1)]п | х, 1, X, Т); (4)

зависимость плотности вероятности w(x,t|X,T) и кинетических коэффициентов Ап(х,1;Х,Т) от множества фиксированных значений Х,Т процесса х(1)

отражает его немарковость.

Далее В.А. Казаковым [2] предложена новая форма записи кинетических коэффициентов, которая отличается от известного определения (4) и вместе с тем согласуется с выводом классического (1) и обобщенного (3) уравнений ФПК. Согласно [2], кинетические коэффициенты определяются в виде первой производной по времени от соответствующей условной моментной функции приращения случайного процесса

В работах [3; 4; 7; 8] на основе новой формы записи (5) получены значения кинетических коэффициентов для стационарных немарковских случайных процессов гауссовского, релеевского и пирсоновского типа и проведено исследование соответствующих обобщенных уравнений ФПК. В данной работе нами начато решение аналогичной задачи для нестационарного гауссовского случайного процесса.

Рассмотрим гауссовский случайный процесс общего вида с достаточно гладкими корреляционными функциями

ап(11 х,1,Х,Т) _ <[х(-1) - х(1)]п | х,1,Х,Т) :

1 _ 1 + 0.

(5)

где

Вычисленные в работе [9] коэффициенты Ап

3,

позволяют выписать для рассмотренного случая уравнение Павулы (3):

(6)

dw d

о— + —

dt dx

' + (x-m)l — + II'

m

Y

w > + a R

2-e fd 2w

(7)

dx2

= 0,

где для краткости обозначено

m' = m'(t), a' = a'(t) и R'

dR

dt

t=t+0.

В соответствии с теории этому уравнению должна удовлетворять одномерная гауссовская плотность распределения

Wj(x,t) =

1

л/2л a( t)

exp <

[ x - m (t)] . 2 [a( t)] 2

(8)

что легко проверяется непосредственно.

В качестве примера рассмотрим нормальный марковский процесс с нулевым математическим ожиданием, постоянной дисперсией а и корреляционной функцией

1 / ? , \ 2 —а| 1—1| Л

к2(1,1 )_а е , а>0.

Считая £ > 1, получаем R (1,1) _ е а(1 1).

Вычислим коэффициенты А1 и а2 по формулам (6).

х . dR

Так как R' =__________

dt

= -ae

X(t-t)

t=t+0

t=t

= —a :

то

А1 (х,1) _ т' + (х — т)^-V Я_ —ах и А2 (хД) _-2ак'_ 2а2а.

Тем самым в рассматриваемом случае уравнение ФПК (7) принимает вид

dw d ,

=-------------(—axw

dt dx

\ 1 d2 2 \ dw d/4 2 d2w

) +---(2a aw )o--= a—(xw) + a "

2 dx2V ’ ^ '

a

dx

(9)

Этому уравнению удовлетворяет одномерная плотность распределения (8) при m = 0 и a = const:

1 l 2 Л w (x,t) = exp —. (10)

V 2a У

а

Однако, как известно (см., напр., [9]), помимо безусловной плотности (10) уравнению (9) при 1 Ф 10 удовлетворяет также и условная (переходная) плотность

w ( x,t|x0,t0 ) =

2toj2 1 — e

—2a( t—10)

exp

x — x0e—a( 1—10)

2a2 1 — e

—2a(t—10 )

которая представляет собой фундаментальное решение уравнения (9).

1

Возникает естественный вопрос: может быть, и в случае гауссовского процесса общего вида условная (переходная) плотность

1

w ( x,t|x0,t0 ) =

х exp

^2л[а( t)]2 j1 -[ R (t,t0 )]2 }

|[x-mM-^) [x0 -m(t0)]R(t,to)|

2 [a( t )]2 j1 -[R (t,t0)]2 }

(11)

при 1 Ф 10 будет удовлетворять соответствующему уравнению Павулы (9)?

Покажем вначале, что w (х,1|х0,10) образует дельта-образную последовательность при 1 ^ 10 . Если бы при этом условная плотность w (х,1|х0,10)

удовлетворяла уравнению (9), то она являлась бы фундаментальным решением этого уравнения.

Проверим, что данная плотность w (х, 11 х0,10 ) как функция от «х» имеет дельта-образный вид. Точно это выражается следующими условиями [1]:

а

J w(x,t|xo,to )dx

ограниче-

a) V M > 0 при |c| < M, |d < M величины

ны постоянной, зависящей только от M;

b) при любых фиксированных c,d Ф x0

d / ч |1 при c < x0 < d,

lim I w(x,t | x0,t0)dx = \

*^*0 c [0 при c < d < x0 и x0 < c < d.

Обозначим g(t0) = ^0, m(t0) = m0 и R(t,t0) = R. С учетом этих,

а также ранее приведенных обозначений t) = ^ и m(t) = m условная плотность (11) принимает вид

W ( x,t|x0,t0 ) =

^2тсст2 (1 - R2)

exp

(x-m)-(x0 -m0)CTV

/

2ст2 (1 - R2)

(12)

2

1

Рассмотрим интеграл

j w ( x,t|x0,t0) dx =

^2na2 (1 - R2)

j exp

( X - m )-(x0 - m0 )

aR/

2a2 (l - R2)

dx

и сделаем в нем замену переменной

( x - m )-( Х0 - m0 )aR

V2a2 (l - r2 )

■ = y.

Получим

y(d.t)

jw(x,tlx0,t0)dx = i j e-y2dy,

y(c,t

y(c,t)

где

y ( b,t ) =

(b-m)-(x0 -m0)aR

V2a211 - r2 )

(13)

b - x0 R (^)

a( t0 )

+

m

(t0 )~77) R (^)-m (t) a( t0 )

^2 [a( t )]2 j1 -[R (t,t„ )]2}

Заметим, что если b < xo (соответственно b < x), то при t, достаточно близких к t0, числитель в (13) становится положительным (соответственно отрицательным),

а так как знаменатель в (13) стремится к +0 при t ^ t0, то limy(b,t) = +<» (соот-

t^t0

ветственно lim y (b, t) = -да) и

1 +да

—j= Г e-y dy = 1 при c < x0 < d, vn

* -да

1±да

Г - 2

I e-y dy = 0 при x0 < c < <

.Vn±±M

то есть условие (b) выполнено.

Условие (а) также выполнено, так как Vc, d е R:

lim Гw(x,t | x0,t0)dx =

t^tn J V 7

v^c < d или c < d < x0,

u

0 < j w(x,t | x0,t0)dx < 1.

Переходим к вопросу о том, будет ли условная плотность вероятности (13), (14) удовлетворять уравнению ФПК (7), которое после вычисления производных во втором слагаемом принимает вид

1

0

0

0

^ Га' • , ,

-------VI —V Я | w +

51 1а

т' + (х - т )| — + II'

5w

52

™ + а2Я'^ _ 0. (14)

5х

5х

Д Д Д 2

Для этого найдем производные 5 w функции w (х,1|х0,10)

51 ’ 5х ’ 5х2

и подставим их в уравнение (14).

Опуская несущественный постоянный множитель ________1_ и обозначая ос-

тавшуюся функцию по-прежнему как w :

а41 - Я2

получаем:

5w

51

а'е-

5Я -Я—е

+—5^^+

а

у11 - Я2 а(1 - Я2)32 а4 (1 - Я2)52

{а(1 - Я2) х

( х - т )-— ( х0 - т0 ) Я

а„

т' + —(х0 -т0)Я + —(х0 -т0)5Я а а 51

а

5Я

+

+

(х-т)-— (х0 -т0)Я

а„

а'(1 - Я2)-аЯ— 1 ’ 51

5w

5х

(х - т)-(х0- т0 )аЯа

а3 (1 - Я2)32

(х - т)-(х0- т0 )аЯа

5 w

5х2

а5 (1 - Я2)52

/ \ 3/

а3 (1 - Я2)32

Подставляя найденные производные в уравнение (14), умножая обе части

, , 3/

на а5 (1 - Я2 у2 и сокращая на е- ф 0, после приведения подобных получаем

а2Я— + а2Я'(1 - Я2)

51

+

(х-т)-—(х0 -т0)Я

а

т' + -а-(х0 - т0)Я + —(х0 - т0)5Я а а 51

а

5Я

+

+

(х - т)-— (х0 - т0)Я

ап

2 (

а 1 - Я2

V у

е

е

х

2

е

2

1

0

+

т' + (х- т)| — + Я'

(х-т)-(х0 - т0)

аЯ/

+

+11'

(х - т)-(хо - то)аК>

1 - Я2

-а

Выражение, стоящее в левой части, есть многочлен второй степени от (х — т). Так как он тождественно равен нулю, то его коэффициенты также

должны быть нулевыми. В частности, для коэффициента при (х - т )2 получаем

, Я Ж/ ґ ,

а Я /а. -Го.+к -

ая

а*

2

а

у

1 - Я

2

аЯ

я'(і - я2)+я' = 0 ^-я Я'+я2Я'+Я' = 0

1 ’ а

+ я - = 0 ^ — = Я '• я а*

или, более подробно,

аЯ ( ‘,*0 ) = Я (1Л )аЯ ()

а*

а*

(15)

*=*+0

Покажем, что при этом тождественно равны нулю коэффициент при ( х - т) и свободный член.

Для коэффициента перед ( х - т) имеем

. а', а , чаЯ ,а/

1 + ~(х0 - т0 ) Я + ~(х0 - т0 )^Г-2 — (х0 - т0 ) Я

(

а

а

а*

а

а

а*

а 1 - Я2

V

- т +

+£+ Я'

л

а я ' а

— (х0 - т0 )Я - 2^^Г—(х0 - т0)Я = 0 ^ а 1 "

- Я2 ап

12 ая

ая - 2Я

^ —+ЯЯ'+ 2

а* 1 - я2

а* - _2ЯЯ- = 0

1 - Я2

л ,, ая эл о ая л

^ —+ ЯЯ'-Я2- Я3Я'+ 2Я— 2ЯЯ' = 0 ^

ж

"аг

а*

а*

^ — (1 + я2 )- яЯ-(1 + я2 ) = 0 -яЯ ' = 0,

а* V / V / л

а*

х

2

0

что истинно ввиду (15).

Для свободного члена имеем

ая

а2Я— + а2Я'(1 - Я2)-

Л- V /

а*

- —(х0 - т0)Я'

а

а

т'+ (х0 - т0 ) Я + —(х0 - т0 )

а

а / \2Т»2

+ — (Х0 - т0 ) Я

а

- Яак

а*

а 1 - Я2

V у

а

+ т'—( х0 - т0) Я +

а 0 0

ая

а*

+

а

Я %Л

(х0 - т0 )

аЯ/

а„

1 - Я2

а

ак - я2

а 1 - Я

V у

ая/

/а*

- Я

' я ая/ а-Я /а*

а 1 - Я2

V

+ Я

, Я2

1 - Я2

+ Я

, Я

51 1 - Я2 1 - Я2 51 51 51

что также истинно ввиду (15).

Тем самым условная плотность w (х,1|х0,10) (11), (12) удовлетворяет уравнению ФПК (7) тогда и только тогда, когда выполняется условие (15):

ак ('•*» >■=я (*,*0 )ак (*,*)

а*

а*

*=*+0.

0

2

2

В частности, для стационарных марковских процессов

Я( ) _ е-^1-*2 _ е-а(11-12) при ^ > 12.

Следовательно, считая 1 > 10 и 1 > 1, получаем:

аЯ (*,*0 ) =_5( е-а,

а* а*

= ^( e-a(t-to )) =

а*

ае

а(*-*0 ) .

ая (1,*)

а*

а -аі'*-*) П е 1 1

=

а*

*=*+0

*=*+0

= -а е

а(ї-*)

*=*+0

= -а ,

а значит и правая часть (15) будет иметь вид

Я (1,10 )

5Я (1,1)

_ е-а(1-10) (-а) :

5Я (М0 )

51

1—1+0

то есть для марковских процессов условие (15) выполнено.

Решим уравнение (15) в общем виде. Поделив обе части (15) на Я (1,10), получим

1 5Я ( М0 ) 5Я (1,1)

Я (М0) 51 51

Правую часть, зависящую только от 1, обозначим как f (1). Тогда _1_Ж|Л) _г(1)^ |[^(^^_г(1)^

^ 1п|Я ( М0 )|_| f (1) Л + h ( ^ )_ g (1) + h (^ )^

Подставим это выражение в уравнение (15). Имеем

5Я (1,1)

Я (1,1)_ О ( £ )• Н (1)

51

и (15) превращается в

О'(1 )•Н (10 Н° (1 )•Н (10 )][°'(1 )•Н (1 )Ь О (1 )•Н (1)- 1 ^ Н (1)_ Щ,

то есть при 1 > 10

О (1) О (10 )

В частности, для стационарных марковских процессов при 1 > 10

Я (м0)_ е-а( 1-1

_ е-а(1-) ___ е

-а1

е

то есть О (1) _ е а1.

Взяв s < 1 < - , из (16) получаем

Я (”)_ Щ •« (“)_ О§ = = Я ^ )'Я (',■)_ ад гм _ ад _ Я (,,‘) ■

(16)

то есть

Vв < I < т 5 Я(т,1)-Я(1,8) = Я(т,8). (17)

В соответствии с работой [10, т. 2] условие (17) характеризует марковские процессы. Тем самым доказано следующее утверждение.

Теорема. Условная (переходная) плотность вероятности

w (М|хоЛ )= 1

х exp

^2л[а(t)]211 -[ R (t,t0 )]2 } |[х-m(t)]-^)R(t,to) [xo -m(to)]|

2 [a( t )]2 j1 -[R (t,to )]2 } является фундаментальным решением уравнения типа ФПК

Sw S St Sx m'( t) + [x - m (t) a'(i) , _g( t)

& S і "

+G2 St t — t + 0

St

t — t + 0

w

S 2w

Sx2

— 0

тогда и только тогда, когда нормированная корреляционная функция R (М0) случайного процесса удовлетворяет условию

\/з<1:<тз Я(т,1)-Я(1,8) = Я(т,8), то есть тогда и только тогда, когда рассматриваемый процесс - марковский.

Следствие. Если известно дополнительно, что Я ( М0 ) = Я (t - ^ ) ,

то из (17) следует, что Я(1;,1;0 ) = е-“1-1° (см. [10, т. 1]).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гельфанд, И.М. Обобщенные функции и действия над ними [Текст] / И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. - М. : ГИФМЛ, 1958. - 439 с.

2. Казаков, В.А. Кинетические коэффициенты в прямом уравнении для дифференцируемых процессов с последействием [Текст] // Изв. вузов. Радиофизика. - 1986. -Т. 29, № 11. - С. 1344-1354.

3. Казаков, В.А. Кинетические уравнения для немарковских процессов с пирсо-новскими распределениями [Текст] / В.А. Казаков, А.М. Лавров // Изв. вузов. Радиофизика. - 1995. - Т. 38, № 7. - С. 695-704.

4. Казаков, В.А. О связи между кинетическими уравнениями различных видов [Текст] / В.А. Казаков, А.М. Лавров // Изв. вузов. Радиофизика. - 1993. - Т. 36, № 10. -C. 944-948.

5. Кузнецов, П.И. Корреляционные функции в теории броуновского движения. Обобщение уравнения Фоккера - Планка [Текст] / П.И. Кузнецов, Р.Л. Стратонович, В.И. Тихонов // ЖЭТФ. - 1954. - Т. 26. - Вып. 2. - С. 189-207.

6. Лавров, А.М. Вычисление кинетических коэффициентов, входящих в обобщенное уравнение ФПК для нестационарного гауссовского случайного процесса [Текст] // Математические методы в научных исследованиях : сб. науч. тр. / РГРТА. - Рязань, 2002. - С. 23-29.

7. Лавров, А.М. Исследование кинетического уравнения Павулы в случае немарковских процессов с пирсоновскими распределениями [Текст] // Вестник Рязанской государственной радиотехнической академии. - Рязань, 1996. - Вып. 1. - С. 58-64.

8. Лавров, А.М. Исследование кинетического уравнения Павулы в случае релеев-ского случайного процесса [Текст] // Вестник Рязанской государственной радиотехнической академии. - Рязань, 1998. - Вып. 5. - С. 45-49.

9. Стратонович, Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике [Текст]. - М. : Сов. радио, 1961. - 558 с.

10. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения [Текст] : в 2 т. -Т. 1. - М. : Мир, 1984. - 528 с. ; Т. 2. - 738 с.

11. Pawula, R.F. Generalizations and Extensions of the Fokker-Planck-Kolmogorov Equations [Text] // Trans. IEEE. - 1967. - Ш. 1. - T. 3, № 1. P. 33-41.

А-M. Lavrov

PAWULA'S KINETIC EQUATION FOR NON-STATIONARY GAUSSIAN RANDOM PROCESSES

The paper deals with transitive density, i.e. the fundamental solution of Pawula's kinetic equation for one-dimensional probability density function of non-stationary Gaussian random processes. The obtained results are applicable to statistical radiophysics, theory of casual processes and partial differential equations.

Markov and non-markov random processes, Fokker-Planck-Kolmogorov equation, kinetic coefficients, transition density function, Gaussian (normal) random processes.