Марковские гиперслучайные модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2+600.1 И.И. ГОРБАНЬ

МАРКОВСКИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ

Анотація. Поняття марківського випадкового процесу узагальнено на випадок гіпервипадкового процесу. Для гіпервипадкового марківського процесу отримані рівняння, аналогічні відомим рівнянням Колмогорова для марківського випадкового процесу. Як приклади розглянуті вінеровський і гауссівський гіпервипадкові марківські процеси.

Ключові слова: теорія гіпервипадкових явищ, марківський процес, вінеровський процес, гауссівський процес.

Аннотация. Понятие марковского случайного процесса обобщено на случай гиперслучайного процесса. Для гиперслучайного марковского процесса получены уравнения, аналогичные известным уравнениям Колмогорова для марковского случайного процесса. В качестве примеров рассмотрены винеровский и гауссовский гиперслучайные марковские процессы.

Ключевые слова: теория гиперслучайных явлений, марковский процесс, винеровский процесс, гауссовский процесс.

Abstract. The notion of Markov random process has been generalized on hyper-random process. Equations similar to known Kolmogorov equations for Markov random process have been obtained for hyperrandom Markov process. As examples, Wiener and Gaussian hyper-random Markov processes have been researched.

Keywords: theory of hyper-random phenomena, Markov process, Wiener process, Gaussian process.

1. Введение

Для описания различных физических эффектов широко используются вероятностные подходы. Теория вероятности создавалась, а затем развивалась в первую очередь для описания физических событий, величин, процессов и полей, обладающих свойством статистической устойчивости.

Как ни странно, до недавнего времени понятие статистической устойчивости не было формализовано. В работах [1, 2] введены понятия статистической устойчивости последовательности случайных величин и случайных процессов и предложены параметры, характеризующие нарушение статистической устойчивости на конечном интервале наблюдения.

Экспериментальные исследования реальных процессов различной физической природы показали [1-3], что на больших интервалах наблюдения происходят нарушения статистической устойчивости.

Для описания и изучения статистически неустойчивых явлений была предложена новая физико-математическая теория гиперслучайных явлений [2, 4], рассматривающая проблему нарушения статистической устойчивости как с физических, так и математических позиций.

В рамках новой теории физические явления (события, величины, процессы, поля) представляются гиперслучайными явлениями (гиперслучайными моделями), под которыми понимается множество случайных событий, величин или функций, каждый элемент которого ассоциируется с определенными статистическими условиями g є G.

В настоящее время сформированы основы теории, однако остаются еще не изученными многие вопросы, представляющие прикладной интерес, в частности, вопросы ее применения для решения статистических задач физики.

Целью настоящей статьи является разработка основ построения гиперслучайных марковских моделей для решения практических задач.

© Г орбань И.И., 2011

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2

2. Определение марковского гиперслучайного процесса

Пусть X0 = X(tXN = X(tN) - значения непрерывного гиперслучайного процесса X(t) в произвольные моменты времени 10 < tj < ... < tN . Гиперслучайный процесс X(t) назовем марковским, если для любого момента времени tN и любого условия g е G одномерная условная плотность вероятностей

f\( XN; tN; gtN / X 0,..., XN-1;10,..., tN-1;g t0,.", gtN-1 ) = f\( XN; tN; gtN / X N-1; tN-1; gtN-1 ). (1)

Отсюда следует, что многомерная плотность вероятностей марковского гиперслучайного процесса X (t) может быть представлена следующим образом:

N

fn (x 0—xn ;t o,..., tN; gt0,..., gtN) = f1(x 0;10; gt 0)П n(xn;^; gtn / x»-x; t„-1; gt„-1), (2)

n=1

где n(xn; tn; gtn/ xn-{; tn-1; gin-1)=f1(xn; tn; gt„/ xn-1; ^; gtn-1) - плотность вероятностей перехода случайной величины X(t)/ gt, находящейся в состоянии xn-1 в момент времени tn-1 в условиях gt ^ в состояние xn в момент времени tn в условиях gt .

Из выражения (1) следует, что если значения гиперслучайного процесса в любые несовпадающие моменты времени независимы при всех условиях gt, то процесс - марковский. Обратное утверждение неверно.

Плотность вероятностей перехода П(x; t; gt / x'; t'; gt,) является неотрицательной величиной, нормированной к единице:

J П(x; t; gt / x; t; gt, )dx = 1.

Кроме того, эта плотность вероятностей обладает свойством сингулярности:

lim П(x; t; gt / x'; t'; gt,) = 8(x - x')

t ——t gt —gt'

и удовлетворяет обобщенному уравнению Маркова (уравнению Смолуховского):

П( x;t; gt / x 0;10; gt 0) = JП( x;t; gt / x; ^; ge)П( x; ^; ge/ x 0;10; gt 0 )d x.

3. Уравнения Колмогорова для марковского гиперслучайного процесса

Для марковского гиперслучайного процесса X(t) плотность вероятностей перехода П(x; t; gt / x0; 10; g ) из состояния x0 в момент времени 10 в условиях g в состояние x в момент времени t в условиях gt определяется уравнением

Э ^ ч ^ A (x0;10;gt0) 9VП(x;t;gt/x0;10;gt0)

-^- П( x; t;gt/ x0; ^; gto) = z---------,—0-----------^^ (3)

Эt 0 0 tf V! Эx V

где av (x0;t0;gt0) = At_—im DtM[(X(t0+Dt;gt0+At/x0;^;gt0)-X(t0;gtJx0;t0;gt0))V].

gt0+Dt — gt0

Это выражение прямо следует из известной теоремы для случайного марковского процесса [5, 6].

Случайная величина X (Г 0 + &г; gto+& / х 0; г 0; gto) - X (0; 8ч/ х 0; 10; ^(о) представляет собой приращение состояния, происходящее за время &г. Поэтому коэффициенты Ап (х0; г0; 81о ) можно трактовать как локальные скорости изменения начальных моментов

V -го порядка приращения состояния.

По аналогии с уравнениями, описывающими диффузионные случайные процессы, гиперслучайные процессы, описываемые уравнением (3) с коэффициентами, равными нулю для всех V > 3, будем называть диффузионным или первым (обратным) уравнением Колмогорова:

2

а уравнение

Э Э

-—п(х;г;gt/х0;г0;gt0) = а(х0;г0;gt0)^~п(х;г;gt/х0;г0;gt0) +

Эг0 0 0 Эх0 0

1 Э

+^Ь( х 0;г 0; gt0) эхт п( х; г; gt/ х 0;0; gt 0),

э э Г

—п( х; г; gt/ х 0; 0; gt 0)=- эх |_а( х;Г; gt)п( х; г; gt/ х 0;1:0; gt0)J+

1 Э2 Г 1

+^ эх^ 1_Ь( х; г; gt)п( х; г; gt/ х 0;г 0; gt 0) ]

(4)

(5)

- уравнением Фоккера - Планка - Колмогорова или прямым уравнением Колмогорова, где

а(х0;г0; gt0) = А1(х0;0; gt0) - коэффициент сноса, а Ь(х0; 1:0; gt0) = А2(х0; 1:0; gt0) - коэффициент диффузии.

Гиперслучайные марковские процессы, описываемые уравнениями (4), (5), будем называть диффузионными.

Уравнения (4) и (5) - зависимые.

Из уравнения (5) следует уравнение для одномерной плотности вероятностей:

Э Э Г -.1 Э 2Г ,

т- /1(х; г; gt) = ~ [а( х; г; gt )/1(х; г; gt)]+т [Ь( х; г; gt (х; г; gt)]. (6)

Э1 Эх 2 Эх

Гиперслучайный диффузионный марковский процесс будем называть однородным во времени, если плотность вероятностей перехода П(х; г; gt / х0; г0; g ) не зависит прямо

от моментов времени г, г0 и условий gt, g , а определяется лишь их разностями

^ =г-гo, 8т = gt-gt0: п(х;г;gt/х0;гo;gt0) = п(х/х0;т;gx). Одномерная плотность вероятностей такого процесса / (х), а также коэффициенты сноса а( х) и диффузии Ь( х) не зависят от времени и условий.

Если непрерывный гиперслучайный марковский процесс стационарен в узком смысле при всех условиях [2], то он однороден. Это следует из известной теоремы для случайных марковских процессов [5]. Обратное утверждение неверно.

Из соотношения (6) следует, что для стационарного в узком смысле при всех условиях диффузионного однородного гиперслучайного марковского процесса

-р[Ь(х)/1(х)] = 2а(х)/1(х) + С , а х

где С - константа, определяемая из условия нормировки.

Стохастическим дифференциальным уравнением, описывающим гиперслучайный процесс, будем называть уравнение вида

d х

— = h{ х t, gt) + g (х, t, gt) N (t; gt), d t

где h(x, t, gt) и g(x, t, gt) - детерминированные функции, удовлетворяющие условиям Липшица,

Ih(Xt, gt) - h(y, t, gt^ +1g(x, t, gt) - g^t, gt^ £ L Iх -y\ (L = const > 0),

N(t) = {N(t; gt), gt e G} - гиперслучайный гауссовский шум, представляющий собой множество гауссовских некоррелированных случайных процессов N (t; gt) с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью мощности N0(gt)/2, зависящей от условий gt в момент времени t.

4. Винеровский гиперслучайный процесс

Разберем следующую задачу статистической механики. Пусть в газе или жидкости находится микрочастица единичной массы. Температура среды Т непредсказуемо меняется в пределах [Т1, Т2]. При фиксированной температуре T скорость теплового движения молекулы в фиксированном направлении представляет собой случайную величину, описываемую в приближении Максвелла гауссовским законом распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией кТ / m [7], где к - постоянная Больцмана, m - масса молекулы.

Из-за непредсказуемого изменения температуры среды скорость теплового движения молекулы статистически неустойчива и может быть описана гиперслучайной величиной, границы дисперсии которой равны кТх/ m, кТ2 / m .

Молекулы, сталкиваясь с частицей, вызывают ее перемещение. В каждый фиксированный момент времени происходит большое число таких столкновений. Силу удара N (t) , вызывающего движение частицы вдоль заданного направления и скорость движения частицы V (t), можно рассматривать как гиперслучайные функции гауссовского типа.

Если при фиксированных статистических условиях gt (температуре среды) сила удара описывается гауссовской случайной функцией N (t; gt) в виде гауссовского белого шума с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью мощности N0(gt)/2, то на основании второго закона Ньютона скорость движения частицы V(t;gt) описывается следующим стохастическим дифференциальным уравнением:

d^(t; gt)

dt

= n(t; gt). (7)

Решением уравнения при нулевом начальном условии (у(0; g 0) = 0) является чисто диффузионный (винеровский) гиперслучайный процесс:

t

gt) = | п(11; gt1)dг 1. (8)

0

Из выражения (8) видно, что значение процесса в текущий момент времени г в условиях 8t определяется множеством статистических условий в момент времени г и пред-

шествующие ему моменты времени г1 < г. Это значение зависит от частоты встречаемости в реализации тех или иных условий.

Гиперслучайный винеровский процесс обладает свойствами, похожими (но не идентичными) на свойства случайного винеровского процесса:

- гиперслучайный винеровский процесс является центрированным ( ту 0) = М|У (г, gt )]=0);

- дисперсия этого процесса описывается интегралом

t t 1 t

о- ^)=Ц м[п(11 ; 8ч )п(12 ; 8ч 1 ^ ^) ^ ;

0 0 2 0

- процесс - гауссовский. Его плотность вероятностей описывается выражением

1

ЛО;Ъgt) = г- ехр

л/2яо у )

V -о-2(0,

- процесс - марковский, поскольку описывается выражением

13

= ^2; gtl) +1 п(1 , gt )dг;

t2

- процесс имеет нулевой коэффициент сноса (а(У; г; gt) = 0 ) и коэффициент диффузии Ь(у; г; gt) = N0( gt )/2, зависящий в общем случае от времени.

В частном случае, когда условия 8t не зависят от времени г (gt = g), дисперсия винеровского гиперслучайного процесса о -(/) = N 0( 8) /2.

Границы дисперсии о- (г), о 2V (г) этого процесса описываются выражениями о-^) = Ni0г / 2, о2V(г) = / 2 , где ^0 и ^0 - соответственно нижняя и верхняя границы

спектральной плотности мощности N0 гиперслучайного гауссовского шума N^) .

Отсюда следует, что диапазон изменения дисперсии винеровского гиперслучайного процесса расширяется пропорционально времени г.

Для гиперслучайного винеровского процесса с учетом приведенных свойств прямое уравнение Колмогорова имеет вид

д/1(У ^ gt) = 1 АГ ( ) д2/1(У 11; gt) дг 4 o(gt) дv2 ’

а его решение описывается выражением (9).

5. Г ауссовский марковский гиперслучайный процесс

Обобщением рассмотренного винеровского гиперслучайного процесса является гауссовский марковский гиперслучайный процесс X ^), случайные составляющие которого удовлетворяют стохастическому дифференциальному уравнению

^ gt) , „ Л Л МЛЛ

--- — + ах^; gt) = у п(1; gt ^ (10)

dг

где а, у - постоянные коэффициенты.

К такому уравнению можно прийти, в частности, рассматривая предыдущую задачу с учетом вязкости среды.

(9)

Тот факт, что рассматриваемый гиперслучайный процесс X^) является гауссовским, следует из того, что N ^; gt) - гауссовский белый шум, а уравнение (10) - линейное. То, что гиперслучайный процесс X ^) является марковским, следует из того, что случайный процесс X ^; gt) - марковский.

Общим решением однородного уравнения, соответствующего уравнению (10), является х(1 ; gt) = Сехр( - аг), где С - константа. Частным решением этого уравнения является

t

х(1; gt) = УехР( - а) | п(1 1, gt1 ^Р^ 1 )dгl,

0

а его общим решением -

t

х(1; gt) = х(0, g 0 )ехР( - а)+техР( - а) | п(11 , gt1 )exp(агl)dг l, (11)

0

где х(0,g0) - начальные условия в нулевой момент времени в условиях g0.

Из выражения (11) видно, что значение процесса в текущий момент времени г в условиях 8t так же, как и для винеровского гиперслучайного процесса, определяется множеством статистических условий 8tl в предшествующие моменты времени гl < г и в момент времени г. Но в отличие от винеровского процесса это значение зависит не от частоты встречаемости в реализации тех или иных условий 8tí, а от последовательности следования этих условий.

Гиперслучайный гауссовский марковский процесс обладает свойствами, похожими на (но не идентичными) свойства случайного гауссовского марковского процесса:

- математическое ожидание гиперслучайного гауссовского марковского процесса не зависит от изменения во времени условий и определяется условиями g 0 в первоначальный момент времени: тх ^) = х(0; g0) exp(-aг);

- дисперсия этого процесса:

2 t

о- ^)=■— I ^(gt1) exР(2a(гl- г ))dгl;

2 0

- ковариационная функция процесса:

Кх (гl, г2) = о- (г^Р^МХ

где т = г2-г1; г = ш1п(11,г2)>0;

- коэффициент сноса а(х; г; gt) = -аx(г; gt), а коэффициент диффузии

Ь( х; г; gt) = Щ gt )т-/-.

Нетрудно убедиться, что при а >0 границы дисперсии о г2х ^), о -х (г) и границы ковариационной функции Ях^1,г2), Ябх(г1,г2) гауссовского марковского гиперслучайного процесса описываются выражениями

N. у2 N у2

о “(г) = (1 - exР( - 2aг)), о “(г) = (1 - exР( - 2а)),

к ^г 2)=о - (г) exР(-a|т|), я« (гl, г 2)=о -х(г) ^р^м;».

Отсюда следует, что с ростом г диапазон изменения дисперсии гиперслучайного процесса постепенно возрастает, но при г ® ¥ стремится к независящему от времени ин-

тервалу [Ni0у2 / (4а), у2 / (4а)] (рис. 1а). Дисперсия процесса в момент времени г определяется статистическими условиями в этот момент времени и предшествующие ему моменты времени.

а б

Рис. 1. Границы дисперсии (а) и границы ковариационной функции (б) гауссовского марковского

гиперслучайного процесса

При увеличении величины т (интервала между отсчетами) диапазон изменения ковариационной функции уменьшается и при т ® ¥ стремится к нулю (рис. 1 б). При этом коэффициент корреляции процесса

г (г, о==ехр(-а 1т1)

° X ( )

не зависит от изменения статистических условий во времени.

Прямое уравнение Колмогорова для плотности вероятностей гауссовского марковского гиперслучайного процесса имеет вид

ЭДх г; ) Э , V, . У2*о(Ег) д 2/1(х; г; е,)

—— = а - [Х,< х,г, Ег)] + —-----------------•

Решение этого уравнения описывается гауссовской функцией

/і(х; і; gt) =

1

л/2ко х (і)

ехр

(х - тх (і))2 ^

' 2а 2 (і)

6. Выводы

1. Для описания физических процессов в непредсказуемо меняющихся статистических условиях предложены марковские гиперслучайные модели.

2. Обобщено понятие марковского процесса на случай гиперслучайного процесса. Получены прямое и обратное уравнения Колмогорова, описывающие диффузионные гиперслу-чайные процессы.

3. Исследованы винеровский и гауссовский марковский гиперслучайные процессы. Установлено, что значения этих процессов определяются статистическими условиями в текущий момент времени и моменты времени, предшествующие ему.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Горбань И.И. Нарушение статистической устойчивости физических процессов / И.И. Горбань // Математичні машини і системи. - 2010. - № 1. - С. 171 - 184.

!

2. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений: физические и математические основы / Горбань И.И. - К.: Наукова думка, 2011. - 320 с.

3. Gorban I.I. Disturbance of statistical stability / I.I. Gorban // Information Models of Knowledge. - Kiev

- Sofia: ITHEA, 2010. - P. 398 - 410.

4. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений [Электронный ресурс] / Горбань И.И. - К.: ИПММС НАН Украины, 2007. - 184 с. - Режим доступа: http://ifsc.ualr.edu/jdberleant/intprob/, http://www.immsp.kiev.ua/perspages/gorban i i/index.html.

5. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В.С. Королюк [и др.]. - М.: Наука, 1985. - 637 с.

6. Горбань 1.1. Теорія ймовірностей і математична статистика для наукових працівників та інженерів [Електронний ресурс] / Горбань І.І. - К.: ИПММС НАН України, 2003. - 245 с. - Режим доступу: http://www.immsp.kiev.ua/perspages/gorban i i/index.html.

7. Яворский Б.М. Справочник по физике для инженеров и студентов ВУЗов / Б.М. Яворский, А.А. Детлаф. - М.: Наука, 1968. - 940 с.

Стаття надійшла до редакції 07.04.2011