CC BY
18
УДК 681.5.01:658.5
А. С. Мещанов, Л. А. Гатауллина
УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
НА СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМАХ ЗАДАННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
ПРИ ВОЗМУЩЕНИЯХ И НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Ключевые слова: многоуровневое управление, скользящий режим, размерность, качество
Предлагается многоуровневое векторное разрывное управление, приводящее системы при постоянном действии неопределенных и номинальных возмущений и при неполной информации о состоянии в скользящий режим заданного порядка с размерностью меньшей исходной на число, кратное размерности векторного управления вплоть до скольжения по прямой.
Keywords: multilevel control, sliding mode, dimension, quality
The multilevel vector explosive control resulting systems at constant action of uncertain and nominal indignations and at the incomplete information on a condition in the sliding mode of the set order (with dimension smaller initial on number, multiple is offered to dimension of vector control up to sliding on a straight line or a plane).
Введение
Порядок скольжения увеличивается с ростом уровня управления. Заданный порядок скольжения и требуемое качество переходных процессов обеспечивается на верхнем уровне управления с наименьшей размерностью системы скользящего режима. Разработанный метод в частных случаях скалярного управления, фиксированных гиперплоскостей переключений структур, координатных вспомогательных гиперплоскостей переключений, отсутствия неопределенных возмущений и при полной информации о векторе состояния включает в себя известный метод форсированного скользящего режима, полученный Е.А. Барбашиным для повышения качества переходных процессов с уменьшением размерности системы скользящего режима [1].
Скользящие режимы с заданной размерностью их систем впервые предложены как форсированные скользящие режимы (ФСР) в 1965 г. в статьях Е.А. Барбашина и Е.И. Геращенко и более подробно в известной монографии Е.А. Барбашина 1967 года с целью повышения качества переходных процессов [1]. Однако в последующее десятилетие существенного дальнейшего развития и обобщения метод ФСР не получил. С 1976 года работы по данной теме ведутся на кафедре автоматики и управления Казанского авиационного института с целью развития многоуровневых разрывных управлений со скользящими режимами заданного порядка и качества в системах с линейными и нелинейными объектами в условиях неопределенных возмущениях и полной информации о состоянии [2-4], в предлагаемой статья результаты развиваются на случай линейного нестационарного объекта при неполной информации о состоянии. Синергетический синтез агрегированных регуляторов без учета возмущений применен в 1994 году А.А. Колесниковым в синтезе ФСР с многообразиями скольжения, включающими в себя слагаемые в виде разрывных скалярных управлений [5, С.275]. Других публикаций на данную тему в доступной литературе не обнаружено.
Постановка задачи
Рассматривается управляемая система с линейным нестационарным объектом с номинальными
и неопределенными возмущениями, объединенная с идентификатором состояния (модельной системой): z = +Ш) 1+ £о< ¡)/+
+ а<>Д0<) ) ) ) , х = КЫ
* м =А>( К +в0{ + (У
(1) (2)
К Го О,
где г е К", 2м е К"; tеI = ^], Гк <«; Д,(0, Бо^), -О0(0, К (^ - номинальные (известные) " х ", " х т , " х I, q х " - матрицы, а АЛ(Г), АБ^), АО^) и А^^) - матрицы и I х 1 - столбец с неопределенными ограниченными параметрическими и внешними возмущениями; столбец ) имеет переменные номинальные элементы; х - известный (измеряемый или вычисляемый) выходной вектор. Кроме указанной информации о векторе состояния г^) и номинальных параметрах объекта в формировании векторного управления и = (м1,..., ит )Т предлагается применить и вектор состояния гм ^) идентификатора состояния, не подверженного действию неопределенных возмущений. В исходной системе (1) выполняются известные условия инвариантности скользящих режимов к неопределенным и номинальным О00 (Т) и ^0 ^)
возмущениям
АЛ ( )=Во ( Дал Г ) ■ А0 ( У Во ( ДАоО. Оо( )= Во ( Д()
и к обычно не учитываемому параметрическому возмущению АБ(t)
А£ ()=Во( ДаВ ( ) (4)
В модельной системе (2) полагается, что слагаемое КАг (t)GT (t)(x - К(£)гм) должно обеспечивать при соответствующем задании " х т и
(3)
q у m - матриц KA
G достаточно быстрое
уменьшение отклонения Аг^) вектора состояния г(^) исходной системы от желаемого движения гм ^) модельной системы:
2(0 = 2М (t) + Аz(t) ^ 2М (t) при t .
и
Отметим, что модель (2) для системы (1) (но без неопределенных AA(t), AB(t), AD(t), AF(t) и номинальных D0(t)F0(t) в ней возмущений и при постоянных матрицах A0, B0, Ku, G, K) является без слагаемого D0(t)F0(t) известным асимптотическим идентификатором состояния системы (1), приведенным, например, в монографии [6].
Предполагается, что система (1) имеет регулярную форму по отношению к матрице B0 (t) и, с учетом условий (2), (3), к матрицам D0(t), AB(t) и AD(t), то есть данные матрицы B0, D0, AB, AD имеют нулевые первые (n - m) строк, либо система (1) приведена к этой форме по методу работы [7].
Задачи. 1. Найти переключаемые подвижные (n - m) - мерные многообразия вида
S (s = (Sj,..., Sm )T = C (t) zM = 0), (5)
где C(t) - m x n - матрица переменных коэффициентов, si = CT (t)zм - функции переключений, CT (t) = = (сг1 (t)..., cin (t)) - i - е строки матрицы C(t), i = 1,m, а также найти (n - 2m), (n - 3m),..., (n - km) - мерные многообразия их пересечений. 2. Найти векторное многоуровневое управление u, приводящее систему (1)-(4) в скользящий режим заданного порядка к = 1,2,3,..., то есть с заданной размерностью системы дифференциальных уравнений скользящего режима (n - 1 • m) , (n - 2 m),),... при (n - km) > 1, и с заданным на нем качеством переходных процессов.
Синтез подвижных многообразий скольжения
Как следует из работы [8] с учетом разложений вектора z и матриц A0 (t), C(t), B0 (t) и KAz (t), K (t) на субвектора и субматрицы, скользящий режим на многообразии S (5) в исходной системе (1) запишется в виде системы с размерностью (2n - m):
z1 =[A011 - B01 (CB0 ) 1 C1A011 - B01 (CB0 ) 1 C 2 A021 -- B01 (CB0 )1 C1 + (-A012 + B01 (CB0 )1 c1 A012 + + B01 (CB0)1 C2A022 + B01 (CB0))C2) x(c2) C1 ]z1 +
+ {-[A>11 - B01 (CB0 )1 C1A011 - B01 (CB0 )1 C 2 A021 - (6) - B01 (CBo )1 C1 + (-A012 + B01 (CBo)) C 1AO12 + B01 X x (CBo )1 C 2A022 + B01 (CBo )1 C 2)(c 2 ) C + ( -B01 (CBo)1 C1 ))GTK 1 -Bo1(CB>)
X C2KAz2GTK1 + ((1 -Kaz1GtK 1 )1 +
где
+ {(En-m - B01 (CBo))C1 )Kaz1GtK2 - B01 (CBo ) x X C 2KAz2GTK 2 + ((2 - KAz2GTK 2 ) 2, Az1 = (a»„ - Kaz1GtK1)az1 + (a>12 - K¿2]GtK 2 )Az2, az2 = (a>21 -Kaz2GTK1 )azj +(a>22 -Kaz2GTK2)Az
.z2 =-
(C 2 )-1 C1 z1 + (c 2 )-1C 1Az1 + Az 2
Ao = (Ao1,Ao2) = ^ A"12!, Ao1 = íM4>2 =ÍA0J2
C = (CJ,C2), B,
A0,21 A0,22 Bo B»
Л>,2
K azGTKAz =
' Kaz1GtK 1Az1 + Kaz1GtK2Az2 ^
í K az 2GTK 1Az1 + K az 2GtK 2Az 2
; z
A»1, A0 jj , C1,B01, KAz1, K1 имеют соответственно размеры (n - да) x1, n x (n - m), (n - m) x (n - m), m x (n - m), (n - m) x m, (n - m) x да, q x (n - m) , а En является единичной (n - да) x x(n - m) - мат-
рицей.
При синтезе матрицы KAz (t) во второй не
зависимой
подсистеме
отклонениях
Аг(/) = г^) - ¿м (/) = Az2)Г по методу работы
[9] данная система (6) скользящего режима через малый промежуток времени скольжения преобразуется в силу Аг^) ^ 0 к системе модельного скользящего режима:
¿м = [(Ли - До1(СВо)-1 С1А011 - До1(СВо)-1 х хС2А021 -Во1(СВо)-1 С1)-(А012 -ВиСВ))-1 х (7)
хС1А012 -Во1(СВо)-1 С2А022 -В01СВО-1 С2)х х (С2)-1 С 1]гм,
где ¿м = г1, ¿м = г2, ¿м = -(С2)-1СЧ, а матрица С(1) = (С\г), С 2(г)) находится методами, изложенными в работах [9, 10] по заданному качеству переходных процессов в исходной системе. Например, при воспроизведении в скольжении желаемого модельного движения
Ум = А0Ум + В0иопт , иопт = Кот (()Ум , (8)
где управление иопт = Копт()ум может находиться и методами работы [11], матрица С(г) = = (С1©, С 2(0) находится в силу системы [9,10] С =-С (А0 + В0Копт) при начальных условиях С (/ 0), удовлетворяющих началу тождественного воспроизведения с начального момента t = /0: С (^ )Ум (^ ) = С (tо )гм (^ ) = 0.
В рассматриваемом случае регулярности исходной системы (1) нахождение матрицы ) упрощается. Согласно условию регулярности В01 (t) = 0(п-т)хт Vt е I, и при задаваемой неосо-
2/
J0J w (n-m)xm
бенной субматрице C2 (t), | C2(t) 0 Vt e I, система (7) преобразуется к уравнениям
• 1
z„
= A»,11 (t)zM - A»,12 (t)(C 2 (t))-1C1 (t)zM
z м =-(C 2(t))-1C J(t) zM
(9)
в которых матрица А012(С )- принимается за (п - да) х т - матрицу входа фиктивного управления
иф = -С1^)¿м, где т х (п - т) - субматрица - С1 (О
z
Z =
2
Z
в
2
принимается за т х (п - т) - матрицу коэффициентов линейного управления иф и находится, например, по методу работы [11].
Изложенным образом находятся многообразия скольжения на первом уровне управления с первым порядком скольжения (с размерностью системы обычного скользящего режима равной | . Если
же требуемое высокое качество переходных процессов достигается на скользящих режимах более высокого порядка (то есть с размерностями системы уравнений меньшими чем п - т в системе (9), например, с размерностями равными, " - 2т, " - 3т,..., то сначала находятся два
переключаемых подвижных многообразия типа (5) с размерностями п - т таким образом, чтобы и.т. системы скользящего режима на одном из этих многообразий устремлялась к п - 2т - мерному многообразию их пересечения со вторым многообразием и совершала движение в достаточно малой окрестности этого пересечения с пониженной размерностью равной " - 2т .
Для дальнейшего понижения размерности системы скольжения до значения п - 3т формируется еще одно многообразие размерности п - 2т и осуществляется переключение скользящих режимов с одного на другое с результирующим движением и. т. в малой окрестности многообразия размерности " - 3т и так далее, вплоть до достижения при необходимости движения и. т. в малой окрестности подходящей по качеству процессов многообразия в виде прямой или плоскости.
При движении в малой окрестности прямой и плоскости на значения п , т и к должны накладываться соответственно ограничения п - кт = 1 и " - кт = 2, где к = = 1,2,3... является порядком скольжения и, одновременно, номером верхнего уровня многоуровневого управления. При к = 1 имеем обычный скользящий режим - режим первого порядка и первый уровень разрывного многоуровневого управления. При к = о скольжения нет и управление представляет собой переключаемые
^ п. к
структуры каждой из т составляющих 2 векторных разрывных ний ио1, ио2;...; ио2к 1,ио2к .При к = (п - 1)/т или
к = (" -2)/ т получаем верхний уровень многоуровневого управления (то есть само искомое векторное управление и = ик 1), соответствующий движению и.т. в малой окрестности подходящей по качеству прямой или плоскости в фазовом пространстве. Если сочетание значений п и т не приводит к целому значению к , но необходимо обеспечить требуемые показатели качества переходных процессов, то для изменения значения числа т допускается перевод части составляющих и}- исходного управления в разряд линейных управлений для придания объекту управления подходящих динамических и статических свойств, не исключая при этом и задания им нулевых значений. Так, например, при п = 5
и т = 3 для движения по прямой получаем к = 5 -1 У 3 = 4/3 и, следовательно, понижая значение т до т = 2 указанным путем, получаем двухуровневое управление. Для движения по плоскости в рассматриваемом случае " и т достаточно применить обычное скольжение (первого порядка): к= 5-2 У3 = 1.
Рассмотрим метод и порядок построения многообразий скольжения. В правой части системы скользящего режима (9) при С2 = Е составляющая -С1^)г1м полагается фиктивным управлением
иф = -С1^)^:
¿м = Ао,п^) 2 м + Адо^ )и ф,
2м = и ф = -С ^) 2м .
(1о)
С одной стороны фиктивное управление иф равно - С1 (02м, а с другой стороны равно
т - мерному разрывному управлению, приводящему систему (1о) в скользящий режим по некоторому (" - 2т) - мерному подвижному многообразию
Бф , определяемому по методам работ [9-11]:
ЗД = (*ф 1,..., т )Т = Сф(0 21м = о), (11) где Сф(Г) является т х (п-т) -матрицей. Система (1о) является номинальной (не зависящей от неопределенных возмущений), не зависит она также и от номинальных внешних возмущений. Для построения управления иф предлагается применить метод построения номинального управления ио , предложенный в работе [12]. Данное разрывное управление ио предполагает сравнительно малое число логических переключающих устройств и не имеет, помимо обычных условий существования
разрывного управления (в данном случае иф), дополнительных ограничений на задание матрицы Сф ^). Для модельной системы (2) при Ео ^) = о управление ио запишется:
ио = (СБо)-1 (Кг + К^ - С (0А,(0 2м), (12)
где
(кД2мМк)г,дгк - симв°л Кронекера,
г,к = 1,т, s = ^,...^г)Т = С(02м ,
^г = сгТ (02м = о, Я = (Я!,..., Ег )Т = О(02м
§г = (02м ,
\к+ < о при ЭгЯг > I Ке > о при .■¡гЯг < О,
к+ < о при ЯгЯг > о, к- < о при sigi < о.
Применяя данный тип управления (12) для системы (1о) в целях ее приведения в скользящий режим на многообразии Бф (11), получаем управле-
ние и
иф = (Сф(0А0,12 (0)'\К8фЕф + КФзф -- Cф(t) Ао,п^) ¿м),
(13)
= С'1« ¿м + ¿м = о, ' = 1,2,
где
кеф {¿^ t)=кф (^t б )т, Кф (¿l,t )= ^.ф (¿1, »б* )т
и задаваемые разрывные коэффициенты (или функции) ф, ф удовлетворяют неравенствам аналогичным (12) с функциями переключений зф. и Еф ., ¡=\т Из выражения (13) с учетом иф = -С1^)¿^,
11 1 Т 11 1 1 1 Т
Еф = (gф1,..., Ефт) = ^©¿м и = (зф 1,...,зф т) = = Сф (t)¿M следует соотношение для нахождения
двух т х (п - т) матриц С1^) и Бф (t) по заранее определенной (по требуемым показателям качества скользящего режима второго порядка) матрице Сф(0
С1 (г) = -(Сф (О А0Л2^))-1 (Кф Бф ^) +
+ Кф С1ф(1) - Cф(t) Ат(1)) В случае системы (10) регулярной формы матрица Сф^) в (14) определяется методом работы
[11], а в случае системы (10) общего нормального вида методами работ [9, 10]. Элементы кг ф, ф,
I = 1, т, матриц Кф , Кзф принимают в уравнении
(14) значения к+ ф ,к+ф и ф ,к~ф аналогично неравенствам в управлении (12), в зависимости от знаков / = 1, т . Для каждого сочета-
(14)
произведений з
11
ния знаков этих произведений элементы матрицы С1 (() принимают различные значения (то есть многообразие S(s = С1^ + C2¿м = о, С2 = Е) (5) является разрывным, так как т х (п - т) - субматрица С1^) принимает вид 2т различных матричных функций). Далее эти многообразия разобъем условно на два вида = С^¿м + ¿^ = 0), ] = 1,2, где индексу у = 1 у многообразий ^ при 2т 1 сочетаниях всех различных знаков произведений зф ^ф., . = 2, т, соответствует положительный знак произведения Зф1Еф l, зф 1Еф 1 > 0, а индексу I J I отрицательный знак или равенство нулю данного произведения, зф1^ф1 < 0. В результате определения
субматриц С1^) и Бф^) из условия (14) гарантируется только движение и.т. к (п - 2т) - мерному многообразию
£ф(зф = (зф 1,...,зфт)Т = Сф^)¿м = 0) (11) без совпадения с ним (п - 2т) - мерного многообразия
пересечения £1 и £2. Для такого совпадения должны одновременно выполняться три равенства:
зф = Сф (0 ¿м = 0.
При формировании такого скольжения более высокого уровня необходимо иметь в виду, что задаваемое (п - 2т) - мерное многообразие (11)
(матрица Сф^) в (11)) должно быть таким, чтобы
проходило достаточно близко от (п-т) - мерных
многообразий = С'1 (0¿1 + ¿¡2 = 0 ), ] = 1,2,
так как иначе ухудшается качество приведения в такое скольжение более высокого уровня. Вместе с тем многообразие £ф (11) не должно принадлежать
(п - т) - мерным многообразиям , ' = 1,2, так как на них фиктивное управление иф1 = -С1^^ (10) является непрерывным в силу
^ = С;'1«¿м + ¿м = о и иф = -с'1«¿м = ¿2,
-С'1^)¿м = ¿мм, у = 1,2. Поэтому, в дополнение к системе уравнений (14), при нахождении С]1^), Бф1^) необходимо учитывать не систему (15), а систему
= ')¿м + ¿м = 0, ' = 1,2,
'зф = (зф 1,..., 'зф т )Т = Сф(0 ¿м = е,
(16)
где е = (е1,...,ет) , е. - линейные функции ¿.,
I = 1, т, с достаточно малыми по модулю задаваемыми постоянными коэффициентами. Из системы (16) следуют дополнительные к уравнению (14) связи между элементами матриц С'1^) и Бф (0 для
их нахождения (в том числе и в реальном масштабе времени).
Система скользящего режима на (п - 2т) - мерном многообразии £ф (зф =
= (зф 1,...,эфт)Т = Сф^¿м = 0) после исключения т последних координат вектора ¿^ примет вид
¿м = А3^) ¿м, (17)
где (п - 2т) х (п - 2т) - матрица А3^) в общем случае зависит нелинейно от коэффициентов матрицы Сф (0 и для ее нахождения применяются методы работ [9-11]. Если же размерность системы скользящего режима необходимо уменьшать и далее, до заданного значения (п - 3т),..., (п - кт) (пока (п - кт) > 1, так как иначе скользящий режим верхнего уровня будет протекать только в начале координат), то Сф^) предлагается находить по
методике, изложенной для С1 ^) по системам уравнений (14), (16) и так далее.
Замечание. При нелинейном вхождении в матрицу А3^) т х (п - т) - матрицы Сф ^) =
= С!^), Сф2^)), где С'ф!^) и С^«) являются т х (п - 2т) и т х т - субматрицами, для нахож-
дения переключаемой первой субматрицы Сф1^) при заданной неособенной второй и при заданной т х (п - 2т) - матрице Сф , предлагается
применение методов приведения в скольжение, представленных в работах [13, 14].
Таким образом, сначала находятся подходящие по качеству переходных процессов многообразия скольжения верхнего уровня (прямая, плоскость или гиперплоскости, или многообразия), находятся две плоскости, или две гиперплоскости, или два многообразия предыдущего нижнего уровня, такие, чтобы и.т. в скольжениях по ним попадала в малую окрестность их пересечения. По каждой из двух найденных плоскостей (или двух гиперплоскостей, или двух многообразий) находится по паре плоскостей, или гиперплоскостей, или многообразий следующего более низкого уровня и так далее до многообразий Б (5) первого уровня:
Б1,1, Б1,2;...; Б1,2"-1, Б1,2"
Синтез многоуровневого векторного разрывного управления
Управление для формирования скольжения первого порядка предлагается находить по модельной системе, так как по сравнению с исходной обеспечиваются меньшие энергетические затраты. Это следует из того, что идентификатор состояния, модельная система (2), в процессе приведения в скольжение является и точным идентификатором приведенного вектора неопределенных возмущений. Данная информация используется для компенсации возмущений [8]. В этом методе для скользящего режима первого уровня управление принимается в виде, совпадающем с управлением (12) при
(х-К(02м) = (К(02-К(02м) = К «А = о и 8 = о:
(18)
где в формировании вектор-функций переключения s и g применяется только вектор
Zm, S = diag{5l,..,dm},
S > 0, sign s = (sign s1,..., sign sm)T, i = 1,m.
В зависимости от выбранного числа к уровней скольжения организуется скользящий ре-
г,к-1
жим первого порядка на 2 переключаемых (n-m)- мерных многообразиях S1 j,S12;...;
S 2к-1 1, S12к-1 с помощью 2к-1 разрывных векторных
управлений u1,1,u12;...;u^^ 1,u^^ вида (18) на
первом уровне управления и первом порядке скольжения. Нулевой уровень управления u01,u02;...;
ио2к 1, ио2к формируется в общем случае матрицы
C(t)B0(t) из 22m переключаемых структур каждой составляющей ui, i = 1, m, управления вида
управления (18) определяется набором значений K+gi с K+Si и Kgi с к- в зависимости от знаков sigi и значениями постоянных Si sign si > 0 в зависимости от знаков si, i = 1, m). На верхний уровень в качестве i - й составляющей управления u = ukJ в каждый момент времени в зависимости от знаков sigi на первом уровне и знаков аналогичных функций на остальных к 1 уровнях проходит соответствующая составляющая только одного из управлений uo,1,uo,2;... ;u02ku02k нулевого уровня. В процессе скольжения первого порядка на одном из многообразий Sn, S12;...; S12 ■ -1, S12- на верхний уровень проходит одно из соответствующих управлений
41 >
Ч2>
... ; u к-1 ,
u12к-1 первого уровня и так
далее вверх по уровням (рис.1).
(18). (Каждая из 2
2m
переключаемых структур
Рис. 1 - Многоуровневое управление
Таким образом, движения и.т. складываются только из двух типов: во-первых, из движений попадания на многообразия скольжения первого порядка (первого уровня управления) Б11,Б12;...;Б12кч 1,Б12кч ; во-вторых, из движений
скользящего режима по ним. В первом движении действие всех возмущений (номинальных и неопределенных) компенсируется управлениями и = ио (18) для каждого из указанных многообразий. Во втором движении, с начала скольжений по этим многообразиям, отклонение А? достаточно быстро принимает нулевое значение. Следовательно, действие всех возмущений на систему через малое отклонение А2 и о перестает проявляться. Другого проявления действия возмущений нет, так как в силу условий (3), (4) скользящие режимы на многообразиях Б11,Б12;...;Б 2кч 1,Б12кч к ним инвариантны.
Процессы управления приближаются к идеальному скольжению по заданному многообразию с увеличением скоростей уменьшения вектора отклонений А2 и значений функций переключений, опре-
деляющих многообразия скольжения на всех уровнях управления. Это приводит к заданию больших по модулю значений элементов матрицы КА ^) в модели (2) и разрывных коэффициентов кг, кз, кфя, кфз , б в неравенствах (12), равенствах (14),
(18) и малых значений коэффициентов е в равенствах (16). Действие данного правила относительно кЕ, кз, кфя, кфз, б и е должно уменьшаться с ростом уровня управления, а окончательные значения параметров устанавливаются с учетом ограничений на управление, на его энергетические затраты и состояние системы, а также по результатам предварительных численных моделирований проектируемой системы управления.
Заключение
Таким образом, в целях обеспечения высокого качества переходных процессов в системах с линейным нестационарным объектом при неопределенных и номинальных возмущениях и неполной информации о состоянии получен метод многоуровневого векторного разрывного управления на скользящих режимах заданного порядка и качества, имеющего сравнительно несложную реализацию. Для построения данного управления развит идентификатор Люенбергера [6] и применены результаты прежних работ авторов в последовательности [7-14]. Результаты найдут эффективное применение в управлении авиационно-космическими ЛА, их двигательными установками и другими техническими, производственными и экономическими объектами.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 14-01-31336 мол_ а
автоматического управления. Учебное пособие. Казань, 1983 г. С. 23-43.
3. Мещанов А. С. Скользящие режимы с заданными размерностью и качеством в системах с линейными стационар ными объектами при неопределенности. -Авиакосмическое приборостроение, № 2, 2009.- С.22-27.
4. Мещанов А. С. Синтез многоуровневых векторных управлений для скользящего режима заданного порядка. Вестник КГТУ им.А.Н. Туполева. 2007, № 4, С. 47-51.
5. Колесников А. А. Синергетическая теория управления. Таганрог: ТРТУ, М.: Энергоатомиздат, 1994.344 с.
6. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976, - 424 с.
7. Мещанов А. С. Синтез многоуровневых векторных управлений для скользящего режима заданного порядка. Вестник КГТУ им.А.Н. Туполева. 2007, № 4, С. 47-51.
8. Мещанов А.С. Приведение линейных нестационарных объектов с идентификатором состояния к модельному движению при неопределенности. Вестник КГТУ, 2008 г., № 4, С.127-134.
9. Мещанов А.С. К решению задачи слежения в управлении многозвенными манипуляторами с инерционными приводами в условиях неопределенности. Изв. вузов. Авиационная техника, 1996, № 3, С. 30 - 37.
10. Мещанов А.С., Давлетшина Л.А. Воспроизведение модельных движений с пониженной размерностью на скользящем режиме. В кн.: Аналитическая механика, устойчивость и управление: Труды Х Международной Четаевской конференции. Т. 3; Секция 3. Управление. Ч. II. Казань, 12-16 июня, 2012 г. - Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2012. С. 147-159.
11. Мещанов А. С. Синтез линейных систем с заданным качеством процессов управления по норме вектора состояния. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2009, № 4, С. 107-114.
12. Мещанов А.С. Приведение на подвижное многообразие скольжения систем с линейными нестационарными объектами в общем случае входа неопределенных возмущений. - Авиакосмическое приборостроение, № 5, 2008.- С.16-20.
13. Мещанов А.С. О приведении в скользящий режим многомерных разрывных систем с нелинейным нестационарным объектом управления. В кн.: "Устойчивость движения", Новосибирск: Наука, 1985. С. 230 - 234.
14. Мещанов А.С. Уравнения скольжения на подвижных многообразиях и синтез векторных управлений для нелинейных объектов при неопределенных возмущениях. Вестник КГТУ им. А.Н.Туполе-ва, 2008, №2, С. 51-55.
Литература
1. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.- 224 с.
2. Мещанов А.С. Исследование системы переменной структуры с форсированным скользящим режимом. В кн. И.И. Ахметгалеев, Ю.В. Александров, А.С. Мещанов, Н.Н. Маливанов. Экспериментальные методы исследования нелинейных и самонастраивающихся систем
© А. С. Мещанов - канд. техн. наук, ст. науч. сотр., доц. каф. автоматики и управления КНИТУ им. А.Н. Туполева-КАИ, mas41@list.ru; Л. А. Гатауллина - асп. той же кафедры, davlet12@yandex.ru
© A. S. Meshchanov, Candidate of Science, senior staff scientist, assistant professor of the automatics and control chair at the KNRTU after A.N. Tupolev-KAI, mas41@list.ru; L. A. Gataullina, graduate student of the automatics and control chair at the KNRTU after A.N. Tupolev-KAI, davlet12@yandex.ru.
