К скользящему режиму при линейных стационарных объектах с невыполнением инвариантности и размерностью отличной от удвоенной управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5.01:658.5

А. С. Мещанов, А. Ф. Султанова

К СКОЛЬЗЯЩЕМУ РЕЖИМУ ПРИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТАХ

C НЕВЫПОЛНЕНИЕМ ИНВАРИАНТНОСТИ И РАЗМЕРНОСТЬЮ

ОТЛИЧНОЙ ОТ УДВОЕННОЙ УПРАВЛЕНИЯ

Ключевые слова: линейный стационарный объект, невыполнение условий инвариантности к возмущениям, подвижные многообразия скольжения, идентификация, преодоление (превышение) действия возмущений, качество.

Получены методы синтеза подвижных многообразий скольжения и разрывного векторного управления для приведения систем с линейным стационарным объектом в скользящий режим с высоким качеством переходных процессов при невыполнении известных условий его инвариантности к возмущениям. Предлагаются методы синтеза многообразий скольжения и разрывных управлений для случаев неравенства размерности системы удвоенной размерности вектора управления.

Keywords: linear stationary object, non-compliance with conditions of invariance to disturbances, mobile variety of sliding motion,

identification, overcoming of disturbances , quality.

Develop methods for the synthesis of moving varieties slip and discontinuous vector control to bring the systems with linear stationary objects in sliding mode with near letter quality under non-compliance of certain conditions invariance of the sliding mode system to limited disturbances. Offered methods of synthesis variety and discontinuous control for the case of inequity dimension of the state vector system of the double dimension of the vector control.

Введение

Методы синтеза подвижных многообразий скольжения и разрывного векторного управления для приведения систем в скользящий режим с высоким качеством переходных процессов при невыполнении известных условий его инвариантности к возмущениям в случае равенства размерности системы удвоенной размерности вектора управления, п = 2 m , в полном виде получены для линейных стационарных объектов в работе [1]. Случаи п < 2 ш и п > 2 ш для систем с линейными стационарными объектами исследованы в работе [2] , где получено строгое математическое обоснование того, что необходимым и достаточным условием компенсации известных номинальных и идентифицированных тем или иным способом неопределенных возмущений в системах нормального вида с линейными и нелинейными объектами является как при разрывном, так и при непрерывном управлении линейная зависимость вектора неопределенностей со столбцами номинальной (известной) части матрицы входа в систему управления. Данное условие, как известно [3, 4], является условием инвариантности скользящих режимов к действию номинальных и неопределенных возмущений. Без его выполнения ранее не удавалось обеспечить высокие показатели качества процессов управления при возмущениях без увеличения значений управления и его энергетических затрат. В предлагаемой статье результаты работы [2] при п < 2 ш и п > 2ш развиваются, в связи с высокой актуальностью темы обеспечения на скользящих режимах высокого качества процессов и при невыполнении условий инвариантности к возмущениям, для линейных стационарных объектов. Обеспечивается устойчивость и качество процессов управления не только по координатам системы скользящего режима, получаемой в результате исключения части координат состояния системы, но и по всем координатам системы в перечисленных условиях действия возмущений.

Постановка задачи

1. Получить устойчивость и требуемые показатели качества на скользящих режимах при невыполнении условий их инвариантности к возмущениям в системах, преобразованных к регулярной форме с линейным стационарным объектом в случаях размерности системы меньшей удвоенной размерности векторного управления, п < 2 ш .

2. Исследовать возможность решения задачи 1 в случае п > 2ш .

Обеспечение заданных показателей качества переходных процессов на скользящих режимах при невыполнении условий их ивариантности к возмущениям в случае п < 2 ш

Рассмотрим управляемую систему с линейным стационарным объектом регулярной формы с приведением всех неопределенных возмущений к одному суммарному вектору к( 2, t) с ограниченными составляющими

2 = А0 2 + В0и + Б0 ^,(0 + Н(2,0, (1)

где И(г, 0 = {к1,...,кп )Т = ЬА(г)г + В)и + Ю(Г)(Р0(Г) + + №^)) + В0 №^) и первые п - ш строк В01 матрицы В0 являются в силу регулярности системы (1) нулевыми, В01 = 0(п-ш)хш, при неособенной ш х ш - субматрице В02, |В02| ф 0. Методы неособенного преобразования координат 2 = Мх, |м| ^0, для приведения систем нормального вида к данной регулярной форме представлены в работах [5, 6]. В частности, в работе [6] получена неособенная матрица преобразования в виде

M =

E

(n - m )х ( n - m )

о

- B B 1 ^

01 02

E

bvt №1

где по главной диагонали расположены единичные матрицы с указанными символами размерности,

Бо1 и Бо2- соответствующие субматрицы матрицы входа управления Б0 в исходной системе. Применим для вывода уравнений скользящего режима метод эквивалентного управления [4]. Разложим в многообразии скольжения

5(^ = (зт)т = С (/)г = 0) (2)

и в системе (1) векторы г и к, и матрицы С (/) , А0, Б0, Цо на составляющие субвекторы и субматрицы:

í „Л

V г 2 ,

, г1 - (п - т) х 1; к =

Г к1 ^ к

к1 - (п - т) х 1;

С(/) = (С1©, С2), С1 - т х (п - т); А0 =(Аи ,

ЧА021 А022/

А011 - (п - т) х(п - т), А012 - (п - т) х т;

Бо =1

' Бо Б0

, Б01 =

Го ... о^

о ... о

=о-(п - т)хт; Ц =

цл

Цц- (п-т)х/.

Полагая С2 = Етхт, получаем систему скользящего режима на подвижном многообразии 5 (2)

г = Ао г - Бо Бо2-1 (С (/) Ао г + С (/)(Цо Fо (/) +

+ С (/) к( г, /) + С1 (/) г1) + Цо F0 (г) + к( г, г).

(3)

Исключая в данной системе субвектор г , принимающий на скользящем режиме в силу условия (2) выражение

г2 =-С1(0 г1, (4)

и, учитывая Бо1 =о - (п - т) х т, приходим, после отбрасывания обращающихся в тождество последних т уравнений, к системе

г1 = А^г1 + А^ + И\г1,0, (5) в которой ис = -С1 (^г1 - управление скольжением, И(г\ /)=Цо1Ц}(/) + к1(г1,/) и, с учетом выражений (4)

и г =

Е,

(п-т)х(п-т) I 1

- с V) 1 г

неопределен-

к1 (г1, /) = к1 (г, /) - (п - т) х 1 - субвектор ных идентифицированных возмущений к(г,/) (1).

Синтез многообразия скольжения с компенсацией номинальных и идентифицированных возмущений в системе скользящего режима

В случае п < 2т, или (п-т) <т, синтез многообразия скольжения усложняется, по сравнению со случаем п = 2т, и при номинальных возмущениях. Рассмотрим это на примере системы скользящего режима (5), в которой век-

тор И1 (г1, /) = Цо^о (/) + к1 (г1, /) принимается вектором номинальных возмущений при условии, что вектор к1(г1, ) достаточно точно численно идентифицируется на малых интервалах време-

ни,к1(г1,/) = ко (г1,/), и управление скольжением ис задается в виде суммы

ис = -С'(/)г1 = -(С10ЯЙ + с;,(гЧО) г1, (6) в которой т х (п - т) - субматрица С 1сот, находится по заданному качеству скользящего режима, например, методом модального управления [7] или методом экспоненциального уменьшения нормы вектора состояния [8].

Для того, чтобы управление скольжением (6) скомпенсировало в общем случае неблагоприятное воздействие субвектора И 1 (г1, ) на устойчивость и качество переходного процесса в системе (5), достаточно обеспечить выполнение равенства

-Ао12 с И1 (гЧ/)) г1 = ^{-а^И 1(г \/)|,...

I 1 1 I 1 (7)

...,-«п-т (/)|И\-т (гс,/)\}signг1,

1 т -

гдеsignг =(signгс,...,signгn т) , а{(/)>1, I = 1,п-т,

так как в правой части системы (5) в этом случае в каждом i - м уравнении формируется слагаемое, ускоряющее, дополнительно к действию ис = -С]соп/ г1, затухание координаты г{ субвектора г1 = (г1,..., гп-т )т. Полагаем для этого:

САг1«)) =

И

с1,1 /|

С1,п-т /|г

«Л ...

V Ст,1 Ц

Тогда, обозначая матрицу

т, п-т п-т

/ г»

(8)

^ п-т,п-т

=С

тх(п-т)

получаем равенства

■>1

С 1л(г1(/)) г1 = С

И

Ао\2СИ\ (г1(/)) г1 = Ао12Стх(п-т)

-mх(n-m)sгgn¿

г .

(9) (1о)

Согласно равенствам (7)-(Ш) приходим к соотношению:

-Ао12Стх(п-т) ^п г1 = (О^ (г1,

п-т (0|И1т (г1,/)\}*Ц

slgn г1.

(11)

Обозначим (п - т) х (п - т) - матрицу про-

изведения Ао12Стх(п-т) в виде

(АС)

(п-т)х(п-т)

(ас)1

(ас)1п

V (ас)п-т,1 ... (ас)п-т,п-т

(12)

где элементы (ас). являются произведениями

I - й строки а

о12,г'1'...' ао12,т

ч) матрицы Ао12 на

] - й столбец (с1, . ,...,ст,. )Т матрицы Стх(п-т). Тогда из равенств (Ш), (11), (12) вытекает соотношение

г

с

п-т, п-т ' п-т

с

с

1,1

1,п-т

с

п-т,1

с

с

т,1

т,п-т

г

2

г

..,-а

(13)

для определения матрицы Cmy(n_m) и, следовательно, выполнения равенства (7):

(AC)

(n-m)x(n-m)

= diag{ai(t)\n\(zl, t )|,..

an-m (t)|Him (z1, t)|} Приравнивая соответствующие элементы матриц слева и справа, получаем (n - m)2 уравнений для определения m х (n — m) — элементов матрицы Cmx(n-m), часть из которых, в количестве

m х (n — m) — (n — m)2, в рассматриваемом случае n < 2m , (n — m) < m, задается, а остальная находится в силу уравнений:

(ac)ii = a (t)H1(z1,t) , i = 1, n — m, (aclj = 0,

i, j = 1, n — m, i Ф j .

(14)

Так как в правую часть первых (n — m) уравнений данной системы (14) входят функции времени, то все m х (n — m) — элементов матриц Cmx(n—m)

и C 11(z1(t)) окажутся переменными и будут явно

H

зависеть от времени:

Cm4n—m) = CmAn—m)(t), ClHl(z\t)) = ClHl(t,z\t)).

В результате выполнения равенства (7) система скользящего режима (5) примет вид

z1 = Aonz1 - AoU(Clconst +C^(t, z1(t))) z1 + H1 (z1, t) = = A0CCzC -АлРотР +[HC(zC,t)-

-diag^^^1, t)|,...,«n m (t) H1 m (z1, t)}signz\

(15)

означающий, что в правой части данной системы помимо выражения A011z1 — A^C^^z1 в каждом уравнении появляется слагаемое

Hi1(z1,t) —at(t)|H,1(z1,t)\signzi, i = 1,n — m, (16) придающее при ai (t) > 1 дополнительную скорость убыванию IzJ при sign zt Ф 0, так как при sign zi = 0 до выполнения iim z, = о действие

t ^да

HI1(z1, t) Ф 0 и других слагаемых уравнения, мгновенно приводит к sign zi Ф 0 .

Субвектор z2, следующий из уравнения многообразия

S (s = (S1,..., Sm )T = C(t) z = C1(t) z1 + z2 =

= Const + C>, z1(t))z1 + z2 = 0)

и равенства (9) С^ (t, 21 (0)2 = Сшх(п-ш) (№яп 21,

22 = -(С^ + С^1^))21 = -С1ош?1- Сшх(п ш^)^2

(17)

будет вместе с субвектором 21 согласно системе скользящего режима (15) стремиться к нулевому значению. Во избежание возможных скачкообразных отклонений signzi, г = 1, п - ш, а с ними и суб-

вектора z2 (17) от нулевых значений при превышающих расчетные или недостаточно точно идентифицированных возмущениях, предлагается взамен сигнатуры применять непрерывные нелинейные функции достаточно близко приближающиеся к скачкообразно изменяющейся функции трехпозици-онного реле с малой зоной нечувствительности, например из работы [1], согласно которой известная сигнатура signzj = 1 при z, > 0, signzj =-1 при

z, < 0 и sign zi = 0 при zj = 0 заменяется на непрерывные нелинейные функции:

fi (zi) =1 при zi > bt, f (zi) =-1 при zi < -bi, (18) f (zi) = (1/ b)zi при bt >.zt ЖЪ,, где линейная функция в третьем выражении может быть заменена на нелинейные функции:

f (zi ) = (1/b2)z2 при 0 < zi <,

f(zi ) = -(1/bf)zf при -b < zi <0;

ft (zi ) = (1/ b3)z3 при bt ~>zi S!-bi, i = 1, n - m.

(19)

Методы синтеза многообразия скольжения при неточной идентификации неопределенных ограниченных возмущений

Рассмотрим случай, когда вектор внешних возмущений И(х, ¿) в системе (1), или субвектор

И1(21,/) в системе скользящего режима, идентифицируются недостаточно точно. Тогда субвектор И1(можно представить как сумму результата

идентификации И^( 21, /) и ее неопределенной ограниченной погрешности Ай1( /),

И (2 ,{) = И^ ,t) + АИ (2 , {), а в исходной системе представить вектор Ы?.,() соответственно как сумму И(2,t) = И0(2,t) + АИ(2,t). Идентифицированное (номинальное) слагаемое И0(2, t) объединим в один суммарный номинальный вектор Н (2,/) с номинальным вектором £)0 ) из системы (1): Н(2,t) = Б0) + И0(2,t). В результате принятых обозначений система (1) запишется в виде:

2 = А0 2 + В0и + Н (2, /) + АИ( 2, /). (20) Примем в системе (20) в Н (2, г) и в АИ^Д) за первые (п - ш) х1 - субвекторы Н /) и АИ1(2, ^. Подвижное многообразие скольжения сформируем в виде

5 ^ = C1(t) 21 + С2 22 = + (21) + (С1 l(t, 21 (t)) + С (21 (t))) 21 + 22 = 0),

Н АИ

где

С1« = С\оШ, + (С1^,z1(t)) + CАИl(z1(t))), С2 = Е(п-т)х(п-ш).С

истема скользящего режима на многообразии 5 (21), соответствующая системе (1) и с исключенным субвектором 22 (4), запишется:

^т1 = А^1 - A012C1(t)z1 + H1(z1,t)+АИ1^), (22)

где в субвекторах И1(г1,/), Дкс(гс,/) учтено, что в скольжении, как показано для системы (5), И1 (г, /) = И1 (г1, /), Дк1 (г, /) = Дк1 (г1, /).

Найдем для системы скользящего режима (22) такую сумму матриц

С1(/) = + С1Н1 (/, г1 (/)) + СДк1 (г1 (/)), (23)

при которой обеспечивается устойчивость и заданное качество переходных процессов. Для этого в дополнение к определенной для системы без учета номинальных И 1(г1, /) и неопределенных Дк1(г1,/)

возмущений матрице С]^ находятся матрицы

С11(/, г1(/)) и С^Дгс(/)) таким образом, чтобы в

скользящем режиме выполнялось равенство (7) с преодолением (превышением) действия вектора И1 (г1, /) и второе равенство для преодоления действия вектора Ак1(г1,г): 4^1 (г1 (/)) г1 = diag{-al(t)\И] (г1, /)|,... ...,-ап_т (/)| И\_т (г1, / )|}^пгс, Ао12С1 1 (г1 (/))г1 + Дйс( г1, /) = К + Дк1 (г1, /),

Дк

(24)

где К = (кс...,кп-т)Т, к. = -Д ^пгг, Д >|Дкс(гс,/)|. Матрица С 11(/, г1(/)), как решение первого равен-

И

ства (24), находится в результате решения системы алгебраических уравнений (14).

Рассмотрим второе равенство (24) с нахождением коэффициентов с1 1 , i = 1, т, . = 1, п - т, зада-

дй1.', ]

ваемой структурно тх(п - т) - матрицы с1 с(гс(/))

^ z'C/)) =

' с1 1 /zJ

ДЛ11,1 1 11

с1 1 / z1

1h1n-m,1 I 1

с1 , /I z.l

1h1m,1 I ^

Сл ;1i / zn-m 1h 1,n-m 1 1

1h n-m,n-m

/ Zn

(25)

Согласно второму равенству (24) получаем, сокращая в нем Дк1 (г1, /), уравнение

- Л12 C[ /z1) Z1 =- A0

sign z =

из

P ч 0 ... р

которого

0 ^

sign Z ,

учетом

'Р

с1 и

' лг,1

(26)

обозначений

.. о ^

о

Рп

= р

следует система (п- т)2 уравнений для нахождения т х (п - т) элементов матрицы с1 с по задан-

ным (п - т)х т и (п - т)х(п - т) матрицам Ао12 и Д и

2 1

заданным т х (п - т) (п - т) элементам матрицы с ] :

Дк

Лс^С = Д. (27)

Раскрывая данное матричное уравнение, получаем при (п - т) линейно независимых столбцах матрицы Ао12 и при заданных согласно второму равен-

ству (24) значениях к,, j = 1, n - m, систему урав-

нений

(Я012,,С/\)гг = Д , 1 = In -Щ

(«012 !c1;j)j = о,l, j = 1 n - m, 1 * j , (28)

ДП ^

где

— («0121,1 ... a012i,m)

соответственно

с с,.с = =1 с Д 1 ... сД 1

Дй1 V Дкс1,. Дкст,]

г - е строки и. - е столб цы матриц Ао12 и сД^. По решению сс с системы (28) находятся все элементы

с с , г = 1, т, . = 1,п - т, матрицы С1 с(гс(/)) (25)

Дк г,. Дк1

второго уравнения (24).

В результате приходим к таким матрицам С1и1(/, г1 (/)) и сДй1(гс(/)), что в силу выполнения равенств (24)система скользящего режима (22) преобразуется к виду

гС= Аоссг1- АотССопл+СЛ/, гС(/))+

^const H

+C^(z\t)) z1+ H1(z1,t)+ Zlh1(z1,t) = =AjuZ1 - Anions? +[H1(z1,t)-Jiag{«1(t)H1(z1,t),. ...,0n-m(tj HUz1^} signz1]+[[h1(z1,t)+ К], где a,(t)>1, К = (к1,...,kn-mf, ki signzi,

(29)

Pi >| 1h,'(z1,t)|, i = 1, n - m, и обеспечивается заданное качество скользящего режима при постоянном действии ограниченных номинальных H 1(z1, t) и

неопределенных hi1 (z1, t ) возмущений путем их преодоления (превышения), несмотря на невыполнение известных условий инвариантности скользящих режимов к неопределенным возмущениям, в силу создания дополнительной скорости затухания модуля каждой координаты субвектора z1 .

Координаты субвектора z2, следующего в скользящем режиме из уравнения гиперплоскости S (21),

z2 = -[Cnstz1 + (CH1 (t, z1(t)) + C\ (z1(t)))z1] =

H M (30)

= -Clonszl - Cmx(n-m)(t)sign ^ - sign ^

стремятся, также как и координаты субвектора z1, к нулю в силу конечности элементов матрицы Clonst и линейной зависимости составляющих m x 1 - векторов C^fo АОУ = Cmx(n-m) (t^)sign z и

C^ (z1 (t))z1 = c1h1 sign z1 от sign zt ^ 0 при

дп1

и

с

z

с

1h m,n-m

с

с

h 1,1

1h 1,n-m

с

с

h m,1

h m,n-m

с

С

С

Дк' 1,1

1h 1,n-m

с

с

Д h m,1

,

zi ^ 0, i = 1, n - m, согласно системе скользящего режима (29). Как и в случае номинальных и идентифицируемых возмущений во избежание возможных скачкообразных изменений значений sign zi, а с

ними и значений субвектора z2, предлагается вместо сигнатур использовать непрерывные нелинейные функции (18), (19).

Методы синтеза управлений, приводящих систему в скользящий режим в случае невыполнения условия инвариантности

Воспользуемся представлением производной s и управления u в виде сумм

(31)

s = s0 + s

0 т Ah'

u = u0 + u

0 T "Ah •

Для вектор-функции s многообразия S (21) S(s = C(t)z = C1(t)z1 + C2z2 = Ciy +

+ (ClH1(t, zV))+CAhc(zC(í)))zC + z2 = 0), (32) где C11(t, z1(t)) z1 и C1 1(z1 (t))) z1 являются из-

вестными

векторами Cmx( n—m) (t)sign z1 и

c j sign z , получаем производную s в силу сис-

Ah

темы (20)

z=A0 z+B0u+H(z, t) + Ah(z, t) в виде выражения

s = ClonJ + Cmx(n-m)(t)sign z + (Cmx(n-m)(t) + ^ *

X d(signz1)/dt + z2 = Clnst (Anzl + 4и/ + H1(z,t) +

+ Ah1(z,t)) + Cmx(„-m)(t)sign z1 + (Cm4n-m)(t) + ^ ) *

X d(signz1)/dt + (4,21 z + 4,22z2 + B)2(U0 + Uh) + (33) +H2(z,t) + Ah2(z,t)),

где производные d (sign zj)/ dt (импульсные функции Дирака) при переходе функций zj (t) от

нулевых значений на положительные в некоторый момент «прошивания» t = t плоскости предлагается аппроксимировать конечными непрерывными функциями на конечном промежутке времени At = t - ГпрШ > 0 [9, c.794]:

d(signzj)/dt=Pj exp-p(t -tnpJ2]/4^, fy

В реальной системе принимаются ограниченные

> 0 , определяе-

положительные постоянные ß мые предельными

j °гр

значениями

управлений

и . . = . Так как «прошивания» координатной

) ^ J 5

плоскости 2 ■ = 0 могут быть с двух разных сторон, то производную ¿ (signZj)/ Ж предлагается находить по алгоритму:

d(sign zj)/dt=

ßогрexPЬßогр(t ^Jvr. при

огр"'^!. Г. огр\* ■прш

-А. < (при) <А. * 0 + и ^п [ йцш+^О^ ^п йцшЛ; 0 при -А.. >(?прщ) или (34)

-Р огреХР1-рогр(?при

-А. < (прш) <А. * 0 + и

^п [(*прш+ А?)] < ^п ^цЛ

где А/ > 0 равно принятому шагу интегрирования системы (20) с управлением и = и 0 + и АИ (31), значение малой постоянной А г > 0 тем меньше, чем меньше М > 0 и может быть оценено как аналитически, так и в результате экспериментального моделирования системы управления, моменты прошива-

ния t = t

определяются для каждой гиперплоско-

сти

прш

zj = 0

выполнением

неравенств

невыполнение обеих

— Aj < zj (^рш ) <A j « 0 + неравенств означает отсутствие прошивания гиперплоскостей zj = 0, j = 1,m, на текущий момент времени /и равенство импульсной функции нулю.

Слагаемые s0 и sAh (31) для производной s (33) запишутся

s0 = Clnst (A011 z1 + A012z2 + H1 (z, t)) +

+ Cmx(n-m) (t)sign z1 x (Cmx(n-m) (t) + ^ )d(sign z1)/ dt + (35) + (A021 z1 + A022 z2 + B02U0) + H2(z, t)), s A h = Cl„st A h 1( z, t) + A h 2( z, t) + B 02 u A h. (36)

Управление u0 находится в результате приравнивания производной s0 (35) сумме Kgg + Kss

s0 = Kgg + Kss , (37)

которая является необходимым условием существования скользящего режима при выбранном типе разрывного номинального управления u0 с малым числом логических переключающих устройств (ЛПУ) равном размерности m вектора управления [10]. В силу необходимых и достаточных условий существования скользящего режима [11]

lim s0m < 0, lim s0m > 0, j = 1,m , (38)

sj ^+0 0 J sj 0 0 J

на подвижных гиперплоскостях Sj (s j = Cj (t) z = 0, Cj (t) — строки матрицы

C(t) = (Clonst + CH 1(t,z1(t)) + C\ü(z\t)), E) в выражении s (32), приходим к неравенствам

кgjj (z, t) = к + .. (z, t) < 0 при sjgj > 0,

gjj

(39)

Ks» (Z, t) = K's» (^t) > 0 при sjgj <0

для параметров ^..диагональной матрицы Kg , а

в силу достаточных условий попадания и. т. в малую окрестность многообразия 5 S0 jsj < 0, . = 1, ш, к неравенствам для парамет-

ров r±. , j = 1,m, диагональной матрицы Ks с

(40)

определением их знаков

к(г, г) = к (г, г) < о иРи * jg . > о, к * (г, г )<о ири ^о, где gj = dj(t)г, dj(t) * с .(г), являются вспомогательными функциями переключений структур составляющих и о управления ио .

В результате изложенного метода управление ио находится в виде:

ио = Бо2-1 |Kgg+К** - Ссоп* (Аосс г1 + Аос/ + Ис(г;/))+

+ Стх(п-т)«^п г1 (Стх(п-т)(/) + ^с Ж^п г1)/dt + (41)

+(4,21 г1 + 4,22 г2+И2(г,/))|,

где производная Стх( п - т )(t) матрицы

С

m х( и - m )

(t) определяется аналитически или числен-

но по аналитически определенному решению Cm x( n - m )(t) системы (14), а производные

d(sign zj) / dt вектора d(sign z1) / dt согласно алгоритму (34).

Методы построения векторного управления u 1h в сумме u = u0 + u1h (31) находятся из условий асимптотического попадания изображающей точки в малые окрестности гиперплоскостей скольжения

s^jsj <0, j=1m, (42)

так как их выполнение совместно с условиями существования скользящего режима (38) и равенствами

sj = s0 j + slhj обеспечивает приведение системы в скользящий режим на заданное многообразие S (32). Представим с этой целью векторные управление u 1h и производную s1h (36) в виде:

_ / ту ч-1 * * _ *1 *2

uih = (B02) uih, ПДа = u1 + u1,

s^ = CLM z, t) + ^д + 1h2(z,t) = slh + slh ,(43)

s1h = CL^ z, t) + ulh, si =1h2(z,t) + ulh.

Представим строки матрицы C^^ как C1 J = (с11,..., ), j = 1, m , и зададим управление u1h в виде:

u2 =(uh,...uJjT = ClnsK HCVl..^), (44) где К 1=(к11,...,K1m), K1j =(KJj,..., кП-„)t . Тогда производные slh и slhj запишутся:

4 = C1onst (((z,t) + К1),

s1Ah, = X!5-" с1/' (k1 j + lA,1), j = 1m, i = 1,n - m . (45)

J i=1

Из полученного выражения s]Ahj- с учетом требуемого выполнения неравенств (42) по данному слагаемому суммарной производной s 1hj следует

алгоритм задания составляющих rj разрывных параметров r,1j:

,i j =

г,1 j + < min (-Ah'(z,Г)) при с,1 jsj > 0,

t, z

r,1 j-> max (-Ah'(z,t)) при с,As,. < 0,

(46)

где j = 1, m, г = 1,n - m . Управление и A: задается в виде

и:2=(к21,...,к2 m у _ при котором ¿2 = Л:j2 (z, t) + к2 j, j = 1, m, и неравенства (42) по данному слагаемому ¿2 выполняются при

к2j +< min (-Ah2 (z, t)) при ¿;. > 0,

~2 j = <

r2j > max (-Ah 2 (z, t)) при s. < 0.

(47)

Второй возможный метод синтеза слагаемого и Ай в полном управлении и = ио+ иАк (31) основан на отдельном нахождении управлений для каждой неопределенности суммы к( г, г) в системе (2о) [1о]

к(г, г) = (кс,..., кп)т = ДА (г)х + ДБ (Г)и + + Д Ц (г )(F0(г) + Д F (г )) + Ц о Д F (Г ). В управлении и Дк в этом случае упрощается оценка предельных значений каждого элемента каждой матрицы и столбца параметрических и внешних неопределенных возмущений ДА (г), ДБ (г), ДЦ (г) и дF (г), но существенно увеличивается число создаваемых структур управления и необходимых для их переключений ЛПУ (в частности, в силу учета обычно не принимаемой во внимание неопределенности дБ (г) в матрице Б (г) = Б о+ДБ (г) входа управления).

Третий метод разрывного управления в аналоговом и цифровом вариантах, эффективный в приведении в скользящий режим, отличается простой реализацией по заданной скорости приведения в скольжение, по воспроизведению модельных движений систем с малой размерностью и применением динамики самого объекта в уменьшении энергетических затрат на управление [12].

При необходимости регулирования параметров колебаний управления и координат состояния на скользящем режиме во избежание их возможных негативных воздействий на исполнительные механизмы в малой окрестности многообразия скольжения предлагается применение гибридного управления с переключением разрывного управления и = ио + иДк на непрерывное в этой малой окрестности. Метод сравнительно легко развивается для любого известного типа разрывного управления на скользящих режимах [13].

О возможностях синтеза многообразия и управления при размерности системы большей двух размерностей управления Случай обычных, не форсированных, скользящих режимов

В случае размерности системы большей двух размеров вектора управления, то есть при п > 2 т, или

t, z

t, z

t, z

ш < п - ш, достаточные условия преодоления (превышения) действия номинальных и неопределенных возмущений, не удовлетворяющих условиям инвариантности к ним скользящего режима, не выполняются. Это связано с тем, что не удается найти такие ш х (п - ш) - матрицы С11(г, 2 1(г)) и

С1 1(21(г)) в условиях-равенствах (24), чтобы они

АИ

выполнялись. Действительно, при определении вспомогательных ш х (п - ш) - матриц

' С 1

АИ11,1

С 1 =

АИ1

(48)

через которые матрицы С1Н 1(г, 21(г)) (8) и С^ (z1(t)) (25) окончательно находятся, решаются

соответственно алгебраические уравнения (13), (14) и (27), (28). Но для каждой из этих матриц, С шх (п - ш)

и с 1 (48), образуются (п - ш)2 алгебраических

А И1

уравнений, тогда как число неизвестных элементов в каждой матрице меньше, так как равно ш х(п - ш). В результате приходим в общем случае к двум несовместным системам уравнений.

Следовательно, в обычном (не форсированном, первого порядка) скользящем режиме при п > 2 ш, то есть при ш < п - ш, преодоление действия на систему номинальных и неопределенных возмущений Н 1( 21, г) и А И 1( 21, г) в системе скользящего режима (22) ( не в исходной системе (20)) невозможно. Соответственно, построение управления, приводящего систему (20) в скользящий режим при отсутствии подходящего по качеству процессов многообразия скольжения, не имеет смысла.

О возможностях синтеза многообразий и управлений для форсированных режимов второго и выше порядков

В представленном случае значений размерностей п и ш возможно, тем не менее, существенное дальнейшее повышение качества переходных процессов, так как при ш < п - ш, или п > 2 ш, возможно формирование скользящего режима не обычного первого порядка, а второго порядка с понижением размерности системы скользящего режима не до обычного размера п - ш, а до размерности (п - ш) - ш = п - 2 ш , при условии п - 2 ш > 1, которое не противоречит неравенству п > 2ш [14]. Для выявления такой возможности предлагается предварительно найти разрывное управление, приводящее исходную систему (1) в обычный скользящий режим с размерностью системы равной п - ш . Выше приведенный новый метод формирования многообразия скольжения, позволяет, как показано, обеспечить требуемое качество переходных процессов и при наличии возмущений, не удовлетворяю-

щих известным условиям инвариантности скользящего режима к возмущениям:

Л4(о=вдаО, АВ(/) = зди(0, ДО=ЗЛо(0,(49)

для системы в регулярной форме (1), которые на случай выделения приведенного вектора неопределенных возмущений И (2,г) сводятся к двум условиям:

Д 0 = В 0 Л Д0, И ( 2,1) = В0 Л И (2,1^ (50) где размерности матриц неопределенных коэффициентов Л аА (X'),..., Л Д (Г), Л д0 , Л И (2, о в перечисленных условиях инвариантности (49), (50) следуют из размерностей матриц сомножителей и произведений. Если в системе скольжения первого порядка (22)

21 = А01121 - А012 С1 (Г ^ + Н 1( 21, Г) + АН\21, Г), (51)

где

Н 1( 21, г )= 00Л(Г ) + И0( 21, Г ):

- С (г)2 = ис - управление скольжением, выполняются условия инвариантности к возмущениям, то есть Д01 = А012лд01 , И0 = А012 ЛИ0, или Н 1 = А012 ЛН1 , А И1 = А012 Лаи1 , то для управления ис может быть

применен метод приведения в скользящий режим второго порядка с размерностью его системы равной п - 2 ш > 1 с соответствующим формированием матрицы с 1 (г) как для многоуровневого управления с заданным порядком скольжении и с заданной размерностью и качеством скользящего режима верхнего уровня [14] . Если же указанные условия инвариантности не выполняются, то скользящий режим второго порядка может быть осуществлен по изложенному в данной статье методу при выполнении условия п - ш < 2ш (аналогичного требованию п < 2 ш для исходной системы (20)). Но, в отличие от работы [14], поверхности вспомогательных скольжений, приводящих на многообразие скольжения второго порядка с противоположных сторон, в силу уравнений скольжения вида (48), и поверхность скольжения второго порядка не будут гладкими, если не применять непрерывные функции (18), (19). Решение данной задачи является развитием метода многоуровневого разрывного управления [14] для синтеза скользящих режимов заданного порядка в условиях неопределенных возмущений, не удовлетворяющих известным условиям инвариантности.

Заключение

Для систем управления с линейными стационарными объектами при номинальных и неопределенных ограниченных возмущениях, не удовлетворяющих известным условиям инвариантности к ним исходных систем на скользящих режимах, впервые решена актуальная задача обеспечения возможности применения главного преимущества скользящих режимов в понижении размерностей исходных систем с улучшением на этой основе показателей качества переходных процессов и эффективности управления в целом. Получены следующие результаты:

- метод синтеза подвижного многообразия скольжения по заданному качеству переходных процессов

С

С

с

1,1

1,п-ш

АИ 1,п-ш

С

с

с

п-ш,1

С

С

АИ1ш1

ш,п ш

с

с

ш,1

на скользящих режимах при размерности системы меньшей удвоенной размерности управления при номинальных и неопределенных ограниченных возмущениях; многообразие скольжения синтезируется таким образом, что в системе скользящего режима практически полностью преодолевается (превышается) действие номинальных и неопределенных возмущений, в результате чего скользящий режим наделяется дополнительной скоростью убывания модулей всех координат состояния системы с требуемым качеством переходных процессов; система скользящего режима в этих случаях имеет размерность меньшую, чем исходная система на размерность вектора управления и качество ее переходных процессов определяется в основном заданием субматрицы с постоянными коэффициентами, например, по методу модального управления или экспоненциального уменьшения нормы вектора состояния;

-метод векторного разрывного управления, приводящего систему на подвижное многообразие скольжения с быстрыми изменениями положений на основе замены функций сигнатур координат состояния системы на непрерывные нелинейные функции близкие к функции трехпозиционного реле с малой зоной нечувствительности;

- показано, что в обычном скользящем режиме (в скольжении первого порядка) при размерности системы больше удвоенной размерности управления не возможно превышение в системе скользящего режима действия номинальных и неопределенных возмущений и соответственно не оправдано построение управления; в то же время впервые показано, что в данном случае размерностей системы и вектора управления, имеется возможность получения еще более высокого качества переходных процессов в силу возникающей возможности приведения исходной системы не в обычный (первого порядка) скользящий режим, а в режим скольжения второго порядка, в котором размерность системы скользящего режима меньше размерности исходной системы уже не на одну, а на две размерности вектора управления; впервые обозначены пути развития данного подхода к синтезу многоуровневого разрывного управления и его многообразий скольжения при номинальных и неопределенных возмущениях, не удовлетворяющих известным условиям инвариантности в исходной системе уравнений.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований в рамках научного проекта № 16-31-оо463 мол_а.

Литература

I. Мещанов А.С., Султанова А.Ф.. К построению многообразий скольжения и управления при невыполнении условий инвариантности. Вестник технологического университета. 2016. Том 19 № 10, С. 113-120. 2. Мещанов А. С. Синтез скользящих режимов при невыполнении условий инвариантности к возмущениям в системах с линейными стационарными объектами с размерностью отличной от удвоенной размерности управления. // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 2014, №4, С.154-163.

3. Drazenovic B. The invariance condition in variable structure systems //Automatica. 1969. Vol. 5, № 3. p. 287-295.

4. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. М., Наука, 1974,272 с.

5. Лукьянов А.Г., Уткин В.И. Методы сведения уравнений динамических систем к регулярной форме. Автоматика и телемеханика, 1981, № 4, С.5-13.

6. Мещанов А.С. Скользящие режимы с заданными размерностью и качеством в системах с линейными стационарными объектами при неопределенности. -Авиакосмическое приборостроение, № 2, 2009.- С. 2227.

7. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976, 184 с.

8. Мещанов А.С. Синтез линейных систем с заданным качеством процессов управления по норме вектора состояния. Вестник КГТУ им.А.Н. Туполева. 2009, № 4, С. 107-114.

9. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М., Наука,1973 г..832 с.

10. Мещанов А.С. Приведение линейных стационарных объектов на многообразия скользящего режима при неопределенностях// Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2013. № 2. С.157-163.

II. Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной структурой. М., Наука,1967,-336 .

12. А. С. Мещанов, Э.А. Туктаров. Скользящий режим с энергосберегающим управлением линейными нестационарными объектами при возмущениях. Вестник технологического университета. т.18, № 12, 2015, С. 164168.

13. Мещанов А. С. , Давлетшина Л. А. Синтез гибридных управлений в регулировании колебаний на скользящем режиме при неопределенных возмущениях. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2013, № 4.- С .272-281.

14. Мещанов А.С., Гатауллина Л.А.. Управление линейными нестационарными объектами на скользящих режимах заданной размерности при возмущениях и неполной информации. Вестник технологического университета. т.18, № 12, 2015, С. 149.

© А. С. Мещанов, кандидат технических наук, профессор кафедры автоматики и управления, старший научный сотрудник, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ, [email protected]; А. Ф. Султанова, аспирант кафедры автоматики и управления, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ, [email protected].

© A. S. Meshchanov, candidate of engineering sciences, professor, Associate Professor of department of Automation and Control, senior research scientist, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, [email protected]; А. F. Sultanova, post-graduate student of department of Automation and Control, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, [email protected].