CC BY
9
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
УДК 681.5.01:658.5
А. С. Мещанов, Э. А. Туктаров
АНАЛОГОВОЕ И ЦИФРОВОЕ УПРАВЛЕНИЯ, ВОСПРОИЗВОДЯЩИЕ МОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ С МАЛЫМИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ ЗАТРАТАМИ. Ч. I
Ключевые слова: аналоговое и цифровое управления, скользящий режим, возмущения, нелинейный объект, качество процессов.
Предлагаются методы синтеза эффективных аналоговых и цифровых разрывных векторных управлений, приводящих систему с нелинейным нестационарным объектом при неопределенных возмущениях в скользящий режим на подвижном многообразии скольжения, предлагаются методы его синтеза в непрерывном и цифровом вариантах. Обеспечивается заданное качество переходных процессов, получены способ и метод уменьшения модулей составляющих управления и энергетических затрат.
Keywords: analogue and digital control, sliding mode, disturbances, non-linear object, process quality.
The methods of synthesis of efficient analogue and digital discontinuous vector controls are considered. The controls run system with non-linear non-steady object indefinite disturbances to sliding mode with moving sliding variety. Furthermore the synthesis of sliding mode in continuous and digital options is reviewed. The given transient quality is provided. Technique and method of decreasing control and energy costs components module has been obtained.
(2)
Введение
Рассматривается управляемая система с нелинейным нестационарным объектом при номинальных М0(х,1) и неопределенных Ь(х,1,и) возмущениях
х(1) = /0(х,1) + ВоХ)и + N0X1)+Ь(х,1,и), (1) где х еОх, 1 е I = (^ К1. 1к <»! №) = А,(Х,Г)х , /0(0,1) = 0 , и через О0(х. 1) обозначено произведение О0 (х,1) = й0 (х, 1 )Р0 (х, 1) + ф0 (х, 1), а вектор Ь( х,1,и) представляет суммарное возмущение Л( х,1,и) = А/ (х,1) + ДВ( х, 1 )и + й0( х, 1 )(Р0( х, 1) + +ДР (1)) + ДО( х, 1 )ДР (1)
Постановка задач. 1. Найти сравнительно простой по реализации метод синтеза эффективного аналогового и цифрового разрывного векторного управления, приводящего систему (1), (2) в скользящий режим на подвижном многообразии скольжения. 2. Найти аналоговый метод синтеза подвижных многообразий скольжения по заданному качеству переходных процессов. 3. Найти способ и методы уменьшения и минимизации энергетических затрат в системах с аналоговыми и цифровыми разрывными управлениями. 4. Найти методы синтеза аналогового и цифрового разрывных управлений и многообразий скольжения в системах регулярной формы. 5. Представить: системы и порядок численного моделирования в настройке параметров и реализации аналоговых и цифровых управлений в системах общего нормального вида; цифровой вариант синтеза подвижного многообразия скольжения; порядок формирования аналогового и цифрового разрывных управлений и многообразий скольжения в системах общего нормального вида.
В данной первой части статьи решаются первые две задачи и способ и метод решения третьей задачи.
1. Варианты синтеза аналогового и цифровых разрывных управлений, приводящих систему в скользящий режим
Первый вариант аналогового и цифрового управлений. Для упрощения дальнейшего построения векторного - управления, представим его в виде произведения
и = (и„...,ит )Т = (С(1 )В0(х,1)) 1 и* (3) и введем обозначение
B0( x,t )(C(t )Bo( x, t ))1 = P0( x, t),
(4)
где т х п - матрица С(1) соответствует подвижному (п - т) - мерному многообразию скользящего режима
5(5 = (^...^ )Т = С(1)х = 0) (5)
Система (1) с учетом выражений (3), (4) принимает вид
х(1) = /0(х,1) + Р0(х,1 )и* + 00(х,1) + х, 1,и). (6) Для нахождения постоянных значений управления и* на малых шагах 1 е ^ = (^, ^+1], / = 0, к -1, рассмотрим производную
5 = Сх + Сх = Сх + С/0 + и*+ С00 + СЬ (7) и ее составляющие 5у
5у = Сх+С]х = Сх+С; (/0 + 00 + Ь)+и* у = 1т (8) Впервые предлагаемые аналоговые и цифровые управления и* и и/* находятся по условиям приведения системы (6) в скользящий режим на каждой подвижной гиперплоскости 5у = Су (1 )х = 0 , и тем
самым на (п - т) - мерном многообразии5 (5) [1], соответственно в двух видах:
и* = и*+ (1), 5j = 5+ (1) < 0 при 5у > 0;
u* = u(t), s. = s"(t) > 0 при si < 0;
u>;= u'r, sj = s< о при sj > o
(10)
x = Щ) = (xM -x)/A = (Ri + 2R + 2R + R4)/6 (14)
и'* = и, , ё, = ё'- > 0 при ё, < 0,
где символ «/ » для цифрового управления (10) означает момент времени Ь = tj на шагах вычислений
составляющих и*1 ± векторного управления и* при
t е ¡1, / = 0, к -1. Задаваемые и настраиваемые по результатам пробных моделирований системы управления функции и значения ^) и ё/± в пределах ограничений (9) и (10) определяют качество процессов до попадания изображающей точки (и.т.) на многообразие 5 (5) и в малой ее окрестности полагаются близкими к нулевым значениям с целью регулирования параметров колебаний управления (во избежание их возможного негативного воздействия на исполнительные механизмы [2] со снижением их ресурса при частом срабатывании и возможных резонансных колебаний части звеньев системы).
С учетом ограничений на возмущения Л/ Щ * < Ц < Щ, I = 1,п, и выражений ё, (8) условия (9), (10) для аналогового и цифрового управлений на каждом / - м шаге t е ¡1 = (^, tl+1 ], / = 0, к -1, запишутся
и*;«) < ё+рсо - с $)х - стм+-
- т ах &П=1с, V Щ Ц)],
и*-Ц) > ^^{) - С,Ц)х - С{)Щ(х,0 + х,t)) -
- тп « Щ Р)];
u'/ + < Sj+-Cix -Cj(fo(x',t,) + No(x' ,t ,)) -
- El iW
u'i- > s3 - Cj xj - Cj (fo(xj ,t, ) + No(xj ,t, )) -
(11)
(12)
где c„ (t) и с'ц - элементы m x n - матриц C(t) и
С1, / =0, к -1.
Исходные аналоговые и цифровые управления и и и для системы (1) находятся согласно соотношению (3) на каждом / - м шаге по формулам
u(t ) = (C(t )Bo( x,t ))-1u ' (t ),
(13)
и =(ClBl0( х', ti ))1и/*, где и" = и ,..., и* )Т ,и!; =и;+ при > 0, и* при ё < 0.
Второй вариант цифрового разрывного управления. Предлагается производную х в выражении производной ё, (8) находить путем
вычислений значений х'+1 по методу Рунге-Кутта 4-го порядка [3]. Производная х' в моменты t = tj запишется
где Rj=Kj / At, I = 1,4; ât = tM -1,, i = o,k -1, Ki = (fo ( xj, t, ) + Po ( xj, t, )u '' + No ( xj, t, ) + hj )ât, K'2 = (fo (xj + Ki / 2, t , +At /2) + Po (xj + Ki / 2, t , + +At / 2)u'' + No (xj + Ki /2, t , +At /2) + h )At, K3 = (fo (xj + K2 / 2, t, + At /2) + Po (xj + K2 / 2, t, + +At / 2)u'j + N0 ( x' + K2/2, t, +At /2) + h )At, K4 = (fo (xj + K31 , +At) + Po ( xj + K31 , + At)u'j + +No( xj + Ki3,ti +At ) + h )At.
Составляющие Sj (8) с учетом выражений (14) принимают на i - м шаге вид:
Si =Cjx + j =Cjx + Cj[(fo(x t,)+Po(x' t,u + +No(xi ,tj )+h )+2(fo(xi + Ki/2,ti +At/2) + +Po(x + Ki /2,t +At/2)u' + No(xi + Ki /2,t, + +At/2)+h )+2(fo(xi + K2/2t +At/2)+Po(xi + (15) +K2 /2,tj +At / 2)u" + No(xi + K!2 /2,tj +At /2) + +h ) + (fox + Kit +At) + Po(x + K},ti +At)u" + +No(x + Ki ,tj +At ) + h )]/6,
где
с учетом
соотношения
(4)
В0(х^)(С^)В0(х^))-1 =Р0(х,Г) и постоянства значений всех составляющих в выражении (15) на каждом / -м шаге выполняется равенство
С [Р0(х/ ^) + 2Р0{х + К/21+М/2) + 2Р0х +
K/2 ti +At/2)+P0(x + Ki, ^ +M)]/6 = i.
(16)
Приходим к выражениям для производных в виде
ё =с, х + сх =с, х + с, щх+)+х ^))+ +2(0(х + К/2,^ +М/2)+х )+К/2,Ь +
+М/2))+2Щ(х + К2/2, +М/2)+х + (17) +К2 /2,^ +М / 2)) + с0(х + КЗ,^ (х +
+К3,^ +М ))]/6+Л + и**.
Задаваясь на каждом / -м шаге для управлений и" законом переключения структур и*1 ± составляющих и*1 (10) приходим согласно выражениям производных (17) ко второму варианту выражений структур и*±:
4+ <,-Сх -Сщх^)+^х))+2Щ(х + +К /V, +&/2)+^(х,()+К/2^ +&/2)) + +2(0(х + К / 2 +М/2)+ х + К2/2^ + (18.1) +М/2))+с0(х + К34 +М)+х + К34 + +Х))]/6 - тгхЦЩ==, ],
w;- > j -ex шх t )+t ))+2(/c0(X + +K /2t, /2)+N,(X ,t, )+K /2t /2)) + +2(/0( X + K2 /2, t, +àt/2) + Л0(У + K2 /2, t, + (18.2) /2))+(o(X + K,t, +At) +No(x' + K3 ,t, +
))]/6 - nin [J/ ],
где как и в первом варианте (12) закона управления u*', c'a - элементы m x n - матрицы C,
/ = 0, к -1. Применение неравенств (18) обеспечивает более высокую точность определения цифрового управления и , в особенности при нулевом векторе неопределенных возмущений Ь (2).
Отметим, что полученные новые аналоговое разрывное управление (11) и цифровые управления (12) и (18) отличает сравнительная простота реализации, так как она не предполагает для них наличия вспомогательных многообразий переключений структур в виде координатных и других фиксированных или подвижных многообразий, и вместе с тем обеспечивается возможность настройки переменных скоростей 5* (1) попадания и.т. на подвижные гиперплоскости многообразия скольжения 5(5 = С(1)х = 0) (5). Последнее позволяет минимизировать значения и энергетические затраты на управление и регулировать параметры установившихся колебаний разрывного аналогового и цифрового управлений.
2. Аналоговый метод синтеза подвижных многообразий скольжения по заданному качеству переходных процессов
Предполагаются выполненными в системе (6) условия инвариантности скользящих режимов на подвижном многообразии 5(5 = С(1 )х = 0) (5) к номинальным и неопределенным ограниченным возмущениям 00(х, 1) и Ь(х, 1,и) [ 4, 5]:
М0(х, 1) = Вь(х,1)ЛЫо(х, 1), Ь( х,1,и) = В0( х, 1 )ЛЛ (х, 1),
где Л^(х, 1) и Лл (х,1) являются т х 1 - векторами
с неопределенными в общем случае составляющими. Тогда, применяя один из известных методов вывода уравнений скользящего режима [6, 5, 7, 1], для систем с линейным вхождением управления получаем уравнение
х = [E - Bo(x,t)(C(t)Bo(x,t))-C(t)]fo(x,t) -
(20)
-В)(х,1 )(С(1 )В,(х,1)) С(1 )х,
в котором в силу х е 5 (5) выполняется соотношение:
5 = С(1)х = 0 Ух ейх, е I = (10,1к], 1 к<да. (21) Предлагается метод синтеза подвижного многообразия скольжения с воспроизведением в скользящем режиме модельного движения малой размерности. Качество переходных процессов на скользящих режимах, также как и при обычных линейных управлениях, как правило, повышается при прочих равных условиях с понижением размерности систе-
мы [8, с. 7-11, рис. 1.1, 1.2, 1.4]. В этой связи предлагается в скольжении воспроизводить желаемое движение модельной номинальной системы с пониженной по сравнению с исходной системой (1) размерностью, равной размерности (п - т) многообразия скольжения 5 (5), п - т > 1. Для этого рассмотрим систему скользящего режима (20) на многообразии 5 (5) с исключенным, в силу 5 = 0 (21), т х 1 - субвектором х2 = -(С2 (1 ))-1 С1 (1 )х1. При постоянной и равной единичной субматрице С2, С2 = Е , данная система принимает вид:
х1 = /01( х,1) - Ё01(х,1)(С(1)£0(х,1))-1(С1(1)/01(х,1) + +/02(х,1) + С1(1 )х1),
В«( х,1) ^
где
X =
X
Vх
( Ж X,t ) ^
2 ,=r (n;CV Ix1, Bo(x,f )=1 Bo2( x,t ) ;
E,
( n-m )x(n-m)
единичная
/0( х, 1) = 2
1/02(х, 1),
(п - т) х (п - т) - субматрица, а /:01(х,1), /02(х,1) и В01(х,1),В02(х, 1) соответственно (п-т)х1, тх1-субвекторы и (п - т) х т, т х т - субматрицы.
Ограничимся рассмотрением второго варианта модели [9]. Построение модельного управления им упростится, так как модель не будет зависеть явно от матрицы С(1)
у1 = /0\у, 1) - В01(у, 1) им, им = Км (у1,1 )У1, (23) при условии ее управляемости и выполнения для
вектора у соотношения у = ^ Е( ^^)т 1 | у1, как и
для вектора х в системе (22). Приравнивая для воспроизведения правую часть системы скользящего режима (22) правой части модельной системы, получаем тождество
£( х, 1) - В01( х, 1 )(С(1 )В0( х, 1 ))-1 (С1 (1 )/01 х,1) + +/02 (х, 1) + С1 (1 )х1) - /01 (у, 1) - В01 (У, 1 )им, (24) е I = [1к], 1к< », которое после сокращений с учетом х(1) = у(1) е I = [10,1к ], 1к < да, субвекторов /01, приравнивания сомножителей при матрицах В01 и умножения левой и правой частей получаемого тождества на матрицу СВ0 упрощается до вида
С 1у1 = -С1(1 )/01( у ,1) - /02(у,1) + +(С(1)В0(у,1)Жм (у 1,1 )у1 .
В результате для определения матрицы Км (у1,1) и субматрицы С1(1) для тождественного воспроизведения желаемого модельного движения
E
_ I (n - m )x(n-m )
y1 (t) приходим с учетом у = , 1
V -C (t)
представлений субвекторов /o1, fo2 в виде
fo1( у, t ) = ( А)ц( у, t ) - A,12( у, t )C (t ))y1,
/o2( y, t ) = ( AW y, t ) - A)22( y, t )C (t ))y1,
и
к двум системам у1 = Г0(у,Ь) - Вт(у{ К (у7 )у1, (С1 =-С1(Ь)(А011(У,Ь) - АП2(У,Ь)С1^)) - (27)
-(л.,1 (у,г) - А^ ШС «))+(отшшм (у
в которых начальные условия у 1(Ь0) и С1(Ь0)задаются и определяются в соответствии с равенствами [9]:
у%) = х1 ((0), у2«0) = х2((0) = -с1 ((0)х1 ((0), (28) С1«^ 1Ц0) + у 2Ц0) = 0, (29)
означающими совпадение модельных начальных условий у(Ь0) с условиями х(Ь0) исходной системы (1) и прохождение подвижного многообразия скольжения 5 (5) в момент Ь = Ь0 через точку начального состояния х(Ь0).
Нахождение матрицы Км (у V) в системе (27) по первой (модельной) системе затруднено тем, что элементы субматрицы С1(Ь) заранее аналитически не известны, а находятся вместе с вектором у (Ь), в который входят согласно системе (23), в результате интегрирования системы (27) в реальном масштабе времени в процессе управления. В этой связи известные методы синтеза управлений для систем с нелинейным нестационарным объектом здесь не применимы и для вычисления элементов т х (п - т) - матрицы Км (у \ Ь) и по ней соответствующей субматрицы С1(Ь) предлагается второй, аналитически-цифровой, метод работы [10].
3. Способ и метод уменьшения модуля
и энергетических затрат на аналоговые и цифровые разрывные управления
Энергетические затраты на управление предлагается оценивать интегралом от суммы модулей составляющих векторного управления с размерными положительными коэффициентами к/ за время переходного процесса
Тпп tnn t0 •
J =C(k1 N + - + km\UmИ •
Способ уменьшения затрат, как и модулей составляющих векторного управления, основан на результатах численного моделирования систем управления на скользящих режимах и заключается в выводе составляющих разрывных коэффициентов управления или, в применении к управлениям (11), (12), составляющих ё± (Ь) и ё,± на расчетные значения по экспоненте в среднем за четверть или треть заданного времени переходного процесса. Показатели качества переходного процесса при этом практически не ухудшаются.
Предлагается также метод перехода при больших (в смысле вывода составляющих векторного управления за допустимые ограничения) значениях неопределенностей от предложенного преодоления (превышения) управлениями и*+ (Ь), и*- (Ь) и и* + и и*- в неравенствах (11) и (12) , (18) по модулю предель-
ных значений - max[Vn cLhi ] и - min [У" Chi ]
h.....1 jl ' h\.....1 jl 1
сумм У 1Cißh'i к методу идентификации вектора h(x,t,u) [11] и последующей подстановки в выра-
*i + *i — V х ^ П i I i
жения и, и u, вычисленных значений —У Ch. .
j j ¿—i i_i ji 1
(Точность последних повышается до приемлемой к середине переходного процесса и с уменьшением частоты их колебаний, что определяет необходимость окончательной настройки значений uj+ (t),
и'- (t) и uji + и uji- в неравенствах (11) и (12), (18)).
Отметим, что применяемый в данной работе учет номинальных (известных) возмущений
N0 (x, t) _ D0 (x, t)F0 (x, t) + ф0 (x, t) и идентифицированного по методу работы [11] вектора неопределенностей h(x,t,u) не требует их компенсации в виде формирования отдельных слагаемых управления u* не только для Cx + Cf0, но и отдельно для CN0(x,t) и Ch(x,t,u) в выражении производной
S (7). Кроме того, такая компенсация потребовала бы обязательного выполнения условий инвариантности (19) скользящего режима к номинальным и неопределенным возмущениям N0( x,t) и h(x,t,u) [12], которые в предлагаемом методе управления требуются только для указанной инвариантности, но не для компенсации возмущений.
Выводы
Таким образом, получены следующие основные результаты в управлении нелинейными нестационарными объектами, применимые с дополнительным развитием и углублением полученных результатов и для линейных стационарных и нестационарных объектов:
- сравнительно простой по реализации эффективный метод синтеза аналоговых и цифровых разрывных векторных управлений для управляемых нелинейных нестационарных объектов, не требующих вспомогательных многообразий скольжения, с минимальным числом логических переключающих устройств, равным размерности управления, и решающих одновременно с приведением систем в скольжение при неопределенности и задачу регулирования установившихся параметров разрывного управления, что имеет большое значение в сохранении ресурса исполнительных механизмов, в устранении возможных резонансных колебаний и в расширении количества областей и самих областей применений скользящих режимов в сложных условиях ограниченных неопределенных возмущений, сложности объектов управления (в силу допускаемых больших размерностей объектов и их управлений и одновременного действия номинальных и неопределенных ограниченных возмущений);
- методы синтеза подвижных аналоговых и цифровых многообразий скольжения, на которых воспроизводятся модельные движения с
пониженной (на размерность вектора управления) размерностью и, как следствие, повышенным заданным качеством переходных процессов, реализация которого в системах с более высоким порядком при равных ограничениях на управление и энергетические затраты невозможна;
- способ и метод уменьшения значений модуля аналогового и цифрового управлений и уменьшения энергетических затрат на управление.
Публикация осуществлена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Татарстан в рамках научного проекта №15-48-02040.
Литература
1. А. С. Мещанов, Вестник КГТУ им А. Н. Туполева, 2, 51-56 (2008).
2. С. В. Емельянов, С. К. Коровин, Новые типы обратной связи: управление при неопределенности. Наука. Физ-матлит, Москва, 1997. 352 с.
3. А. В. Петров, В. Е. Алексеев, М. А. Титов и др., Вычислительная техника в инженерных и
экономических расчетах. Учеб. для вузов. Высш. шк., Москва, 1984. 320 с.
4. B. Drazenovic, Automatica, Vol. 5, № 3. 287-295 (1969).
5. В. И. Уткин, Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. Наука, Москва, 1974. 272 с.
6. А. Ф. Филиппов, Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями. Матем. сб., т.51(93), № 1, 1960, C. 99-128.
7. М. А. Айзерман, Е. С. Пятницкий, Автоматика и телемеханика, 7, 33-47, 8, 39-61 (1974).
8. Н. Т. Кузовков, Модальное управление и наблюдающие устройства. Машиностроение, Москва, 1976. 184 с.
9. А. С. Мещанов, Вестник КГТУ им А. Н. Туполева, 4, 1, 239-246 (2012).
10. А. С. Мещанов, Вестник КГТУ им А. Н. Туполева, 2, 110-117 (2010).
11. А. С. Мещанов, Вестник КГТУ им А. Н. Туполева, 3, 164-173 (2010).
12. А. С. Мещанов, Вестник КГТУ им А. Н. Туполева,. 4, 154-163 (2014).
© А. С. Мещанов, кандидат технических наук, профессор кафедры автоматики и управления, старший научный сотрудник, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ, [email protected]; Э. А. Тукта-ров, аспирант кафедры автоматики и управления, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ, [email protected].
© A. S. Meshchanov, candidate of engineering sciences, professor, Associate Professor of department of Automation and Control, senior research scientist, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, [email protected]; E. A. Tuktarov, post-graduate student of department of Automation and Control, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, [email protected].
