Энергосберегающее цифровое управление линейными нестационарными объектами на скользящих режимах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5.01:658.5

А. С. Мещанов, Э. А. Туктаров

ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩЕЕ ЦИФРОВОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ НА СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМАХ

Ключевые слова: цифровое разрывное управление, скольжение, возмущения, качество.

На основе аналогового управления, полученного в статье [1] с применением динамических свойств модельного объекта, предлагаются методы синтеза эффективных цифровых разрывных векторных управлений, приводящих систему с линейным нестационарным объектом при неопределенных возмущениях в скользящий режим на подвижном многообразии скольжения. Предлагаются методы его синтеза в цифровом варианте по модельной системе. Обеспечивается заданное качество переходных процессов, уменьшение и минимизация модулей составляющих управления и энергетических затрат.

Keywords: discontinuous digital control, sliding, disturbance, quality.

Based on the analogue control, resulting in the article [1] using the dynamic properties of the object model, offers methods of synthesis of efficient digital discontinuous vector control, resulting in a system with linear non-stationary objects with uncertain disturbances in sliding mode on the movable sliding manifold. The methods of its synthesis in digital form by the model system. Providing a predetermined quality transient reduction and minimization of the module of control components and energy costs.

Введение

Рассматривается система (6) из работы [1]: x(t) = A (t)x + P0 (t)u' + N0 (t) + h(x, t, u). (1) где h(x,t,u) - суммарное неопределенное возмущение, h (x, t, u) = A A (t) x + A B (t )u + + AD (t)(F0( t) + AF (t)) + D0( t) AF (t),

P0(t ) = B0(t)(C(t)B0(t ))-1, u = (uv...,um)T = (C(t)B0(t))-1u', N0 (t) = D0 (t)F0 (t) -номинальное возмущение, C (t) -m x n - матрица (n - m) - мерного подвижного многообразия

S(s = (sv...,3m)T = C(t)x = 0). (2)

Решаются задачи:

1. Получить простой по реализации метод синтеза эффективного цифрового разрывного векторного управления, приводящего систему (1) в скользящий режим на подвижном многообразии скольжения S (2).

2. Найти цифровой метод синтеза подвижных многообразий скольжения по заданному качеству переходных процессов.

3. Найти методы уменьшения и минимизации энергетических затрат на управление.

Варианты нахождения цифрового управления

Цифровое управление u" , постоянное на каждом малом шаге t е = (tt, tj+1], i = 0, k -1, приводящее систему (1) в скользящий режим на многообразии S (2) следует из условия попадания изображающей точки (и.т.) на это многообразие:

sj = sj+ < 0 при sj > 0,

j (3)

t е ^, I = 0, к -1, у = 1,т. Задаваемые и настраиваемые по результатам пробных моделирований системы управления значения ¿^ в пределах ограничений (3) определяют качество процессов до попадания и.т. на многообразие 5 (2) и в малой ее окрестности полагаются близкими к нулевым значениям с целью регулирования параметров колебаний управления (во избежание их возможного негативного воздействия на исполнительные механизмы [2]). С учетом ограничений на h, * < ^ < ^, I = 1,п, условий (3) и выражения производной ¿у (8) [1] получаем ограничения на задание дискретных значений и у составляющих и'* цифрового управления и*: и *'+ < 5';- С ух' - су (Ао( I,) х' + N о( I,)) -

- h cinhî]

hi

> si-- C jx' - Cj ( A0(t, ) x' + N 0(t, )) -

- mn E hc'h]

(4)

где с'ц - элементы m x n - матриц C , в моменты

u1; = u'j'+, uj'= uj-, sj = s'p > 0 при sj < 0,

где символ «/ » для цифрового управления (3) означает момент времени t = tj на шагах вычислений составляющих и у± векторного управления и* при

времени t = t¡, ' = 0, к -1, у = 1, т.

Цифровые управления и' для исходной системы (1) [1] находятся согласно соотношению и^) = (С^)В0^))-1и* ^) на каждом ' - м шаге по формулам и' = (С'В'0^1 У)-1 и '*, в которых

и'* = и*,...,ит)Т, и1; = и* при ^ > о, и1; = и1;-

при ву < 0.

Рассмотрим второй вариант синтеза цифрового разрывного управления. Предлагается производную X в ¿у (8) [1] находить путем вычислений

значений х'+1 по методу Рунге-Кутта 4-го порядка. Производная X' в моменты t = t j запишется

X' = X1) = (X+1 - X)/ At = ^ + 2&2 + 2&3 + &Л)/ 6, = К\ / l = \4\ А = 1,+1 -1,, ' = 0,к-1, К1 = (Л0«1 + Р0«1 )и" + М0{1) + и )АЬ, К'2 = (Л ( + At /2)(Х + К1 /2) + Р0 Ц, + At /2)и" +

, + At /2) + и)М, КЗ = (Л ( + ^ /2)(Х + К'2/2) + Р0 ( + / 2)и" + +Ы0Ц, +Ы /2) + и)М, К'л = (Ло(I, +At)(xi + КЗ) + Р0Ц, + М)и" + +М0Ц, +М) + и )М. Составляющие в) с учетом выражений X' принимают на / - м шаге вид: ^ = С) X1 + С'Х = С 'х' + С) (^ + 2Я2 + 2Я'3 + &л )/6 = = С'х' + О] (Я, + 2ЯЗ + 2&3 + &л)/6 = = С'х' + ([(Л 1 )х' + Р0 (1 1 )и" + ($ ,) + и) + +2(Л Ц, + / 2)(X' + К1 /2) + Р0 (}, + М / 2)и" + + /2) + и) + 2( Л,($, + / 2)( X' + К2/2) +

+Р0 Ц, + At / 2)и" + ^ (}, + Ы /2) + и) + +(Л С, + )(X' + К') + Р0 (}, + )и" + N0 (}, + ) + и)] / 6, где с учетом соотношения Р0(1 ) = В0(1 )(С(1 )Б0(1 ))-1 и постоянства значений всех составляющих в выражении на каждом ' - м шаге выполняется равенство

О) [ Р0( ) + 2 Р0( +A (/2) + 2 Р0( +A ( /2) + + Р0( t¡ + A t )]/6 = 1. Приходим к выражениям для производных ¿) в виде в) = О1/ + О^' = С1^1 + О) [( Л0{1! ) X' + N 0(^)) + +2(Л0 (^ + At / 2)(X' + К1 /2) + N0 (^ + At / 2)) + +2(Л0 (^ + At / 2)(X' + К2/2) + N0 (^ + At / 2)) + +(Л0 + At)(X' + К') + N0 + At))] /6 + и + и'/. Задаваясь на каждом '- м шаге для управлений и" законом переключения структур и)'± (3) приходим согласно производным в) ко второму варианту цифрового управления и)± :

и)'+< в;- (X - с) клд)X + ))+

+2(Л (^ + М / 2)(><! + К /2) + N ($, + ЛЪ /2)) + +2(Л0! / 2XX + К2 /2)+N +Ы: /2)) +

+(Л>ъ +М)(X + к')+N0+т/6 -

-тах[У" о'Д];

и)'-> sij3-CjX - ( [(л)(:/ К + N0(^)) + (5)

+2(Л (^ + А / 2)^' + К / 2) + N0 ($, /2)) + +2(Л ($, + & / Т)^' + К2 / 2)+N ! +М /2)) + +{Л>: +*)& + К')+N0((+Д0)]/6 -

- т 5 ^лч].

Применение неравенств (5) обеспечивает более высокую точность определения цифрового управления и, в особенности при нулевом векторе неопределенных возмущений Л. Для дальнейшего повышения точности нахождения управлений и) , с переходом от неравенств к равенствам,

сумма ^" о'11Ь\ идентифицируется со второго

шага в результате вычисления производных в' с

конца первого шага (Ъ0,].

Метод синтеза подвижных многообразий скольжения по заданному качеству переходных процессов

С этой целью, как и в статье [1], предполагаются выполненными условия инвариантности скользящих режимов на многообразии 5(в = (в1,...,вт)Т = С(Ъ/)ж' = 0) к векторам номинальных и неопределенных возмущений, выводятся уравнения скользящего режима на данном многообразии с полным вектором X координат и с исключением субвектора последних т координат системы (1). Рассматривается модельная система с такой же пониженной размерностью и с заданными по качеству переходными процессами с применением для этого методов синтеза управлений работ [3, 4]. В результате приравнивания правых частей данных двух систем (модельной системы с матрицей Км ) модельного управления и'м = К м )у1 и системы скольжения) при одинаковых начальных условиях находится система дифференциальных уравнений для определения вектора модельного состояния и строк С) = ()

т х п матриц С' с начальными условиями С) (Ъ0) = С0, соответствующими про-хождению

многообразия скольжения через начальное состояние модельной системы равное состоянию исходной системы (данные сведения представлены в статье [1] и сопровождаются системами уравнений и соотношениями (11)-(19) [1]). Численные значения т х (п - т) - субматриц С1 = С1(11) при постоянной т х т субматрице С2 = Е подвижных многообразий скольжения на каждом ' - м шаге находятся в следующем разделе как результат численного (методом Рунге-Кутта четвертого порядка) решения системы дифференциальных уравнений, объединяющей в виде подсистем исходную, модельную и для нахождения субматрицы С\1) системы. Данная система переключается на систему, объединяющую исходную, объекта и другую для субматрицы С1(1) системы на интервалах времени с более высокими показателями качества процессов управления при полностью отключенном управлении, не относящемся к номинальным N^,(1) и неопределенным Л(x,t,u) возмущениям. За показатель качества принимается производная функции Ляпунова, определяемая либо с вычислениями производных координат,

либо с оценкой предельных значений приведенного вектора неопределенных возмущений, либо с идентификацией и компенсацией неопределенных возмущений [5, 6].

Методы уменьшения и минимизации энергетических затрат на управление

Помимо первых двух подходов, представленных в работе [1] для аналогового управления, с этой целью и для представления матрицы многообразия скольжения для синтеза управления в цифровом виде рассматриваются система разностных уравнений, объединяющая две подсистемы. В первую входят разностные уравнения исходной системы (1), модельной системы и системы вычисления матрицы многообразия скольжения. Во второй подсистеме при совпадении первых двух уравнений с уравнениями первой подсистемы третье уравнение определяет такую матрицу многообразия скольжения, при котором воспроизводится подходящее по качеству процессов движение самого объекта, что сопровождается в скользящем режиме на таком многообразии практически нулевым значением векторного управления. За подходящее движение объекта берется такое, для которого определенно-положительная функция Ляпунова V имеет отрицательную производную //Об, имеющую меньшее значение чем V при действии управления. Наибольшие по значению модуля слагаемое -СУх' -СУА0^/)х' в управлении (4) и слагаемое

-Сух - су А (^ )х' + 2 А (t i + М / 2)(х' + К[ / 2) +

+2А0( + М / 2) х (х' + К2/2) + А( + М)(х' + К3)]/6 во втором варианте (5) управления переключаются при /об < V < 0 соответственно на слагаемые

-С^х - ^А^)х и -СОбух' - Су т, )х' +

+2^, + М /2)(х' + К\/2) + 2А0(Ь1 + М / 2)(х' + К2/ 2) +,

+М )(х' + К3)]/6, которые обращаются в ноль в силу выполнения условия С'ое] = -С'Ое]А^,) и равенства

[АД)х' + 2А>{1, + М/2)(х' + К /2) + +2А0(, + & /2)(х + К2/2) + A0 + М)(^ + K 3 )]/6 = A0 ) xi

при малых значениях шага At для скользящего режима на многообразии 5(5 = (¿1,...,5т )Т =

= СО6х = 0), ' = 0,к -1, фазового пространства самого объекта управления с воспроизведением модельного движения без управления.

Система разностных уравнений, следует из численного решения двух переключаемых подсистем уравнений динамики [1] с включенным и отключенным модельным цифровым управлением и'м = Км (у1 ^)у' и соответствующими значениями управлений и*1 ± (3):

х(0=А(^х++ Щ)+К(х,щ, у1 = (Аи(П-А^РШ1 - В()Км(Пу1,

С1 =-с1(П(А 1() -А 12(ПС1(П) -<А21(о - Аи (Сп)+СтШ) пРи / V;

(7)

X И

(8)

хц)=А(*)х+Р0 (Пи- + N0(0 + КхМ, £ = (Ац(0 - Ак^С1* №\ Су = [-Сб + А*®+ АЛ)+СбА А22№16 ] при /у </.

Для численного моделирования представим две системы уравнений (6), (7) в виде

V = Ру, X = У, )у1^п)+у2«п) = 0

при /«п) < /о6(0, ^ ^

2=^, X=2 Сб(и£(и+£%п)=0

при /(^) > /об(0, t > 4п,

где

У = (х1,..., хп; у1,...,уп-т ;С1,1,..., С1,п-т,..., Сп-т,1,"., Сп-т,п-т ), 2 = (хп ; £п - т ;С об XV...

..., Соб 1, п-т ,..., Соб п-т,1,...,Со6 п-т,п-т ) , ^ и tоп - моменты прямого и обратного переключений субматриц С1 и С^д, векторы X=У, X = 2 имеют размерность N х 1, N=п+(п-т)+(п-т)2, а N х 1-вектор-функции ЕУ и Р2 зависят соответственно от векторов У и 2 :

Ру хп ,и;,...,и'т ^...К11

Ру (УХи'ЯмК) =

РУп (x^,..., хп К^итК^К 1 У,

FУ,nJУ^,..., уп-т Ям,<: I

РУ,2п-т ^1,., у п-т ,Км^ У.

РУ,2п-т+1 (С1,1,..., С1,п-т, Сп-т,1, Сп-т,п-т, Км^), (С1,1,..., С\п-т,..., Сп-т,1,.., Сп-т,п-т, Км^)'

Р2 (1Хи*,К) =

FZx(x1,..., xn,u;, .,и'т К:,. Л!),

Р2,„ о^.-хпМ ..,и'т К. .К,();

( ),

Р22п-т(£1,...,£п-

Р22п-т+1 (Соб1,1 , Соб1, п -т'" ., Соб п-т,1 Соб п-т, n-m, ^ ),

(Соб1,1, . ., Соб1, п-т, - , Соб п-т,1 Соб п-т,п-т,^ ).

Решение системы (8) с цифровым энергосберегающим управлением и", ККм(у1'^)у11, ' = 0,к -1, (при моделировании системы с настройкой матрицы КСм (у1, tj) и переключаемым многообразием

скольжения 5п (вп = Сп (1 ,)х = 0) ) запишется в виде:

У + К + 2К2/ + 2КУ + К%) / 6

х, I при V«,) < ^ I

17 + (К? + 2К% + К + К2:)/6 () при V(ti) > V0б(1;),

К У' = РУ (У', Г, и ", К м , л' ) A :; A1 = Т; КУУ = РУ У + КУ / 2, Г /2, и", Кем, Л ; КУ = РУ (У' + К У /2, Г +М /2, и" Ям, Л ^ КУ = РУ (У' + КУ, Г + А, и" ,Км, Л )М; К7' = (7',, и",Л' :; A: = Т; К7' = Рг (7' + К? / 2,Г + At /2, и",Л' )М; К? = (7 + К7/2,Г +М/2,и" ,Л' Щ

кгу = {7 + ку +А,и" ,и )м.

Для настройки цифрового управления система моделируется с различными вариантами ограниченных неопределенных внешних и параметрических возмущений, представленных приведенным вектором Л(x,t,u). При использовании перечисленных управлений в бортовых системах управлений автономных объектов с настроенным модельным управлением и реальными возмущениями дискретная информация о состоянии X(¿1) = X' системы поставляется датчиками, в результате чего обеспечивается обратная связь.

Результатом решения системы дифференциальных уравнений (8), представленного в численном виде (9), является и цифровое представление переключаемого многообразия скольжения 5п (вп = Сп (Ъ)х = 0) в виде

переключаемой матрицы Сп (Ъ 1) = Сп = (сп' ,С2), С2 = Е, с субматрицей С1 равной

С1 при VС,) < Vб (Ъ 1) и равной (б при

V (: 1) > V0б (: 1).

Таким образом, показана возможность обеспечения высоких показателей качества переходных процессов при одновременно существенном уменьшении энергетических затрат на управление в результате эффективного применения динамических свойств самого объекта и в случае цифрового управления на скользящих режимах при возмущениях.

В целях минимизации уменьшенных энергетических затрат предлагается, как и в работе [1], применить известный численный метод решения основной задачи управления Г.Л. Дегтярева, Т.К. Сиразетдинова, А.И. Богомолова [7,8].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 14-01-31336 мол_а.

Литература

1. А.С. Мещанов, Э.А. Туктаров. Скользящий режим с энергосберегающим управлением линейными нестационарными объектами при возмущениях. Вестник технологического университета, Т.18, №12, С.164-168. (2015).

2. С. В. Емельянов, С. К. Коровин. Новые типы обратной связи: управление при неопределенности. Наука. Физматлит, Москва, 1997. 352 с.

3. А.С. Мещанов. Вестник КГТУ им.А.Н. Туполева, 4, 107-114 (2009).

4. А.С. Мещанов А.С. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева,

2, 110-117 (2010).

5. А.С. Мещанов А.С. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева,

3, 164-173 (2010).

6. Э.А. Туктаров, Международная научно-практическая конференция (Казань, 5-8 августа, 2014), Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, Казань, 2014, Том 2, 333-337.

7. Т. К. Сиразетдинов. А. И. Богомолов А.И. Изв. Вузов. Авиац. Техника, 2, 83-91 (1978).

8. Т. К. Сиразетдинов, А.И. Богомолов, Г. Л. Дегтярев. Аналитическое проектирование динамических систем. Учебное пособие. Казань, 1978, 78 с.

© А. С. Мещанов, канд. техн. наук, доц. каф. автоматики и управления КНИТУ им. А. Н. Туполева - КАИ, mas41@list.ru; Э. А. Туктаров, аспирант той же кафедры, ed.tuktarov@mail.ru.

© A. S. Meshchanov, candidate of engineering sciences, professor, Associate Professor of department of Automation and Control, senior research scientist, KNRTU named after A.N.Tupolev, mas41@list.ru; E. A. Tuktarov, post-graduate student of department of Automation and Control, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, ed.tuktarov@mail.ru.