Скользящий режим с энергосберегающим управлением линейными нестационарными объектами при возмущениях Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.5.01:658.5

А. С. Мещанов, Э. А. Туктаров

СКОЛЬЗЯЩИЙ РЕЖИМ С ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩИМ УПРАВЛЕНИЕМ ЛИНЕЙНЫМИ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ ПРИ ВОЗМУЩЕНИЯХ

Ключевые слова: линейный объект, возмущения, скольжение, качество, энергосбережение.

Предлагаются методы синтеза эффективных аналоговых разрывных векторных управлений, приводящих систему с линейным нестационарным объектом при неопределенных возмущениях в скользящий режим на подвижном многообразии скольжения, предлагаются методы его синтеза. Обеспечивается заданное качество переходных процессов, получены способ и методы уменьшения и минимизации модулей составляющих управления и энергетических затрат.

Keywords: linear object, disturbances, sliding, quality, energy saving.

The methods of synthesis analogue discontinuous effective vector control, resulting the system with linear non-stationary objects under uncertain disturbances in sliding mode on the movable sliding manifold, the proposed method of its synthesis. Providing a predetermined quality of transients obtained methods of reducing and minimization of modules of the control components and energy costs.

(2)

Введение

Рассматривается система при номинальных и неопределенных возмущениях

X Ц) = Лц^ )х + ^ )и + N0 ^) + ^ x,t,u), (1) где x еПх, t е I = , tk], ^ < <х>\ N¡(0 = ЩЩ«) -вектор номинальных возмущений, а вектор ^ x, t, u) представляет суммарное неопределенное ограниченное возмущение

Щ х^,и) = АЛ« )х + АЕ^ )и + АЩ)^) +

^)) + й0« А ^)

Решаемые задачи:

1. Найти сравнительно простой по реализации метод синтеза эффективного разрывного векторного управления и, приводящего систему (1), (2) в скользящий режим на подвижном многообразии скольжения.

2. Найти метод синтеза подвижных многообразий скольжения по заданному качеству переходных процессов.

3. Найти методы уменьшения и минимизации энергетических затрат в системах с разрывными управлениями.

Синтез разрывного управления, приводящего систему в скользящий режим

Для упрощения построения векторного т х 1 - управления и, представим его в виде

и = (иь...,ит )Т = т )Е0^ у)-1 и * (3)

и введем обозначение

Е0(0(О^ )Е0(0)-1 = Р0Ц), (4)

где т х п - матрица О(^ соответствует подвижному (п - т) - мерному многообразию

5(5 = ^,..., Эт )Т = О(0х = 0) (5)

Система (1) с учетом выражений (3), (4) принимает вид

х ^) = Ло ^ )х + Р^ )и * + N0 ^) + ^ х, ^ и). (6) Рассмотрим производную £ = (Ох + Ох = (Ох + ОЛц х + и * + О^ + Оh (7)

и ее составляющие s

Sj = CjX + CjX =

(8)

(9)

= сjx + Cj (^ (t)x + N0 + h) + üj , j = 1, m.

Впервые предлагаемые управления üJ находятся по условиям приведения системы (6) в скользящий режим на каждой подвижной гиперплоскости Sj = Cj (t)x = 0 , и тем самым на (n - m) -

мерном многообразии S (5) [1], соответственно в двух видах:

üJ = ü*+ (t), Sj = Sj3 (t) < 0 при Sj > 0,

üJ = ü*f (t), Sj = S-3(t) > 0 при Sj < 0.

Задаваемые и настраиваемые по результатам пробных моделирований системы управления

функции Sj3 (t) в условиях (9) определяют качество

процессов до попадания изображающей точки (и.т.) на многообразие S (5) ив малой ее окрестности полагаются близкими к нулевым значениям с целью регулирования параметров колебаний управления (во избежание их возможного негативного воздействия на исполнительные механизмы [2] со снижением их ресурса при частом срабатывании и возможных резонансных колебаний части звеньев системы). С учетом ограничений на возмущения hj„< ht < hJ, l = 1, n, и выражений S ■ (8) условия

(9) для управлений üJ запишутся

üJ+ (t) < St (t) - Cj (t)x - Cj (t)(A (t)x t N0 (t)) -

- max [X П-С j, m (t)] ;

h1.....hn 1 '

üJ- (t) > S-p (t) - (Cj (t)x - Cj (t)(A (t)x t N0 (t)) - (10)

- min.[Xn^c,m(t)],

h1.....hn 1 '

где Cj, (t) элементы m x n - матрицы C(t). Исходное управление ü для системы (1) находится со-

гласно соотношению (3). Отметим, что полученное новое разрывное управление (10) отличает сравнительная простота реализации, так как она не предполагает наличия вспомогательных многообразий переключений структур в виде координатных и других фиксированных или подвижных многообразий, и вместе с тем обеспечивается возможность настройки переменных заданных скоростей (}) попадания и. т. на подвижные гиперплоскости многообразия скольжения 5(5 = 0^)х = 0) (5). Последнее позволяет минимизировать значения управления и энергетические затраты на него и регулировать параметры установившихся колебаний разрывного управления.

Синтез подвижных многообразий скольжения по заданному качеству переходных процессов

Предполагаются выполненными в системе (6) условия инвариантности скользящих режимов на подвижном многообразии 5(5 = 0(^х = 0) (5) к номинальным и неопределенным ограниченным возмущениям N0(t) и Ь1(х^,и):

Nо«) = Во^ )АМо«),

Ь>(х^и) = Во(х,ЪА„(х,0, (11)

где Л^^) и Лл (х^) являются т х 1 - векторами с

неопределенными в общем случае составляющими. Тогда, применяя один из известных методов вывода уравнений скользящего режима [3,1], для систем с линейным вхождением управления получаем уравнение

х = [Е - ВоШО^ВоШО^Ло^х -

1 • (12) -Во^ ш Ш ))-10 ^ )х,

в котором в силу х е 5 (5) выполняется соотношение

5 = 0^)х = о Ух еПх,

Ы е I = (^, tk], tk<о.

Предлагается метод синтеза подвижного многообразия скольжения с воспроизведением в скользящем режиме модельного движения малой размерности. Качество переходных процессов на скользящих режимах, также как и при обычных линейных управлениях, повышается при прочих равных условиях с понижением размерности системы. В этой связи предлагается в скольжении воспроизводить желаемое движение модельной номинальной системы с пониженной по сравнению с исходной системой (1) размерностью, равной размерности (п - т) многообразия скольжения 5 (5), п - т > 1. Для этого рассмотрим систему скользящего режима (12) на многообразии 5 (5) с исключенным, в силу 5 = 0 (5), т х 1 - субвектором

х2 = -(О2 ^))-1 О1 ^)х1. При постоянной и равной

единичной субматрице О2, О2 = Е, данная система принимает вид:

(13)

х1 = (Ло11^)х1 + Ло12^)х2) --Во1 тО^)Во(О)-1 (О1 ШЛ о11^ )х1 + +Л 012^)х2) + (Л о21(} )х1 + Л о22 ^ )х2 ) + О)1 (0х1),

где

х =

Г X1 Л

х2

Vх У

'-(п-т)х(п-т)

-ООV)

х1, Во(0 =

Во1^))

Во2«) /

№х=

Г Лоц^х1 + Ло12®х Л

-(п-т)х(п-т)

V Л^х1 + Ла22^)х1,

единичная (п - т) х (п - т) - субматрица, а Во1^), Во2^) и Л о11^), Л о22^) соответственно (п-т)хт тхт и (п-т)х(п-т), тх т -субматрицы. Ограничимся рассмотрением одной из предлагаемых моделей с размерностью вектора состояния равной (п - т) х 1,

У1 = Лоц($)у1 + Ло12«)у2 -Во10)ии,

им = Км 9)У1

Г Е„

(14)

у=

-(п-т )х(п-т)

-ООV)

при условии ее управляемости. Приравнивая для воспроизведения правую часть системы скользящего режима (13) правой части модельной системы (14), получаем тождество

Лои^х1 + Л012^)х2 -ВМОтоШ1 ■ (О1^){Л011^)х1 + ЛоъЮх2) + Л021^)х1 +

+Ло22^)х2 + 01Ц)х1) - , (15)

- Ло11^)у1 + Ло12 Ц)У2 - Во1(У, tи У е I = [^к], ^< о, которое после сокращений с учетом х(}) - У^) Ы е I = ^о^к ], tk < о, субвекторов ^ , приравнивания сомножителей при матрицах Во1 и умножения левой и правой частей получаемого тождества на матрицу ОВо упрощается до вида

01У1 --ОV)(Лоц($)У1 + Ло12«)У2) - (1б)

-(Ло21 ^)У1 + Ло22 ^)У 2 ) + т)Во ^))Км ^)У1, В результате для определения матрицы Км ^) и субматрицы О1 (}) для тождественного воспроизве-

дения

желаемого

модельного

1 ГЕ(

У ^) приходим с учетом У =

■(п-т)х(п-т)

-ОV)

движения

Л

представлений выражений

Ли^У1 + ЛонШ2), (ЛоуиШ1 + ЛжЮУ2) в виде

(Лоц(( )У1 + Ло12(( )У2) = (Лоц(() - Ло12(( )0\( ))У1,

(Ло21(()У1 + Ло22 (()У2 ) = (Ло21(()- Ло22 ((^))У\ к двум системам

У1 = (Лт^) - А012^ )0V ))у1 -ЕЯ )Ки $)у1,

(18)

О1 =-О1« )(Ло119) - Л0129 )ОV)) -

-(Ло21 (О - Ло22 (О01 ^)) + т)Ео Шм (О,

в которых начальные условия у1 (^) и О1 (^) задаются и определяются в соответствии с равенствами:

У%) = х%), У2(^) = х 2(^) = -О%)х%),

О\^)у\^) + у2(^) = 0, ( )

означающими совпадение модельных начальных условий у(^) с условиями х(^) исходной системы (1) и прохождение подвижного многообразия скольжения 5 (5) в момент t = ^ через точку начального состояния х(^). Нахождение матрицы Км ^) в системе (18) по первой (модельной) системе затруднено тем, что элементы субматрицы О1^) заранее аналитически не известны и находятся вместе с вектором у (^, в который входят согласно системе (14), в результате интегрирования системы (18) в реальном масштабе времени в процессе управления. В этой связи известные методы синтеза управлений для систем с нелинейным нестационарным объектом здесь не применимы и для вычисления элементов т х (п - т) - матрицы Км ^) и по ней

соответствующей субматрицы 01 ^) предлагается аналитически-численный метод работы [4].

Методы уменьшения и минимизации

энергетических затрат на управления

Энергетические затраты на управление предлагается оценивать интегралом от суммы модулей составляющих векторного управления с размерными положительными коэффициентами кза время переходного процесса Тпп = - ^ :

Л = (к11^1 +... + кт \ит. Их уменьшение

можно получать экспоненциальным выводом значений параметров на расчетные значения и идентификацией вектора ^ х^,и) с последующей его компенсацией вместе с вектором N0 ^) [5]. Ограничимся более подробным рассмотрением уменьшения энергетических затрат, основанного на применении динамики самого объекта управления, то есть без управляющих воздействий в скользящем режиме, в случаях, когда области фазового пространства самого объекта имеют такие траектории и.т., которые способствуют повышению качества переходных процессов по сравнению с системой при постоянном действии управления, и они в скользящем режиме (при отсутствии возмущений) воспроизводятся без действия управления. Например, тогда, когда при определенно-положительной квадратичной функции Ляпунова V отрицательная производная /об, находимая в силу системы объекта, удовлетворяет нера-

(21)

(22)

венству \/о6 < V < 0 . Действительно, если за модель принять сам объект

2 = (20) то, приравнивая правые части системы скользящего режима (12) на некотором подвижном многообразии скольжения объекта 5об

5об (5об = Ооб ^)х = 0) Ух еПх, У е I = «0, tk ], t к <«>, и модельной системы (20)

[Е - е (0 (Ооб т Ш1 Ооб Ж (х,0 -

-Е>тОоб тш1^ ®х=,

получаем при совпадении их начальных условий, х(^) = г^), тождественное совпадение решений х(}) = данных систем дифференциальных

уравнений (12), (20) и систему для определения матрицы Ооб ^) многообразия скольжения объекта

об ^) = -Ооб Ц лтг (23)

Начальные условия матрицы Ооб ^п) задаются для возникновения скользящего режима с момента t = ^ переключения с многообразия 5 (5) на многообразие 5об (21). С этой целью прохождение многообразия скольжения 5об (21) через точку состояния х(^) исходной системы обеспечивается нахождением Ооб (^) по системе линейных алгебраических уравнений, следующей из условия:

Эоб (^) = Ооб (^ )х(^) = 0.

Такие же действия осуществляются по пересчету матрицы О(^) в моменты t = ^ обратного переключения на матрицу О^) многообразия 5 (5):

) = О(^)х(^) = 0, когда /об > /V.

Минимизацию энергетических затрат Л по

параметрам Эр ^) с предварительно обеспеченными

заданными показателями качества переходных процессов на скользящих режимах и примененными методами уменьшения Л (настройки параметров и самого управления по данным численного моделирования, идентификации вектора неопределенностей, структурных изменений управления путем переключений многообразий скольжения с применением динамики объекта) предлагается осуществить известным численным методом решения основной задачи управления Г.Л. Дегтярева, Т.К. Си-разетдинова, А.И. Богомолова [6,7].

Следует отметить, что заданием малых по

модулю значений Эр ^) в достаточно малой (не

приводящей к заметному ухудшению показателей качества переходных процессов) окрестности многообразия скольжения обеспечивается одновременно уменьшение энергетических затрат на управление, а при достаточно точной к середине переходного процесса идентификации неопределенностей [5] и к возможности регулирования в определенных пределах установившейся частоты и амплитуды разрывного управления, как это обеспечивается

гибридным управлением в результате переключения с разрывного управления на непрерывное в работе [8]. Данные два свойства предлагается обеспечить и без идентификации и компенсации всего вектора неопределенностей Л, а лишь идентификацией у -х

линейных комбинаций, у = 1, т , его составляющих

в виде сумм ^ 'п=1С]1 ((Щ ((). В этом случае можно

перейти от неравенств (10) в определении управлений к более точным выражениям управлений, в виде равенств. Для этого на малых шагах t е Ii = , t¡+1], I = о, к -1, численного интегрирования делается предположение о постоянстве всех слагаемых, входящих в выражение производных

(8). Тогда, с учетом возможности достаточно точного вычисления 5у только с конца ^ первого шага

интегрирования, ^ ], или, что тоже самое, с начала второго, (Ъ1,Ъ2 ], предлагается с применением значений управлений и*+ (^), и*- (^), полученных

по неравенствам (10), и по значениям известных (из систем уравнений и соотношений (18), (19) при

V < \/о6 или системы уравнений (23) при \/о6 < V) слагаемых Оу(^Мо), Оу«оШ^х^), Оу(^)Щ^) в (8) и по значению производной 5у, полученной как результат вычисления

= 5(1 -Зу((о)) / М при и*о±, (24)

найти достаточно точное при малом шаге интегрирования А( выражение для нахождения значения неопределенности

(Оу «1)Щ))± = = 5± - [Оу ((о)х((о)+Оу (ЪШоМо) +

О ((оШо) + и*°± ] для последующего, в начале второго шага t = , достаточно точного определения значений управлений и *+ (1, и *- (Ъ1). В результате при определенном по неравенству управлению на первом шаге ((о,(1] получаем достаточно точные постоянные управления на втором шаге (^,t2]:

и * (^=5 ±3 (1 - [0) у «1)х(1 + +Оу(ЩЛо«1)Х((1) + )) + (25)

+(0у тЬ))* ].

На последующих (/ +1 )-х , 3-м и т.д., шагах (^,t/+1 ], I = 2,..., получаем:

и*± ъ )=уц) - [Оу ( щ)+

(26)

О ц,)(ЛоЪ Ж,)+N>9,))+(Оу ъ щ ))* ],

где

(Оу ъ щ ))±= 5у±- [Оу ъ щ)+ ^()Ло(Ж,)+Оу цт,)+и««-1)].

Данные управления (25), (26) обеспечивают более точные выполнения заданных значений скоростей

(Ъ'! ) для регулирования параметров установившихся колебаний разрывных управлений при неопределенных возмущениях.

Порядок формирования разрывных управлений

1. Управление и в исходной системе (1), (6) с заранее неизвестными, но удовлетворяющими условию |0п(()Во(()| Ф о У е I = (Ъо, Ък], Ък < ж, многообразиями скольжения 5 (5) и 5об (21), формируется в виде (3) с вхождением составляющих и* по одному в каждое выражение производных 5у, что

значительно упрощает синтез управления.

2. Формируется простой в реализации метод управления на скользящих режимах с переключениями двух составляющих и *+ (Ъ), и *- (() управлений в зависимости от знака функций в у (Ъ) в моменты времени ^.

3. Оцениваются предельные значения линейной комбинации ^п=1СА (^Л.I (() составляющих

приведенного вектора неопределенных возмущений Л( х,Ъ,и) и находятся в пределах неравенств (10) значения управлений и*± ).

4. На основе вычисления при известных и*± (Ъо) близких к истинным значений производных

5уО =51 (24) на первом и остальных шагах осуществляются достаточно точные идентификации линейных комбинаций

^=1СЦ ( Щ {(; ) = Оу Ц )Щ ) , / = ок-1,

и вычисления на (/ +1) -ых шагах постоянных значений управлений и(Ъ,), I = 1, к -1.

5. Находится как решение системы (18) субматрица 01(Ъ) многообразия скольжения для воспроизведения желаемого модельного движения с размерностью меньшей, чем исходная система на размерность т векторного управления.

6. Осуществляется переключение на субматрицу О^б (Ъ) с воспроизведением движения самого объекта (без управления) на участках фазовых траекторий в случаях определенно-отрицательной производной \/об (() меньшей, чем V с управлением и с обратным переключением на субматрицу 01 (Ъ) в случаях V < \об((), где V < о.

Выводы

Таким образом, получены следующие основные результаты в управлении линейными нестационарными объектами:

- сравнительно простой по реализации эффективный метод синтеза разрывных векторных управлений для управляемых линейных нестаци-

онарных объектов, не требующих вспомогательных многообразий скольжения, с минимальным числом логических переключающих устройств, равным размерности управления, и решающих одновременно с приведением систем в скольжение при неопре-деленности и задачу регулирования установившихся параметров разрывного

управления, что имеет боль-шое значение в сохранении ресурса исполнительных механизмов, в устранении возможных резонансных колебаний и в расширении количества областей и самих областей применений скользящих режимов в сложных условиях ограниченных неопределенных возмущений, сложности объектов управления (в силу допускаемых больших размерностей линейных нестационарных объектов и их управлений и одновре-менного действия номинальных и неопределенных ограниченных возмущений);

- метод синтеза подвижных многообразий скольжения, на которых воспроизводятся модельные движения с пониженной (на размерность вектора управления) размерностью и, как следствие, повы-шенным заданным качеством переходных процессов, реализация которого в системах с более высоким порядком при равных ограничениях на управление и энергетические затраты невозможна;

- способ и методы уменьшения значений модулей составляющих векторных управлений и уменьшения и минимизации энергетических затрат

на управление, в том числе с использованием динамики самих объектов при отключенном на скользящем режиме управлении в случае подходящих по качеству процессов участков фазовых траекторий или областей в фазовом пространстве объекта.

Литература

1. А. С. Мещанов. Вестник КГТУ им.А.Н. Туполева, 2, 5156 (2008).

2. С. В. Емельянов, С. К. Коровин. Новые типы обратной связи: управление при неопределенности. Наука. Физ-матлит, Москва, 1997. 352 с.

3. В. И. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. Наука, Москва, 1974, 272 с.

4. А.С. Мещанов А.С. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2, 110-117 (2010).

5. А.С. Мещанов А.С. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 3, 164-173 (2010).

6. Т. К. Сиразетдинов. А. И. Богомолов А.И. Изв. Вузов. Авиац. Техника, 2, 83-91 (1978).

7. Т. К. Сиразетдинов, А.И. Богомолов, Г. Л. Дегтярев. Аналитическое проектирование динамических систем. Учебное пособие. Казань, 1978, 78 с.

8. А.С. Мещанов XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ (Москва, Июнь 16-19, 2014). Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН, Москва, 2014, С. 564-577.

© А. С. Мещанов - канд. техн. наук, ст. науч. сотр., доц. каф. автоматики и управления КНИТУ им. А.Н. Туполева-КАИ, [email protected]; Э. А. Туктаров - асп. той же кафедры, [email protected].

© A. S. Meshchanov, Candidate of Science, senior staff scientist, assistant professor of the automatics and control chair at the KNRTU after A.N. Tupolev-KAI, [email protected]; E. A. Tuktarov, graduate student of the automatics and control chair at the KNRTU after A.N. Tupolev-KAI, [email protected].