CC BY
8
УДК 681.5.01:658.5
А. С. Мещанов, Э. А. Туктаров
АНАЛОГОВОЕ И ЦИФРОВОЕ УПРАВЛЕНИЯ, ВОСПРОИЗВОДЯЩИЕ МОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ С МАЛЫМИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ ЗАТРАТАМИ. Ч. II
Ключевые слова: аналоговое и цифровое управления, скользящий режим, возмущения, нелинейный объект, качество процессов.
Предлагается развитие методов синтеза эффективных аналоговых и цифровых разрывных векторных управлений из первой части статьи. Обеспечивается заданное качество переходных процессов и получен метод синтеза энергосберегающего разрывного управления с использованием динамики объекта в результате переключений на многообразия скольжения в фазовом пространстве объекта при более высоком качестве переходных процессов. Уменьшение и последующая минимизация затрат по параметрам действующего управления обеспечивается практически полным отключением управления в скользящем режиме на указанных фазовых траекториях объекта.
Keywords: analogue and digital control, sliding mode, disturbances, non-linear object, process quality.
Developing of methods of synthesis of analogue and digital discontinuous vector controls from first article is suggested. The given transient quality is provided and method of synthesis of energy saving discontinuous control with object dynamics while switching on sliding variety in phase space under high transient quality has been obtained.
Введение
Рассматривается управляемая система с нелинейным нестационарным объектом при номинальных М0(х,t) и неопределенных Ь(х^,и) возмущениях [1]:
Х^) = ЦХ,^ + Во(х,Г)и + МоШ) + П{х,^и), (1) где х еПх, t е I = (^, tk], tk < ю; /0(х,0 = Ао(х,Г)х, /0(0^) = 0 , и через М0(х^) обозначено произведение М0(х^) = й0(х,t)Е0(х,t) + ф0(х,t), а вектор Ь( х^,и) представляет суммарное возмущение 1!( х^,и) = А/ (х^) + АВ( х^ )и + й0( х^ №0( х^) + +ДР ^)) + ДО( х^ )ДР ^). Для упрощения синтеза управления и представим его в виде произведения
и = (и„...,ит )Т = (С«)В0(хЯ)-и (3) и введем обозначение
(2)
B0( x, t )(C(t )B0( x, t ))-1 = P0( x, t),
(4)
где т х п - матрица С(^ соответствует подвижному (п - т) - мерному многообразию скользящего режима
5(5 = (51,..,5т)Т = СЦ)х = 0) .
(5)
Система (1) с учетом выражений (3), (4) принимает вид
х^) = /0( х, t) + Р0( х, t )и * + М0( х^) +11( х, t, и). (6) Постановка задач. В дополнение к решенным в работе [1] задачам 1,2 и частично задачи 3 предлагается продолжение и развитие решения задачи 3 и решение задач 4 и 5: 3. Найти второй метод уменьшения и минимизации энергетических затрат на управление, основанный на применении динамических свойств самого объекта управления и решения основной задачи управления по параметрам действующего управления. 4. Найти методы синтеза аналогового и цифрового разрывных управлений и многообразий скольжения в системах регулярной формы. 5. Представить: системы и порядок числен-
ного моделирования в настройке параметров и реализации аналоговых и цифровых управлений в системах общего нормального вида; цифровой вариант синтеза подвижного многообразия скольжения; порядок формирования аналогового и цифрового разрывных управлений и многообразий скольжения в системах общего нормального вида.
Второй метод уменьшения и минимизация энергетических затрат
Метод основан на применении динамики самого объекта управления, то есть без управляющих воздействий в скользящем режиме, в случаях, когда области фазового пространства самого объекта имеют такие траектории изображающей точки (и.т.), которые способствуют повышению качества переходных процессов по сравнению с системой при постоянном действии управления, и они в скользящем режиме при отсутствии возмущений воспроизводятся без действия управления. Действительно, если согласно теореме 1 работы [2] за модель принять сам объект
2 = /0 (г^), /0 ) = ^(г,Г)г, (7) то, приравнивая правые части системы скользящего режима (20) в [1] на некотором подвижном многообразии скольжения объекта Бо5
е I = ((0, tk ], tk <ю, (8)
и модельной системы (7)
[е - в0(х,(^(х,о)-1с06т0(х,о -
-В0(хМСб(^(х,^)-1С06^)х = /0 (г,0 , получаем при совпадении их начальных условий, х^0) = г^0), тождественное совпадение решений х(^ = г(}) данных систем дифференциальных уравнений (20) [1], (7) и систему для определения матрицы Соб ^)
[E - B0 (z,t)(Сое(t)B0 (z,t))-1 Соб(t)] f0 (z,t) --B0(z,t)(Co6(t)B0(z,t))-1(Co6(t)y = f0 (z,t),
которая после сокращении и учета соотношения /0(г^) = Л0(г, t)г принимает вид
Соб«) = ~Сое(()Ло(г,(). (11)
Начальные условия Соб ) задаются для возникновения скользящего режима с момента t = tп переключения с многообразия 5 (5) на многообразие 5об (8). С этой целью прохождение многообразия скольжения Боб (8) через точку состояния х(^) исходной системы обеспечивается нахождением Соб (^) по системе линейных алгебраических уравнений, следующей из условия:
5об(^) = Соб (tп)х(^) = 0. Такие же действия осуществляются по пересчету матрицы С(^) в моменты t = tп обратного переключения: ) = C(tп )х(^) = 0.
При задании Соб (t) = (соб (}),с2б),
матрицы Соб ^) в виде
С2Л = Е
том
г =
Г 21А
\г2 /
С (t)
система (7) с уче-г1, /0 (г^)= Ао(г, t)z и Ло„(г,0 Ао12(г,t)
структуры матрицы Ао(z,t) = , Л , л ,
\Ао21(г, t) А022 (г, t)
запишется как система скользящего режима: г:1 = /01 (г, t) = Аои( г, t )г1 + ^(г, t )г2 = = (Аоц( г, t) - Ао12( г, t )Сб (t ))г1. Из уравнения (Соб (t) =-Соб (t )Aо(z,t) (11) следует:
С* ^)г = (Сб ^ ),0)
- Соб ^)
г =
= -(Соб (О, Е)
А>ц(г^) Ао12(г,t) Ло21(г^) А022 (г, t)
(12)
или окончательно система уравнений для определения матрицы Соб ^) :
С* = [-Соб Аоп(г^) + А™^) + (Соб Ао12(г, t) + С, Ао22( г, t ))С1б ]
при начальных условиях ), г2(^), удовлетворяющих требованию
^об (tп) = С1б (tп )z1(tп) + ) = 0 для начала скольжения с момента t = tп переключения и. т. системы на многообразие скольжения
5об (8).
Для применения динамических свойств самого объекта управления в уменьшении энергетических затрат J предлагается качество переходных процессов оценивать, например, таким показателем, как соотношение отрицательных производных V и \/об, определяемых для определенно-положительной функции Ляпунова V в силу системы с управлением и модельной системы без управления. (Производная V в общем случае определенно-положительной функции может быть на отдельных участках фазового пространства и положительной, но для воспроизводимого модельного движения
(27)[1] с управлением Км (у1,^у1 для функции
V = хТх /2 она является всюду отрицательной). Многообразие скольжения 5(5 = С^)х = 0) (5) заменяется на переключаемое
5п (5п = Сп (Ох = 0), (13)
с вектор-функцией переключений:
[5 = С(0х при V < /об, I 5об = Соб^)х при ^б < V, где производные V и Vоб, например, для функции
V = хТ х /2, находятся для сопоставлений соответственно в виде
V = хТх /2 = хТ {[Е - В0(х,ЫС(Щ (х^))-1
5п = Сп ^ )х =
•С^ )]/0 (х, t) -Во (х, t )Во (х, t ))-1 С ^ )х},
(14)
(15)
где х = у = 1 (пт))Х(" т) I х1, и в силу системы I -С°(0 J
скользящего режима (20) [1] с матрицей С^) = (C1(t),С2) при С2 = Е , С2 = 0 , находимой как решение системы (27)[1], и в виде Vб = хТ х/2 = хТ { [Е-Во(х,t)(Cоб(ОВ0(х,О)-1 •
Соб ^)] /о( x,t)-В0( х, t )(Соб ^ )В0( x,t ))-1Соб (t )х},
или, с учетом ^ (0 = -Соб ^)Ло(х, 0 (11), в виде
Vоб = хТх /2 = хТ/0(х,0, (16)
в силу системы скользящего режима (7). В производных (15), (16) при х(^) = г(^) выполняется тождество х^) = z(t)Vt е I.
В результате указанных быстрых пересчетов матриц Соб (tп), C(toп) осуществляется в реальном масштабе времени непрерывный скользящий режим на переключаемом многообразии скольжения 5п (5п = Сп (t)х = 0) (13) с применением подходящих динамических свойств объекта.
В случае применения изложенного метода в аналоговых и цифровых управлениях и*± (t) и и*'±
(11) [1] и (12) [1] выражения -С](t)x-Cj(t)/0(x,t) и -С'.х' - С' (/0(х' ) на интервалах I и 11 с отрицательной производной Vоб, когда Vоб < V < 0, переключаются в скользящем режиме в силу алгоритма (13) в выражения -Соб^) -Соб^)А0(х,t) и
-С'об]х' - Сб (/0(х', t/) и, следовательно, на ноль в силу выполнения равенства Соб ^) = -Соб ^)А0(x,t) (11). В цифровом управлении и*'± (18) [1] в этом случае на интервалах ^ осуществляется переключение выражения
-СС'х' -Cj[/0(х') + 2/0(х' + К1 /2,^ +At/2) +
+2/0 (х' + К2 /2, t , +At /2) + /0 (х' + КЗ, t , +At)] /6 на выражение
-Cj' - C06j[f0(xi,tj) + 2f0(xj + K[/2,t, + At/2) +
+2f0(X +K'2 /2,t , + At / 2)+ f0(X + Ki3,ti + At)] /6, которое также как и аналогичное выражение в цифровом управлении (12)[1] принимает в силу Со6(t) = -Со6(t)A0(x,t) (11) нулевое значение. В обоих управлениях на скользящем режиме заданные значения s'r, как и непрерывная функция sß33 (t) в
аналоговом управлении (11) [1], принимают заданные значения близкие к нулю. Действие в управлениях слагаемых max[Yn c'hi], min[Yn c'hi] и
h.j.....h=1 jl 1 h\.....h=1 jl 1
их непрерывных вариантов при больших предельных значениях неопределенностей h, (t) и h' уменьшается при идентификации вектора h(x,u,t) c заменой в управлениях (11) [1]и (12), (18) [1] указанных слагаемых на известные суммы
^ "=1Cß (t)h (t) и ^ "l=1c'j,hi. При больших предельных значениях, но малых текущих значениях неопределенностей hj (t) и h' на большей части переходного процесса, предлагаемая идентификация сокращает в интеграле J неоправданные затраты энергии особенно существенно.
Минимизацию энергетических затрат J по параметрам sj3 (t) и s'r аналоговых и цифровых разрывных управлений, с предварительно обеспеченными заданными показателями качества переходных процессов на скользящих режимах и примененными методами уменьшения J (настройки параметров и самого управления по данным численного моделирования, идентификации вектора неопределенностей, структурных изменений управления путем переключений многообразий скольжения с применением динамики объекта) предлагается осуществить известным численным методом решения основной задачи управления Г.Л. Дегтярева, Т.К. Си-разетдинова, А.И. Богомолова [3, 4].
Следует отметить, что заданием малых по модулю значений sr3 (t) и s'r в достаточно малой (не
приводящей к заметному ухудшению показателей качества переходных процессов) окрестности многообразия скольжения обеспечивается одновременно уменьшение энергетических затрат на управление, а при достаточно точной к середине переходного процесса идентификации неопределенностей [5] и к возможности регулирования в определенных пределах установившейся частоты и амплитуды разрывного управления, как это обеспечивается гибридным управлением в результате переключения с разрывного управления на непрерывное в работе [6]. Данные два свойства предлагается обеспечить и без идентификации и компенсации всего вектора неопределенностей h , а лишь идентификацией j - х
линейных комбинаций, j = 1, m , его составляющих: в непрерывном варианте в виде сумм ^ l^Cß (t )hi (t) для аналогового управления и на каждом i - м шаге в виде сумм ^"i=1C'ßh'i для цифрового управления. В
этом случае можно перейти от неравенств (11) [1] и (12), (18) [1] в определении управлений к более точным выражениям управлений, в виде равенств. Для этого на малых шагах t е I 1 = (}1, tj+1], / = 0, к -1, численного интегрирования в аналоговом выражении управления и на малых шагах построения цифровых управлений делается предположение о постоянстве всех слагаемых, входящих в выражение производных SJ (8)[1]:
5т = Сх + С]х = С,х + С (/0 + Ы0 + Ь) + и*±, j = Тогда, с учетом возможности достаточно точного вычисления SJ только с конца t1 первого шага,
, или, что тоже самое, с начала второго, t2], предлагается с применением значений управлений и* + (^), и (}0) и и*0+ , и * , полученных по неравенствам (11) [1] и (12), (18) [1], и по значениям известных (из систем уравнений и соотношений (27)-(29) [1] при V < \/о6 или системы уравнений (12) при \гоб < V) слагаемых С} (}0 )х^0), С(ШхЮ,^), С(^)Ы(х(^0) в (8) [1] и по значению производной Б j, полученной как результат вычисления
= 5(д-5о/Аt при и*0-, (17) найти достаточно точное при малом шаге интегрирования Дt или квантования Т > Дt выражение для нахождения значения неопределенности
с ($м*,))-=€ - с (т^)+
(18)
+С (^ / (х(^ ),^) + С (^ )М(х(^ Ш + и**0- ] для последующего, в начале второго шага t = t1, достаточно точного определения значений управлений и*+ (^), и*- (^) и и**1+ , и*1-. В результате при
определенном по неравенству управлению на первом шаге получаем достаточно точные постоянные аналоговые и цифровые управления на втором шаге (^, ^ ]:
и**- (^=3- (^) - [С] ($,)х($1)+с (^ш х(^)+ +ЛЦ х(^)) + (С (ф(^))- ],
u*1± =¿3 - [Cj(t1 )x(t1) + C(t1)(fo(x(t1 ),t1) +
(19)
+Ч( х(^1)) + (С (ф1)- ]. На последующих (/ +1 )-х , 3-ми т.д., шагах (^+1], / = 2,..., получаем:
и*- (^ )=з- а,) - с «)х«)+с ^ , шх^ ,), t )+ +м0))+(с (^ т))- ], (20)
и*- =3% - [С1 ^ , )х^ ,) + с ^ , шх^ , ), t ,) + +М0( х(^ )) + (С (^ )- ], где (С1 (^ )Щ))- = - [С )х(^) + С а, Мх(^), ^) + . +С] ^ , )М( х(^), ^) + и**(,-1)- ]
Данные управления (20) обеспечивают более точные выполнения заданных значений скоростей ^) и
для регулирования параметров установившихся
колебаний разрывных управлений при неопределенных возмущениях.
4. Методы синтеза аналогового и цифрового
разрывных управлений и многообразий скольжения в системах регулярной формы
При такой форме управление в системе (1), (6) не входит в первые (п - т) -уравнений, то есть соответствующая (п - т) х т - субматрица
В01( х, t) в матрице входа управления В0( х,Г) является нулевой, тогда как т х т - субматрица В02 (х, t) является неособенной [7]. Аналоговое и цифровое разрывные управление находится точно также как и в системе общего нормального вида, то есть на первом шаге в виде (11) [1] и (12), (18) [1], а затем на втором и остальных шагах в достаточно точных видах (19), (20).
Субматрица С(Г) многообразия скольжения находится с учетом условий инвариантности (19) [1] и согласно получаемой системе скользящего режима на многообразии 5(5 = С1^)х1 + С2х2 = 0), С2 = Е ,
х1 = £(х,Г) = Ао11(х, Ох1 - Ао^х^С1^1, (21)
где х = | у" | х , как т х (п - т) - матрица
Ч-С (Г)у
С(Г) управления -С(Г)х1. При данном линейном вхождении управления -С1 (Г)х1 в правую часть системы (21) предлагается применить векторное непрерывное управление и = К (х1, t )х1 = -С1 (Г )х1, обеспечивающее экспоненциальное уменьшение нормы субвектора х1(Г) в заданное число раз за требуемое время с нулевым установившимся значением х1 (да). Два метода построения такого управления (где измеряемый вектор х1 (Г) принимается за известную функцию времени, и, следовательно, элементы матрицы К(х1,t) также принимаются за функции времени с ^ (Г) в субматрице -С\Г)) представлены в работе [8]. Для определения субматрицы -С^Г) в цифровом виде -С1' рассматривается известная матрица К(х1, t) в моменты времени t = t j, то есть -С1 = К(х1',tl), /' = 0,1,....,к -1.
5. Системы и порядок численного моделирования в настройке параметров и реализации аналоговых и цифровых управлений в системах общего нормального вида. Синтез цифровых многообразий скольжения
Рассмотрим данную задачу на примере системы (1), (6) нерегулярной формы. Для численного моделирования и с целью настройки аналогового разрывного управления интегрируется объединенная система дифференциальных уравнений, состоящая из: системы (6) с цифровым управлением и* (12)[1]
или (18)[1], в котором матрица С(Г) заменяется на переключаемую по алгоритму (13) матрицу Сп (Г); системы (27)[1], объединяющей модельную систему с настраиваемой матрицей Км (у1, t) модельного управления Км (у1, t)у1; системы определения субматрицы С°(Г) подвижного переключаемого много -образия скольжения 5п (13) для уменьшения энергетических затрат.
Данная объединенная система запишется:
х = /0 (х, t) + Р0 (х, t )и * + (х, t) + Л( х, Г, и), у1 = /1( у, t) - Во1( у, t )К м (у1, t )у1,
■ С1 = -С1 (Г)(Аоц(у, t) - Ао^ОС1^)) --(Ао21( у,t) - Ао22( у, t )С\Г)) + +(С(Г )Bо(у,t ))К м (у1, t) при V <Vоб; х = /0( х,Г) + Р0( х,Г )и* + N0( х,Г) + Ь( х,Г,и),
■ г1 = /01 (г, Г) = () - А012 (г, Г (Г ))г1, ^ С^б = [-С1бА0„(г,Г) + Ао^г, г) + (СбА012 (г, Г)■
+ С1б А022
(г, Г С ] при /oб <; в системе (22) у (Г) = х(Г)
(22)
(23)
где
при
у \ГП) = х1(Гп), у2(Гп) = х2(Гп) = -С1 (Гп)х\Гп), С1(Гп)у 1(Гп) + у2(Гп) = 0, С2 = Е ,
0
для
многообразия
скольжения 5 (5), а в системе (23) г(Г) = х(Г) при г1(Гп) = х1(Гп), г2(Гп) = х2(Гп) = С(Гп)х1(Гп),
С1б (Гп )г1(Гп) + г2(Гп) = 0, С2 = Е,
г(Г) = х(Г) (Г) Iх'
для
многообразия
скольжения 5об (8) при различных моментах переключений Г = Гп (прямых, с 5 на 5об, и обратных при Г = Гп = Гоп, Гоп - момент обратного переключения) данных двух многообразий скольжения, включающих в себя и начальный момент времени Г = Г0. Для численного моделирования системы с цифровым управлением и*', (у°,Г)у1 сначала представим системы дифференциальных уравнений (22), (23) в виде У = Ру, X = У, С\(п)у\(п) + у2(ГП) = 0 х = |при V(Гп) < V«(Г), Г > Гп,
= ^, X = 7, С1 (Г0п)у1(Гоп) + у2(Гоп) = 0 _[при V(Гоп) < ^(Г), г > г0п,
где |_х] I У = (x1,..., хп ; у1,.. уп-т ;с11,...,с1,п-т,.
(24)
1,...,сп -
),
7 (х1,..., хп ; г1,..., гп-т ; Соб 1,1,.", Соб 1,п-т ,...,
С С )
об п-т,1'"""' об п-т,п-т '
векторы X = У, X = 7 имеют размерность N х 1, где N = п + (п - т) + (п - т)2,
а N х 1 - вектор-функции FY и Fz зависят соответственно от векторов Y и Z :
Fy (Y, t ,uK M, h) =
Fy i(XI, . . . , xn , . . . ,um ,hi , . . . ,hn ,t),
FY,n (xi. . . . ■ xn ,U1* ■ . . . К h . . . ■ hn ,t); f,n+1(yi,...,Уп-m ,KM,t),
,(У1,..., Уп-m ,Kм ,t);
(c С С С K t)
7+1 V^11 > ■ ■ ■' n-m '"" "' n-m, 1 '"" "' n-m,n-m ' м ' / '
FY , N (С1 , 1 , ..., С1 , n-m ,... , Cn-m, 1 > ... ' Cn-m,n-m > Kм > t) >
FZ (Z ,t ,ui , h) =
fz. (x1 . . . . . xn . u1 . . . . . um . h . . . . . h . о .
FZ,n(x1..... xn A...K A-.-A,t);
FZ,n+1(z1..... zn-m ,t)'
,(z1,..., zn-m,t);
ч+1 (Соб1,1'...' Соб1,n-m '...' Со6п-m,1'".' Собn-m,n-m ,t
FZ,N (Соб1,1,..., Соб1,п-т ,..., Собп-т,1,..., Собп-т,п-т ,Г).
Решение системы с цифровым энергосберегающим управлением и*' ,Км (у1', Г)у1',' = 0, к -1, (10), (12)[1] , (19), (20) или (10), (18)[1] (19), (20) при моделировании системы с настройкой матрицы Км (у1, Г) модельного управления ККм (у 1,Г)у1 и переключаемым многообразием скольжения 5п (¿п = Сп (Г )х = 0) (13) запишется в виде:
У' + (К? + 2К У' + 2К3У' + КУ) / 6 при V < ^
7' + (К7' + 2К27' + 2К32 + К47') / 6 при V > ^
X'+1 =
(25)
где К;' = РУ (У', Г', и*', Км, Л')АГ, АГ = Т, КУУ = РУ (У' + КУ /2, Г + АГ /2, и*'', км, V)АГ, КУ = РУ (У' + К2У'' /2, Г + АГ /2, и*'', Км, V)АГ, К У'' = РУ (У' + КУ, Г + АГ, и*'', ККм, V )АГ; К? = (7'', Г ,и*', Л' )АГ, АГ = Т, К22 = (7' + К^ / 2, Г + АГ /2, и*', Л' )АГ, К7' = ^ (7' + K2Z/ / 2, Г + АГ /2, и*', Л' )АГ, К 7 = (7' + К32, Г + АГ,и *'', Л' )АГ.
Для настройки цифрового управления система моделируется с различными вариантами ограниченных неопределенных внешних и параметрических возмущений, представленных приведенным вектором Л(х, Г, и). При использовании перечисленных управлений в бортовых системах управлений автономных объектов с настроенным модельным управлением и реальными возмущениями дискретная информация о состоянии X(Г,) = X' системы поставляется датчиками, в результате чего обеспечивается обратная связь.
Результатом решения системы дифференциальных уравнений (24), представленного в численном виде (25), является и цифровое представление переключаемого многообразия скольжения Sn (sn = Сп (t)x = 0) (13) в виде переключаемой матрицы Сп(t') = СП = (С1 ,С2), С2 = Е, с субматрицей С1 равной С1' при V(t,) < Vo6(tl) и равной СОб при V(t,) > ^(t|).
6. Порядок формирования аналогового и цифрового разрывных управлений в системах общего нормального вида
1. Управление и в исходной системе (1), (6) с заранее неизвестными, но удовлетворяющими условию
|Сп(Г)Во(х,Г)| * 0 Vx е Ох, Vt е I = (Го, Гк], Гк < да, многообразиями скольжения 5 (5) и 5об (13), формируется в виде (3) с вхождением составляющих и* по одному в каждое выражение производных ,
что значительно упрощает синтез управления и в аналоговом и в цифровом управлениях.
2. Формируется простой в реализации метод управления на скользящих режимах с переключениями двух составляющих и*+ (Г), и*- (Г) аналогового и двух составляющих и*+ (Г;), и*- (Г') цифрового управлений в зависимости от знака функций (Г) и ¿у (Г') соответственно в моменты времени Г и в начале Г = tj каждого (' +1) - го шага
Г е I' = (Г',и, ' = 0,к -1.
3. При достаточно малых шагах АГ численного интегрирования дифференциальных уравнений систем управления и задании равных им малых периодов квантования, Т = АГ, аналоговые и цифровые управления в системах дифференциальных уравнений и разностных уравнениях, следующих из методов их численного решения, будут приводить к практически одним и тем же результатам.
4. Оцениваются предельные значения линейной
комбинации ^ п С1! (Г)Л, (Г) составляющих приведенного вектора неопределенных возмущений Л( х,Г,и) и находятся в пределах неравенств (11)[1]
или (12), (18)[1] значения аналоговых и*±(Г0) и цифровых и*0± управлений на первом шаге ^0, .
5. На основе вычисления при известных и*± (Г0) близких к истинным значений производных ¿у (Г1) = ¿1 (17) на первом и остальных шагах осуществляются достаточно точные идентификации линейных комбинаций ^ "-Ся (Г, )Л ) =
= С,(t')h(t'), l = 0,k -1, и вычисления на (l +1) - х
шагах постоянных u1 ± (t|), ' = Ü-1..
значений
управлений
6. Находится как решение системы (27) [1] субматрица С1^) многообразия скольжения для воспроизведения желаемого модельного движения с размерностью меньшей, чем исходная система на размерность т векторного управления.
7. Осуществляется переключение на субматрицу С°б ^) с воспроизведением движения самого объекта (без управления) на участках фазовых траекторий в случаях определенно-отрицательной производной \об ^) меньшей, чем V с управлением и с обратным переключением на субматрицу С1^) в случаях
V < \0б ^) ,где V < 0.
8. В результате численного моделирования системы (24) с определением постоянного на каждом
шаге t е 11 = ^ 1, tj+1], / = 0, к -1, цифрового управления и*/, К'ыу1 из решения (25) системы (24) вместе с совпадающими с модельной системой координатами состояния системы, х = у или х = г , следуют и значения на каждом шаге переключаемой матрицы С° многообразия скольжения.
Выводы
Таким образом в обеих частях статьи, получены следующие основные результаты в управлении нелинейными нестационарными объектами, применимые с дополнительным развитием и углублением полученных результатов и для линейных стационарных и нестационарных объектов:
- сравнительно простой по реализации эффективный метод синтеза аналоговых и цифровых разрывных векторных управлений для управляемых нелинейных нестационарных объектов, не требующих вспомогательных многообразий скольжения, с минимальным числом логических переключающих устройств, равным размерности управления, и решающих одновременно с приведением систем в скольжение при неопределенности и задачу регулирования установившихся параметров разрывного
управления, что имеет большое значение в сохранении ресурса исполнительных механизмов, в устранении возможных резонансных колебаний и в расширении количества областей и самих областей применений скользящих режимов в сложных условиях ограниченных неопределенных
возмущений, сложности объектов управления (в силу допускаемых больших размерностей объектов и их управлений и одновременного действия номинальных и неопределенных ограниченных возмущений);
- методы синтеза подвижных аналоговых и цифровых многообразий скольжения, на которых воспроизводятся модельные движения с пониженной (на размерность вектора управления) размерностью и, как следствие, повышенным заданным качеством переходных процессов, реализация которого в системах с более высоким порядком при равных ограничениях на управление и энергетические затраты невозможна;
- способ и методы уменьшения значений модуля аналогового и цифрового управлений и уменьшения и минимизации энергетических затрат на управление, в том числе с использованием динамики самих объектов при отключенном на скользящем режиме управлении в случае подходящих по качеству процессов участков фазовых траекторий или областей в фазовом пространстве объекта;
- методы и подходы к синтезу аналогового и цифрового разрывных управлений и многообразий скольжения в системах регулярной формы.
Публикация осуществлена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Татарстан в рамках научного проекта №15-48-02040.
Литература
1. А. С. Мещанов, Э.А. Туктаров, Вестник технологического университа, 19, 8. 90-94. (2016).
2. А. С. Мещанов, Вестник КГТУ им А. Н. Туполева, 3, 154163 (2012).
3. Т. К. Сиразетдинов, А. И. Богомолов, Изв. Вузов. Авиац. Техника, 2, 83-91 (1978).
4. Т. К. Сиразетдинов, А. И. Богомолов, Г. Л. Дегтярев, Аналитическое проектирование динамических систем. Учебное пособие. Казань, 1978. 78 с.
5. А. С. Мещанов, Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 3, 164-173 (2010).
6. А.С. Мещанов. XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ ВСПУ-2014 (Москва, 16-19 июня 2014 г.). Труды. М.: Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН. 2014. С. 564577.
7. А. Г. Лукьянов, В. И. Уткин, Автоматика и телемеханика,, 4, 5-13. (1981).
8. А. С. Мещанов, Вестник КГТУ им А. Н. Туполева, 2,110117 (2010).
© А. С. Мещанов, кандидат технических наук, профессор кафедры автоматики и управления, старший научный сотрудник, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ, mas41@list.ru; Э. А. Туктаров, аспирант кафедры автоматики и управления, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ, ed.tuktarov@mail.ru.
© A. S. Meshchanov, candidate of engineering sciences, professor, Associate Professor of department of Automation and Control, senior research scientist, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, mas41@list.ru; E. A. Tuktarov, post-graduate student of department of Automation and Control, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, ed.tuktarov@mail.ru.
