CC BY
7
УДК 681.5.01: 658.5
А. С. Мещанов, Э. А. Туктаров СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ СТАЦИОНАРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ В СКОЛЬЖЕНИИ ЭФФЕКТИВНОМ ПО РЕАЛИЗАЦИИ, КАЧЕСТВУ ПРОЦЕССОВ, РЕГУЛИРОВАНИЮ КОЛЕБАНИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ ЗАТРАТАМ ПРИ НЕОПРЕДЛЕННОСТИ И НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Ключевые слова: разрывные и непрерывные векторные управления, неопределенности, неполная информация, скольжение, качество, регулирование колебаний управления, малые энергетические затраты.
Решена задача синтеза в системах с линейными стационарными объектами разрывных и непрерывных векторных управлений, имеющих малое число логических переключающих устройств, не накладывающих ограничений на задание многообразий скольжения и, следовательно, на устойчивость и качество переходных процессов, не требующих обязательно вспомогательных многообразий переключений структур управления. Обеспечиваются заданные скорости приведения систем в скользящие режимы в больших и малых окрестностях многообразий скольжения и регулирование установившихся параметров колебаний управления во избежание возможных негативных воздействий на звенья системы управления путем синтеза гибридного управления, переключаемого в малой окрестности многообразия скольжения. Предлагаются методы уменьшения энергетических затрат на управление, основанные на его структурных и параметрических преобразованиях, включая применение подходящей динамики самого объекта управления, представлены методы минимизации.
Keywords: discontinuous and continuous vector control, uncertainties, incomplete information, slip, quality, regulation of control
fluctuations, small energy costs.
The problem of synthesis in systems with linear stationary objects of discontinuous and continuous vector controls having a small number of logical switching devices that do not impose restrictions on the specification of sliding manifolds and, consequently, on the stability and quality of transient processes that do not necessarily require auxiliary switching manifolds of control structures is solved. The given speeds of reduction of systems in sliding modes in large and small vicinities of sliding manifolds and regulation of steady-state parameters of control oscillations are provided in order to avoid possible negative effects on the links of the control system by synthesizing a hybrid control that is switched in a small neighborhood of the sliding manifold. Methods for reducing control energy costs based on its structural and parametric transformations, including the application of the appropriate dynamics of the control object itself, are presented, and minimization methods are presented.
Введение
Рассматривается система управления с линейным стационарным объектом, представленная уравнениями [1]:
г = А^)г + В(г)и + D(t)F(t), х = Кг, (1)
где г е Я";
t е I = (^<»; т = А + АА^); B(t) = В0 + АВ(t); вектор управления;
т = D0 + АЦ^; F(t) = F0 (О + АF(t) ; А0 ,В0 А и F0 (t) являются номинальными (известными) слагаемыми п х п, п х т, п х I - матриц А, В^ и I х 1 - столбца F(t), а слагаемые АА^), АВ^), АD(t) и АF(t) их
неопределенными параметрическими и внешними возмущениями с ограниченными элементами. Выходной q х 1 - вектор х представлен произведением д х п номинальной матрицей К на вектор состояния г.
Исследуются управляемые системы вида (1) при возмущениях АA(t), АB(t), АD(t), АF(t) ,
удовлетворяющих вместе с ограниченным номинальным возмущением я 0 (() условиям инвариантности к ним скользящих режимов [2]: АА(О = В0 Л^), АD(t) = В0 Лй0^), Do = В0Л0п, АВ(^ = В0 Лав (П
Матрицы AAA(t) , AAD(t), AAB(t) и матрица ÁDo в данных условиях (2) имеют соответственно
неопределенные и номинальные элементы.
Помимо выходного вектора x = Kz, матриц A0 ,B0 ,D0 и вектора F0 в синтезе управления системой (1) предлагается применить и вектор состояния zM (t) идентификатора - модельной системы, которая формируется в виде [3]:
Zm = AoZm + BoU + KGT(x - KZm ) + D0F0(t), (3) где x = Kz, как и в исходной системе (1). В данной модели (3) слагаемое
KuGT(x - KZm ) (4)
должно обеспечивать при соответствующем задании n х m и q х m - матриц Ku и G достаточно быстрое уменьшение отклонения Az(t) вектора состояния z(t) от желаемого модельного движения Zm (t) :
Z(t) = Zm (t) + Az(t) . (5)
Предлагаемая модель (3) отличается от известного асимптотического идентификатора состояния Люенбергера [3] тем, что применяется для системы (1) с неопределенностями AA(t), AB(t), AD(t), AF(t) и содержит в себе номинальное векторное возмущение D0F0 (t).
Постановка задачи
Найти эффективные векторные разрывные и непрерывные управления u, которые обладают при заданном качестве переходных процессов следующими преимуществами: имеют сравнительно малое или нулевое число логических переключающих устройств; не накладывают ограничений на задание многообразий скольжения (помимо общего необходимого условия существования управления |CB0| Ф 0); приводят
последовательно и с заданным качеством модельную и исходную системы (3) и (1) за требуемые малые промежутки времени в скользящий режим на модельном многообразии S (6)[1]; обеспечивают в гибридном варианте управления регулирование параметров
установившихся колебаний управления во избежание их возможного негативного воздействия на звенья системы управления и на ее энергоресурсоэффективность и энергосбережение; обладают сравнительно малыми по модулю значениями составляющих векторного управления и сравнительно малыми и минимальными энергетическими затратами, оцениваемыми интегралом от суммы модулей составляющих управления (со своими коэффициентами пропорциональности) за время переходного процесса с использованием в этих целях настройки параметров управления, идентификации и компенсации возмущений и подходящей динамики объекта управления.
Модификации формируемого по модельной системе полного управления и регулирование его установившихся колебаний
Синтез разрывного и непрерывного
векторных управлений, приводящих исходную и модельную системы в скользящий режим
Для синтеза управления представим исходную систему (1) в координатах векторов zM и Az. С учетом z(t) = zM(t) + Az(t) (5) получаем систему:
Zm = (Ao + AA(t))(zM + Az) + (B0 + AB(t))u + + (D0 + AD(t))(Fo + AF(t)) - AZ..
Найдем AZ, вычитая из исходной системы (1) модельную систему (3): Az = A Az+AA(t)(zM + Az)+AB(t )u+D0 AF(t) +
(6)
+AD(t) (Fo (t) + AF(t)) - KuGT(x - KZm ).
(7)
Так как согласно (7) в процессе приведения в скользящий режим на многообразие
S(s = (sv...,sm)T = CZm (t) = 0)
выражение
A0 Az + AA(t))(ZM + Az) + AB(t)u + D0 AF(t) + + AD(t)(F0 (t) + AF(t)) - Az
в исходной системе (1), (7) равно выражению KuGT(x - KZm) = KuGTKAz
(8)
в модельной системе (3) при полном совпадении всех остальных слагаемых в обеих частях уравнений, то приходим к важным для практического применения выводам: модель (3), являющаяся в скользящем режиме
идентификатором состояния, в процессе попадания и.т. исходной системы на многообразие S (8) является идентификатором приведенного (суммарного) вектора неопределенных возмущений; управление u в системе с идентификатором на скользящем режиме при неопределенности можно находить как по исходной системе (6), так и по модельной системе (3).
Метод синтеза разрывного управления по исходной системе. Для синтеза выделим номинальную (известную) и неопределенные части:
Zm = [A0Zm + B0U + D0F0 (t)] + [A0 AZ + + AA(t)(ZM + Az) + AB(t)u + D0 AF(t) + (9) + AD(t)(F0 (t) + AF(t)) - Az].
Разбивая управление u на два слагаемых u0 и uA , где первое для номинальной части системы (9), а второе для неопределенной
u = u 0 + u й , (10)
получим соответствующее разбиение правой части системы (9):
Zm = [A0Zm + B0u0 + D0F0 (t)] + [A0 AZ + + AA(t)(ZM + Az) + B0uü + AB(t)u0 + + AB(t)uü + D0 AF(t) + AD(F: (t) + + AF(t)) - AZ].
Аналогично разбиению (10) представим и производную S в силу системы (11):
S = CZm = S0 + sü, (12)
где
í?0 = CA0Zm + CD0F0 (t) + CB0u0 , (13) sA = CA0 Az + CAAzM + CAAAz + CABu0 + + CABuA + CD0 AF + CADF0 + CADAF - (14) - CAZ + CB0uA.
Применяя методику работ [4, 5], после приравнивания выражений для s0 (13) и
(11)
Kgg + Kss -5signs,
где
Kg = diag {KgV..,Kgm}, Ks = diag{Ksi,..,Ksm), g = (g1 ,..,gm)',
5 = diag (5,..., 5), 5 = const > 0, либо 5 = diag{5i ,..,5m), 5¡ > 0, sign s = (sign s1 ,..,sign sm)T,
ГKg < 0 при sjgj > 0,
(15)
g, = dTzM,
Т j m>
Kj(z,t) =
Kj(z,t) =
[k-, > 0 при sjgj < 0, Ík+sí < 0 при s-, > 0,
{Ksj < 0 при sjgj < 0, получаем номинальное управление u0:
u0 = (CB0 Г(Кдд + Kss - (16)
- 5signs -CA0z, - CD0F0). Для формирования иЛ, преодолевающего влияние неопределенных возмущений на процесс приведения исходной системы (6) в скользящий режим, представим управление иА в виде суммы:
UA = (CBo )1(иAz + иIa + UAAAz + UABu0 + + UABUc + илF + ил DF0 + ил OAF + и AZ )•
Тогда производная SA (14) запишется: s a = (CAo Az + и Az h + (CCAz, + и A A h + + (CAAAz + u'AAAZ )3 + (CABUo + иABUo )A + + (CCBUA + и 1вил h + (CDo AF + uAF)e + (18)
+ (CADFo + иADF0 h + (CADAF + иAD&F A +
(17)
+ (-CAZ + u Az )9.
Если управление u0 (16) находилось в силу необходимых и достаточных условий существования скользящего режима и условий попадания изображающей точки (и.т.) системы (6) на многообразие S (8), то управление uA достаточно находить только по условию попадания и. т. на каждую гиперплоскость
Sj (Sj = CjzM = 0), j = 1,m, в отдельности:
SjSJ < 0, j = %m . (19)
Условия (19) выполняются, если потребовать, например, его выполнения по отношению к каждой из девяти скобок в (18)
(■)lsJ < 0, i = \9, j = %m. (20)
Выражения управлений u'A z, u*A, u Ам^> * * * * * *
u ABu0 ,uABuA,uAF,uADF0 ' u ADAF , u A¿ и уПрЖ^ИЯ ua
(17) в целом совпадают с полученными в работе [6].
Отметим, что полученное управление u = u0 + uA (10) приводит в скольжении на
многообразие S (8) и модельную систему (3), так как в номинальном управлении u0 (16) учтена вся
правая часть (3), кроме слагаемого KuGT(x - KzM) . Но данное слагаемое согласно (7) равно второй скобке в системе (9) и, следовательно, управление uA (17), найденное для данной скобки, пригодно и
для слагаемого KUGT (x - KzM ) .
Предлагаемое номинальное векторное разрывное управление u0 имеет сравнительно малое число ЛПУ равное m, то есть в n раз меньшее, чем m ■ n ЛПУ в других известных видах разрывного управления [7]. При уменьшении данного числа ЛПУ до m(n - 2) и меньше в данных управлениях возникают ограничения на задание многообразий скольжения. В предлагаемом управлении ограничения на задание многообразий скольжения (помимо общего необходимого условия существования управления |CB0| Ф 0) не накладывается [6].
Что касается управления иА , то число ЛПУ для него определяется одинаково - в зависимости от дробления суммарного вектора неопределенностей на слагаемые и последующего дробления слагаемых на номинальные и неопределенные сомножители [6]. С увеличением числа ЛПУ усложняется реализация аналогового управления и существенно загружается компьютер в цифровом управлении в силу большого числа проверок знаков функций si
вектора s = (s1,...,sm)T на скользящем режиме, что приводит к необходимости значительного умощнения компьютера в управляющем устройстве.
Методы синтеза векторных управлений по модельной системе. Метод управления с вспомогательными многообразиями
переключений структур. К модельной системе (3) приводится исходная система (6) после подстановки в нее выражения производной Az (7):
zM = Aoz, + BoU + KuGT(x - Kzu) + DoFo(t). (21) Применяя в данной модельной системе (21) методы работ [14, 15] , задаем производную s = равной выражению
s = = Kgg + Kss - 5 sign s (22) и с учетом равенства
s = so = CZ, = CAo Zm + CBoU +
(23)
0 ч'"0*-м 1
+ С^ + СК^Т(х - Кгт) в силу системы (21) получаем в результате приравнивания выражений для в номинальное разрывное управление:
u = (CB0) (Kgg + Kss - 5sign s - CA0zu -- CKuGT(x - Kzu) - CD0(t)Fо(t)),
(24)
где в формировании векторов основных и вспомогательных функций переключения в ид
применяется только вектор гм,
Кд = б'тд{кЯ1,...,кЯт}, К = аад{ка1,...,кт1}, где
разрывные коэффициенты к ■, к■ и непрерывные
5 , 61 удовлетворяют неравенствам в выражении
(15). Данное управление (24) приводит в скольжение не только модельную (3), но и исходную (1) систему, так как К^Т(х - Кгм) в модельной системе (3) согласно соотношению (7) равно выражению
А0 Аг + АА^))(гш + Аг) + АВ^)и + Do АЯ^) + + Ат(Я0 + АЯ(^) - Аг в исходной системе (1), (7) при равенстве всех остальных слагаемых в правых и левых частях в обеих системах.
Данный второй метод приведения исходной системы (1), (6) в скользящий режим на многообразии S (8) управлением и = и0 (24) является более эффективным:
- не требует формирования иА, сопряженного со сравнительно большими по модулю значениями составляющих иАд, д = 1,9 , превышающими
(25)
возмущения, и, следовательно, большими энергетическими затратами, характеризуемыми интегралом от их суммы за время переходного процесса;
- имеет сравнительно простую аналоговую реализацию и не требует повышенной нагрузки на компьютер при цифровой реализации;
- слагаемое CKuGT(x - KzM) несет в себе всю необходимую для построения номинального управления информацию о приведенном векторе неопределенных возмущений H(t)
H(t) = CAj Az+CAAzM + CAAAz+CABu0 + +CABuA + CD AF+CADF0 + CADAF - CAz
в выражении производной sA (14), так как CKuGT(x - KzM ) = H(t) и, следовательно, модель (3) с равенством в ней
KazGt(x - KZm ) = Aj Az + AA(t)zu + AA(t)Az + + AB(t)uo + AB(t)uA + Do AF(t) + AD(t)F0 (t) + + AD(t)AF(t) - AZ является, точным идентификатором всех неопределенных возмущений в процессе попадания и.т. на многообразие S (8) (в процессе скольжения действие неопределенных и номинальных возмущений не проявляется в силу выполнения условий инвариантности (2)). Данная идентификация позволяет уменьшить энергетические затраты на управление, причем без формирования специального идентификатора неопределенных возмущений, что также повышает эффективность синтезированного управления (24). Приведенные данные являются также обоснованием выдвинутой гипотезы о возможности применения в исходной системе (1) на скользящих режимах при неопределенных возмущениях управления, формируемого по модели-идентификатору (3).
Метод управления без вспомогательных многообразий переключений структур. Разовьем метод формирования управления без вектора g вспомогательных функций переключения и соответствующего многообразия переключений структур G(g = 0), полученный в работе [8] на случай полной информации о состоянии для исследуемых исходной и модельной систем (1) и (3) при неполной информации. Представим m х 1 -управление u, в виде
u = (ui,...,um)T = (CBo)-1u' . (26) Модельная система (3) запишется
¿M = Ao Zm + Bo (CBo )-1u'+ DoFo (t). (27) Рассмотрим производную
sí = C¿m = CAj zм + u' + CDjFj (t) (28) и ее составляющие S j
Sj = CjZm = CjAj¿M + uj + CPoFo (t), j = im. (29)
Предлагаемые управления uj находятся по
условиям приведения системы (27) в скользящий режим на каждой подвижной гиперплоскости
в, = = 0, и тем самым на (п - т) - мерном многообразии Э (8), соответственно в двух видах:
и* = и*+(I), s¡ = ¿+р(() < о при з] > о, и* = и(г), в, = я-м) > о при в, < о.
(30)
Данное управление (30) является разрывным и потребует т логических переключающих устройств (ЛПУ). Задаваемые и настраиваемые по результатам пробных моделирований системы управления функции Я в условиях (30)
определяют качество процессов до попадания изображающей точки (и.т.) на многообразие Э (8) и в малой ее окрестности полагаются близкими к нулевым значениям с целью регулирования параметров установившихся колебаний управления. С учетом выражений в, (29) условия (30) для
определения значений управлений и * запишутся
и*; (t) < s g(t) - CJA Zm + D0F0 (t)),
(31)
u]-(t) > s-j3(t) - Cj(Azu + D0F0(t)). где c i элементы m x n - матрицы C . Исходное управление u для модельной и исходной систем (3) (1) находится согласно соотношению (26).
Отметим, что полученное новое векторное разрывное управление (31) отличает сравнительная простота реализации, так как оно не предполагает наличия вспомогательных многообразий переключений структур в виде координатных и других фиксированных или подвижных многообразий, и вместе с тем обеспечивается возможность настройки переменных заданных скоростей s±3(t) попадания и.т. на подвижные гиперплоскости многообразия скольжения
S(s = CzM = 0) (8). Последнее позволяет уменьшать значения управления и энергетические затраты на него и регулировать параметры установившихся колебаний разрывного управления. Кроме того, функции можно задавать:
- равными по модулю
s±3(t) = -|sj3\sign Sj, j = 1,m; (32)
- непрерывными в случае аппроксимации сигнатур sign непрерывными функциями;
- неявными функциями времени
s%(t) = K±±isj, k+± < 0 , j = %m. (33)
Данный вариант формирования производных (33) относится к формированию управления уже не по времени, а по координатам состояния и более подробно рассмотрен ниже, в подразделе «Разрывные и непрерывные управления».
Методы регулирования установившихся колебаний управления
Разрывные и непрерывные управления.
Рассматривается более эффективное по реализации, качеству, регулированию колебаний и уменьшению энергетических затрат управление (24), определяемое по модельной системе (3), (21):
u = (CB0 )-1 (Kgg + Kss - 5 sign s - CAzu -- CKuGT(x - Kzu ) - CD0F0(t)).
(34)
В целях регулирования установившихся колебаний данного, в общем случае разрывного, векторного управления на скользящем режиме во избежание их возможного негативного воздействия на исполнительные механизмы [9, с.130 ] и на другие звенья системы (например, с вхождением их в резонанс, снижением ресурса срабатываний и увеличением затрат) предлагается:
- учитывать влияние зон нечувствительности и запаздывания в логических переключающих устройствах (ЛПУ) с возможной настройкой данных зон, исключающей негативные воздействия (в частности, резонанс);
- учитывать и настраивать влияние на параметры установившихся колебаний управления постоянных или переменных коэффициентов самих уравнений системы скользящего режима, так как, например, при комплексно-сопряженных корнях их характеристических уравнений установившиеся колебания могут быть неприемлемыми даже и при непрерывном с асимптотическим вхождением системы в скольжение управлении (34) в силу вхождения в него колебательных координат вектора состояния гм самой такой системы скользящего режима;
- учитывать влияние или задавать равными нулю в выражении (22) производной в разрывные к, и
постоянные 5,, 1 = 1,т, параметры диагональных матриц Кд, 5 и задавать в общем случае разрывные одинакового отрицательного знака параметры к, диагональной матрицы Кв равными
к в] = к+ = к- < 0, 1 = 1,т ; разрывные управления
(24), (34) в этом случае преобразуется к непрерывному
и = (СВ0)- 1(К3з - СА0гм - СК^(х --Кгш )-СО0Я0 приводящему модельную систему (21) на многообразие скольжения 5 (8) асимптотически (экспоненциально по каждой функции ^ в силу
(22)
S = KsS
в условии
при
Ksj =
к+ = к- < 0,] = 1,т).
Все установившиеся слагаемые данного управления (35), кроме номинального (известного) возмущения - (СВ0 )-1 Сй0Я0 (t) = -й0Я0(t), равного с учетом условия инвариантности С0 = В0 (2) выражению -Л0^ Я0 (t), обращаются в данном управлении в скользящем режиме в ноль (так как в ^ 0, гм ^ 0 , х - Кгм = КАг ^ 0). В модельной системе (21) компенсируется действие вектора D0F0(t), так как в ней при управлении (35) с установившимися слагаемыми получаем В0и = -В0 (СВ0 )-1CDo Я0 (О = = -В0 (СВ0)-1СВ0 л0п Я0 а) = ^0 а).
Гибридные варианты управления.
Данные управления предлагаются для обеспечения более плавного, чем по экспоненте уменьшения отклонения и.т. от многообразия скольжения и уменьшения частоты и амплитуды установившихся колебаний управления. С этой целью в разрывных (34) и/или непрерывных (35) управлениях и предлагается в векторном слагаемом Квв с диагональной матрицей Кв (или в производной (22)) возводить функцию в в подходящей близости к многообразию скольжения 5 (8) в нечетную степень к=3,5,...большую единицы, то есть ввести вместо произведения Квв произведение
Кавк,к = 1,3,5,.:
, [ к^1 при > Ав:, 0 < Аз, < 1, к = 1,
■ =\ к I 1 (36) в1 1 [ , при < Аsj, к, <0, к = 3,5.....
где к■ < 0 - элементы диагональной
элементы т х т - матрицы Кв.
Уменьшение в управлении и (35) значения слагаемого вектора (СВ0 )-1Кввк в полосе < Ав,, 1 = 1,т, (36) никак не влияет на параметры установившегося в данном управлении
от
колебания
- (CB0 ) CD0Fо (t) =-D0F0 (t)
внешнего векторного воздействия Я0 (t). В этой связи строится гибридное управление, в котором в малой окрестности многообразия скольжения 5 (8),
то есть в указанной полосе < Ав,, 1 = 1,т, для построения нового управления производная в (23) в = Сгм = СА0 гм + СВ0и + Сй0Я0 + + СК^Т(х - Кгм) системы (3) и управление и разбиваются на два соответствующих слагаемых:
(38)
(39)
Управлению и0 соответствует производная в0 без учета в системе (21) слагаемого D0F0 (t), а управлению и0^ производная я .
Приравнивая произведение Кввк с элементами (36) производной
s = s0 + sDF , U = U о + Ud F
s0 = CZM = CA0 ZM + CB0U0 +
+ CKuGT(x - KzJ = Kssk
получаем управление u0 :
U0 = (CB0 )-1(Kssk - CA0zu -- CKuGT(x - KzM )).
(40)
(41)
При вычитании из уравнения (37) уравнения (40) (с его вторым равенством) получаем выражение для нахождения управления uD^ :
sd0F0 = CB0UDoF0 + CD0F0 . (42)
С целью упрощения построения uDaFa полагаем
UDF = (CB0 )-1WD0F0 , (43)
тогда
sDoFо = u'oF0 + CD0F0,
D0F0 D0F0 ]
sD0F0 j = UD0F0 j + CjD0F0.
(44)
Задаемся структурой векторного управлении и*оар0 в виде:
= (и'т1,..,и'тт) Т= (С^Х-Ст^Зт) Т, С, = (0л,...,0п), к = (к',..Х)Т, Зал/ = +CjDоFо(t) = Сук в, +C¡DоFо(t) =
= ^101№З] +(аро(Щ), (45)
К^иад^л/Л/ + а/, а/ >о,
^(Щ = а0д(П, >Л, >о,к/(г) = -МРПадпОл, I = %п, / = %т
Как следует из выражений (46), достаточные условия ¿аоРо/в, < о приведения модельной системы (21) в скользящий режим на многообразие Э (8) с заданным качеством переходных процессов и в исходной системе (1) в силу достаточно быстрого уменьшения отклонений от модельного движения выполняется при условии Л, > в, > Л*, > о, / = 1,т. При достаточно малых задаваемых значениях Л*, > о значения по модулю в, будут также в скольжении малыми, в результате чего установившиеся модельные координаты и вслед за ними координаты исходной системы
будут стремиться к нулю. Следовательно, установившиеся значения слагаемых модельного управления ио (41) в модельной и исходной системе будут также стремиться к нулю. Составляющие модельного управления, иаоРо как следует из выражений (43), (45), с уменьшением модулей функций в, при малых Л*, > о также
стремятся к нулю. Таким образом, установившиеся колебания всех составляющих модельного управления в исходной и модельной системах принимают допустимые малые значения, которые можно уменьшать до близких к нулевым значениям.
Отметим, что данное управление иаоРо = (СВо )-'и'ооРо (43) (45) является
непрерывным (в силу постоянства знаков коэффициентов О,,, = 1, т, I = 1,п).
Структурные уменьшения и минимизация энергетических затрат на управление
Энергетические затраты уменьшаются от соответствующих структурных преобразований управления и его параметров. В результате проведения ряда таких преобразований эффективность управления (включая и простоту его реализации без потерь в качестве переходных процессов) существенно возрастает. После этого в результате настройки прежних и новых сложившихся параметров предлагается
осуществлять численную минимизацию системы, которую можно проводить не только по затратам, но
и, например, по амплитуде установившихся колебаний в случаях их возможного негативного воздействия на звенья системы.
Структурные уменьшения
энергетических затрат. Предлагаются новые методы уменьшения энергетических затрат на управление в системах с неполной информацией о состоянии. Затраты оцениваются интегралом от суммы модулей составляющих управления с размерными коэффициентами к]г , = 1,т, за время переходного процесса Тпп = гпп - го:
Г'т II II
J =1 (к1 \ui\ + ... + km\um\)dt .
"in
(46)
Рассмотрим предлагаемые методы и алгоритмы уменьшения затрат с изменением структуры и параметров управления, приводящего систему в скользящий режим. К ним относятся: 1) замена разрывных управлений (16), (17), определяемых по исходной системе (1), (9), на управления (24), определяемые по модельной системе; уменьшение затрат следует из аналитически точной в таком управлении идентификации приведенного вектора всех неопределенных возмущений (25), действующих на исходную систему управления (1), (9), тогда как в управлениях (16), (17) каждая неопределенность преодолевается (превышается), хотя может даже и содействовать приведению системы в скольжение, что приводит к неоправданному увеличению значений интеграла затрат (46); 2) замена задаваемых постоянными значений переключаемых составляющих разрывных параметров диагональных матриц Kg,Ks на
переменные, достигающие по модулю своих максимальных значений за определенную часть времени Тпп (за четверть по данным моделирования процессов), а именно, на асимптотическое экспоненциальное приведение и.т. на многообразия скольжения, что исключает избыточные затраты энергии при конечных скоростях попадания и.т. на многообразия скольжения с их «прошиванием» в силу таких не идеальностей в переключениях структур как запаздывание, гистерезис и зоны нечувствительности логических переключающих устройств (ЛПУ) при аналоговой реализации управления; 3) замена разрывных управлений (34) на непрерывные (35) с нулевой матрицей Kg и
непрерывными элементами матрицы Ks, не приводящими к «прошиваниям» и.т. гиперплоскостей скольжения с неоправданным увеличениям интеграла затрат (46); 4) замена управлений (24) и (34), (35) с вспомогательными многообразиями переключения структур на управление (26), (30), не требующее указанных вспомогательных многообразий и выражения Kgg + Kss -6signs как в управлении (34) для
задания производной, так как формируется по двум, предварительно задаваемым по подходящему качеству приведения систем в скольжение, векторам производных функций переключений
вj¡з(t) = ^■зв/дпв,-, 1 = 1,т, (32); кроме того, с
упрощением построения данное управление (26), (30) является также эффективным и в регулировании параметров установившихся колебаний управления и в уменьшении его энергетических затрат в результате исключения «прошиваний» и.т. многообразия скольжения; 5) уменьшение энергетических затрат, основанное на применении динамики самого объекта управления, то есть без управляющих воздействий в скользящем режиме, в случаях, когда области фазового пространства самого объекта имеют такие траектории и.т., которые способствуют повышению качества переходных процессов по сравнению с системой при постоянном действии управления, и они в скользящем режиме (инвариантном к возмущениям) воспроизводятся без действия управления; например, тогда, когда при положительно-определенной функции Ляпунова V производная \/ое, находимая в силу системы объекта, удовлетворяет неравенству V б < V < 0; действительно, если за модель принять сам объект
Ум = А0 Ум , (47)
то, приравнивая правые части системы (10) [1] модельного скользящего режима при Аг = 0 на некотором подвижном многообразии скольжения объекта Боб
5об(воб = Собгм = 0) Угм е ^, Ы е I = ^0 tk и модельной системы (47):
{ [Е - В0(СоВ )-1Соб]А0 К = А0ум , получаем при совпадении их начальных условий, У м (t0) = гм (t0), тождественное совпадение решений у м (t) = гм (t) данных систем дифференциальных уравнений (10) [1], (47) и систему для определения т х п - матрицы Соб многообразия скольжения объекта
0 = -СобА0, (49)
где 0 - т х п - матрица.
При невыполнении неравенств \/об < V < 0 матрица С принимает прежнее исходное значение, С ф Соб. Далее функция V рассматривается как
квадратичная форма V = zTLz с симметричной матрицей L.
Уменьшение энергетических затрат (46) на управление в скользящем режиме при матрице С = Соб , определяемой как решение системы (49), следует непосредственно из выражения управления и0 (41) равного при \/о6 < V < 0 нулю с учетом
в = воб = С^) = 0,
(48)
= 0
(х - Кгм) = Ах ^ 0. Таким образом, при формировании суммарного управления
и = и0 + и0оРо (39) управление и0 (41) в скользящем
режиме при Vоe < V < 0 можно формировать
равным нулю и без вычисления матрицы Соб по системе алгебраических уравнений (49).
Уменьшение энергетических затрат (46) на управление в скользящем режиме при матрице С = Соб, определяемой как решение системы (49), следует непосредственно из выражения управления и0 (41) равного при Vo6 < V < 0 нулю с учетом в = воб = Собгм (и = 0, -С^ А = 0 и
(х - Кг ) = Ах
^0. Таким образом, при формировании суммарного управления
и = и0 + ио0я0 (39) управление ^ (41) в скользящем режиме при Vоб < V < 0 можно формировать равным нулю и без вычисления матрицы Соб по системе алгебраических уравнений (49).
Минимизации энергетических затрат и амплитуды колебаний управления.
Минимизация затрат может осуществляться как для суммарного управления (известного вектора функций времени программного управления в сумме с вектором и стабилизирующего), либо для стабилизирующего. В обоих случаях настраиваются одни и те же параметры стабилизирующего управления. Поэтому ограничимся рассмотрением функционала J (46). За множество и настраиваемых параметров стабилизирующего управления и = и0 + и0ояа, и0, и^ = (СВ0 )-1и*0оРо (41),(43), (45) принимается:
и = (К3;к;Ки;А,,...,Ат;А1,...Лт;а),...,ат;
111'-"'11п' 122 ,...,12п ;...; 1 п-1,п-1,1 п-1,п; 1 пп ),
где 111,...., 1пп являются (п2 - п)/2 - п элементов симметричной матрицы L. Минимум функционала J (46) находится на основе известного численного метода решения основной задачи управления с учетом выполнения ограничений на управление, на координаты состояния и показатели качества переходных процессов при настройке параметров (50) в известных допустимых пределах [10].
При минимизации амплитуды установившихся колебаний управления за функционал и принимается норма установившегося значения вектора управления и :
J = ||и(/)|| при/ > /дд, / е(/о,/к], /о = 0, tk <«>. (51)
Ограничения и настроечные параметры в данном случае функционала (51) совпадают с перечисленными для функционала и (46).
Отметим, что в случае применения стабилизирующего управления и, определяемого не по модельной, а по исходной системе (1), (7), решение изложенных двух задач минимизации существенно усложняется учетом влияния ограниченных неопределенностей
АА^), АВ^), АD(t), АЯ^). Метод решения данных задач в случае необходимости учета неопределенностей изложен в работе [11].
(50)
Выводы
Таким образом, в статье [1] и в данной работе получены следующие результаты:
- в статье [1]: 1) выводы уравнений скользящего режима исходной и модельной систем на фиксированном многообразии скольжения с модельным вектором состояния в координатах исходной, модельной и в отклонениях систем; 2) матрица управления для системы в отклонениях, обеспечивающая в скользящем режиме экспоненциальное уменьшение отклонения по норме в заданное число раз за требуемое время с нулевым установившимся значением, либо обычные прямые показатели качества; 3) матрица многообразия скольжения модельной системы такая, чтобы процессы управления в модельной и в исходной системах удовлетворяли в скользящем режиме, и для этих систем в целом, указанным показателям качества переходных процессов;
- в данной работе эффективные векторные разрывные и непрерывные управления, обладающие при заданном качестве процессов следующими дополнительными преимуществами:1) имеют сравнительно простую реализацию; 2) приводят исходную и модельные системы за требуемое малое время в скользящий режим с заданным качеством; 3) обеспечивают в гибридном варианте необходимое регулирование параметров установившихся колебаний управления; 4) обладают сравнительно малыми по модулю составляющими управления и сравнительно малыми и минимальными
энергетическими затратами с использованием динамики объекта управления.
Публикация осуществлена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Татарстан в рамках научного проекта №15-48-02101.
Литература
1. Мещанов А. С., Туктаров Э. А., Вестник технологического университета, 20, № 15, 71-77 (2017).
2. Drazenovic В., Automatica, 5, 3, 287-295 (1969).
3. Андреев Ю. Н., Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976, 424 с.
4. Мещанов А. С., В кн. Устойчивость движения, Наука, Новосибирск, 1985. С. 230-234.
5. Мещанов А. С., ВестникКГТУ, 4, 127-134 (2008).
6. Мещанов А. С., Авиакосмическое приборостроение, 5, 16-20 (2008).
7. Уткин В. И., Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. М., Наука, 1974,272 с.
8. А. С. Мещанов, Э. А. Туктаров, Вестник технологического университета, 18, 12, 164-168 (2015).
9. Емельянов С. В., Коровин С. К., Новые типы обратной связи: управление при неопределенности. М.: Наука. Физматлит, 1997.-352 с.
10. Сиразетдинов Т. К., Богомолов, Изв. Вузов. Авиац. Техника, 2, 83-91 (1978).
11. Афанасьев В. А., Мещанов А. С., Сиразетдинов Т. К., Изв. вузов. Авиационная техника, 2, 26-32 (1997); Изв.вузов. Авиационная техника, 3, 9-13 (1997).
© А. С. Мещанов, канд. техн. наук, проф. каф. автоматики и управления, старший научный сотрудник, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева - КАИ, [email protected]; Э. А. Туктаров, аспирант той же кафедры, [email protected].
© A. S. Meshchanov, candidate of engineering sciences, professor, Associate Professor of department of Automation and Control, senior research scientist, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, e-mail: [email protected]; E. A. Tuktarov, post-graduate student of department of Automation and Control, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, e-mail: [email protected].
