CC BY
8
УДК 681.5.01:658.5
А. С. Мещанов, С. О. Богданов
СИНТЕЗ МНОГООБРАЗИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ С ЗАДАННЫМ КАЧЕСТВОМ
И МАЛЫМИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ ЗАТРАТАМИ ПРИ ВОЗМУЩЕНИЯХ И ПОЛНОЙ
И НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ О СОСТОЯНИИ
Ключевые слова: скользящий режим, инвариантность к возмущениям, идентификация состояния и возмущений, качество процессов, малые энергетические затраты, регулируемые колебания.
Предлагается метод управления с заданным качеством переходных процессов на скользящих режимах с малыми энергетическими затратами в результате применения идентификатора состояния, дополненного номинальными возмущениями системы, в качестве идентификатора суммарного вектора неопределенных возмущений. С помощью данного идентификатора в виде модельной системы обеспечивается аналитически точная идентификация и компенсация суммарного вектора неопределенных ограниченных возмущений при полной и неполной информации о векторе состояния. Рассмотрен пример.
Keywords: the sliding mode, invariance to perturbations, identification of a status and perturbations, quality ofprocesses, small energetic expenses, adjustable oscillations.
The method of control with the given quality of transient phenomena on the sliding modes with small energetic expenses as a result of use of the identifier of the status added by rated perturbations of system as the identifier of a summary vector of indefinite perturbations is offered. By means of this identifier in the form of model system analytically exact identification and compensating of a summary vector of indefinite limited perturbations in case of complete and incomplete information about state vector is provided. An example is reviewed.
Постановка задачи
Рассматривается управляемая система при полной и неполной информации:
7 = (А0 + АА (/)) 7 + (В 0 + А В (/)) и +
+ (В о(/) + А В (0)( F (/о) + А К (0), (1)
х = К,
где 7 е Кп; t е I = ], гк А0((), В0 (О К - номинальные постоянные п х п, п х т , q х п - матрицы, 1 < q < п ; АА(0, АВ(/), АВ(/) и АК(/) - матрицы и I х 1 - столбец с неопределенными ограниченными параметрическими и внешними возмущениями, матрица В0 (/) и столбец К0 (/) имеют переменные номинальные (известные) элементы. При полной информации о состоянии имеем q = п и |к| ф 0 в частности, К = Е - п х п . В системе (1) выполняются известные условия инвариантности скользящих режимов к неопределенным АА(/), АВ^), АК(/) - и к номинальному В0(/)) возмущениям [1,2]:
АА() = В0ЛдА(г), АВ(/) = В0Лав (/), Б0^) = В0 Л(/), АВ(Г) = В0ЛАВ (/). (2)
За модельную систему, по которой за достаточно короткий промежуток времени с заданной точностью идентифицируется вектор состояния , принимается:
7 м = А0 7 м + В 0и + К ^ (х - К м) (3)
+ В 0(/) К0(/). где х = Кг . В данной системе слагаемое
КАZGT (х - Км) = КАzGT (К - Км) = (4) = К АzGTKАz
где КА и От имеют размеры п х т и т х q , обеспечивает возможность быстрого уменьшения отклоне-
ния Аг(/) вектора состояния 2^) от модельного вектора )
7(() = 7М(0 + Аг(?) (5)
в решении задачи нахождения векторного управления и в объединенной системе (1), (3), преобразованной к системе в координатах Аг и не содержащей в скользящем режиме в силу условия (2) номинальных и неопределенных возмущений.
Задача. 1. Найти (п - т) - мерное многообразие скольжения
5 (5 = Схш () = 0)) (6)
формируемое как одно общее для исходной (1) и модельной (3) систем с учетом вектора отклонений Ах^), с заданным качеством процессов управления в их скользящих режимах.
2. Найти разрывные, непрерывные и гибридные векторные управления и , приводящие исходную (1) и модельную (3) системы в скользящий режим на многообразии 5 (6) с регулируемой частотой установившихся колебаний управления и малыми его энергетическими затратами. 3. Показать, что модельная система (3) является одновременно не только идентификатором состояния, но и идентификатором неопределенных возмущений в объеме необходимом и достаточном для формирования перечисленных векторных управлений по модельной системе, приводящих систему в скользящий режим инвариантный к возмущениям с малыми энергетическими затратами и регулируемыми колебаниями.
Синтез многообразия скольжения по заданным показателям качества
Для возможности применения методики вывода уравнений скользящего режима в координатах
вектора 7 (?) сначала осуществляется переход от системы (1) к системе в координатах векторов 7м(0, Лг(/), затем совершается обратный переход к вектору 7(0 и к Д7(?) .
В координатах векторов 7м(0 и Дг(/) исходная система (1) запишется:
¿м = (А0 + ДД(? ))(7М + Д7) +
+ (В0 + ДВ(0)и + (7)
+ (А, + ДА(? ))(^)(?) + Д^ (?)) -Д7, где для вектора Д7 ниже находится своя подсистема.
Применяя метод эквивалентного управления [2], получаем согласно его условию 5 = С7м ) = 0 эквивалентное управление и = иэкв :
и=иэкв=-(Е+ЛдВ(?))-1(СВ))-1[С(4) +
+ДД0)(7м+Д)+С(А) +ДО(0Ш0 + (8)
+Д^(0)-СД].
Система скользящего режима на многообразии £ (6) в результате подстановки в систему (7) управления и = иэкв (8) с учетом условий инвариантности (2) запишется:
7м = Л(7м + Дг) - Во(СВ))-1 СА)(7м + + Дг) - (Е - В0 (СВ0)-1 С) Д.
(9)
(10)
где вектор 7м принадлежит многообразию £ (6). В исходных координатах 7, Дг получаем систему скользящего режима инвариантную к возмущениям ДА, ДВ, ДА, Д^ и
7 = (Е - В0(СВ0)-1 С)А07 + + В 0(СВ 0)-1 С Д 7. Система скользящего режима на многообразии £ (6) для модельной системы (3) согласно приведенному методу с эквивалентным управлением
и = иэКВ = -(СВ0)-1 (СД7м + СКдгОгК(7 - 7м) + СА0Е) запишется:
¿м = (Е -В0(СВ0)-1С)(А07м + К^КД), (11) где вектор 7м принадлежит многообразию £ (6).
Вычитая систему (11) из системы (10) получаем систему для отклонений Д(/):
Д7 = (Ас - Кд^К)Д. (12)
Таким образом, замкнутая система скользящего режима (10), (12) в исходной системе (1) в координатах векторов 7, Д запишется в виде:
7 = (Е - В0(СВ0)-1С) А 7 +
+ В0(СВ0)-1С(А - К^К)Д7, Д7 = (Л - Кд^К)Д7.
(13)
Для окончательного вывода уравнений скользящего режима на многообразии £ (6) исключаем в первой
2
подсистеме
1Т
субвектор
вектора
7м = (7м1Т , 7м2Т )т . Согласно условию (6) имеем:
5 = С7м = С17м + С2 7м = 0
м м м
где
С1, С2
и 7м
имеют размерности
т х (п - т), да х да и (п - да) х 1, да х 1. С указанной целью предварительно переходим в первой подсистеме (13) в координаты вектора 7м. Получим систему:
7м = (Е - В0 (СВ0)-1С)( А0 7м + + К ^КД),
А = (- К^К)Д7.
(15)
Используя в первой подсистеме в (15) в силу (14) субвектор
7м =-(С ^С^м (16)
и отбрасывая, как обращающиеся в тождество последние т уравнений, получаем систему:
7!,
= (Е -В01(СВ0)-1С)[(А0 -
- А0(С 2)-1С1)7м + КД7^КА7],
Д7 = (А - К^К)Д7.
(17)
Перейдем в координаты 71, Д7. Учтем, что выражение КД7агКА7 в системе (17) может быть
представлено в виде:
А
к^КД =
КД71ат К1Д71 + К К2 д
Г г-2л_2 Л
Д211-
V КД7 2агК 1Д71 + Кдг 2агК 2Д72
(18)
где субматрицы КД71 и КА 2 п х т - матрицы КА имеют размерности (п - т) х т и т х т , а субматрицы К1 и К2 # х п - матрицы К размерности q х (п - т) и q х т , являясь первыми п - т и последними т ее столбцами. Получаем систему:
71 -Д71 = (Е -Bс1(CBс)-1СЖД1 -
- А02(С2)-1С1)(71 -Д71) + К^КД] Д71 = (А,11 - КД^К 1)Д71 + + (А,12 - Кд^К2)Д72, Д72 = (Л,21 - Кдг2бГК 1)Д71 + (А0,22 - Кдг2бГК2)Д2, где Д1 и Д/ - первые п - т и последние т столб-
(19)
1 2
цов матрицы Д); Д = (Д, Д )
Д 1 -Д0 -
Г А Л Д0,21
^ Д Л
1 о
0,22
Д
- субматрицы
матрицы , Д011 - (п - т) х (п - т), у = 1,2; и В01 - первые п - т строк единичной п х п -матрицы Е и п х т - матрицы В0.
С учетом выражения Д71 из второй подсистемы в (19) получаем систему (2п - т) - го порядка:
71 = (Ец -В0!(СВ0) 1 С)[(Д1 - Д02(С2)-1С1]71 -
-{(Е1 - Вш(СВ0)-1С) х[(431 - 402(С2)-1С1)Дг1 -
2
7
м
2
0
м
-К^Ш] - (А0,11 - КА^К1^1 --(Аэ,12 - Ка^К 2)Аz2},
(20)
А71 = (А„ -КаЛОтК 1)А71 + (Аел2 -К^ОТК2)А72
А72 = (Ае,21 - КЬх2ОтК 1)А71 + (А^ - КЬх2ОтК2)А72.
Субвектор 7 к системе (20) находится при поста-
новке в (16) выражений и ¿M через 71, 72 и А71
А72 :
7 2 = -(С 2)-1 С171 + (С 2)-1С1А71 +А7 2 (21)
Группируя А71 и А?2 в первой подсистеме (20), замкнутую систему (20), (21) скользящего режима в исходной системе (9) на многообразии 5 (6) можно записать в виде:
71 = (Е -В01(СВ0)-1С)(А01 -А02(С2)-1С1)71 + + [-(Е -В01(СВэ)-1С) х (А01 -А02(С2)-1С1) + + (Еп-т -В^СЗ^С1)^7*1 -
(22)
- В01(СВэ)-1С2КА^тК1 + А011 - Кд^К1]^1 +
+ [(Еп-т -В01(СВ0)АС1КАг^ТК2 --В01(СВ0У1С2КА220ТК2 + А,12 -К^К2]А72, А71 = (А,11 -К^К1)^1 + (А0,12 -К^ТК2)А2,
А2 = (А,21 -К^К1)^ + (А0,22 -К^ТК2)А72,
72 =-(С2)-1С171 + (С2)-1^1 + А2,
где Еп-т - единичная (п - т) х (п - т) - матрица.
Замечание. К таким же системам и выражениям (19) - (22) приходим и в случаях вычитания из системы скользящего режима исходной системы (получаемой из системы (10) сразу с учетом равенства (16) в
силу 5 = С7м = С1 ¿м + С2¿M = 0 (6), (14)) системы скользящего режима модельной системы, получаемой из системы (11) с учетом того же равенства (16).
Характеристическое уравнение системы скользящего режима (22) запишется:
| (Е1 - В01 (СВ0)-1 С)[А01 - А02(С2)-1 С1] -- Л1 Е | х | (А0Т - КТОКА7т ) - Л2Е |= 0,
(23)
или в результате раскрытия выражения первого определителя - полинома, в виде:
I [(Еп-т - В01 (СВ0)-1 С1)(А011 - А0,12(С2)-1 С1) -
- В01 (СВ0)-1 С2 х (А0,21 - А0,22(С2)-1 С1)] - (24)
- Л1Е I х I (А0Т - КТОКА7Т ) - Л2Е |= 0.
Матрица С = (С1, С2) в первом определителе находится как решение системы [3]
(А0 + В0 Кэ )ТСТ = 0 (25)
где предварительно для системы
7 = А0 7 + В0 Кэ7 по заданным корням Л1 (п - т ) корней Л1,...,Ап-т с отрицательной вещественной частью и т корней Хп-т+1,..,Хп с нулевыми значениями) находит-
ся т х п - матрица Кэ по одному из известных методо в мо дально го управления [4, с. 253, 5].
Возможно применение метода синтеза матрицы С, основанного на предварительном приведении исходной системы (1) к регулярной форме, для которой выполняется условие равенства нулю (п - т) х т - субматрицы В01 входа в систему управления [6, 7].
Матрица К^ размером т х п находится аналогично по заданному распределению корней 2
Л : Л1,.., Лп полинома
| (АТ -К^К£) -Л2ЕI, КА =' ^
КА
КА71 - (п - т) х т, КА71 - т х т.
КА = = КА/2)
(26)
Пара (АТ,-KTG) предполагается полностью управляемой с рангом матрицы управляемости
У = (- KTG, АТ (-KTG),...,(A0T)n-1(-KTG)) равным п .
Таким образом, при соответствующем задании корней Л2 полинома (26) изображающая точка (и.т.) исходной системы (1) с управлением и равным управлению и в модельной системе (3) сначала в процессе попадания на 5 (6) , а затем в скользящем режиме, представленном системой (22), достаточно быстро и качественно приводится асимптотически в скользящий режим модельной системы на многообразии 5 (6), представленный уравнениями:
¿м = [(Еп-т - В01 (СВ0 )-1 С1)(А,11 -
- Ал2(С 2)-1 С1) - В01 (СВ0)-1 С 2(А0,21 - (27)
- А022 (С2)-1 с 1)]7м, 7м =-(С 2)С17м,
в которых учтено, что за достаточно малый интервал (?0,/], t <, выполняется А7(?) « 0 .
При определении соответствующим образом
корней л1 первого полинома в (24) получаем заданное качество скользящего режима со свойством инвариантности и, следовательно, астатизма к неопределенным возмущениям.
Синтез разрывного векторного управления, приводящего исходную и модельную системы в скользящий режим
Для синтеза управления представим исходную систему (1) в координатах векторов 7ми А. С учетом 7 ) = ) + А7 ) (6) получаем систему:
¿м = (А0 + АА(?))(7 м + А7) + (В0 + АВ ))и +
(28)
+ (В0 + АВ))(К0 + АК)) -А7.
Найдем А7, вычитая из исходной системы (28) модельную систему (3):
А0 А7 + АА( + А7) + АВи +
Т (29)
+ В0 АК + АВ(К, + АК) - К(х - Км).
(30)
Так как согласно (29) в процессе приведения в скользящий режим на многообразие £ (6) выражение Д7 + А4(0)(7м + Д7) + ДВ(0и + + А0 ДР (?) + ДА(0)(Р + ДР (0) - Д7 в исходной системе (1), (7) равно выражению КД7Ст (х - К7м)в модельной системе (3)
7м = Д07м + В0и + КД7°Г(х - Км) +
+ А 0( /) ) при полном совпадении всех остальных слагаемых в обеих частях уравнений, то приходим к важным для практического применения выводам (к гипотезе): 1) модель (3), являющаяся в скользящем режиме идентификатором состояния, в процессе попадания и.т. исходной системы на многообразие £ (6) является идентификатором приведенного (суммарного) вектора неопределенных возмущений; 2) управление и в системе с идентификатором на скользящем режиме при неопределенности можно находить как по исходной системе (28), так и по модельной системе (3), (30). (Далее гипотеза обосновывается, а также проверяется на численном примере системы управления).
Ограничимся рассмотрением синтеза управления по модельной системе, так как при определении управления по исходной системе применяется метод преодоления (превышения) ограниченных неопределенных возмущений, тогда как они могут в силу своей неопределенности и содействовать приведению в скольжение, что приводит к неоправданным затратам энергии, особенно при больших предельных значениях неопределенностей. Кроме того, не требуется повышенной нагрузки на компьютер при цифровой реализации такого управления по возмущению со сравнительно большим числом логических переключающих устройств и самих переключений на скользящем режиме.
Метод синтеза разрывного управления по модельной системе
Рассмотрим метод нахождения управления и в исходной системе по модельной системе (3), к которой приводится исходная система (28) после подстановки в нее выражения производной Д7 (29):
(31)
7м = Д07м + В0и + КД7° (х - Км) +
+ ад) )
Данная система является номинальной (без не определенностей) с известными вектором 7м и матрицами Д0,В0,КД7, От, К, А0(?) и столбцом Р0(/) .
Применяя в данной системе (31) методы работ [8 9] , задаем производную 5 = равной выражению
5 = = + - 8 57£п 5
и с учетом равенства
(32)
5 = 50 = С7м = СД 07м + СВ 0и +
+ СА0р + СК Д(х - ) в силу системы (31) получаем в результате приравнивания выражений для 5 номинальное разрывное
управление:
и = и0 = (СВ0)-1(КуУ + -
-8^5 - СД07м - СК (х - Км) - (33)
- СА 0 (?)^0(/)),
где в формировании векторов функций переключения 5 и у применяется только вектор 7м,
К у = К+ < 0при > 0,
ка = К- > 0 пРи < 0 К = di«g{кs1,..., Кт} К+ < 0 при > 0, К- < 0 при < 0;
8 = ¿¿оуй,..,8т}, 8' > 0, у = 1,т.
Данное управление (33) приводит в скольжение не только модельную (3), но и исходную (1) систему, так как выражение КД7Ст (х - К7м) в модельной системе (31) согласно соотношению (29) равно выражению
AсДz + А4(/))(7м + А7) + ДВ(/)и + + А0 ДР (?) + ДА(ОХЕ) + ДР (?)) - Д в исходной системе (1), (7) при равенстве всех остальных слагаемых в правых и левых частях в обеих системах.
Самым важным преимуществом метода является то, что слагаемое СКД7От (х - К7м) в управлении и = и0 (33) несет в себе всю необходимую для построения номинального управления (без формирования управления преодолевающего предельные значения неопределенных возмущений) информацию о приведенном векторе неопределенных возмущений
й(/) = СД Д7 + СДД7м + СДДД7 + СДВи0 + САВиД +
+ СА0 Д^ + СДАр + СДААР - СД7
так как
СК Д7Ст (х - К7м) = А(/)
(34)
и, следовательно, является, точным идентификатором всех неопределенных возмущений. В результате равенства (34), или равенства в модели (3)
КД7Ст (х - К7м) = Д7 + ДД7м + АД А +
+ ДВи0 +ДВиД + А0АР + ДА^0 + ДА АР-Д7, модель (3) является не только идентификатором состояния, но и одновременно идентификатором суммы всех неопределенных возмущений, необходимых для компенсации их действия. Последнее позволяет уменьшить энергетические затраты на управление, причем без формирования специального идентификатора неопределенных возмущений, что также повышает эффективность синтезированного управления (33).
Приведенные данные являются обоснованием выдвинутой в начале данного раздела гипотезы о возможности применения в исходной системе (1) на скользящих режимах при неопределенных возмущениях управления, формируемого по модели-идентификатору (3).
Следует отметить, что энергетические затраты на управление (33) будут существенно уменьшаться и при обращении значений коэффициентов /с ■ и Sj в
нулевые в малой окрестности многообразия скольжения |sj| < Aüj, j = 1, m, так как их переключения при
больших значениях приводят к прошиванию гиперплоскостей скольжения с увеличением площадей под модулями функций составляющих векторного управления (площади которых, умноженные на коэффициенты размерностей, являются в сумме за время переходного процесса оценкой энергетических затрат). Кроме того, в получаемом указанным способом гибридном управлении задание непрерывными переменными всех параметров к^ < 0, j = 1, m, в указанной малой окрестности многообразия скольжения обеспечивает регулирование установившихся параметров колебаний управления, что важно при негативном воздействии на звенья системы определенных частот и амплитуд [10, с.130]. Так как действие неопределенных возмущений полностью компенсируется, то неприемлемые установившиеся колебания управления могут быть вызваны только действием составляющих
(CBо)-1(Kss - CAоzM - CDo(t)F0(t)) самого управления (33), если n - m корней \,..,Xn-m при определении матрицы C по системе уравнений (25) задавать с большой мнимой частью. Метод устранения таких установившихся колебаний путем уменьшения их амплитуды до требуемых малых значений, получен в работе [11].
Численный пример на синтез управления с идентификатором (моделью) при неопределенных возмущениях
Исходные данные
Рассматривается исходная система (1) второго порядка:
z1 = Z2,
¿2 = ( «021 + А ОЛ (t) ) Z1 + +( а022 + Aa(t) ) z2 +
+(¿02 + А ъ2 (t))u +(d02 + Ad2 (t)) (3 5) (F (t) + AF (t)), где измеряется только одна координата, ¿1:
x = kz, z = (z1;z2)T, K = (1,0). (36)
Пусть, например, номинальные параметры равны:
а021 = 1 , а022 = 2 ¿02 = 3, d02 = 4. (37) Неопределенные ограниченные параметрические возмущения при моделировании в системе программирования Матлаб положим, например, не превышающими по модулю 20% от номинала и равными: Аа21 (t) = 0,2 а021 sin 4Ш; Аа22 (t) = 0,2 а022 cos Ш ; АЪ2 (t) = 0,2Ъ02 sin2^í ; Ab2(t) = 0,2 d02. (38)
Внешние номинальные и неопределенные возмущения полагаем, например, равными F0(t) = sin4^í;
AF(t) = 0,2max|F0(t)|cos10^í. (39)
За модель (идентификатор) (3) согласно методу применяем систему:
= z
м2
+ GKAzl(z1 -
Zм2 = а021 zм1 + а002 zм2 + Ъ02и +
(40)
+ GKAz2 (z1 + Zм1) + d02F0(t), где полагаем G = 1.
Для нахождения коэффициентов матрицы
KA
KAz =
Az1
K
Az 2
в подсистеме для отклонений (12)
(находимой для скользящего режима)
А71 =-GKА¿lА¿l +А72,
^2 = (а021 - ОК2)А71 + а022А2 . (41) рассмотрим характеристические уравнения системы (41) с учетом О = 1:
- K Az1 - ¿
1
а021 K Az 2 а022 ^
= Л2 +KKAz1 -а022 ) + (KAz2 - а<ш) = 0. (42)
Потребуем, чтобы отклонения |Az¿ (t)| уменьшались от 100% до 5% за tnn = 0,05 c. Тогда minRelJ = (3 ^ 5)/0,05.
(45)
(46)
Полагаем
^ = Л2 =-100. Тогда по формулам Виета
к А71 - ^022 = -(А + А) = 200,
ка2 - ^021 = Мг = 10000. Следовательно,
КА71 = -(^-1^2) + а022 ; КА72 = АА + а021. (47)
Рассмотрим систему скользящего режима в модельной системе (40). Получаем для исследуемого примера
¿м1 = -(с1 / с2)¿м1 - KА¿1ОА¿1,
м2
= -(c1/ c2) Zм1.
(48)
Решение
Полагаем с2 = 1, а с1 находим из условия, что время переходного процесса в скользящем режиме ?пп ск не должно превышать 0,85 с из полного времени переходного процесса ?пп = 1с
t„„ - 0,15 = 0,85 c
(49)
откуда с1 = 3,52. Полагаем: с1 = 3,5. В задании ?ппск согласно (49) учтено, что время на попадание и.т. на прямую скольжения
5 (5 = С^ + ¿M2 = 0) (50)
не будет превышать 0,1 с (вместе со временем уменьшения |А7г- )| от 100% до 5% за ?пп = 0,05 с получаем, что на скользящий режим ?ппск должно оставаться время ?пп - 0,15 = 0,85 с). Для этого достаточно в необходимом условии существования скользящего режима (32) положить к* и 8 малыми по модулю, тогда
5 — К, 5 , К — К — К < 0 , и [ находим из условия:
'п = 0,1 =-
тт к.
откуда следует, что
к, 1 = -30 .
(51)
Коэффициенты к+ и ку полагаем согласно требованию в (33) равными, например:
к+ = -10 , К- = +10.
(52)
Коэффициент 8 положим равным, например, 8 = 1.
Начальные условия в исходной (35) и модельной (40) системах задаются различными, чтобы убедиться в сходимости процессов исходной системы к процессам модельной в условиях постоянного воздействия всего полного спектра неопределенных и номинальных возмущений
(Да21, Да22('), ДЬ2(0, Дй2('), ДР(') и )):
71 (?0 ) = 1; 72(?0) = 0;
7м1 ('0) = 0,5; 7м2(?0) = 0,5. Разрывное управление и (33), находимое по модельной системе (40), запишется:
'0 = 0; '0 = 0;
(53)
"02
К-- + с Д07м -
- стКДгО(х - К7м) - 0
= Т" [К-- + К55"^г-"5"(а0217м1 + (с1 + а022)7м2) - (54) Ь02
- С(с!КД7! + КД72 )(71 - 7м1 ) - й02 Е(')]-
За функцию переключения я принимается:
- = й^м! + й 2 7м2, ^ = 1, й 2 = 0, (55) то есть Я = 7м1.
Результаты моделирования системы управления в системе программирования Матлаб.
Результаты моделирования систем (35), (40) с
управлением (54) при коэффициентах к+ , ку , к, 1,
заданных в (51), (52) и при неопределенных и номинальных возмущениях, принятых, например, равными (38), (39), показаны на рис. 1-7.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Рис. 1 - Процесс приведения системы в скользящий режим по функции переключений, соответствующей прямой скольжения
Рис. 2 - Процессы по первой координате в исходной и модельной системах
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
t
Рис. 3 - Процессы по второй координате в исходной и модельной системах
Рис. 4 - Фазовый портрет исходной системы с завершающей прямой скользящего режима, имеющей тот же наклон, что и в модельной системе
Из приведенных рисунков следует, что процессы в модельной и исходной системе за 0,1 с при неполной информации о состоянии (не измеряется координата 72 и отличаются начальные условия (53) в исходной и модельной системах) практически совпадают.
Заключение
Таким образом, разработан метод синтеза векторных управлений со скользящим режимом заданного качества при неопределенных возмущениях и неполной и полной информации о состоянии системы.
С данной целью получены: 1) модель исходной системы (идентификатор), учитывающей действие номинальных внешних возмущений и номинальные матрицы объекта управления с выходным вектором исходной системы; 2) дан вывод системы скользящего режима (в координатах исходной си-
3
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
5
0
5
15
-20
0
5
1
и =
-15
-20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 2 1
2.5
1.5
0.5
стемы и их отклонений от модельных) по многообразию, формируемому в координатах модельной системы, и впервые показано сохранение свойства инвариантности такого скользящего режима ко всем неопределенным возмущениям; 3) показано, что система скользящего режима может быть получена при учете принадлежности вектора состояния модельной системы указанному многообразию двумя способами: с переходом в координаты исходной системы и отклонений от модельных как до учета указанной принадлежности многообразию скольжения, так и после такого учета для исходной и модельной системы в отдельности; 4) даны методы уменьшения отклонений исходных координат от модельных и синтеза многообразия скольжения по заданным показателям качества переходных процессов (по заданному распределению корней характеристических уравнений, основанные на известных и ранее полученных методах нахождения матриц управления и многообразия скольжения); 5) сравнительно простой по реализации метод построения разрывного векторного управления по модельной системе, использующий информацию только о векторе состояния модельной системы и векторе выходных координат исходной системы, приводящий модельную и исходную систему в скользящий режим на заданном многообразии скольжения; 6) аналитическое и численное обоснование впервые выдвинутой гипотезы о том, что модель-идентификатор состояния на скользящих режимах при неопределенности является в процессе попадания и.т. системы на многообразие скольжения идентификатором и приведенного вектора неопределенных возмущений, необходимого и достаточного для формирования эффективного векторного разрывного управления по модельной системе; 7) расчетные данные по численному примеру, полностью согласующиеся с приведенными результатами; полученные результаты найдут применение в повышении надежности систем управления при любом сочетании отказов датчиков состояния (исключая случай отказа сразу всех) за счет заблаговременного введения в бортовой компьютер алгоритмов управления для каждого сочетания отказов.
Публикация осуществлена при финансовой
поддержке РФФИ и Правительства Республики
Татарстан в рамках научного проекта № 15-4802101.
Литература
1. Drazenovic B. The invariance condition in variable structure systems // Automatica. 1969. Vol. 5, № 3. P. 287295.
2. Уткин В. И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. - М.: Наука, 1974,272 с.
3. Мещанов А.С. Методы построения разрывных управлений и поверхностей переключения в многомерных системах. Изв. вузов. Авиационная техника, 1981, № 2, С.39-44.
4. Андреев Ю.Н. Управление конечно-мерными линейными объектами. М.: Наука, 1976, -424с. 5. Sinswat V., Fallside F. Eigenvalue/eigenvector assignment by state-feedback, Int.J. Control, 1977, vol. 26, № 3, p. 389-403.
6. Лукьянов А.Г. Уткин В.И. Методы сведения уравнения динамических систем к регулярной форме. Автоматика и телемеханика, 1981 г., № 4, С. 5-13.
7. Мещанов А.С. Синтез многоуровневых векторных управлений для скользящего режима заданного порядка. Вестник КГТУ им.А.Н. Туполева. 2007, № 4, С. 47-51.
8. Мещанов А.С. О приведении в скользящий режим многомерных разрывных систем с нелинейным нестационарным объектом// Устойчивость движения. Новосибирск: Наука. 1985.С.230-234. 9. Мещанов А.С. Уравнения скольжения на подвижных многообразиях и синтез векторных управлений для нелинейных объектов при неопределенных возмущениях. Вестник КГТУ им.А.Н. Туполева. 2008, № 2, С. 51-56.
10. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи: управление при неопределенности.- М.: Наука. Физматлит, 1997.-352 с.
11. А.С. Мещанов. Регулирование колебаний на скользящих режимах для нелинейных объектов. XII Всероссийское совещание по проблемам управления. ВСПУ-2014. Москва, 16-19 июня 2014 г. Труды. [Электронный ресурс] М.: Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН. 2014. С. 564577.
© А. С. Мещанов, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, профессор кафедры автоматики и управления Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева-КАИ, mas41@list.ru; С. О. Богданов, аспирант кафедры автоматики и управления Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева-КАИ, mrc.bogdanov@yandex.ru.
© A. S. Meshchanov, candidate of Science, senior staff scientist, professor of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, city of Kazan, Russian Federation. mas41@list.ru; S. O. Bogdanov, graduate student of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, city of Kazan, Russian Federation, mrc.bogdanov@yandex.ru.
