К построению многообразий скольжения и управления при невыполнении условий инвариантности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5.01:658.5

А. С. Мещанов, А. Ф. Султанова

К ПОСТРОЕНИЮ МНОГООБРАЗИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ ПРИ НЕВЫПОЛНЕНИИ УСЛОВИЙ ИНВАРИАНТНОСТИ

Ключевые слова: скользящий режим, возмущения, невыполнение инвариантности, качество.

Развиваются методы синтеза подвижных многообразий скольжения и разрывного векторного управления для приведения систем с линейными стационарными (в номинальном варианте) объектами в скользящий режим при невыполнении известных условий инвариантности системы скользящего режима к номинальным и неопределенным ограниченным возмущениям. Обеспечивается высокое качество переходных процессов по координатам вектора состояния и малые и минимальные энергетические затраты на управление. В силу существенного отличия разрабатываемых методов синтеза в зависимости от размерностей системы и ее управления в докладе излагается новый метод, получаемый для случая равенства размерности вектора состояния системы удвоенной размерности вектора управления.

Keywords: sliding mode, disturbances, non-compliance invariance, quality.

Develop methods for the synthesis of moving varieties slip and discontinuous vector control to bring the systems with linear stationary (in nominal form) objects in sliding mode with non-compliance of certain conditions invariance of the sliding mode system to nominal and uncertain limited disturbances. It provides high quality of transients in the coordinates of the state vector and small and minimum energy costs of transient control. Due to significant differences between the developed synthesis methods, depending on the dimensions of the system and its control, the report sets out a new method derived for the case of equity dimension of the state vector system of the double dimension of the vector control.

Введение

При невыполнении условий инвариантности скользящих режимов к вектору возмущений его аналитически точная компенсация по всем составляющим становится невозможной. Это приводит к ошибкам управления, а их уменьшение путем увеличения коэффициентов передачи приводит к выходу управления за допустимые ограничения и, следовательно, к необходимости разработки других методов управления в обеспечении устойчивости и заданного качества переходных процессов. Один из путей решения данной задачи заключается в формировании подвижного многообразия скольжения в общем случае не проходящего через начало координат. На этой основе был получен вариант формирования многообразия скольжения с требуемым качеством переходных процессов системы скользящего режима с исключенным субвектором координат с размерностью вектора управления [1]. В этой связи предлагаются новые методы формирования подвижных и достаточно быстро изменяющихся многообразий скольжения и управления с обеспечением устойчивости и требуемых показателей качества переходных процессов по всем координатам вектора состояния с одновременно малыми и минимальными энергетическими затратами на управление при постоянном воздействии номинальных и неопределенных ограниченных внешних и параметрических возмущений.

Постановка задачи

Рассматривается управляемая система

х = А ({ X + В~ ({ у + ЁУ (( р (Л , (1)

где

АО=А°+М() , В О=£0+Л£<) ,о О=Ц,+Л0<) , Р 9 )=Р0 ( )+ЛГ Ч \ t е I = tk ] , tk ,

и = рь..., ит] — векторное управление; а0, в°, ¿7° и

( ) - номинальные (известные) постоянные пх п, пх т, пх / - матрицы и номинальный l х 1 — вектор переменных ограниченных внешних возмущений; ЛА Ц ) , Л ¥ Ч ) , Л 1э Ц ) и Л Г )-матрицы параметрических и вектор внешних переменных ограниченных возмущений. Предполагается, что условия инвариантности системы (1) к перечисленным номинальным и неопределенным возмущениям в скользящем режиме на подвижном ( п — m ) - мерном многообразии

_ 5$= Ч=С (Х = 0) , (2)

где с хп — матрица переменных коэффици-

ентов, 5, = С/Х — функции переключений, С/= (^.....с^ У'-е строки матрицы С, / = \т , не выполняются. Выполнение условий инвариантности означает, что столбцы матриц лХ? ) , лЖ $ ) , й°, л¥ $ ) линейно зависимы со столбцами номинальной матрицы входа управления В° [2,3].

Задача: Синтезировать подвижное многообразие 5 и разрывное векторное управление u , приводящее систему (1) в скользящий режим на данном многообразии (2), с обеспечением требуемого качества переходных процессов при невыполнении условий инвариантности скользящих режимов к возмущениям в данной системе в случае п = 2т .

Преобразование системы уравнений к регулярной форме

Для упрощения решения задачи предлагается предварительно перейти от системы (1) к системе регулярной формы [4] , то есть к системе не содер-

жащеи управления в первых п — m уравнениях в номинальной (без неопределенных возмущений) ее части. С этой целью предлагается в системе (1) произвести неособенное преобразование координат [5]:

— р — ту р — т ) ; (3)

Г М.. М„ г = Мх,М = \ 11 12 |,МЛ. I М. М7

м?.

Е — т у т\ М. = 0 — тхр — т) , Мг_

-ВслВ™

в котором Вт и В0 являются р — тут и тут - субматрицами /7 у т - матрицы

в=(В 1,|В02|* 0.

Как и любое другое преобразование с неособенной матрицей M преобразование (3) не приводит к потере свойства инвариантности системы (1) [5]. Преобразованные система (1) и многообразие £ (2) запишутся

¿т = Л + + 0 ЧГЧ), (4) 5^= =С(* = 0), (5)

где

°УМА 1 =Л> + А4{) . В(уМВ ()=В0 +АВ() ,

в =

' Вп

,В,

ф — т )х т и тут - субматрицы Д

01

02,

и в02= в02 являются соответственно нулевой и не-

особенной,

в

02

* 0,

О {)= МО [)=О0 + АО

Матрица с (Г )= с имеет размеры т х п,

задается в общем случае с переменными коэффициентами и соответствует подвижному многообразию (5).

Уравнения скользящего режима в системе регулярной формы

Запишем систему (4) с приведением всех неопределенных возмущений к одному суммарному вектору с ограниченными составляющими

£ = А0 г + В0 и + Б0 Р0(г) + Н( г, г), (6)

где

Н (г, г) = (Н1,..., Нп)Т = Л А (г) х + Л В (г) и + + Л Б (г)(г) + Л Р (г)) + Б 0 Л Р (г). Для вывода уравнений скользящего режима применим метод эквивалентного управления [3]. Разложим в многообразии (5) и в системе (6) столбцы г и Н и матрицы с <( ), А°°, В0 ,00 на

субвекторы

субматрицы

z1 — р — т )х 1, л =

с С )= Р1 О , с -4и1 А)02

Г „Л

/71 — р — т ,

С - тх<р — т),

А =

=

£>п

вп

о ... 01

Оп

о ... о

От — (п — т )х/ .

=0 — р — т у т,

Полагая С2 = Е тут и учитывая

£0 =0 — р — т у т , получаем систему скользящего режима на подвижном многообразии (5)

г = А0 г — В0 В0—21 (СА 0 г + СБ 0 ^ (г) +

+ СН (г,г) + С1 г1) + Б0Р0(г) + Н(г,г).

(7)

Исключая в данной системе субвектор г , принимающий на скользящем режиме в силу условия (5) выражение

г 2 =— С 1(г) г1, (8)

приходим после отбрасывания обращающихся в тождество последних т уравнений к системе

= л,™*1 -о^с1 (/ у' + н ь (9)

в которой н £V )= ( }+Л1 ; и в субвекторе Н1(г1,г) = Н1(г,г) учтено выражение (8) и равенство

Г г, 1 Г Е 1

г =

г

V 2 у

— С )

г1.

Синтез многообразия скольжения при отсутствии возмущений

В системе (9) р — т у т — матрица /от. , принимается за матрицу входа управления

и с = С 1 г1. (10)

В отличие от исходного управления и , ис является управлением скольжением. В случае отсутствия возмущений н ) в системе (9) т х (р — т у матрица С1 многообразия скольжения 5 (5) принимается постоянной С1 = С10пз1 и находится по заданному качеству переходных процессов методом модального управления [6].

Синтез многообразия скольжения при возмущениях

Рассматривается в двух случаях действия возмущений.

1) При действии только номинальных внешних возмущений Б 01 Р0(г) матрицу с1 (( ) в управлении

скольжением ^ (10) предлагается формировать в виде суммы

С Ч г) = С Ч г, г '(г)) = С^ + С Б 01,0 (г, г Ч г)) , (11) где матрица С Б т р0 (г, г1 (г)) задается в виде:

С'(г, г\г )) = А^х

Б01,1р0(г ^ г1 ап т|Б01 ,п т р0(г)/|гп т|}.

(12)

Постоянные или переменные а,- > 0 определяют, как и субматрица С10П31 , степень затухания координат субвектора z1 (/ )в скользящем режиме, о^ — строки матри1^^^ о° ,/' = \п - т .

Многообразие скольжения 5 (5), управление скольжением^ ис (10)-(12) и система скользящего режима (9) примут вид:

и

S (s = C(t)z = C1(t)z1 + C2z2 = = (CLst + C\lPo(t, z1(t)))z1 + z2 =

= ClonS,zl + A—u x ( D0lip0(t)\ x

I I \T 2

X signzi,...,an_m\Doi,n-mP)(t)|SiSnzn-m ) + z = 0)

Uc ="C1(t)z1 =-(Clns, + CD01P0(t=z1(t))) z1 =

= "( Clnstz1 + Л-12( Ol\D01,1P0(t)signzi,...,an-m X

X\ D01, n-mP0 (t)| Signzn-m ) ) , ^ = 2 С const +iPo 1,p0 ( У

~a-\D0VF0 ф/^/7^.....

(13)

(14)

(15)

-an-Jpa\n-mFa (\p/gnzn_m)T.

При a, > 1 и sign Zj ? О в данной системе (15) дополнительно к устойчивости и качеству процессов системы

z = (A011 - A012 Cconst ) z

выполняются также условия

(0 01 jFot a,fimjF0 (t \sgr z, )< 0 , i = \n-m , убыстряющие затухание координат zt. Возможны попутные области скользящих режимов на координатных плоскостях z,- = 0 ; настройкой параметров a > 1 обеспечиваются подходящие свойства процессов при выполнении или невыполнении известных необходимых и достаточных условий существования таких режимов:

lim j < 0, iim z , > 0, i = \п - т . (16)

z ,■ — + 0 z j —> — 0

Субвектор z2 = {z-_m + b..., zn] системы (7) находится в скользящем режиме на многообразии S (13) в виде:

= -- 1 ( a! 1^01,1^0 tfiffi zb -

• ••, u n- m \u01,/7- m

При

(о.....of имеем:

sign Zj — 0 , /' = \n — m , и z2 — p.....0 j .

Известную сигнатуру (sign z,- = 1 при z,- > 0, sign z, = — 1 при z, < 0 и sign z, = 0 при Zj = 0 ) в случае необходимости подходящего изменения процессов предлагается заменить на непрерывную нелинейную функцию: fj (z,- ) = 1 при Zj > bj,

fj <£j )= -1 при Zj < -bj, (17)

fi (¿j) = (I /Л,- при Л,- > Zj > где линейная функция в третьем выражении может быть заменена на нелинейные:

/ (z,) = (1/ b2) z2 при 0 < z,. < b, / (z,.) = — (1/bl)z,2 при — b, < z, < 0;

(18)

либо

/ (z,) = (1/ b,) z, при b, > z, > —b,, i = 1, n — m. Так, например, при замене сигнатур signzt

i = 1, n — m , в выражениях субвектора z2 = (zn—m+1,..., zn)T через субвектор z1 на непре-

рывные функции (17), (18) близкие к трехпозицион-ному реле возможные скачкообразные отклонения

установившихся координат субвектора г2 от нулевых значений в обоих случаях действия возмущений, Б01Р0(г) и И(г\г) = В01Р0(г) + Ь\г\г), устраняются.

2) При действии номинальных в 01 ¥ 0 (г) и неопределённых и1 (г1, / ) возмущений матрицу С1 для системы (9) в управлении ис (10) предлагается формировать в виде суммы:

С1 = С '(г, г '(г)) = С\0Ш + (19)

+ С В01¥0 (г, г1(г)) + С, (г, г *(г)), где $ — т у $ — т ¡-матрицы z1 ( ) ) и

С^ ^^ ^ ) )имеют выражения (12) и

С\ (г, г 1( г)) =

п

= ^0112 diag {х-1 /|гl|,..., ^п — т !\гп — т |},

К, > тах 1/7/ I, /' = \ п-т . (21)

1 '

Многообразие скольжения 5 (13), управление (14) и система скользящего режима (15) примут вид:

£(5 = С (г) г = С1 г1 + С2г2 =

= (С1т, + С В,Л(г, г1(г)) +

+ С'(г,г1(г))) г1 + г2 = С1ош, г1 +

+ А0—112 ( «1 |A,1,Л(t)|•"gnгl,...

I I \Г

...,ап—т\В01,п—тР0Щ5ЩПгп—т ) +

+ Л—12(К1-Ч?П г1-...,Кп—т^П гп—т У + г 2 = 0)

ис = — С1 г1 = —(С1пг + С\Р0 (г, г1(г)) +

(20)

(22)

+ C\(t,z1(t))) z1 = —(Cl^z1 +

(23)

+ 4—12 (a1 |D0UF,(i )| sign

(t)|Slgnz^ )T + A0 112 (^stgn z1,...

...,Kn—mStgn zn—m )T ),

zr1 = (A011 — A012 C1o„st) z1 + (D01,1 F0(t) —

— a1 |D 01,1 p0(t)\s'gn Z1,..., (D01,n—mp0(t)— (24)

— anm\D 01,n—mp0(t )| sign z nm ) ^ + (k\z1, t ) —

— diag {к^..^ Kn—m z^

гдеaj > 1, i = 1, n — m,

1 T

sign z = (sign z1,..., sign zn—m)

diag {к1,..., Kn—m } sign z1 =

Т

= (К15ЩП гl,..., Кп — т5Щп гп — т ) .

Как и в первом случае возможны попутные скользящие режимы на координатных плоскостях г1 = 0 и настройкой параметров « > 1 и к, (21)

вместе с устойчивостью обеспечиваются подходящие свойства процессов при выполнении или невыполнении условий существования таких режимов. С дальнейшим увеличением значений« > 1 и к

скользящий режим начинается быстрей и на р — т у мерном многообразии z1 = о .

Управление скольжением (23) преодолевает (превышает) действия номинального и не-

определенного Л1 ; возмущений. Последнее может привести к неоправданно большим по модулю значениям составляющих произведения

так как предельные значения составляющих вектора Л1 (г1, / ) в неравенствах (21) могут без достаточно точной их идентификации оцениваться и приближенно. Данная неточность может привести к большим значениям > 0, / = \п — т , и, в конечном итоге, составляющих управления и в исходной системе (4) с их выводом на ограничения. В этой связи оправданным может оказаться в таких случаях идентификация и компенсация субвектора в самом скользящем режиме. Она может осуществляться как по исходной системе (4), так и по системе скользящего режима. Рассмотрим второй случай, для которого имеем систему (9)

г1 = А0П г1+ А0П ис + Н Ч г1, г), (25) где НЛ )= )+ Л1 /), управление сколь-

жением ис задается в виде:

ис = -С ° = - Сп + с'о О

(26)

Сад (t, z1 (t)) = A0-/2diag fa | D0llF0 (t)| /

\,-,an-J\D0l,n-mF0(t)y\Zn-m |}-

/| Zi|,...,

а субматрица C^ ( ) ) задается не в виде (20), а как выражение

Cli(t, z1(t)) = A-1 х

X diag{hi1/ Zl,..., hl m / zn_m }

(27)

За составляющие Л,-1, /' = \п — т , вектора = ^-т Г , принимаются в (27) состав-

ляющие, полученные в результате идентификации с одним малым шагом отставания (например, равным шагу интегрирования системы (25)) действительного вектора возмущений л1 = р^..., 1п1_т ] . Слагаемое z1 ^ ) )z1 управления скольжением ис (26) запишется:

СН1(г, г 1(г)) г1 = А—2 НН1. (28)

Система (25) с учетом выражений (26)-(28) принимает вид:

г1 = (А011 —А012 С1Ш )г1 + (Б01,1 р0(г) —

— а1 |Б01,1 р0(г)|^ гl,..., (Б01,п—тр0(г) —

- ап—т |Б01,п—тр0(г)|гп—т У + (НЧг1, гН1 ).

(29)

Методы идентификации неопределенных возмущений

По первому методу идентификации вектора /?1 по заданному начальному значению /Г1 ° )= ^ (либо равному нулю, либо известному приближенно значению по данным моделирования системы

управления) на малых временных интервалах все координаты полагаются постоянными, а производная z1 равной нулю. Находится постоянное значение вектора Л1 на первом малом шаге ), оно в перечисленных условиях принимается за значение /Г1 )= Л^1 и так далее. В результате с уменьшением длины интервалов - шагов ), /' = 0,1,2,..., в перечисленных условиях постоянства координат и векторов Л~1,Л1 приходим к предельному соотношению:

lim (hl -hl) ^ 0(„_m)x1. (30)

В результате устраняется сравнительно приближенное задание параметров кь i = \п - т, в управлении^ ¿/с(23), а значит и управления и. Данный метод идентификации в применении для полного вектора h ) в системе (6) более подробно изложен в работе [7].

Второй метод идентификации полного вектора h (z, t ), а с ним и р - т у\ - субвектора Л1 ¡, основан на применении вместе с системой (6) при полной информации о состоянии и модельной системы - идентификатора состояния Люенбергера [6], дополненного номинальным вектором d°F° (t ) и при начальных условиях zM (/0 )в общем случае отличающихся от z ):

z = A°z + B0u + D0F° 0+h<?,ty (31)

x = Kz = Ez = z, (31)

К = + В0и + D°FtО )+ K^GT - zM ) . В модельной системе I х п - матрицы КAz и G задаются таким образом, чтобы система в отклонениях Ar = z — ZM,

Az = (A0 - KAzGT )Az + h(z, t), (32)

получаемая в результате вычитания в системе (31) второй подсистемы из первой, оказалась управляемой (имела управляемую пару (/4°,G )с заданными собственными значениями матрицы - к kzGT (или, что одно и то же, матрицы А° - GK Az ). Управление и одинаковое для обеих подсистем (31) находится либо по первой подсистеме, как преодолевающее возмущение , либо по второй подсистеме как компенсирующее это возмущение [8].

Запишем решение системы (32) на малых полуинтервалах t е [thti+^ ), /' = Ö7k, tk+^<w, на каждом из которых возмущение h (f, ) может быть принято постоянным:

Az(ti+1) = Ф(ti,ti+i)Az(ti) + ^jti'+1 Ф(r,ii+iM^^ h<t, ), / = ÖT/F,

где ф ГЛ + 1 )= (А0 - KkzGT ) +r)] ,

Ф (ti, t) - фундаментальная матрица. Получаем

выражение полного вектора возмущений на каждом малом полуинтервале:

h(t,.) = (Az(ti+1) - Ф(^.,ti+i)Az(ti})/^jti'+1 Ф(г,tM)dr^ , (33)

где отклонения Лz ^ ), Лz ) в вначале и конце каждого полуинтервала находятся по показаниям датчиков z ), ^ ) исходной системы (первой подсистемы (32)) и по вычисляемым координатам zм zм ¡модельной системы (второй подсистемы (32)). На первом шаге / е [/0,/-| ) возмущение Л ) полагается, как и в приведенном кратко первом методе, либо равным нулю, либо равным известному приближенно значению по данным моделирования системы управления.

Изложенные методы идентификации вектора неопределенных возмущений применяются для выполнения условия (30) и не требуют обязательного выполнения известных условий инвариантности для аналитически точной компенсации данных возмущений, что является преимуществом предлагаемых методов управления в уменьшении и минимизации энергетических затрат на управление, оцениваемых интегралом от суммы модулей составляющих векторного управления с размерными коэффициентами за время переходного процесса. В целях минимизации предлагается применить метод, основанный на известном методе решения основной задачи управления [9] и развитый на случай действия неопределенных ограниченных возмущений [10].

Методы синтеза управлений, приводящих систему в скользящий режим

В рассматриваемом случае п = 2 т , предполагается, что \А°2 . Представим производную 5 функции переключений я = С ( (5) в системе (6) в виде суммы:

¿ = ¿0 (34)

в которой первое слагаемое соответствует номинальным составляющим системы (6), а второе неопределенным, включая и соответствующие слагаемые управления и :

и = и0 + и„. (35)

Рассмотрим случай многообразия 5 (22), как наиболее общий из представленных для п = 2т . Функция переключений 5 в раскрытом виде при с = (с1,с2), С2 = Е , запишется:

5 = С(г)г = С1г1 + С2г2 = (С^+С^ (г, г1(г)) + +См, г1(г))) г1 + г2 = С^г1 + ^ х

a ад^

-mp) (t)| signzn—m )T

(36)

\s,gn z1,...,an—m\D0Xn-+ ^UK^ z1,...Kn—msiSn zn—m)T + z2.

В производной s от функции s (36)

s = CL,z1 + A0—112 (a1 ((d|D01,1P0(t)| / dt) sign z1 +

+ D011P0(t)|d(sign z1)/dt)),...

...,an—m ((d|D01,„— mP0(t)/dt) signzn—m +

+ \D(n,n—mP(>(t)|d(sign zn—m)/dt))J + + A0l2(K1d(sign z1)/dt,...

. ,Kn—md(sign zn—m ) / dt)T + z 2,

+ |d01,n—mp0 (t)|d (sign zn—m )/ dt ))f "

определяемой в силу системы (6),

s = Clonst (A01lz1 + A012 z2 + D01P0« + h1(z, t)) + + A012(a1((d|D01,1P0(t)/dt) signz1 + + |D01,1P)(t)|d(sign z1)/dt)),...

...an—m ((d|d01,n—mp0 (t) / dt) s^n—m + (37)

+ A0i2(K1d(sign z1)/dt,...

...,Kn—md(sign zn—m)/dt)T +

+ A^z1 + A022 z2 + B02K + Uh ) + D02P0W + h2( z, t), слагаемые s0,sh суммы (34) принимают вид:

s> = C^ (A0„z1 + A012 z2 + D01P,(t)) + + A0—112 (a1((d|D01,1P0(t^ dt) signz1 + + ^>01,Л(,)|d(sign z1)/dt)),... (38)

..., an— m ((dK„—„P0(t)|/dt) signzn—m + + |D01,„— mP0(t i d (Signz„—m )/dt f +

+ A0 12((sign z!)idt,...,Kn—md(sign zn—m )/dt) +

+ Arnzl + 4)22z2 + B02U0 + D02P0 (t), s h = Clconsth 1( z, t) + B 02 Uh + h 2( z, t). (39) где в выражении (38) производные dID01iP0(t)|/ dt при обозначении D01,,P0(t) в виде

(p0i (t) запишутся как

d|D0UP0 (t)| / dt = d |^0i. (t)| / dt =

= d (q>0i (t )signp0i (t))/dt = (dq)m (t)/dt )signq)m (t)) + + q)0i (t )d (sign q)0i (t)) / dt, i = 1, n — m.

Структура управления u0 находится при одном логическом переключающем устройстве (ЛПУ) для каждой составляющей u0jj = Vm с применением

необходимого условия существования скользящего режима [11, 12]:

¿0 = Кдд + Kss. (40)

где

Кg =diag дп dz,t ) ..... «дтт t }

Кs = diag (z,t ) ..... Ks^,t }

g . = dJ (f у - вспомогательные функции переключений структур управлений ^, d' — строки т x п — матрицы q , j = \т. Отметим, что условие (40) не требует обязательного включения в р — т у мерные многообразия s (s = Cf^ = 0) и G (д = Qz = 0 )

переключения структур начала координат [12].

В силу необходимых и достаточных условий существования скользящего режима [13, 14, 3]

lim s0/ <0, li m s0/ >0,j = %m , (41)

на поверхностях^ s,- =0 многообразия S (22)

S$ = C( y = + C2z2 = donst + с

Cn F

') (,z1 () ) )z1+z2 =

.....IД

■a:

z2 = 0 )

an-m Y^W.n-m

■012 ^ЭДЯ Z-, 2

' п-т^Э*"* zn-m

+

в условии (40) должны выполняться неравенства

кд,$>( )= 0 пРи 519, > 0,

" " (42)

>0 п

а в силу достаточных условий попадания изображающей точки системы в малую окрестность многообразия 5

¿о/5у<0, У = 1,/77, (43)

должны выполняться неравенства

* )= к+ц { У 0 пРи sj9J > 0, K's.&t ><0 п

(44)

где функции Kg.. , кд , к+.. , Ks.. (42), (44) могут полагаться и постоянными.

Подставляя в левую часть равенства (40) выражение для ¿о (38) и решая получаемое уравнение относительно с учётом не особенности субматрицы В^ , получаем управление:

u 0= B 02-fe + KsS-]f]onst (Aou z1 + ao!2 z2 + D oi Fo(t))+ +ao12901(t)/dt) sign z1 +|^01(t)d(sign z1)/dt),...

m((d| P^m(t)/dt) Sign Zn-m +|Pn-m(t)d (sign z1)/dt)) T+ +a012(4d(sign Z1)/dt,...^n-md (sign Zn-m)/dtJ +

+A021Z1 + A 022Z2 + D02 fo(/)]},

(45)

где импульсные функции Дирака d(signzt (t))/ dt и d(signp0i (t))/ dt (следующее из выражения (38)),

i = 1,n-m , при переходе zi(t) и p0i(t)от нулевых значений на положительные в некоторый момент t = to могут быть аппроксимированы, далее

на примере функции zi (t) , конечными непрерывными функциями на конечном промежутке времени At > 0, например, как это представлено в справочнике по математике [15, с.794]: d(signz()/dt = pexp[-$2(t-to)2]/V^, Д

(46) В реальной системе управления за Р/ могут быть приняты ограниченные положительные постоянные > 0 , определяемые допустимыми значениями модулей управлений и, . Так как изображающая точка может «прошивать» гиперплоскости Z/ = 0 в моменты t = / с двух разных сторон, то

значение импульсной функции d $/дп z, ) dt в

управлении и0 (45) предлагается находить по алгоритму:

d(signzi)/dt =

P огр еХР[-Д2огр^-^рш)2]/"^ при

-Л < z,-(tпрш) <Ai « 0 +

и sign [ zi (tпрш gAt)] > sign [zi ^прш)];

0 при -ai > z,- (tпpш) или z,- (tпpш) >a,- ;

-р огр eХР[-pí2огр(t-tпрш)2]^V^ при

(47)

з2

-'i огр~'^1- Hi огр^ "прш-'

-a < ^ (tпрш) <Ai « 0 +

и Sign [ г, (гпрш +Аг)] < Sign (гпрш)],

где А > 0 равно принятому шагу интегрирования системы (6) с управлением и = и0 + иь (35), значение малой постоянной А, >0 тем меньше, чем меньше А^ > 0 и может быть оценено как аналитически, так и в результате экспериментального моделирования системы управления, моменты прошивания / = /прш определяются для каждой гиперплоскости ^ =0 выполнением неравенств -А, < ^,• (/прш )< А,- » 0 +, невыполнение обеих неравенств означает отсутствие прошивания гиперплоскостей z/ = 0 на текущий момент времени / и равенство импульсной функции нулю.

Следует иметь в виду, что требуемая скорость приближения и.т. к многообразию 5 (22) может формироваться и без учета функций

± Рг огр ехр[ — А2огр (г — гпрш )2]/ в алгоритме

Ji огр

прш

(47), а лишь с помощью переключений параметров матриц Kg, Ks на увеличенные по модулю значения в малой окрестности координатных гиперплоскостей zi = 0, i = 1,n-m, при выполнении неравенств в первом и третьем условиях (47). Кроме того, без учета производных d(sign zt)/dt и d(sign cp0i (t)) / dt (47), то есть всей логики формирования данных импульсных функций и их замене только на переключения параметров (42), (44) матриц Kg, Ks управление Uo (45) имеет в общем

случае в n раз меньшее, n - порядок системы, число логических переключающих устройств (ЛПУ) по сравнению с управлениями, полученными в основополагающих работах С.В. Емельянова [13] и В.И.Уткина [3] и их учеников и последователей, и при этом не накладывает никаких ограничений на задание многообразия скольжения S (22), за исключением только общего для применяемых в настоящее время систем с переменной структурой требования |C(t)B0| = |B02| ф 0. При замене sign zt(t)

и sign p0i (t) на непрерывные нелинейные функции fi (zi) (17), (18) производные d(fi (zi))/ dt данных функций в управлении (45) являются, в отличие от d(sign zi (t))/dt и d (sign p0i (t))/ dt, ограниченными и запишутся в виде

d (f (z))/dt _

d (f. (z,.))/dt _

d (f (z,.))/dt _

(1/bt) zi при -й; < zi < , 0 при-b; > z, >bj; (1/bf)2 z,.z,. при 0 < zt < b,

-(1/bf)2zizi при 0 > zt > -b, 0 при -bi > zt > bt;

(1/b,3)3z,2z.. при -bj < z.. < bt,

iV' _ < min (г, / ) )при сУsj > 0,

t

Ky _ > max (-Л,- (г, / ) )при < 0,

10 при — Ь > гi. > Ь1;

где аналитические выражения ¿, в силу системы

(6) до приведения в скольжение и в системе уравнений скользящего режима (24)

г, = (Ли,. — Л,, ) г1 + (ДшЛ (г) —

— «|Ц)„Л(/)|/,(г,) + (П —К/,(г,.)), , = 1,п —т, заменяются в силу неопределенности составляющих вектора неопределенных возмущений И(г, г) на численно определяемые производные на шагах интегрирования Л г с запаздыванием на один шаг:

г/ = (г,. (Г.+1) — г,. (Г.))/ Л г, , = 1, п — 1, . = 0, k — 1, г е I = (г,, ** ].

Найдем управление иь, преодолевающее действие неопределенных возмущений Л )на процесс приведения системы в скользящий режим на многообразии 5 (22). Условия существования скользящего режима и попадания и.т. на многообразие в применении для производной Sj, будут выполняться

при выполнении условий (41), (43) и неравенств

¿цв; < 0, у =\т, (48)

так как Sj = ¿0у + ¿Лу . Представим с указанной целью векторные управление и производную ¿Л (39) в виде:

¿-ч —1 * * *1 *2

= ¿С^1 Г, , >+2 + Л2 )= + ¿2, (49) ^ = ^Л1 Г, ) , ё1 и1.

Представим

строки матрицы ^-^соп^ как

С1у = ) , ] = \т , и зададим управление иь в виде:

*1 . *1 *1 7"

и» = ам,...,иш),

у К=с к, /=ш ( )

К = К . ■ ■ -Кп-т ] — (7 — т х 1 — столбцы.

где

Производные ¿Л и ¿Лу запишутся:

¿Ы = (S^., ¿1 f = С^Ч*, t) + u*..

3Ы _ '

• 1 V"1 n - m 1 j ✓ 1 j »K • i • i

Sj (^ + Ы.), j _ 1,m, г _ 1,n-m.

(51)

Из полученного выражения ¿^ с учетом требуемого

выполнения неравенств (48) следует алгоритм за-

1/+

дания составляющих к/ разрывных параметров

j _\т, i _\п - т.

*2

Управление uh задается в виде, при котором

4 _hj <?,t}+K2J , j _ 1, m , и неравенства (48) выполняются при

< min (-Л? ) )при Sy >0,

t

> max (-hj (z,t ) )при Sy <0.

t

Второй возможный метод синтеза слагаемого Ui в полном управлении и _ £/0 +uh (35) основан на отдельном нахождении управлений для каждой неопределенности в сумме h )(6)

Ы(z, t) _ (Ы1,..., Ып)Г _ A4(t)х + AB (t)u + + AD (t)(F0(t) + AF (t)) + D0 AF (t), как это получено в работах [11, 12] для слагаемого UA в сумме и _ и0 + UA . В данном управлении и в UA упрощается оценка предельных значений каждого элемента каждой матрицы и столбца параметрических и внешних неопределенных возмущений М (1 AB (), AD(t) и AF (), но увеличивается число необходимых ЛПУ и создаваемых структур (в частности, в силу учета обычно не принимаемой во внимание неопределенности AB {)в матрице В ( () входа управления).

Заключение

Для систем управления с линейными стационарными объектами при размерности системы равной двум размерностям вектора управления и при неопределенных ограниченных возмущениях, не удовлетворяющих известным условиям инвариантности к ним исходных систем на скользящих режимах, впервые получены следующие основные результаты: - представлено приведение исходной системы к регулярной форме, удобной для решения поставленных задач;- получен метод синтеза подвижного разрывного многообразия скольжения по заданному качеству переходных процессов на скользящих режимах при номинальных и неопределенных ограниченных возмущениях; многообразие скольжения синтезируется таким образом, что в системе скользящего режима практически полностью нейтрализуется действие неопределенных возмущений, скользящий режим наделяется требуемым качеством переходных процессов; для дальнейшего повышения качества процессов и энергоэффективности управления предлагаются также два метода идентификации (численный и аналитический) с уточняемой пошагово компенсацией приведенного вектора неопределенных ограниченных возмущений в системе скользящего режим без выполнения условий инвариантности;- получен метод синтеза векторного управления, приводящего систему при номинальных и неопределенных возмуще-

ниях в скользящий режим на подвижное многообразие, не содержащее в себе начала координат.

Работа выполнена при финансовой поддержке

РФФИ в рамках научного проекта №16-31-00463

мол_а.

Литература

1. Мещанов А.С. Синтез скользящих режимов при невыполнении условий инвариантности к возмущениям в системах с линейными стационарными объектами с размерностью равной удвоенной размерности управления // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 2014, № 3, С. 223-233.

2. Drazenovic B. The invariance condition in variable structure systems// Automatica. 1969. Vol. 5, № 3. P. 287-295.

3. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой.М.,Наука,1974,-272с.

4. Лукьянов А.Г., Уткин В.И. Методы сведения уравнений динамических систем к регулярной форме. Автоматика и телемеханика, 1981, № 4, С.5-13.

5. Мещанов А. С. Скользящие режимы с заданными размерностью и качеством в системах с линейными стационарными объектами при неопределенности. -Авиакосмическое приборостроение, № 2, 2009.- С.22-27.

6. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М., Наука, 1976, - 424 с.

7. Мещанов А.С. Идентификация и компенсация возмущений в управлении нелинейными объектами.

Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2010, №,3, С. 164173.

8. Мещанов А.С. Синтез многообразия скольжения и управления с идентификатором состояния при неопределенности. Вестник КГТУ им.А.Н. Туполева. 2008, № 3, С. 92-97.

9. Сиразетдинов Т.К. Богомолов А.И. Аналитическое проектирование сложных систем. I // Изв. Вузов. Авиац. Техника. -1978. - № 2. - С. 83-91.

10. Афанасьев В. А., Мещанов А. С.,

Сиразетдинов Т. К. Методы проектирования высокоманевренных спускаемых летательных аппаратов. 1,11 // Изв. вузов. Авиационная техника. 1997, № 1, С. 26- 32, № 2, С. 9 - 13.

11. Мещанов А. С. Приведение линейных стационарных объектов на многообразия скользящего режима при неопределенностях// Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2013. № 2. С.157-163.

12. Мещанов А.С. О приведении в скользящий режим многомерных разрывных систем с нелинейным нестационарным объектом управления. В кн.: "Устойчивость движения", Новосибирск: Наука, 1985, с. 230 - 234.

13. Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной структурой. М., Наука, 1967,-336 с. 11-14.

14.Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.- 224 с.

15. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М.,Наука,1973г. 832 с.

© А. С. Мещанов, кандидат технических наук, профессор кафедры автоматики и управления, старший научный сотрудник, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ, [email protected]; А. Ф. Султанова, аспирант кафедры автоматики и управления, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ, [email protected].

© A. S. Meshchanov, candidate of engineering sciences, professor, Associate Professor of department of Automation and Control, senior research scientist, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, [email protected]; A. F. Sultanova, post-graduate student of department of Automation and Control, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, [email protected].