CC BY
34
УДК 681.5.01:658.5
А. С. Мещанов, С. О. Богданов, А. Ф. Султанова
СТАБИЛИЗАЦИЯ БЕСПИЛОТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В СКОЛЬЗЯЩЕМ РЕЖИМЕ ПРИ РАЗЛИЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ К ВОЗМУЩЕНИЯМ
Ключевые слова: скользящий режим, выполнение и не выполнение инвариантности, качество переходных процессов.
Синтезированы многообразие скольжения и управление, проведено моделирование численного примера системы стабилизации продольного движения беспилотного летательного аппарата (БЛА) на скользящем режиме при возмущениях. Предлагаются новые эффективные методы регулирования установившихся колебаний управлений и их малых энергетических затрат с выполнением и не выполнением условий инвариантности скольжения к возмущениям.
Keywords: sliding mode, execution or implementation of invariance, the quality of transient processes
Synthesized a variety of slides and control the simulation of the numerical example of system of stabilization of the longitudinal motion of the unmanned aerial vehicle (UAV) on sliding mode perturbation. Offered new effective methods of regulation of steady-state oscillation offices and their small energy costs with the implementation and not the implementation of the conditions of invariance of the slide with respect to perturbations.
Постановка задачи
Рассматривается система уравнений с учетом возмущений
X = Ах + Ви + ВЕ, (1)
где X = (х1_,х4У = (у,а,3,&1 А = А0 + ДА, В = В0 ,
и = (и1,и2)Т, и1 и и2 -управления по тяге и рулю высоты, в = в0, Е = де ; составляющие с индексом «0» означают номинальные (известные) матрицы и столбцы, а с символом « Д » - неопределенные возмущения с ограниченными в известных пределах элементами:
a 4g ь
0,010 0,080 -0,200 0 ^
-0,680 - 2,500 0 1,000
0 0 0 1,000
1,276 -14250 0 - 2,900.
0,020 0 > Г1 0^
0 0 0 0
0 0 , D=D =
0 0
ч 0 -100,000. 0 1,
/ \ 0 0 0 0
в=В0=(bir )= , d=d = .f = af =
(2)
Д1 = -[М
л I У)
[1, с.25], где Ух - горизонтальная составляющая порывов ветра (принимается, что вертикальная составляющая отсутствует), у0 - установившаяся (программная) скорость самолета, далее принимается, что Д1 изменяется неопределенным образом, в силу смены направления скорости ветра, в пределах ограничений -0,01 <Д1 < 0,01; при моделировании принято Д1 = 0,0Ыпй1, с различными значениями а>1, например, с а>1 = ж рад / с ; Д/2 - определяется массой и расстоянием от центра масс самолета сбрасываемого груза [1, с.25], далее принимается, что данное неопределенное возмущение удовлетворяет ограничениям: -1<Д2 <1 и моделируется различными функциями, например, Д2 = 1- соэ®^ с частотой равной, т2=2ж рад/ с. Матрица ДА параметрических возмущений да = (дау )4 имеет, кроме нулевых составляющих, возмущения Да11 = Дип и Да14 = Ди14, обу-
словленные неопределенными местными изменениями плотности атмосферы по отношению к ее значениям по данным стандартной атмосферы; при численном моделировании системы управления учитываются ограничения -0,001 < Дап < 0,001;
-0,0004 < Да14 < 0,0004, и возмущения полагают-ся,например, равными Да11 = 0,001 sin ®3t,
Да14 = 0,0004sm®4t, ш3 = а>4 = 1 рад / с. Определение их более точных значений не влияет на качество процессов скользящего режима, так как матрица параметрических возмущений AA(t) и матрица входа внешних возмущений D = D0 удовлетворяют известным условиям инвариантности скользящих режимов ко всем приведенным неопределенным параметрическим и внешним возмущениям [2]: M(t) = е0Хда(1), D=D = Е^р,
где ^ >11(t)/°,°2 0 0 0 1,
ДА ^ 0 0 0 -Да14(t)/100j
(Kv 0 Н1/0,°2 0 1.
\ 0 kw) \ 0 -1/100) Как следует из матрицы a = A0 + ДА и приведенных условий инвариантность в системе (1), (2) по параметрическим возмущениям ДА недостижима только по отношению к параметрам а21 и а22. Помимо перечисленных на БЛА может одновременно воздействовать во втором уравнении системы (1), (2) и возмущение Д/3, не удовлетворяющее условиям инвариантности [1].
Задачи. 1. Синтезировать для БЛА при выполнении условий инвариантности к возмущениям: - многообразие скольжения с двумя гиперплоскостями переключений структур по заданному повышенному качеству переходных процессов; - разрывное управление, приводящее систему в скольжение на данное многообразие; - промоделировать численный пример системы стабилизации БЛА с анализом результатов. 2. Синтезировать многообразие скольжения и управление новых типов по заданному качеству процессов при выполнении и не выполнении инвариантности по различным неопределенным возмущениям Д/1, Д/2 и Д3, что может иметь место при
одновременном воздействии порывов ветра, сброса грузов и действии взрывов. 3. Представить возможности дальнейшего повышения эффективности управления БЛА путем: - регулирования параметров установившихся колебаний управления с устранением их возможного негативного воздействия на звенья системы; - уменьшения энергетических затрат на управление.
Решение задачи 1
Согласно Теореме 2 работы [3], т х п - матрица с системы скользящего режимах = [Е-В0(СВ0)-1С]А0Х на (п - т) - мерном многообразииз(я = Сх = 0) находится необходимо и достаточно как решение системы ( а0 + в0кэ)ТСТ = о, в которой предварительно т х п - матрица Кэ в силу управляемости пары ( А0, в0) обеспечивает т нулевых и заданное распределение остальных х = (Л1,...,яп-т) п -т собственных значений матрицы а0 + в0кэ. При заданном распределении л = (-1,-1) со степенью элементарного делителя равной двум для управляемой пары (А0, в0) находим
(15,500 54,950 10 -39,300
К,
0,017 - 0,124 0 - 0,030
С" | ( си с12 c13 с14 | f 3,183 1,502 1 0] (3)
С =
IС2Т ) ^с21 с22 с23 с24 , ^-1,676 1,497 0 1,
Для реализации такого скользящего режима с заданным качеством переходных процессов находится разрывное у правление и в виде суммы
и = и0 + ид , (4)
где и0 для номинальной системы (1) , то есть при АА(х) = 0 и F(х) = AF(х) = 0, а слагаемое ид преодолевает возможное неблагоприятное влияние неопределенных возмущений АА(х) и F(х) = AF(х) на процесс приведения системы в скользящий режим. С этой целью производная Я разбивается на сумму:
5 = .50 + ЯА = (5)
где .0 = СА0х + СВ0и0, .А = СА4х+СВ0иА + СЦА^. Управление и0 находится по необходимому условию равенства производной Я0 и выражению я0 = к« + к.. с диагональными матрицами к«, к. в общем случае
разрывных коэффициентов и по условиям существования скользящего режима и приведения в него [3]:
u0
= (СД)) l(Kgg+Kss-CAüx),Kgj = к+ <0при Sj gj >0:
Kg , = Kg < 0 при sj gj < 0, Ksj = к+ < 0 при sj gj > 0,
Ksj = к. < 0 при Sj gj < 0, j = 1,2.
(6)
По данным моделирований системы стабилизации значения параметров управления и0 уточняются:
к+ =-10, к- =10; к+ =-15, к- =-15;
к+ =-10, к- =10; к+ =-15, к- =-15. (7)
в2 ' «2 Я2 2
Управление иА задается в виде
иА=(СВ0 )-1иА, иА=(иА1,иА2 ^ иА = (иАъ иА2)Т • (8)
Раскрывая составляющие вектора SA (5) с учетом структуры уравнений и матрицы С (3), получаем
S Д1 = CjjAajj x1 + с14 Aa14 x 4 + м Д1 + с11 A/j; S Д2 = с 21Да11 x1 + с 24 Да14 x4 + м Д2 + с 21Д/1 + 1-Д/2. Определяя мД1 и мД 2 из условий попадания изображающей точки (и.т.) на обе гиперплоскости
.Sj^j < 0, j = 1,2, (9)
задаемся их структурами в виде:
*
м Д1 = с11кП x1 + с14к14 x4 + с11к1Д/1, (10)
м Д2 = с21к21 x1 + с24к24x4 + с21к2Д/1 + кД/2 ,
где коэффициенты кп,...,кД/2 являются разрывными. Представим производные SAj- в виде SA1 = cпx1(Aaп + кп)+ с14 x4 (Да14 + к14 )+ + сп(Д/1 +*1Д/1Х (И)
SA2 = с21х1 (Дап + к21)+ с24х4 (Да14 +к24 )+ + с21(Д/1 + Г2Д/) + (Д/2 + Кд/2 )■ Применяя условия (9) к каждой из слагаемых SAj- ,
получаем следующие условия для определения составляющих разрывных коэффициентов кп,кД/ :
к = ^+1 < min(-ап) при си x1s1 > 0>
Ааи
к = к- > max(-ап) при сп x1 s1 -0'
Ааи
Ки = К+ < min (-а14 ) при с14 x4S1 > 0,
Да14
ки = к-, > max (-а14 ) при с14 x4 S1 - 0,
Да14
r1A/i =r1+A/1 < min (-Д/1) при сп S1 >
A/1
k1a/1 = гпд/ > max (-A/1) при сп s1- 0' Д/1
K21 = к21 < min (-Дан) при с 21 x1 s 2 > 0,
Да11 (12)
ки =^21 >max (-Да11) при с21 x1s2-0' Да11
к24 = к+4 < ^Qin (-Да 14 ) при с 14 x4 S2 > 0,
A а14
к24 = к- > ^Qax (-Да 14 ) при с 14 x4s2 - 0,
A а14
К2Д/ = KiA/1 < min (-Д/1) при с21 S2 > 0
Д/1
к2Д/ = > max (-Д/1) при с21 S2 - 1
A/1
кд/2 = *д/2 < min (-Д/2) при s2 >0'
Д/2
= > max (-Д/2) "р" s 2- 0.
Д/2
Согласно условиям (12) далее полагаем:
К-+ =-0,0015; К-П =-0,0015: к+А = -0,0005; щ4 = -0,0005 ^1Д/1 =-0,015; щ/ =-0,015 к+л = -0,0015; = -0,0015; = -0,0005;
=-0,0005; к2+Д/1 =-0,015; =-0,015;
кД/2 =-1,1; кД/2 =-1,1.
С учетом выражения матрицы (СЕ 0 )-1 и значений матрицы Си Е0 получаем:
(СЕ0 )-1 ^
1 ( -100 - 0,02cn' \СЕ\ ( 0 0,02cn
100 0 1 f 15,708 0
- 2с11 0,02с21 0,02с11) у- 0,005 - 0,01^ Составляющие управления иД принимают вид:
и Д1 = (100/2сц)и Д1 = 15,708(сцГц Х1 +
+ С14Г14 х4 + Сп**1Д/ 1),
и Д2 = -0,005и Д1 - 0.01и Д2 = (13)
= "0,005(с11^11х1 + с14*14х4 + С11К1Д/1) -
- 0,01(с21^21 х1 + с24^24х4 + С21к2Д/1 + кД/2 ) ■
На рис.1а-в показаны в частности процессы стабилизации БЛА по отклонениям скорости и углов атаки и тангажа, а на рис. 2а, 2б процессы управления тягой и рулем высоты при постоянном воздействии перечисленных выше ограниченных неопределенных внешних и параметрических возмущениях.
б в
Рис. 1 - Процессы стабилизации поскорости V (а) и по углам атаки (б) и тангажа (в)
L л -ш
1
U 'i i Ь В i 8
б
Рис. 2 - Процессы управления стабилизацией по тяге (а) и по рулю высоты (б)
Как следует из рисунков 1 и 2, процессы стабилизации скорости и углов удовлетворяют задаваемым показателям качества, тогда как управление по рулю высоты, и в меньшей степени управление по тяге, содержат нерасчетные установившиеся колебания, связанные с действием неопределенных возмущений. В частности, проявляется частота д/ горизонтальной составляющей порывов ветра, сопровождаемая более высокой частотой, определяемой возмущением д/2 и выбранным шагом интегрирования.
Решение задачи 2
Задача стабилизации БЛА существенно усложняется при невыполнении условий инвариантности к возмущениям в случае действия не малых и взаимно не компенсируемых порывов ветра с изменением массы самолета при сбросе грузов и действии взрывов, что может привести к неопределенному ограниченному возмущению -1<Д/ <1, которое моделируется, например, функцией /3 = 1. sin co3t с частотой равной со3 = ж рад/с в правой части второго уравнения системы. Тогда матрица d = d0в системе
(1), (2) принимает размеры 4x3 с дополнительным, третьим, столбцом d, = (0 1 о 0)T и условие инвариантности d=D0 = E0ADo, где ad¡¡ = (^ij)7, перестает
выполняться. Ограничимся исследованием на примере данного случая.
Для синтеза управления система (1), (2) преобразуется к регулярной форме, при которой управление входит только в последние два уравнения. Переходя от координат вектора x = (x1 x2 x3 x4)T = (vа»»)Tк но-
координатам
вектора
z = (Zj z2 z3 z4)T = Tx = (а » v »)' , получаем систему
= Azz + Ezu + DzF,
(14)
где Az
Ez = Ezl T
F = ДР = (Д/1, Д/2, Д/3) , - 1 < Д/ < 1, i = 1,3 ' -2,500 0 -0,680
V» (Az0011 Az012
Az0 ={a^ij)L =|
VAz021 Az02:
Ez = Ez0 =( „z01 1 = (bzir0) =
0 0 0
0,080 -0,200 0,010
-14,250 0 1,276 -2,900)
01 0 0
f 0 0
0,020 0 -100,000
r = 1,2, i = 1,4,
0 0 0 o
Dz = Dz,
Dz = Dz0 = D = (dz1' dz2, dz3) = l Dz02 .
0 0 1'
0 0 0
1 o o
0 10.
001 000
Dz02 = (dz02 Dz02 )
f ДАт1
Dz0211 0 d2°2 =(0)
элементы матрицы д а =
(0 0 Да,33 Да,34 Mz2 = ' z33 z34
,A4z-
0 0 0 0' o o o ol
УДАг2 )
с возмущениями в пределах
у0 0 0 0 й
0,001< Даг33 = Дп11 < 0,001, -0,0004< Даг34 = Дп14 < 0,0004.
Инвариантность скользящего режима системы (14) на некотором подвижном многообразии
5 (* = (*2)Т = с (I) 2 = 0) (15)
1
Аго +ДАг
Dz = D
Е
а
D
по отношению к неопределенным параметрическим
Ааг33(0, Ааг34(о и внешним а/1(г ), Af2(t) возмущениям выполняется, а к возмущению Af3(t) нет, так как
ААг = в^АА;, Г00 А-г33/ Ьх310 0 ^ , (16)
х 10 0 0 Ааг34 / Ьг420)
^ = Вх^А/, , ' = 1,2
а для А/3(0 выполнить равенство dх3 = вхЛА£ невозможно (так как в матрице вх первая строка нулевая).
Для вывода уравнений скользящего режима и синтеза 2 х 4 - матрицы С(х)по заданному качеству переходного процесса в условиях невыполнения условий инвариантности представим систему (14) в виде
¿ = (Аг0 + А4г )х + вми + + dг2 Af2 + Н, (17)
де через вектор Н обозначено произведение 3Af3 не удовлетворяющее условиям инвариантности вида (16): н = dх3af3• Применяя метод эквивалентного управления, означающий выражение
управления из равенства нулю производной 5 в силу системы (17) (Я = 0 согласно движению фазовых траекторий по касательной к поверхностям скольжения) и после его подстановки в эту же систему, а также учета условий инвариантности (16), нулевой 2 х 2 - субматрицы Вх01 в системе (14), разбиения 4 х1 - векторов 7 , dz1Af1, dz2Af2И Н = dz3Af3 по два
2 х 1 - субвектора
z1 = (zi, z2f, z2 =(Z3, z4f
(dzi4fi)2 = (Afb00)T
dлAfl = (0,0,А1,0)Т, ^А«1 = (0,0)Т, , = (0,0)Т, Й2А2)2 =(0,А^2)Т,
Н1(х) = d¡!3Af3(t) = (А3(х),0)Т , Н2(х) = dz23Af3(t) = (0,0)Т, и разбиения 2 х 4 - матрицы С (х)на две 2 х 2 - субматрицы С 1(х) и с 2 = Е, получаем после отбрасывания обращающихся в тождество последних 2-х уравнений, систему скользящего режима
z - Aoiiz1 -Aoi2C1(t)z1 + h1(t), z2 = -CV)z1. (18)
В данной системе 2 х 2 - матрица А012 принимается за матрицу входа управления скольжения
и с = -С 1(х) х1. (19)
В случае отсутствия возмущений Н1(х) в системе (18) 2 х 2 - матрица С1 многообразия ния з (15) принимается постоянной С1 = Схтт, и находится по заданному качеству переходных процессов методом модального управления. При действии неопределенных возмущений Н1(х) матрицу С1(х) в управлении ис (10) для системы (18) предлагается формировать в виде суммы
C1(t) - C\onst + с!, (t, z1(t)) :
(20)
где (2) х (2)-матрица с h i( t, z 1( t)) имеет выражение
C^ (t, z 1(t)) - Аго112 diag {k /|z 1к 2 /|z2 |}, Kj > max h1 (t) , i - 1,2 .
t I I
(21)
Многообразие 3 (15), управление ис (19) и система скользящего режима (18) преобразуются к виду:
3 (я = С (х)х = С 1(х) х1 + 7 2 =
= (С\оп* + СН (х, х1(х))) х1 + х2 = (22)
11 —1 Т 2
= СсопМ х + Ах012(к1Я^п х1,к2х2) + х = 0)
ис =-С1 х1 =- (С^ + С 11(х, х1(х))) х1 =
11 —1 T
--(C const z + Ax012(к1sign z1,K2 sign z 2 ) X
(23)
z1 - (Aoz11
+ (h1 (t) — diag K1, K2 }sign z1),
'Az012 c1onst )z 1 + z2 -—с 1(t)z1 ,
(24)
где sign z1 - (sign z1, sign z2)T, diag {K1,K2 } sign z1 =
(K1sign z1,K2sign z2)T и составляющие вектора
(h1(t) — diag {к1, K2 }sign z1) -- (h1 (t) — K1sign zb h2(t) — K2 sign z2 )T
имеют знаки, доставляющие координатам дополнительные к действию матрицы c\onst скорости их убывания по модулю. Управление скольжением uc (23) преодолевает (превышает) действие вектора
неопределенных h1(x1, t) возмущений. С дальнейшим увеличением значений Ki возникает скользящий режим на (n — m) - 2 — мерном многообразии z1 - о пересечения гиперплоскостей z1 - о, z2 - о .
Рассмотрим синтез управления, приводящего систему (14) в полученный скользящий режим (24). Представим производную s функции переключений s - C(t)z (15) и управление в системе (14), (17) в виде сумм
s - s0 + sAAz + sAfhl + sh , u = u0 + u aaz + u Af12 + uh ,
(25)
в которых первые слагаемые соответствуют номинальным составляющим, а остальные три неопределенным. Для функции s (15), (22) и управления u - u0 + uAAz + HAf12 + uh (25) получаем, с учетом выражения AAzz согласно (14), dz1Af - (0,0, Af1,0)T, dz2Af2 - (0,0,0, Af2)T, h1 - dz3Af3 - (Af3,0,0,0)T и h2(t) - dz23Af3(t) - (0,0)T : s - cLst(Az011z1 + Az012z 2 + h1 (t)) +
+ Az0112(K1d(sign z1)/dt, Kd(sign z2)/dt)T + (26)
+ Az021z1 + Az022z 2 + AAz2z + Bz02(u0 + uAAz + + uAf12 + uh ) + Dz02Af ■
Очевидно, что слагаемые s0 и s AAz, sAf12, sh в сумме (25), (26) имеют выражения:
s0 - C1onst(Az011z1 + Az012z2) +
+ A^^12(K1d(sign z1)/dt, K2d(sign z2)/dt)T +
+ Az021z1 + Az022z2 + ^02^
s AAz =AAz2z + Bz02uAAz,
sAf12 =Dz02Af1,2 + Bz02uAf12 ,
sh - C1onsth1(t) + Bz02uh.
Управление u0 находится из необходимого условия равенства производной s0 и выражению s0 - Kgg + Kss с диагональными матрицами Kg, , аналогично тому, как было найдено управление (6):
и
u0 - B—k^g + Kss — (CLst (^nz1 + Az012z2) +
+ A—012(K1d(signz1)/dt, Kd(signz2)/dt)T +
(27)
+ Az021z1 + Az022z 2)]
где элементы матриц Kg, ks находятся из условий (6), а производные d(sign z1i)/ dt, i -1,2, аппроксимируются известными функциями [4]. Так как изображающая точка (и.т.) фазовой траектории может «прошивать» гиперплоскости zt - 0 в момент ы t - t с двух разных сторон, то значение импульсной функции Дирака d (sign )/ dt в управлении u0 (27) предлагается находить по алгоритму аппроксимации:
P огрехР—РРогр^-гпрш)2]/^ при — A, < x¡(tVрш) <A « 0 + + и signXi■(tпрш+ At)] > •"^ПЖ'лрш)];
0 при -Ai > xi■(tпрш) или (28)
(d(signz,)/dt)a -•{ xi■(tпрш) >Ai;
-р огрехР —/^огр^пршЛ^ при
-A < z^^ni) <A и 0 +
+и signzi(¿прш+А)] < sig^(t^J], i -1,2.
Управление uAAz - (u1AAz,u2AAz)T находится по достаточным условиям попадания и.т. на гиперплоскости s1(s1 - 0), S2(s2 - 0): sjaa sj < 0, j -1,2, и задается в
виде
uAAz ' V 'V )T; (29)
■z 2 z
S AAz =1 S1AAZ I = AAz 2 z + B z02 м
S 2AAz
( Aаz3з z3 + Aaz34 z 4
Ч 0
z02MAAz '
f * I м
1AAz *
M —k z + k z
1AAZ-S1AAzJ1 =(Да23323 +k33z3+Да234 z4+¿34 z4)s1 =(Да233+¿33) zзJl+(Aaz 34+¿34) z4S1,
k33 = k33 - min(-Aа233 (t)) при z3S1 > 0,
t
k33 = k33 > max (-Да233 (t)) при z3S1 - 0,
t
k34 = k3+4 - min(-Да234 (t)) при z4S1 > 0,
k34 = k3 4 > max ( -Да234 (t)) при z4S1 - 0,
t
u * = 0.
2 AAz
Управление и^ = (иАу1з, и^/ находится по достаточным условиям попадания и.т. на гиперплоскости = 0), з2(.2 = 0): яА/ sJ < 0, у = 1,2, и задается в
виде
идд2 = (ид/;, и а/2 )Т = В-)2 иАд2, иДд2 = (иДд, и А/2 )Т ; (30) (1 0^|( а/1 у иД1
A2
/ = + Bz°2«д/l2 = ^ 1j^a/2 J + ^
мД/ = kjj при Sj > 0, < min (-Д/j (t)), мД/ = kjj при Sj - 0, kjj < max (-Д/j (t)).
Управление мА = (мы,мк2)T находится по достаточным условиям попадания и.т. на гиперплоскости
S1(s1 - 0),S2(s2 - 0): shjsj < 0, j - 1,2, и задается в виде
uh - (uhb uh2)T - B—02 uh, uh - Cu,fc1 =uh2 )T (31)
sh - (s h1 , sh2)T - C\onst+ B zo 2uh , Bzo 2uh - uA ,
C1 -iCn C12 1 h1 -fAf3IC1 h1 J c11Af3 I
c const - , h - ~ , c consth - ■ jr ,
Ic21 c22 ) У 0 ) Уc21 Af3 J
% sj < 0, (cj1 Af3 + u'hj )sj < 0, j - 1,2; полагаем uk - сj1kj; (Af3 + u^ )cj1Sj < 0; при cj1 sj > 0 задаем kj - k,
Af,(t) + k+ < 0, k+ < min(—Af3(t));
t
при cj1Sj < 0 задаем kj - k—,
Af3(t) + kj > 0; kj > max(—Af3(t)).
t
Качество процессов по координатам следующего из (22) субвектора z2
z2 -— (CLnst z1 + A0z12 (K1Sign z1,K2 Sign z2)T )
предлагается повышать аппроксимацией сигнатур в (22) и далее непрерывными функциями
fj(zj) - 1 при zj > bj, fj(zj) - —1 при zj < —bj , fj (zj ) - (1/bJ )zj при bj > zj >— bj , где линейная функция в третьем выражении может быть заменена на одну из двух нелинейных функций:
а) fj (z j ) - (1/ bj )z2 при 0 < zj < bj, fj (zj ) - — (1/ bj )z 2 при — bj < zj < 0;
б) fj (zj ) - (1/ bj )zj при bj > zj >— bj j - 1,2.
Решение задачи 3
Во избежание возможного негативного воздействия параметров установившихся колебаний управления на звенья системы управления (нерасчетные срабатывания исполнительных механизмов, резонансные колебания) предлагаются методы регулирования частоты и амплитуды. Данная задача решается однотипно как для управлений в системах (1) с выполнением инвариантности к возмущениям на скользящих режимах, так и для управлений, допускающих возмущения с выполнением и невыполнением инвариантности. В обоих случаях одним из подходов является обнуление в малой окрестности многообразия скольжения |sj <Asj, Asj > 0, j -1,2, в
номинальных управлениях u0 (6) и (27) разрывных переключаемых элементов диагональной матрицы Kg, а в диагональной матрице ks приравнивание
составляющих разрывных (отрицательных) элементов, K -k+-k— < 0 j -1~2 Большие по модулю значе-
Sj Sj sj ' J
ния элементов матриц Kg и ks , или только элементов матрицы Kg, приводят к «прошиванию» и.т. гиперплоскостей скольжения, что увеличивает энергетические затраты на управление, оцениваемые интегралом от суммы модулей составляющих управлений с различными коэффициентами пропорциональности за время переходного процесса. Значительное влияние на параметры установившихся колебаний управления оказывает задание многообразий скольжения, так как если характеристическое уравнение системы скользящего режима содержит
+
м
комплексно-сопряженные корни, то частота колебаний, определяемая их мнимой частью (управление содержит слагаемое kss , а Sj, j = 1,2, являются линейными комбинациями колебательных координат x{, i = 1,4) проявляется в сигналах установившихся управлений Uj 0, j = 1,2.
Помимо номинальных управлений u0 (6) и (27) на формирование параметров колебаний управлений действуют и составляющие ид (8) и uAAz (29), и/ 2
(30) с выполнением условий инвариантности к возмущениям AAz и д/12, а также управление uh (31)
при не выполнении условий инвариантности к возмущению h(t). Для устранения влияния первых достаточно применить метод идентификации с последующей их компенсацией [5], но, как доказано в работе [6], при невыполнении условий инвариантности, как это имеет место для возмущения h(t), аналитически точная компенсация не достижима. Поэтому в случаях не инвариантности по h(t) или недостаточно точной компенсации возмущений д4г и д/ 2 предлагается переход на гибридное управление, которое в малой окрестности SI <д^, Asj > 0, j = 1,2, многообразия s (22) переключается c разрывного управления u = u0 + uMz + иД/12 + uh (25) на непрерывное управление [7], которое имеет достаточно малую амплитуду установившихся колебаний и осуществляет в малой заданной окрестности асимптотическое приведение и.т. на многообразие S с процессом достаточно мало отличающимся от идеального скользящего режима. Представим с этой целью систему (17) в виде
z = Az0z + Bz0u + H(t), (33)
вектором неопределенных внешних и параметрических ограниченных возмущений
H(t)=Д4г (t)z(t)+d,1(t>4/1(t) + dZ2(t)/>(t) + ht) при ||z(t)|| <||z(t0)||. Управление u в малой окрестности
jsj- j < Дsj, Asj > 0, j = 1,2, многообразия S (22) формируется в виде суммы
u = U0M + Uh , (34)
где управление u0 вида (27) модифицируется на непрерывное u0M в результате обнуления матрицы Kg и замены kss на произведение KSsr, r = 1,3,5,.., способствующее более плавному приведению и.т. на многообразие скольжения S (22), и замены производных d(signzj)/ dt, j = 1,2, на их аппроксимации
(d(signzj)/dt)ñ, j = 1Д (28):
U0M = Bz02\-KsS>" - (C\onst (Az011z1 + Az012z2) +
+ Az-,112(s-1(d (Signz1)/ dt)а, (35)
K2 (d (sign Z2 ) / dt)a)T + AZ021Z1 + Az022Z 2)]. Управление uH = (CB0)-1 uh = B-l2uH также формируется непрерывным
SHj = UHj + CjH = Cj*sj + CjH = ^=1 cji (jj + H>*
* _ с * * \T— tr 1 Г 2 r uH = (uH1,uH2/ = (C1{ s1,C2{ s2) ,
C = C(t) = (C1(f), C 2), C\t) = C\onst + C^i (t), Cli (f) = Chi (z1(f)) = A;oi2diag { /|zi(f)|, { /Z2«|},
{ > max h1 (t), i = 1,2,
t
Cj = (cji,..., cj4), У = (kj,..., k4 )T, j = 1,2,
,■ + CjH = CjkJsj + CjH = ' | k{ | = max | Hi (t) | / A* j + aj, aj > 0,
Aj > A*j > 0, kj = - | kj | sign j (t), l = 14 j = 12.
Как следует из данных выражений, достаточные условия sH/s/ < 0 приведения системы (4) в скользящий режим на многообразие S с заданным качеством переходных процессов выполняется при условии A j > sj > A* j > 0, j = 1,2,. При достаточно малых задаваемых значениях A*j > 0 значения по модулю sj будут также в скольжении малыми, в результате чего установившиеся координаты х, будут стремиться к нулю. Следовательно, установившиеся значения слагаемых управления u0M (34) будут также стремиться к нулю. Составляющие управления uh = (cb 0)-1 uh , как следует из выражения u H , с уменьшением модулей функций sj при малых A*j > 0 также стремятся к нулю. Таким образом,
установившиеся колебания всех составляющих управления принимают допустимые малые значения, которые можно уменьшать до близких к нулевым значениям. Управление uH = (CB0)-1 uH является непрерывным при отсутствии смен знаков функций c/1 , j = 1,2, l = 1,4, либо при замене сигнатур sign c/1 на их непрерывные нелинейные аппроксимации (32).
Для уменьшения энергетических затрат на управление предлагается использование: 1) динамических свойств самого объекта (без управления) путем построения многообразия скольжения на собственных векторах самого объекта с матрицей A0 (2) в случае подходящих по качеству переходных процессов собственных числах данной матрицы; 2) отключения управления на определенных промежутках времени с большей скоростью уменьшения производной положительно-определенной функции; 3) представленного гибридного управления, в котором в малой окрестности многообразия скольжения разрывное управление (27), (29)-(31) заменяется на непрерывное (34)-(36); 4) настройки параметров (6), (7) матриц Kg и ks в системах (1), (2) и (14), (17) с их
заданным экспоненциальным нарастанием по модулю до предельных значений за определенную часть времени переходного процесса (ориентировочно, по данным численных моделирований, за половину времени переходного процесса) в результате чего устраняются пики модулей управления в начале переходного процесса и значительно уменьшаются энергетические затраты на управление без существенных потерь в качестве переходных процессов.
Рассмотрим подробней алгоритм отключений управления на интервалах времени
ге^ = г =\Х к<^,на которых производная
некоторой определенно положительной функции Ляпунова у = г Ь2, ь - пх п - симметрическая матрица, Уоб - производная, определяемая в силу системы уравнений объекта
¿об = А20 2о6 + н ('), (37)
принимает отрицательные значения большие по модулю, чем производная У по системе (33), то есть при действии управления. Состояния ¿об (гг) системы (37) объекта для проверки выполнения представленного условия
Уоб ('г) < У(г/), г = к <®, (38)
приравниваются на каждом шаге в моменты г = гг состоянию ¿(гг) системы (33),
¿об(¿г) = ¿('г), г = к<<ю. (39)
Упростим условия отключений (38) управления на малых шагах ц = ,г1+1]. С учетом равенств
Уоб ('г) = (А20 ¿(',) + н('г ))Т ьх(г1) + 2Т ('г )Ь(АЛ ¿(г,) + Н('г)),
У('г) = (Аг0¿('г) + В0иг + Н('1 ))ТЬг('1) + ¿Т ('г )Ь(Аг0¿('1) + В0Щ + Н('г )
в результате сокращений получаем:
и('г) = (0,0)Т при [(В0и('г )]TЬz(tг■) > 0, и(Ц ) = (щ('1), и2 (ti ))Т при [(В0 u(ti )]Т Ьz(ti) > 0.
Для применения управлений и , синтезированных в системах (14), (17) и (1), (2) в координатах векторов х их , в системах (1), (2) и (14), (17) необходимо в данных управлениях соответственно осуществлять неособенные преобразования z=Тх и х=Т-11, где
Т = ('1 '3 '4), = (0010)Т, = (1000)Т, г3 = (0100)Т, = (0001)Т, Т-1 =ТТ
Заключение
Таким образом, при выполнении условий инвариантности к возмущениям синтезированы многообразие скольжения по заданному повышенному качеству переходных процессов и разрывное управление, приводящее систему в скольжение на данное
многообразие, промоделирован пример системы стабилизации БЛА с анализом результатов. Синтезированы многообразие скольжения и управление новых типов по заданному качеству стабилизации при выполнении и не выполнении инвариантности по различным неопределенным возмущениям. Представлены возможности дальнейшего повышения эффективности управления БЛА путем регулирования параметров установившихся колебаний управления с устранением их возможного негативного воздействия на звенья системы, получены методы и алгоритмы уменьшения энергетических затрат на управление.
Публикация осуществлена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Татарстан в рамках научного проекта № 15-48-02040.
Литература
1. Боднер В. А. Теория автоматического управления полетом. М.: Наука, 1964. -700 с.
2. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. М., Наука, 1974,272 с.
3. Мещанов А.С. Методы построения разрывных управлений и поверхностей переключения в многомерных системах. Известия вузов. Авиационная техника, 1981, № 2, С.39-44.
4. Г.Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М., Наука, 1973 г.. 832 с.
5. Мещанов А.С. Идентификация и компенсация возмущений в управлении нелинейными объектами. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2010, №,3, С. 164-173.
6. Мещанов А.С. Синтез скользящих режимов при невыполнении условий инвариантности к возмущениям в системах с линейными стационарными объектами с размерностью отличной от удвоенной размерности управления. // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 2014, №4, С.154-163.
7. Мещанов А.С. Регулирование колебаний на скользящих режимах для нелинейных объектов. XII Всероссийское совещание по проблемам управления. ВСПУ-2014. Москва, 16-19 июня 2014 г. Труды. [Электронный ресурс] М.: Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН. 2014. С. 564-577.
© А. С. Мещанов, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, профессор кафедры автоматики и управления Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева-КАИ, mas41@list.ru; С. О. Богданов, аспирант кафедры автоматики и управления Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева-КАИ, mrc.bogdanov@yandex.ru; А. Ф. Султанова, аспирант кафедры автоматики и управления Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева-КАИ, Fa_izovna@mail.ru.
© A. S. Meshchanov, candidate of Science, senior staff scientist, professor of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, city of Kazan, Russian Federation, mas41@list.ru; S. O. Bogdanov, graduate student of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, city of Kazan, Russian Federation, mrc.bogdanov@yandex.ru; A. F. Sultanova, graduate student of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, city of Kazan, Russian Federation, Fa_izovna@mail.ru.
