Преобразования структуры управления в уменьшении его энергетических затрат и регулировании колебаний в скользящем режиме Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5.01:658.5

А. С. Мещанов, М. В. Каратаева ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРЫ УПРАВЛЕНИЯ В УМЕНЬШЕНИИ ЕГО ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАТРАТ И РЕГУЛИРОВАНИИ КОЛЕБАНИЙ В СКОЛЬЗЯЩЕМ РЕЖИМЕ

Ключевые слова: линейный объект, качество процессов, малые энергетические затраты, регулируемые колебания управления.

Предлагаются структурно-параметрические преобразования в уменьшении и минимизации энергетических затрат и в регулировании параметров установившихся колебаний управления на скользящих режимах при номинальных и неопределенных ограниченных возмущениях. Существенно повышается эффективность управления.

Keywords: linear object, process quality, low energy costs, regulation of control fluctuations.

Structural - parametric transformations are proposed in the reduction and minimization of energy costs and in the regulation of the control parameter of steady - state control fluctuations on sliding modes under nominal and bounded disturbances of undetermined. Significantly increases the efficiency of control.

Введение

В оценочных исследованиях энергетических затрат на управление предлагается применить интеграл за время переходного процесса

T = t — t

' 1)1) ' ww ' i

ния U =

0

= 1 \k j

от нормы вектора управле-

jUj

tj

J =

dt=

dt, j = 1, m, (1)

)

4 4 Ч=1 где kj - размерные коэффициенты.

Для малых энергетических затрат на управление и возможности регулирования установившихся колебаний управления выдвигаются и математически обосновываются три гипотезы. Первая из них обосновывается и дополнительно - в результате численного моделирования в системе программирования МайаЬ системы стабилизации напряжения генератора электромеханической системы в составе авиационно-космического объекта.

Гипотеза 1. Значения модулей |нг| разрывных

управлений в скользящем режиме при соответствующем задании их параметров принимают минимальные (нулевые) значения в результате обращения в ноль непрерывных составляющих управления в случае совпадения многообразия скольжения с подходящим по качеству процессов управления подпространством, образованном собственными векторами матрицы линейного стационарного объекта управления (или любыми другими подходящими по качеству управления фазовыми траекториями в случае нелинейных объектов).

Гипотеза 2. Для существенного уменьшения энергетических затрат на управление объектом предлагается использовать его подходящую динамику без действия на него стабилизирующего управления на определенных промежутках времени, по каким-либо показателям, характеризующим преимущество свободного, без управления, движения объекта в условиях, допускающих действие всех обычных внешних и параметрических номинальных и неопределенных ограниченных возмущений.

Гипотеза 3. Для регулирования установившихся колебаний самого управления на скользящих режимах во избежание их возможного негативного воздействия на исполнительные механизмы и на другие звенья системы управления следует в малой окрестности многообразия скольжения переходить (переключаться) на новые управления не вызывающие «прошивание» фазо-выми траекториями поверхностей переключений структур, но обеспечивающие асимптотическое и в основном без переключений структур попадание изображающей точки (и.т.) системы на данное многообразие скольжения, либо амплитуда установившихся колебаний управления в малой окрестности многообразия скольжения, вызываемых самим управлением, скользящим режимом и возмущениями, уменьшается до заданных значений достаточно близких к нулевым.

Вне малой окрестности предпочтительно действие ранее полученных простых в реализации управлений [1, 2], приводящих достаточно быстро и без больших значений и энергетических затрат системы в скользящие режимы обычного типа. Такое переключаемое в малой окрестности многообразия скольжения управление является гибридным.

Постановка задачи

Рассматривается система с линейным стационарным в номинальной части объектом

x = + B0u + D(Fo( t)+ h(t),

(2)

где

ht u+D AF(/)+ADt)F0(/)+ADWAF(/) -

приведенный вектор неопределенных ограниченных возмущений,

A (t) = A0 + AA{t) , B() = B0 + AB() ) , D)) = Do + AD()) , F (t) = = F) + F) ,

F (t) = (F( ) .....Fi())T , u = (u.....um)T -

векторное управление, приводящее систему (2) в скользящий режим на многообразии скольжения S (s = Cx = 0).

Предполагаются выполненными известные условия инвариантности скользящего режима к вектору неопределенных ограниченных возмущений (линейной зависимости столбцов матрицы Do и столб-

ца h(t) со столбцами матрицы Во входа управления) [3, 4]: Do = ВоAdo , h = Bo\h.

Управление предлагается формировать в виде суммы непрерывной номинальной ин0) и разрывной ир составляющих

u = Uh0 + u р, (3)

первая из которых формируется в виде линейной обратной связи тем или иным известным методом [5, 6] по заданным собственным значениям и собственным векторам номинальной системы

x=Ao x +BoUh0, (4)

в виде

ино = Ko x, (5)

где Ko - mxn- матрица постоянных коэффициентов, а вторая, ир, служит для приведения исходной

системы (2) в скользящий режим на (n — m) — мерном многообразии пересечения m гиперплоскостей скольжения

S(s = Cx = 0) , s=(s1.....sm)T, (6)

где sj = Cjx, j = l,m,

C = (CT,..., CTm )T = (C1, C2), Cj = (cj1,..., cjn), C1 и C2 -m x n-m) и mxm — блоки матрицыC . Разрывное управление ир предлагается формировать в свою очередь в виде суммы

ир = u р о +uh, (7)

где иро приводит в скольжение на многообразие

S (6) номинальную систему (4) с номинальным возмущением Do F0(t)

(8)

x = Ao x + Bo(Mhq + Upo) + DoF0(t)

а uh преодолевает возможное неблагоприятное воздействие (на процесс приведения в скольжение) вектора неопределенностей h (t) в исходной системе (2).

Составляющая иро представляет сумму

uр0 = u0 + uF0, (9)

где uFo компенсирует воздействие номинального возмущения Fo (t) на процесс приведения системы в скользящий режим на S (6), а и о приводит в скольжение номинальную свободную от возмущений систему

x = Ao x+ Bou но + Bouo. (10)

Для уменьшения модулей, составляющих u¡, управления и будем применять идентификацию вектора h(t), в частности, по методам, предложенным в работах [7, 8]. Тогда получаем номинальное (известное) возмущение h(t) = ho(t) в полной, и уже номинальной, системе (2):

x = Ao x + Bo(Uнo + upo) + DoFo(t) + ho(t), (11) а составляющая Uh принимается за номинальную составляющую Uh = Uoh. Вместо Up (7) приходим к управлению:

Up = ир0 = и0 + UF0 + U0h • (12)

Отметим, что идентификация и последующая компенсация вектора h)) управлением u00h становится особенно оправданной при больших предельных значениях неопределенностей, так как в этом случае управление и (7), (9) для приведения исходно й с исте мы (2 ) в с кользящий режим, основанное на неравенствах при определении его разрывных коэффициентов, может принять сверх достаточные значения (в то время как в большей части времени переходного процесса неопределенности могут быть и нулевыми или даже содействующими приведению в скольжение в силу своей неопределенности). Как показано в работе [9] для компенсации необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия инвариантности [3, 4]. Следовательно, предлагаемое управление uoh , а с ним и управление up (12), являются реализуемыми.

Применяя методы построения векторного разрывного управления, полученные в работах [1, 2], приходим к следующим выражениям для трех слагаемых и0), uF(¡, Uoh управления ир = иро (12):

uo = u экв +и

где

gsH•

иэкв = "i (CBo)-lC(A +BoKo)x], (14)

(13)

иэкв — эквивалентное управление, получаемое при выводе уравнений скользящего режима из условия s = Cx = C(Aq x + BqKqx + Bqu) = 0 в системе свободного движения

X = Aq X + BqKqX + BqU (15)

по методу В.И. Уткина [4] (управление иэкв =—[{CB0)~lC{A0 + B0K0)x] примет значение равное нулю в полном управлении и (3) при соответствующем, далее предлагаемом, задании матрицы C многообразия S (6) согласно Гипотезе 1);

(16)

= (CBo)"^( Kgg + KsS

lgSH

-,KgrmX Ks = diag(Ksb-,KSmiX

где

Kg = _

g = (gi,-,gm), gi = dïx, i = 1m, строки dj и

T

ci являются линеино - независимыми; Kgi и Ksi -разрывные, в зависимости от знаков произведении sigi, параметры;

uFo = - (CB0)-1CD0F0(t),

uoh =- (CBo)-lCho(t). Значительный практический интерес представляют движения изображающей точки (и.т.) по фазовым траекториям системы (2), (3) в скользящем ре-

жиме в подпространствах собственных векторов матрицы

A + B0K0 (18)

и, в особенности, если эти собственные векторы соответствуют собственным числам матрицы (18) с подходящими отрицательными вещественными частями.

В целях дальнейшего (помимо идентификации приведенного вектора неопределенных возмущений) уменьшения модулей составляющих векторного управления и в разработке энергосберегающего управления, при одновременно высоком качестве процессов управления в скользящем режиме и в системе в целом, рассмотрим движения и.т. по фазовым траекториям на многообразии S (6), совпадающем с подпространством выбранных собственных векторов, с равным нулю слагаемым иэкв полного

векторного управления и. (В случае нелинейных объектов за многообразия скольжения предлагается выбирать подходящую по качеству переходных процессов сепаратрису или другое подпространство с предварительным переходом в координаты, в которых точка устойчивого равновесия совпадает с началом выбранной системы координат).

Задачи. 1. Дать строгое математическое обоснование трем выдвинутым во введении Гипотезам 1-3 на примере систем с линейным стационарным объектом. 2. Проиллюстрировать действие Гипотезы 1 дополнительно на численном примере системы стабилизации напряжения генератора в электромеханической системе авиационно-космического объекта. 3. Представить методы дальнейшей численной минимизации энергетических затрат на управление путем настройки его параметров.

В данной статье представлено решение первой задачи.

Математическое обоснование Гипотезы 1 (нулевые значения управлений Uj в случае совпадения

многообразия скольжения с подходящим по качеству процессов управления подпространством собственных векторов матрицы объекта, нулевых параметров матрицы Kg ).

Решение данной задачи сформулируем и докажем в виде теоремы. Пусть начальный мент t( совпадает с началом скольжения на многообразии пересечения гиперплоскостей скольжения.

Теорема 1. Для получения в системе (11) слагаемого иэкв в управлении u() =u3BB+UgSH (13) полного управления и (3)

u = uH0 +ир = ин0 +ир00 =

ин0 +u0 +uF +u0h =ин0 +u3KB+ugsH+uF +u0h равным нулю на всем интервале скользящего режима

иэкв =—[(CB0)—lC(A + B0K0)x] - 0, (20)

необходимо и достаточно, чтобы (n — m) — мерное многообразие S(s = Сх() = 0) (6) совпадало с

(19)

t^(to,tkL tk<œ=

подпространством, определяемым выбранными собственными векторами матрицы А + В0К0 (18). Достаточность. Обозначим матрицу А + ВоК (18) через Ад0 и представим ее в блочном виде и как

результат перехода из канонического базиса с Жор-дановой матрицей:

А оо = Ао + ВоКо = Г А0011 А00121= MJ(k) N =

VА0021 А0022 ) (21)

= Г М11 М12V ^(к) о V N11 N12 ^ V М 21 М 22 ){ 0 J 22 (к)){ N 21 N 22 /

где к =к.....кп\ — совокупность собственных чисел

матрицы А + В0К0 (18), J{k) - матрица Жордана; Аооу , Jii{к , M¡j , Шу - блоки матриц Аю, J , М, N блоки A0011,Jn(к) , Мц, N11 име-

ют размерность (п - т) х (п - т); М — матрица канонического базиса, составленная из серий собственных векторов матрицы Ао + ВоКо (18);

N = М —1. Так как многообразие £ (5 = Сх(1) = 0)

(6) совпадает по условию с подпространством собственных векторов, за которые, не теряя общности изложения, принимаем первые (п — т) собственных векторов матрицы М , то в произведении

С(А0 + В0К0) = CMJ (к) N =

С2)(Мп М12VJll(k) 0 )(N11 N12 ■

= с

(с1, с2 )

M21 M22 ){ 0 ^(кД^х N22 )

(22)

выполняются равенства:

m

[M21J

(с1, C2)ÎM11]=(C1Mu+C2M21)=

(0 ... 0^

0 ... 0

.2

—mx(n—m);

(23)

CMJ (к) = (0тХ(п—т), (С1Ми + C2M22)J22(k)). (24) Рассмотрим теперь в выражении иэкв (14)

иэкв=—[(СВ)—1С(Ао + ВоКо)х] =—[(СВ)—1СШ(к) Их]

(25)

произведение Ых. Так как в скольжении по (п—т) — мерному многообразию £(5 = Сх(?) = 0)

субвекторы х1, х2 связаны соотношением

С1х1 + С2 х2 = 0 то х2 = —(С2) 1С1х1 и, следовательно, в произведении N х имеем:

(26)

( x1 > (

x =

vx2 )

^ г

— (C2)—1 с1 x1

E,

(n—m )

— (C 2)—1 с1

(27)

где E(n—m) — единичная матрица размером (n — m) x x (n — m). Получаем:

Nx =

N11 N12

E

■(n—m)

(

N11—N^Vd ^ N21—^2(с2у1с\

(28)

VN21 n22)^— (с2)—1с11

Подставляя данное выражение N x (2 8) и выражение (24) для CM J {к ) в произведение CM J( k ) Nx,

получаем:

x

x

1

СМ1(Я) ш=

Мп-^с2}-4^

1 = (29)

(См^+С/^^л))

^п—т) + (СгМ12+С2Ы22>12(Ш1-М2(С)АС)х\ Рассмотрим теперь в выражении (29) сомножи-2 —1 1

тель(N21 — N22^ ) С ). Для этого запишем выражение для матрицы N = М 1. Применяя технику оперирования с блочными матрицами, получаем следующие выражения элементов N21 и N22 об-

матрицы N = (щ ) = М 1, I, j

= 1,2.

и рас-

ратной ., - у j

сматриваемого сомножителя [10, с. 60]:

N21 = —((М22 — М21М—ъМ^)—1[М2\М—11) ;

N22 = (М22 — М21М—11М12)—1, (N21 — ^2(С2)—=

(М22 —М2М1М12)—11(—М2М—1 — (С2)—1С1). Учитывая, что согласно выражению (23) М21 = -(С2)—1С1М11, приходим к выводу, что

N21 — ^22( С2)—1С1) =

= (М22 — М21Мп1М12)—^( —М21М1 -(С2)—1С1) =

= (М22 — М21М1—/М12)—1((С 2)—1^МцМ—1 — (30)

2 —1 1 — (С ) С )) = 0т<(п—от)-

Получаем, что СМ 3(Я) Nх = 0т<1 и, следователь-

= — [(СВ0)—1С (А0 + В К>) X] =

но,

= — [(СВ0 )—1СМ 3(Я) N х] =

(31)

= (иэкв1,---, иэквт) = 0т<1.

Необходимость. Если предположить, что многообразие Я (6) не совпадает с подпространством, определяемым первыми (п — т) собственными векторами матрицы канонического базиса М, а эквивалентное управление иэкв тождественно равно нулю на промежутке управления ) е (/0 , к], к < <», то сразу же приходим к противоречию с данным предположением, так как нарушается равенство (23), а за ним и равенства (30), (31). Теорема доказана.

Следствие 1. Для построения (п — т) - мерного

многообразия скольжения Я (6), совпадающего с подпространством, образуемым первыми (п — т) собственными векторами матрицы канонического базиса М , должна решаться система алгебраических уравнений (23) относительно коэффициентов

субматриц С1, С2 :

(с1, с2)(ММ21]=(с1М11+с2М21)^

Г0 ... 0^1

—т<(п—т);

(32)

в частности, при известных и заданных не особых субматрицах Мц и С2 решение данной системы (32) принимает сравнительно простое выражение:

С1 = —С 2М21М— . (33)

Следствие 2. Движение в скользящем режиме по интегральной прямой возможно только в таком случае сочетания размерностей п и т исходной системы (2) и вектора управления и, при котором размерность п — т многообразия скольжения Я (6) равна единице

п — т = 1. (34)

Следствие 3. В случае таких сочетаний размерностей п и т , при которых разность п — т равна двум, трем и т.д., скольжение осуществляется в подпространстве, определяемом соответственно двумя, тремя и т.д. собственными векторами. Так, например, в системе п — го порядка со скалярным управлением, при т = 1, движение в скольжении возможно только в (п — 1) — мерном подпространстве, определяемом таким же количеством выбранных собственных векторов.

Следствие 4. Если в исходной системе (2) нет вектора внешних номинальных возмущений Fo ()) и неопределенностей, выражаемых приведенным вектором /7(/), и объект имеет сам по себе (п — т) приемлемых собственных значений с соответствующими собственными векторами, то необходимость в

составляющих UFo , и/и ин0)в управлении и отпадает и с учетом нулевого значения иэкв при соответствующем задании многообразия скольжения 5, совпадающего с (п — т) - мерным подпространством подходящих собственных векторов матрицы А0 объекта, оно запишется в виде:

и = и

gsн

■ {СВ00 ) _1( Кдд + К))

(35)

В данном управлении переключаемые составля-

±

ющие к^ разрывных параметров к^ в малой

окрестности многообразия Я могут задаваться нуле-

±

выми, а конечные значения составляющих к,,{ разрывных параметров к^ в скользящем режиме не

имеют значения в уменьшении модуля управления и его энергетических затрат, так как в скользящем режиме составляющие вектор - функции 5 принимают значения достаточно близкие к нулевым и, следовательно, вектор К^, как и вектор Kgg,

имеет нулевые составляющие.

Таким образом, данное управление и (35) будет с момента начала скользящего режима принимать по норме минимальное значение, равное нулю, а энергетические затраты (1) постоянное значение, равное сложившимся затратам на этот момент.

Математическое обоснование Гипотезы 2 (ис-по льзование подходящей динамики объекта без действия на него стабилизирующего управления на определенных промежутках времени).

Предлагается для существенного уменьшения энергетических затрат на управление объектом использовать только его собственную подходящую динамику с начал ^ = и до концов 1+1 малых ин-

и

0

0

тервалов времени, tel/ =(t/,t/+l], i = 1,k, k < œ, на которых производная определенно положительной функции Ляпунова V = xTLx, L — n<n — матрица, Vоб — производная, определяемая в силу системы уравнений объекта

xo6 = Aoxo6 +D)F)()+ (h(/)-ABflu) , (36) где ht) =At x+AB)t u+D) Ft +AD)tFtt +D) AF)t -приведенный вектор неопределенных ограниченных возмущений, принимает отрицательные значения большие по модулю, чем производная V по системе (2), то есть при действии управления:

x = Aox + B)U + D)Fo))+ h)) . (3V)

Состояния хоб (tj ) системы (36) объекта для проверки выполнения представленного условия

Vo6(t/)<V(t/), i = lkk k <œ, (38)

приравниваются на каждом шаге в моменты t = ti состоянию x(tj ) системы (3V),

хоб (ti ) = x(ti), i = lk k < œ. (39)

Упростим условия отключений (38) управления на малых шагах I = (tj, tj-+l ]. С учетом равенств

Vo6(t/) = (Aox(t¡) + B)U / + D)Fo( t/) + h(t¡) —

— AB)u{t¡) )T Lx{t¡) , V) = (Aox(t/) + B)U/ +

+ D)Fo(t¡)+ /^O) )T Lx(t¡) в результате сокращений получаем:

u)/) =

(0,..,0)Тпри[ (Во +AB^t/)íut/) ]TLx(t/) > 0 VAB(t/) e Пдв,

u(t/) при [ (Во + AB(t/)u(t,) ]TLx(t/) < 0 VAB^t/)eQAB,

(40)

Математическое обоснование Гипотезы 3 (регулирование установившихся колебаний управления).

Необходимость регулирования установившихся колебаний самого управления возникает в случаях их возможного негативного воздействия на исполнительные механизмы [11, с. 130], а также и на другие звенья системы. В частности, могут возникнуть нерасчетные срабатывания данных механизмов, например, электро-клапанов с понижением их ресурса на скользящем режиме с большим числом переключений и резонансные колебания в звеньях системы [12].

Рассматривается система (2), (37) с управлением (3), (5), (7), (9), (12), (13), (17), (19):

u = uho +up (3), uho = Ko x (5), up = upo +uh (7),

ир0 = u0 + uF0 (9) up = up0 = u0 + uF0 + u0h(12) ,

u0 = u3KB + ugsH (13) ,

uf0 = — (CBo)—1CDoFo(t), u0h =-{CBo)-lClh{t (17),

и = ин0 + ир = uh0 + ир0 = uh0 + U0 + UF0 + U0h = = uh0 + иэкв + UgsH + UF0 + U0h (19)

где ^экв =

[(СВ0)—1С (А + В0 К0) X],

и&н =(СВ0)-^(Кдд + К)) .

Компенсация возмущений DoFo()) и Щ) при выполнении условий инвариантности

кFo(t)иН^)следует непосредственно из вывода уравнений скользящего режима на зии Я (6) для системы (37) методом эквивалентного управления [4]:

- полагаем в скольжении

) = Сх = СА0х + СВ0и + CD0F0( /) + С/(/) = 0 и находим из данного уравнения эквивалентное управление

и = иэкв = — (СВ0 )—1 (СА0 х + С£0 (t) + СН^)) х;

- подставляе м данно е управление и = иэкв в систему (37) и получаем систему

X = А0 х + В0и + £0 (t) + Н (t) =

= А0 х — В0 (СВ0 )—1 (СА0 х + СД, ^ (t) + + С Н ^ )) х + £>0 (t) + Н (0 =

= (А0 — В0 (СВ0)—1СА0) х + (Е — В0 (СВ0)—1С ) £ ^ ^) +

+ (Е — В0(СВ0)—1С )Н (t),

откуда с учетом условий инвариантности

Do = BoЛDo, /(/)= В0Л/(/) , (41)

где Л£>0 и Лн ^) соответственно Л£ — т < I и

Лн ^) — т < 1 — известные матрица и вектор, окончательно получаем систему скользящего режима

х=( А0 —В0( СВ0)"1СА0)х, (42)

которая в силу условий инвариантности не содержит возмущения DoFo)) и//).

Следует отметить, что при выполнении условий инвариантности (41) действие возмущений исключается не только с начала скользящего режима, но и с начального момента действия системы в процессе попадания и.т. системы на многообразие 5 (6), так

как управления (17) UFo = — СВ)"1 CD0F0) ,

и0н = — СВ0)-1С/(), умноженные на матрицу входа управления В0 , сучетом условий инвариантности (41) преобразуются в системе (37) к виду:

BoUF =-BCBo) C¡D)F0(t=-BDF)(t = -D)F)(t , B)Uoh = -B( CBVCh) ( t =B CBV1C^h(t=-h( t

(43)

Для регулирования установившихся колебаний управления предлагается:

- исключить в управлении (13), (16)

7gsH

= (CBo) 1 < >< Kgg + Kss) диагональную мат-

рицу Kg разрывных параметров K?j и положить в

gj

диагональной матрице К ) разрывные параметры к ■

непрерывными, то есть равными переменными одного отрицательного знака;

- сомножители ^ - функции переключений структур правления в К^ задавать в нечетных степенях

¿у , к = 1,3,5,..., для управления асимптотическим

приведением и.т. на многообразие скольжения;

- корни характеристических уравнений систем скользящего режима на гиперплоскостях скольжения Sj = CjX = 0, j = 1, т, задавать вещественными

отрицательными во избежание колебаний управления, вызванных колебаниями процессов скользящего режима при задании корней комплексно-сопряженными (хотя и с отрицательной вещественной частью);

- в случаях погрешностей Л//)) идентификации Л о ()) приведенного вектора неопределенных возмущений /)) =/ )) + ЛЛ()) и нежелательных колебаний в самих управлениях иРо = — (СВо)—1^CDоFо( /), ц,Л =

= — (СВо)— 1 С/7(^()) в результате вхождения в них возмущений )) и /)) предлагается ограничение амплитуд колебаний управления до приемлемых значений, при которых не будет нерасчетных срабатываний исполнительных механизмов и устраняются возможные резонансные колебания в звеньях системы.

Рассмотрим последний метод регулирования колебаний несколько подробней [12]. Применяется развитие метода регулирования параметров колебаний не только от неопределенных возмущений h(t) =^(0 + + Лк(^, но и от номинальных возмущений Fо (^) . С этой целью с учетом номинальных (О о Fо (t) +hо(t)) и неопределенных ограниченных возмущений Л//)) разобьем управление и и производную

S = Сх = (С40х + СВ0и) + C(D0F0()) +Л0 ()) ) + СЛ//)) на соответствующие слагаемые:

и = ио + +/ + иЛ/

(44)

"0' о 1 " о

s= s0 + +Л0 +

где слагаемые производной 5 согласно приведенным разбиениям примут вид:

¿о =С(А + ВоКо)х + СВоио, SD0F0 +Л0 = )) +Л0 ()) ) + СВоир^0 +Л0,

¿ЛЛ =СЛ//))+СВоилл. Управление ио согласно заданию

к к к к Т

ной ¿о равной , ^ = (¿1.....¿т) , находится

к

из равенства К ss производной 5о в силу системы (15) и примет вид

ио = (СВо )—^—С(Ао + ВоКо)х) . (45) С целью упрощения построения управлений иВпЛ + кп и иЛИ полагаем

UD0F0 +Ло =(СВ0 ) +Ло

■'о' о 1 " о

иЛЛ =(СВ0 ) 1иЛ/

(46)

Тогда

5Ъ0 +к0 = С (Ъ0 ) +h0(t)) + иЪ0 + к 0 >

5Лк = СЛк0) + иЛк •

*

Задаемся структурой векторных управлений и иЛк в виде:

иЪо^о + ко = (и (Ъо^о + ко и *Оо ^о + ко)т ) Т = = (С1к Сткт5т ) Т, С у = (Сд,..., у), ку = (к1^'кП )Т,

5(Ъо^о + ко)у = и(*Ъо^о + ко)у + Су (Ъ0^0 + к0) = = С ук' у + Су (Ъо ^о + ко) =

= Е П=1 С Л (к/5 у + (Ъо ^0 + ко) г), | к/ (/) | = | (Ъо^о + ко)г | / Л*у + а/, (47)

а/ > 0, (Ъо ^о + ко) г = Ъо г (/) ^ (/) + % , Л у > Л*у > о, к г (() = — | к г (() | ^п Сц ((),

г = 1, п, у = 1, т;

иЛЛ = (иЛ/1.....иЛЛт ) Т=

СЛ.....Сткт¿т) Т,

Cj =(сл.....Cjn ) к =(к/.....к )Т,

¿ЛЛ/ = иЛл/ + CjЛh = ¿у + CjЛh =

Ynn=1cj¡(^kisj + Л/ ,

| К | = тах| АЛ()) | / л»- +а/¡ , а/¡ > 0, Л> Л»у- > 0, К! = — | к1- | ¿¡/п Су> ())

(48)

(49)

¡ = 1, п, у = 1, т.

Как следует из выражений (47) и (48), достаточные условия 5(Ъ0р0 +ко)у-5у- < о и Лку 5 у < 0 приведения системы (2)

х = Аох + Вои + DоFо )) + Л ()),

Л()) = л0(О + лЛ^С)) ,

в скользящий режим на многообразие £ (6) с заданным качеством переходных процессов выполняется при условии Л у > 5 у > Л»у- > 0, у = 1, т. При достаточно малых задаваемых значениях Л» > 0 значе-

»1

ния по модулю 5у будут также в скольжении малыми, в результате чего установившиеся координаты хг будут стремиться к нулю. Следовательно, установившиеся значения слагаемых управления ио (45) будут также стремиться к нулю. Составля-

—1 »

ющие управлений UDоF0 +Л0 ^ (СВо) UD0FF +Л0 ,

Цлл =(СВо)—1и»(л, как следует из выражений (47), (48), с уменьшением модулей функций 5у при малых Л»у > 0 также стремятся к нулю. Таким образом, установившиеся колебания всех составляющих управления принимают допустимые малые значения, которые можно уменьшать до значений близких к нулевым.

Управления uDof0 +h0 = (CB0) 1uD0F0 +h0 , u&h = (CB0)-1u&h (46) являются непрерывными при отсутствии смен знаков функций Cji(t), j = 1,m, i = 1, n, либо при замене сигнатур

sign cji(t)( sign cß = 1при cß > 0, sign cJi = -1

при c ji < 0, sign Cji = 0 при c i = 0 ) на их непрерывные нелинейные аппроксимаЦии /ji:

/ji- =1 при Cji > b, /ji =-1 при Cji <-b, /ji = (1/b) Cji при b > Cji >-b,

где линейная функция в третьем выражении может быть заменена на одну из нелинейных:

а) fjj= (1/b2)cj при 0 < с. < b, fji =- 1/b2)cj при 0 > Cß > -b;

б) fp= (1/b3)cj при b > с. > -b.

Публикация осуществлена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Татарстан в рамках научного проекта № 15-48-02101.

Литература

1. Мещанов А.С. О приведении в скользящий режим многомерных разрывных систем с нелинейным нестационарным объектом управления. В кн.: "Устойчивость движения", Новосибирск: Наука, 1985, С. 230 - 234.

2. Мещанов А.С. Уравнения скольжения на подвижных многообразиях и синтез векторных управлений для нелинейных объектов при неопределенных возмущениях. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2008, № 2, С. 51-56.

3. Drazenovic B. The invariance condition in variable structure systems// Automatica. 1969. Vol. 5, № 3. P. 287-295.

4. Уткин В. И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. - М.: Наука, 1974.272 с.

5. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976, -424 с.

6. Sinswat V., Fallside F. Eigenvalue/eigenvector assignment by state-feedback, Int. J. Control, 1977, vol. 26, № 3, p.389-403.

7. Мещанов А.С. Идентификация и компенсация возмущений в управлении нелинейными объектами, применение для посадки возвращаемого космического аппарата. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2010, № 3, С.164-173.

8. Мещанов А.С., Масалимов М.Ш. Метод идентификации приведенного вектора неопределенных возмущений для управлений на многообразиях скользящих режимов. Труды Третьей российской конференции с международным участием «Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения». Россия, Москва, Институт проблем управления, 18-20 апреля 2012 г. CD, C. 810-816.

9. Мещанов А.С. Синтез скользящих режимов при невыполнении условий инвариантности к возмущениям в системах с линейными стационарными объектами с размерностью отличной от удвоенной размерности управления. // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 2014, №4, С.154-163.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука, 1967. -576 c.

11. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи: управление при неопределенности- М.: Наука. Физматлит, 1997. -352 с.

12. А.С. Мещанов. Регулирование колебаний на скользящих режимах для нелинейных объектов. XII Всероссийское совещание по проблемам управления. ВСПУ-2014. Москва, 16-19 июня 2014 г. Труды. [Электронный ре-сур с] . М. : Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН. 2014. С. 564-577.

© А. С. Мещанов, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., доц. каф. автоматики и управления Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева-КАИ, mas41@list.ru; М. В. Каратаева, аспирант той же кафедры, marina_karataeva@mail. ru

© A. S. Meshchanov, Candidate of Science6 senior staff scientist, assistant professor of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university named after A.N. Tupolev-KAI, mas41@list.ru; M. V. Karataeva, graduate student of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university named after A.N. Tupolev-KAI, marina_karataeva@mail.ru.