CC BY
7
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
УДК 681.5.01: 658.5
А. С. Мещанов, Э. А. Туктаров МОДЕЛЬНОЕ СКОЛЬЖЕНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ ОТКЛОНЕНИЯМИ В СИСТЕМАХ С ЛИНЕЙНЫМИ СТАЦИОНАРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Ключевые слова: модель-идентификатор состояния, скользящий режим, качество процессов.
Даны выводы уравнений скользящего режима исходной и модельной систем на фиксированном многообразии скольжения с модельным вектором состояния в координатах исходной, модельной и в отклонениях систем. Найдена матрица управления для системы в отклонениях, обеспечивающая в скользящем режиме экспоненциальное уменьшение отклонения по норме в заданное число раз за требуемое время с нулевым установившимся значением, либо обычные прямые показатели качества. Получена матрица многообразия скольжения модельной системы такая, чтобы процессы управления в модельной и в исходной системах удовлетворяли в скользящем режиме, и для этих систем в целом, указанным показателям качества переходных процессов.
Keywords: model-identifier of the state, sliding mode, quality ofprocesses.
The derivations of the equations of the sliding regime of the initial and model systems on a fixed sliding manifold with the model state vector in the coordinates of the initial, model, and in the deviations of the systems are given. A control matrix for the system in deviations is found, which provides an exponential decrease in the deviation in norm in a sliding mode for a specified number of times in the required time with zero steady-state value, or ordinary direct indicators of quality. A matrix of the sliding manifold of the model system is obtained such that the control processes in the model and in the initial system satisfy in a sliding mode, and for these systems as a whole, to specified indicators of the quality of transient processes.
Введение
Рассматривается система управления с линейным стационарным объектом, представленная уравнениями:
z = A(t)z + B(t)u + D(t)F(t), x = Kz, (1)
где z g Rn;
t g I = (t о ,tk], tk < - ; A(t) = A о + AA(t); B(t) = B о + AB(t);
u = (u1,...,um)T вектор управления;
D(t) = D0 + AD(t) ; F (t) = F0 (t) + AF(t) ; A0 ,B0 ,D0, и F0 (t) являются номинальными (известными) слагаемыми n x n, n x m, n x l - матриц A,B,D и l x 1 - столбца F(t), а слагаемые AA(t), AB(t), AD(t) и AF(t) их
неопределенными параметрическими и внешними возмущениями с ограниченными элементами. Выходной q x 1 - вектор x представлен произведением q x n номинальной матрицей K на вектор состояния z .
Исследуются управляемые системы вида (1) при возмущениях AA(t), AB(t), AD(t), AF(t) ,
удовлетворяющих вместе с ограниченным номинальным возмущением F0 (t) условиям инвариантности к ним скользящих режимов [1]: AA(t) = B0 AM(t), AD(t) = B0 AAD(t), D0 = B0 Л0о, AB(t) = B0 A^t).
Матрицы AÜA(t), ÁÚD(t), AÜB(t) и матрица ÁDo
в данных условиях (2) имеют соответственно неопределенные и номинальные элементы.
Помимо выходного вектора x = Kz , матриц A0 ,B0 ,D0 и вектора F0 в синтезе управления системой (1) предлагается применить и вектор состояния zM (t) идентификатора - модельной системы, которая формируется в виде [2]:
zм = AoZm + BoU + KuGT(x - Kzм) + DoFo(t), (3) где x = Kz , как и в исходной системе (1). В данной модели (3) слагаемое
KuGT(x - KZm ) (4)
должно обеспечивать при соответствующем задании n х m и q х m - матриц Ku и G достаточно быстрое уменьшение отклонения Az(t) вектора состояния z(t) от желаемого модельного движения Zm(t) :
Z(t) = Zm (t) + Az(t) . (5)
Предлагаемая модель (3) отличается от известного асимптотического идентификатора состояния Люенбергера [2] тем, что применяется для системы (1) с неопределенностями AA(t), AB(t), AD(t), AF(t) и содержит в себе номинальное векторное возмущение D0F0 (t).
Постановка задачи
1. Вывести уравнения для скользящего режима исходной и модельной систем (1) и (3) на
(п - т) - мерном многообразии скольжения с модельным вектором zм
= ^ ,...,зт)Т = Сги (О = 0) (6)
в координатах исходной и модельной систем и в отклонениях от модельных координат.
2. Найти для слагаемого (4) модельной системы (3) такую матрицу Ки, чтобы норма ||Лг^)|| управляемой при соответствующем задании матрицы G системы уравнений в отклонении Лz(t) в скользящем режиме экспоненциально уменьшалась в заданное число к раз, или большее число раз, к > 1, за требуемое время с нулевым установившимся значением, либо отклонения Лг/ (t) удовлетворяли известным заданным прямым показателям качества переходных процессов.
3. Найти такую т х п - матрицу С многообразия Б (6), чтобы процессы управления в модельной и в исходной системах (3) и (1) удовлетворяли в скользящем режиме, и для этих систем в целом, указанным в задаче 2 показателям качества переходных процессов.
4. Найти эффективные векторные разрывные и непрерывные управления и, которые обладают при заданном качестве переходных процессов следующими преимуществами: имеют сравнительно малое или нулевое число логических переключающих устройств; не накладывают ограничений на задание многообразий скольжения (помимо общего необходимого условия существования управления |СВо| * 0 ); приводят
последовательно и с заданным качеством модельную и исходную системы (3) и (1) за требуемые малые промежутки времени в скользящий режим на модельном многообразии Б (6); обеспечивают в гибридном варианте управления регулирование параметров установившихся колебаний управления во избежание их возможного негативного воздействия на звенья системы управления и на ее энергоресурсоэффективность и энергосбережение; обладают сравнительно малыми по модулю значениями составляющих векторного управления и сравнительно малыми и минимальными энергетическими затратами, оцениваемыми интегралом от суммы модулей составляющих управления (со своими коэффициентами пропорциональности) за время переходного процесса с использованием в этих целях настройки параметров управления, идентификации и компенсации возмущений и подходящей динамики объекта управления.
В данной статье представлено решение первых трех задач.
Уравнения скользящего режима в исходной, модельной и в отклонениях от модельного движения системах
Для вывода системы уравнений скользящего режима на многообразии Б (6) в исходной системе (1) с применением, например, метода эквивалентного управления [3], она сначала
преобразуется в координаты векторов гм (t) и Лг^) [4]:
2 м = (Ао + ЛЛ^))(гм + Лг) + (Во + ЛВ^))и +
+ (йо + ЛD(t))(Fо ^) + ЛF(t)) Лг. ()
Эквивалентное управление и = иэкв находится из условия
5 = Сгм = 0 .
м
После подстановки управления иэкв в исходную, сначала в координатах гм ,Лг , систему (7) получаем систему скользящего режима в виде
гм = (Е Во (СВо) 1С)(Ао(гм + Лг(^)- Лг), (8) где гм е Б(6): в = Сгм = о.
В исходных координатах вектора г(t) и в координатах вектора отклонений Лг( t) от модельного движения получаем систему скользящего режима:
гм = (Е - Во (СВо )-1С)(Аог„ + КивТ(х - Кг„)), (9) Найдем также уравнения скользящего режима на Б (6) в модельной системе (3). Применяя к ней изложенный метод, получаем систему:
гм = (Е - Во (СВо )-1С)(Аогм + КивТ(х - Кгм )), (10) где гм е Б(6), (х - Кгм ) = КЛг.
Вычитая систему (10) из (9), получаем систему уравнений для Лг(t) :
Лг = (Ао - КивТК)Лг. (11)
Таким образом, заменяя в (9) производную Лг на её выражение (11), получаем замкнутую систему скользящего режима в исходной системе (1) на многообразии Б (6):
г = [(Е - Во (СВо )-1С)Ао ]г + + [Во(СВо)-1С(Ао -КивТК)]Лг, (12) Лг = (Ао - КивТК)Лг,
где г^) е = С(г^) Лг(О) = Сгм ^) = о) при Лг(t) = о.
Методы построения матрицы управления отклонениями от модельного скользящего режима
С этой целью для исследуемых систем со стационарными объектами предлагается применить четыре метода, полученные в работе [5] и основанные на развитии следствия неравенства Важевского [6, с. 150], теоремах об экспоненциальной устойчивости линейных нестационарных систем [7] и применении известных методов поиска настроечных параметров [8].
Введем обозначения для второй подсистемы в системе (12)
Лг = (Ао - К^ТК)Лг, (13)
Я = [(Ао - К^ТК) + (А - KTGTKTU)]/ 2 , (14) Л - корни характеристического уравнения симметрической матрицы Я, / = 1,п :
- ЕЛ = о; (15)
Д - корни характеристического уравнения системы (13) , / = \п :
- К^ТК - ЕЛ\ = 0. (16)
Заметим, что корни данного уравнения совпадают с корнями уравнения
|(А0Т - KTGKTU) - ЕД = 0 (17)
(в силу равенства определителей некоторой исходной матрицы и её транспонированной [9, с.39]).
Далее предполагается, что пара (А^,-КТЭ) удовлетворяет известным условиям управляемости. Обозначим через ¡4* симметрическую матрицу
= № + ЕЬ = (г*),
■га +
/, ] = 1, п,
(18)
где постоянная 3 > (- 1п(1/к)/Т) > 0,Т - время
переходного процесса, к = 1,2,3,... - во сколько раз
уменьшается норма Ц^Ц вектора Аг в системе (13)
за время переходного процесса Т [10], - символ
Кронекера, и рассмотрим характеристическое уравнение,
№ - Ед\ = 0,
(19)
где д = Л + Ь.
При выполнении условия асимптотической устойчивости по следствию неравенства Важевского для корней характеристического уравнения (19)
Q < 0, (20)
где Q - наибольший корень из д, = + Ь, / = 1,п, получаем
Л, <-Ь, / = Щ. (21)
Однозначной связи между корнями Д характеристического уравнения (16), (17) системы (13) и корнями Л/ симметрической матрицы № (14) не известно. (Известно лишь, что действительная часть ¡е Д каждого из корней Д характеристических уравнений (16), (17) лежит между наименьшим и наибольшим собственными значениями Л: матрицы №, а мнимая часть JmД -между наименьшим и наибольшими собственными значениями кососимметрической матрицы 1
2[(А - КиОТК) - (Ат0 - КТвТ КТ)] [10+1, с. 441]).
Неизвестны и оценки значений Л, по корням Д . В этой связи для выполнения условия (20) и экспоненциального убывания ||Аг(^)|| в заданное
число раз за заданное время (например, за четверть общего времени переходного процесса) предлагаются два метода.
По первому методу сначала задаются с достаточно малым шагом А( корни Д характеристических уравнений (16), (17). Для упрощения метода на первом шаге их полагают равными и вещественными:
Д = Д2 =... = Д = Д < 0 . (22)
Затем по известным алгоритмам [2, 12] по заданным корням (22) находят коэффициенты к^
матрицы КТ управления системы (13). Далее по к^ находят вещественные корни д:
характеристического уравнения (19) и проверяется выполнение условия (20). По известным численным методам [8] осуществляется поиск значений Д, для которых выполняется условие (20). По найденному значению Д находятся окончательные значения коэффициентов ки^ матрицы управления КТ .
Если решение Д не существует (не находится), то число настраиваемых параметров предлагается увеличить:
Д = А2 =... = Ак = Д; Дк+1 = ак+1 + Д<+V
Дк+2 = ак+1 -Шк^ ...,Дп-1 = ап-1 + Шп-^ (23)
Дп = ап-1 - в-V
где к - четное (нечетное) число при четном (нечетном) п . Таким образом, максимальное число г настраиваемых параметров при четном (нечетном) п может в общем случае достигать значения п .
Второй метод, также как и первый, предполагает задание настраиваемых параметров согласно (22) или (23) при нахождении коэффициентов ки^, но не
требует нахождения корней д: характеристического уравнения (19) для проверки условия (20). Вместо этого вычисляются главные миноры АЬ, /= 1,п, матрицы Гурвица и определитель симметрической матрицы(18) (Следствие Теоремы 2 работы [7] , следующее для стационарных объектов):
Следствие Теоремы 2 [7]. Для экспоненциального затухания в системе (13) нормы \\Аг(()\\ за конечное время Т = tк - ^ полуинтервала 1к = (t0 в к или большее число раз, к > 1, достаточно, чтобы выполнялись неравенства
А* > 0, / = %п, а* = (-1 )п| > 0, (24)
где - симметрическая матрица (18), а
А* - последовательные главные миноры матрицы
Гурвица
^) =
( а1 а3 а5
а* а2 а4
0 а* а3
\
(25)
с элементами
п
а* =-з* =£Ь*; а* = з* = £ Л...;
/к"
(26)
ап = (-1)"з"п = (-1)"\№\,
определяемыми для характеристического уравнения
№ -дЕ = аь0д" + а*дп-1 +... + а* = 0 (27)
Л
0
а
п
при a¡¡ = 1, где q = Л + h.
В третьем методе (Следствие Теоремы 6 работы [7], следующее для стационарных объектов), основанном на следствии критерия Сильвестра для симметрических постоянных матриц, в отличие от второго не требуется определения не только корней q¡, но и коэффициентов характеристического уравнения (27).
Следствие Теоремы 6 [7]. Для экспоненциального затухания в системе (13) нормы ||Az(t)|| за конечное время T = tk -10 полуинтервала Ik = (t0,tk] в k или большее число раз, k > 1, достаточно, чтобы выполнялись неравенства
Af < 0; As2h > 0; Af < 0;...; (- 1)n Asnh > 0; (28) где Af - последовательные главные миноры симметрической матрицы Rh (18).
Помимо трех изложенных методов синтеза KT
основанных
на
матрицы управления . ,u применении тех или иных методов поиска в известном направлении, рассмотрим четвертый метод ее нахождения в результате решения линейных алгебраических уравнений.
В данном методе требуется, чтобы симметрическая матрица R равнялась симметрической матрице TATT с заданным распределением A = diag {A1,...,An} в виде
отрицательных корней A,, i = 1,n :
R{t) = [(A -KUGT(t)K)+(AT -KTGKT)}/2 = TAT,
(29)
где T - ортогональная n x n - матрица (для которой TT = T-1 ). Для нахождения n x m - матрицы Ku управления в системе (13) такой, чтобы евклидова норма \\Az(t ) экспоненциально затухала в заданное
число k или более раз, k > 1, за требуемое время переходного процесса tnn = T = tk -10 в матричном уравнении (29), или
- (KuGTK + KTGKTU) = 2TATt - (A0 + AT0 ) , (30) полагаем
< -h , h >(- ln(1 / k )/T ) > 0, i = %n . (31)
Так как выражения в скобках и 2TATt в (30) являются симметрическими матрицами, то при нахождении элементов kU матрицы управления Ku
достаточно ограничиться их верхними (выше главной диагонали и включая ее) частями. В результате приравнивания выражений слева и справа на указанных местах получим (n2 - n)/2 + n = n(n +1)/2 уравнений для определения n ■ m неизвестных kU :
- (KuGTK + KTGKU = 2(TATT)ij -
____ (32)
- (A0 + AT),, i = 1,n, j = 1,n,
(KuGTK + KTGKT)j, = (Ku,GTKj + KT GKT),
где
Ки,Кт,Т;К',К1',Тт' - } -е столбцы матриц
К,К^!ТТ ; (А0 + А = Э0у + а0 ]!■
Недостатком такого метода является возможная несовместность (неравенство рангов в левой части системы, матрицы коэффициентов при неизвестных к'и, и в расширенной матрице, образующихся после написания всех п(п +1)/ 2 уравнений (32)) системы (32) при числе уравнений большем числа п ■ т неизвестных (например, при п = 4 и т = 2): п(п +1)/ 2 > п ■ т. При
п(п +1)/ 2 < п ■ т (например, при п = 4 и т = 3), когда число неизвестных больше или равно числу уравнений, решение системы (32) находится.
Методы формирования многообразия скольжения по заданным показателям качества переходных процессов
Для разработки различных методов синтеза многообразия скольжения Э (6) выведем системы скользящего режима в исходной и модельной системах также с учетом принадлежности в скольжении (с момента попадания, t = tn, и. т. системы на многообразие Э) вектора zм многообразию Э :
5 = С2м = с^м + с 2г2 = о, (33) где гМ и ^М - (п - т) х 1 и т х 1 - субвекторы гм = (ги , гМТ )Т . Для этого в первой подсистеме системы (12) сначала переходим в координаты векторов гм ,Лг . Исключая в получаемой системе
субвектор г2, следующий из (33),
zM =-(c2Г'ex, с2 * о
(34)
и отбрасывая последние т уравнений в первой подсистеме, приходим к системе (2п - т) - го
порядка:
zM = (El -Boi{CBo)-1C)Ao
En-m
- (C2 )-1C1
+(El -Boi(CBo)-1C)KuGTKAz, ùz = (A - KuGTK)Az, z2 =-(C2 )-1C1z1,
(35)
где Е1 и В01 - первые (п - т) строк единичной п х п - матрицы Е и п х т -матрицы В0, Еп-т -единичная (п - т )х(п - т) -матрица. Вернёмся в
системе (35) в исходные координаты векторов г1 и Аг исходной системы скольжения (12). Учтём разложения матрицы А0 и выражения К^ТКАг
соответственно на четыре субматрицы А0/], ¡,} = 1,2, и на две строки:
(ТЛT1 )„ = TiAT" ; Ки1,К; ,T¡ - i - e строки матриц
zM +
M
=
A A
'V-i Л Л ',n
A
V 021
A
1022
KG7KAz =
2
Ku1G7K 1Az1 + Ku1G7K2 Az
v Ku2G7K 1Az1 + Ku2G7K 2 Az 2y
(36)
где A011 -(n - m)x(n - m) - субматрица; Ku1 и Ku2 -(n - m)x m и m x m -субматрицы n x m -матрицы Ku; K1 и K2 - q x(n - m) и q x m -субматрицы q x n -матрицы K; Az1 и Az2 -(n - m)x 1 и m x 1 -субвекторы вектора Az.
В результате учёта z = zm + Az (5) и разложений (36) система (35) в координатах векторов z1, Az = (Az1T,Az2T)T запишется:
z1 = [An - BJCB )-1C1A011 - BJCB )-1C2aq21 +
+ (- aQ12 + BJCB )-1C1AD12 + BJCB )-1C2 A022)x
x (C2 )-1 C1 jz1 +{-[A011 - BJCB )-1C1A011 -
- BJCB )-1c2aO21 + ( A012 + BJCB )-1c1a012 +
+BJCB )-1C2 A022]+(En-m - BJCB )-1C1)KuGTK1 -
(37)
- BJCB )-1C2Ku2GtK1 +(Ao11 - KUGTK1)} Az1 +
+{(En-m - BJCB )-1c1)kugtk 2 -
- BJCB )-1C2Ku2GTK2 +A12 - KU2GTK2 )}Az2,
az =(a011 - KuGTK 1)Az1 +(ao12 - Ku2GTK2 )Az2,
Az2 = (A021 - Ku2GTK1 )Az1 +(aO22 - Ku2GTK2 )Az2,
z2 =-(C2 )-1C 1z1 + (C2 )-1C 1Az1 + Az2.
Исключим субвектор zM (34) также и для модельной системы (3) в системе скользящего режима (10) на многообразии S (6). Получим систему модельного скользящего режима: zM =[(Ao11 - Bo1(CB )-1c1aO11 - Bo1(CB )-1C2 A021)-
-(A012 - Bo1(CB )-1C1A012 - Bo1(CB )-1C2 A022)x
x(C2)-1ф: +[(En-m -Bo1(CB)-1C1 Х&К1 -
-Bo1(CB)-1C2 xKu2GTK1]Az1 +[En-m -
(- Bo1(CB )-1C1)KuGTK2 - Bo1(CB )-1C2 x
(38)
X Ku2G7K 2 ]Az2,
Аг1 = Цц - К^ТК1 )Аг1 + (^2 - К^ТК2)Аг2, Аг2 = (А021 - КимGTK1 )аг1 +(А№а - К^ТК2 )Аг2
гм =-(С2 )-1С X. Перейдём непосредственно к синтезу многообразия скольжения Э (6). Его можно проводить как до исключения субвектора , так и после, с учётом того, что вектор отклонений Аг(:) за достаточно малый интервал времени принимает практически нулевое значение. Так как при Аг(:) = 0 правые части систем скользящего режима
до и после исключения субвектора в исходных системах (12), (37) и в модельных системах (10), (38)
Ум = A0Ум + B0UonT ,
В системе (40) матрица K0¡
совпадают, то не имеет значения по каким системам синтезировать матрицу C многообразия S (6). Пусть, для определенности, это будут модельные системы (10) и (38).
Рассмотрим систему (10) при Az(t)= 0, до
исключения субвектора zM :
Zm = (e - b0 (CB0)-1C AZm. (39)
Потребуем, чтобы в данной модельной системе тождественно и с начального момента времени t = t0 воспроизводилось желаемое (оптимальное в том или ином смысле) движение, представленное модельной системой
= Kom Ум. (40) обеспечивающая экспоненциальное затухание нормы ||yм (t)||, может
быть найдена по одному из четырех методов [5], а также по прямым показателям качества переходных процессов на основе применения известных методов модального управления [2, 12].
Очевидно, что для тождественного совпадения решений систем (39) и (40) необходимо и достаточно, чтобы Vt е I были равны их правые части
(E - B0(CB0 )-1C)A0Zm = A0Ум + B0UonJ (41) и начальные состояния
ZM(t0) = Ум(t0). (42)
Тогда zM(t) = yM(t)Vt е I и для выполнения равенства (41) достаточно, чтобы выполнялось соотношение
(E - B0 (CB0 )-1 C)A0 = A0 + B0KоПТ. (43) Из данного соотношения следует, что матрица С определяется согласно матричному уравнению:
-C(Ao + BoK оПТ) = 0.
(44)
Многообразие Э (6) в момент : = :0 в общем случае не проходит через точку (42) начального состояния модели (40):
Су м(и ) = С^м (и ) = 0. (45) При невыполнении условия (42), например, при
2м (: 0) = у м (: 0)+А2м«0 ), (46)
где Агм (:0) - отклонение по начальным условиям в системах (23) и (24), с учётом равенства (43) вместо (39), (40) имеем системы
2м = А0 2м + В0Копт 2м , у м = А0 У м + В0К опт У м, (47) с разными начальными условиями гм(:0) и ум(:0). Разность данных систем с учётом (46)
= А, + В0Копт А2м (48)
представляет собой устойчивую, согласно методу определения Копт, систему. Матрица Копт может быть, в частности, определена по изложенным в работе [5] методам.-удалить уже было выше.
Отметим также, что невыполнение условия (42) приводит к тому, что скольжение начнется не с момента : = :0, а через некоторый малый, длительностью А:, интервал времени. (Малый потому, что разрывное уравнение и синтезируется таким образом, чтобы скольжение начиналось через достаточно малый интервал времени). В результате,
с момента t = tn попадания и.т. на многообразие
скольжения Э (6), через интервал Аt, приходим к системам (47) и их разности (48), то есть к устойчивому тождественному воспроизведению желаемого модельного движения (40).
Определим метод синтеза матрицы С при равенстве правых частей системы скользящего режима модельной системы (39) и желаемой модельной системы
(E - B0(CB r1C)A0zM = АУм +
(49)
+В0и
опт' иопт = К опт
и при выполнении условия (42) в случае исключения субвектора гМ. С учетом
¿м (^ ) = Ум (^) (26) и гМ = -(С2 )-1С X (18) приходим согласно (49) к соотношению:
[(E - Bo (CBo ГОЛО ]\_ ^ К =
= (A0 + В0КоптЛ CyC^
(50)
Так как субвектор г1м является в скользящем решении произвольным (не связан
принадлежностью какому-либо многообразию), то необходимое и достаточное условие для нахождения матрицы С (50) после сокращения матрицы А0 и с учетом произвольности матрицы С при различных начальных условиях C(t0) в (45) запишется:
о = -(C1,C2 )(A + ВоКопт
E,
- (С2 )-1С
n-m
■2 \-1r*1
(51)
Задавая неособенную т х т - субматрицу С2, а так же учитывая разложения матриц А0 и В0 на
субматрицы А0рВ0ПК0пт, /,} = 1,2, с размерами
Aon - (n - m) х (n - m),
B01 - (n - m) х m,
К^ - т х (п - т), приходим к необходимым и достаточным условиям для определения субматрицы С1:
0 = -С1[А011 + В^Кт - (Аю + ВъКт)(С2 )-1С1] -
-С2 [А021 + вКт - (А022+ВъКпг )(С2 ГС1],
(52)
при начальных условиях, удовлетворяющих соотношению (45)
СV 0 )у м V 0) = С(г0 )ги ^ 0) =
= C1(t 0 X (t 0) + с2 (to )z2u (t 0) = 0.
(53)
В частности, при C2 = E, получаем систему
0 = -C1^+ВоКт - (A012+ВоКптC1] -
- [A021 + B02KI - (A22 + В2К2птC1]
(54)
при начальных условиях
Сгм(^ ) = СХ(^ ) + гМ(^) = 0 . (55) Таким образом, после того, как начнется скользящий режим на многообразии 6) и на нем вектор отклонений Аг( t) достаточно быстро примет близкие к нулевым значения, в силу
экспоненциального уменьшения ||Az(f)||, движение исходной системы (1) будет представлено модельной системой (22) при Az « 0 : zM = [A011 - Boi(CBo)-1С1Ло11 - Boi(CBo)-1 х
■^2 Л 1 /Л D 1-1^1.
х ) - (A012 - Boi(CBoГСА012 -
- B01 (CBo )-1C2 A022 )(C2 )-1C1 ]z\,
(56)
zM = -(с2 )-1с x,
1 1 где zu = z
2 2 zM = z ,
м >
матрица С = (С ,С ) находится изложенными выше методами по заданному качеству переходных процессов в данной системе. Для выполнения заданных прямых показателей качества переходных процессов в исходной системе время переходного процесса по отклонению задается значительно меньшим (например, как четверть времени в исходной системе с уточнением по результатам численного моделирования).
Отметим, что если исходная и модельная системы (1) и (3) имеют регулярную форму или приведены к ней [13, 14], то нахождение матрицы С многообразия 3(6) упрощается. Система (56) в этом случае, согласно условию регулярности В01 = 0(п-т)хт, упрощается до вида
гм = А01Х -А>к(С2)-1СХ, ¿2 =-(С2)-1СХ. (57) В данной системе при заданной субматрице С2, |С21ф 0, матрица А012 (С2 )-1 принимается за (п - т) х т - матрицу входа фиктивного управления иф = -С1гЦ, где т х (п - т) - субматрица - С1 принимается за т х(п - т) - матрицу коэффициентов линейного управления иф и находится либо
методом модального управления [2], либо по одному из представленных выше четырех методов построения матрицы управления отклонениями от модельного скользящего режима.
Публикация осуществлена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Татарстан в рамках научного проекта №15-48-02101.
Литература
1. Drazenovic В., Automatica, 5, 3, 287-295 (1969).
2. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976, - 424 с.
3. Уткин В. И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. М., Наука, 1974,272 с.
4. Мещанов А. С., ВестникКГТУ, 4, 127-134 (2008).
5. Мещанов А. С., Севрюгин С. Ю., Современные технологии - ключевое звено в возрождении отечественного авиастроения (Казань, 12-13 августа 2008 г.). Материалы международной научно-практической конференции, Казань, 2008, Том 2, С. 7175.
6. Демидович Б. П., Лекции по математической теории устойчивости. М., Наука, 1967. - 472 с.
7. Мещанов А. С., Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева, 2, 4652 (2004).
8. Сиразетдинов Т. К., Богомолов А. И., Изв. Вузов. Авиац. Техника, 2, 83-91 (1978).
9. Курош А. Г., Курс высшей алгебры. М., Физматгиз, 1963,- 432 с.
10. Мещанов А. С., Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 4, 107-114 (2009).
11. Г. Корн, Т. Корн., Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М., Наука, 1973, 832 с.
12. Sinswat V., Fallside F., Int.J. Control, 3, vol. 26, 389-403 (1977).
13. Лукьянов А. Г., Уткин В. И., Автоматика и телемеханика, 4, 5-13 (1981).
14. Мещанов А. С., Вестник КГТУ им.А.Н. Туполева, 4, 47-51 (2007).
© А. С. Мещанов, канд. техн. наук, проф. каф. автоматики и управления, старший научный сотрудник, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева - КАИ, mas41@list.ru; Э. А. Туктаров, аспирант той же кафедры, ed.tuktarov@mail.ru.
© A. S. Meshchanov, candidate of engineering sciences, professor, Associate Professor of department of Automation and Control, senior research scientist, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, e-mail: mas41@list.ru; E. A. Tuktarov, post-graduate student of department of Automation and Control, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, e-mail: ed.tuktarov@mail.ru.
