CC BY
20
Из вычислений видно, что при уменьшении размера малой полуоси В угол $шах несколько увеличивается, а вэф уменьшается более существенно.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кудрявцев П. И. Нераспространяющиеся трещины усталости. М.: Машиностроение, 1982. 171 с.
2. НейберГ. Концентрация напряжений. М. Л.: Гостехиздат, 1947. 423 с.
Поступила 25.02.2005 г.
УДК 539.3 М. А. Ковырягин
УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМИ УПРУГОЙ НЕКРУГОВОЙ ПЛАСТИНЫ
Рассматривается задача определения внешней управляющей нагрузки, которая переводит некруговую упругую пластину из заданного начального состояния как можно ближе к другому заданному конечному состоянию за фиксированное время. Задача для некруговой пластинки с использованием метода малого параметра сводится к задачам для круговых пластинок.
Некруговые пластины являются широко применяемым элементом строительных и машиностроительных конструкций. Очень широкий класс некруговых контуров может быть описан уравнениями вида [І]
х = r(cosS + ecosm3); y = r(sinS-esinmS), (1)
где 3 — параметр контура; r,e — радиус приведенной окружности и величина отклонения контура от кругового (малый параметр) соответственно.
Пластины именно с такими контурами будут рассматриваются в данной работе. Под состоянием пластины будем понимать отклонение от положения равновесия срединной поверхности и распределение скоростей точек этой поверхности. Управление зависит только от времени, а положение его по поверхности пластины фиксировано. Например, управляющие силы могут быть приложены в определенных точках поверхности пластины. Управление подчинено интегральным ограничениям, которые связаны с условиями ограниченности потребляемой энергии.
Рассматриваемая задача является более общей, чем задача точного перевода системы из одного заданного начального состояния в другое заданное конечное.
Используемая методика основана на обобщении метода моментов с использованием теории двойственности в задачах оптимального управления. Этот метод имеет преимущество по объему и по времени счета по сравнению с другими методами оптимального управления, например градиентными, которые применимы для более общих задач оптимального управления. Это связано со спецификой задачи, а именно: линейностью управления, квадратичностью функционала качества. Для решения поставленной задачи необходим метод, который сочетался бы с методом разложения по собственным формам колебаний. Это сочетание дает метод, который предполагает известными (заранее вычисленными) параметры собственных колебаний пластины. Эти характеристики системы являются независимыми от процесса оптимизации, который в системе автоматического управления с обратной связью является оперативным, многоразовым. Вычисление их выделяется в отдельную разовую (не входящую в контур обратной связи) вычислительную процедуру. Отметим, что системы автоматического управления с обратной связью требуют работы в реальном масштабе времени, а это налагает на вычислительный процесс, кроме точности, определенные, зачастую довольно жесткие, ограничения на время счета. Например, для адаптивной лазерной системы это время может быть долями секунд. Следовательно, этот фактор необходимо учитывать при выборе, разработке и реализации математических методов. Здесь оптимальное управление вычисляется в виде ряда по собственным гармоническим функциям и состоит в последовательном решении систем линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим поперечные малые отклонения изотропной пластинки в рамках классической теории тонких пластин. Предположения, соответствующие этой упрощенной модели, таковы:
1) справедлив закон Гука;
2) угол наклона отклоненной пластины в любом направлении достаточно мал, так что его квадрат по сравнению с единицей довольно мал и им можно пренебречь;
3) срединная поверхность отклоненной пластины является нейтральной, то есть действие нормальных напряжений на срединную поверхность не учитывается;
4) компонентами нормальных напряжений в пластине, перпендикулярными к ее срединной поверхности, можно пренебречь;
5) нормаль к срединной поверхности недеформированной пластины остается нормалью к срединной поверхности отклоненной пластины.
Динамический прогиб пластинки удовлетворяет уравнению [2]:
д2Ж
дґ2
= F.
(2)
где Б = -
Ек2
Е — модуль упругости первого рода, V — коэффициент Пуассона, у —
12 (1 -,2)
плотность, к0 — толщина, / — время, Г — функция нагрузки и управления.
Решение ищется при следующих начальных и граничных условиях [2]:
™(*0,г,в) = ? (Г,в) , м>1 (/„,г,в) = ? (г,в), (3)
дЖ
Ж = 0, ----= 0. (4)
дп
Здесь ф — заданная функция, п — нормаль к контуру.
Используя метод возмущений [3], представим функции Ж Г в виде рядов по степеням параметра е:
Ж = £ е^к, Г = £ екГк . (5)
к=0 к=0
Преобразование граничных условий с некругового контура в условия, которые имеют место на окружности радиуса г = Я , выполнено в работе [3]:
Л дык
= -) А», , —- = -
I п к-п ’ дг
п=0
„ д»к к
п к-п
к—,,—
дг
у ч д», і
+ )А,. к - п-1 і=1
дг
+Уо
1 д»к-1 + ) А (1 д»к-п-1
г дв 1=1 і [ г дв
к = 0,1, 2,... п.
(6)
д д
где Ь0 = 1, Ь =(1 -5)со8у2$, Ь2 = -5 У0 = у2єіпу2$; А1 = оо8у2в-Я2--------8Іпу2в—, у2 = 5 +1;
дг дг
1п = 0, 1п = 1 при п > 1.
Таким образом, задача об интегрировании уравнений (2) для области с некруговым контуром сведена к ряду задач для кольцевых пластин, прогиб которых описывается уравнениями вида
(7)
О •£ ек V4 »к + А £ ек ^ = £ екГк.
к=0 к = 0 д* к=0 Задача решается последовательно в нулевом и первом приближениях.
В нулевом приближении искомая функция прогиба разыскивается в виде
™ = Ж0 (г ) + /0 ( г ) ,
г г 4
где Ж0 (г )= б4о ’ /0 (Г )= А0 Г'1п г + В0Г 2 + С01п г + О0.
64 О
В нулевом приближении к поверхности пластины кроме нагрузки приложены т управляющих воздействий и( )=(и1 ( )’-’ит ( )) с соответствующим распределением по поверхности
ё(г,в) = (ё1 (г, в),...,ёт (г,в)), (г,в) эО = (г0,Я)х [0,2р).
Тогда функцию Г0 = Г0 (*, г ,в) в правой части уравнений (2) можно записать в виде
F0 = F0 (t,r,9) = Xd, (,r,6)Ul (t) + q0 (,r,9), (8)
i=1
где F0 (t,r,9) — известная функция, задающая плотность некоторой внешней нагрузки. В частности, dt (r,9), i = 1,2,... m могут представляться в виде дельта-функций dt (r,9)= S(r - r. ,9-9,), i = 1,2,... m, где (r,9), i = 1,2,... m - точки приложения управляющих воздействий.
Задача управления состоит в том, чтобы при заданном начальном состоянии
W (^ r ,9)= j ( r ,9), w! (to , r ,9) = j1 (r ,9) (9)
найти управление u(t), которое переводило бы пластину к моменту времени t = T как можно
ближе к некоторому заданному конечному состоянию y = (y0 (r,9),yl (r,9)). Управления
подчинены ограничениям
U = ju e H : J[u,. (t)2 dt < £,0 < Xt <¥, i = 1,2,...,m J, H = Lm2 (tQ,T). (10)
Если Xi = ¥ , то это означает, что ограничение на данное управление отсутствует. Условие близости к состоянию y = (y0 (r,9),y1 (r,9)) можно сформулировать в виде задачи минимизации функционала
J (u )jj(| w (T, r,9)-y0 (r,9)|2 + |wt (T, r,9)-y1 (r,9)|2) rdrd9. (11)
W
В случае y0 (r,9) = y (r,9) поставленная задача превращается в задачу гашения (демпфирования) колебаний, а в осесимметричном случае точечное распределение переходит в управление по окружностям dt (r,9) = d(r - r), i = 1, 2,... m.
Обозначим решения задачи (7)-(11) при k = 0
J * = inf J (u), U * = {u e U : J (u) = J*},
u ** э U — нормальное решение, то есть u** = mini lull.
II llH ueU"
В [4] данная задача согласно общей теории обобщенного метода моментов сведена к обобщенной проблеме моментов.
При фиксированном управлении u(t) всякое решение поставленной краевой задачи можно представить в виде суммы
W (t, r,9) = w0 (t, r,9) + Wj (t, r,9) , где w0- решение этой задачи при j (r,9)° j1 (r,9)° 0 и q0 (t, r,9)° 0, а w1 - решение при u(t) =0.
Обозначим W = L2r (w) x L2r (w) и введем линейный ограниченный оператор A: H ® W,
Au = (w0 (T,r,9),w0r (T,r,9)). Для осесимметричного случая W = L2r (R,r0)x L2r (R,r0), где
L2r (W) и Llr (R, r0) — гильбертовы пространства со скалярными произведениями соответственно
R
8)ь2г(а) = jjj9g(r’ 0)rdrd9' S)L2r{R,0o) = j jr)g(r)rdr .
П ro
Тогда функционал (11) принимает вид
J (u ) = ||w0 (T,•)-y0 (ОЦ^ +||w0t (T,•)-У (•) I =| |Au - ytw, где y = (Уo,У1), У0(•) = y0(O-w1 (T,•), У1 (•) = y1 (O-w1t(T,•) .
Пусть e1 (•), e2 (•),...- некоторый ортонормированный базис в w .В частности, если ё (r,9),e2 (r,9),... - ортонормированный базис в L2r, то система
ek ,0 =(ek ,0), ek ,1 =( 0 ek ), k = 1,2,... (12)
образует ортонормированный базис в w . Преобразуем функционал, используя равенство Пар-сенваля
J(u) = ||Au -y||w = >|(Au -y,ek)w\2 =>
u,A'e
k/H -[y,ek,
= I|(u,j)H -aS> і = A'ek’ ak = {y,ek)w.
Для ортонормированной системы (і2) получим
_І|2 ¥ '
J(u) = I|Au -у|iw = > {Au -y,ek,o)w + {Au -y,ek,\)w
k=і
¥ I \ 2 I >
= > (u,A\,g}h У,ek,o)w + (u,^k^H “(y,ek,і)w
k=і
,k = і,2,...
= ) (иЛк,0)н -ак,0 + (и9кл)Н -ак,1
к=1
Лк,0 = АЧ,0, Лк,1 = АЧак = (у,ек,0)» = (y,,ак,1 = (Уьек,1)» = (Уиекд)», к = 1,2,... Таким образом, исходная задача (7)-(11) при к = 0 сводится к следующей эквивалентной обобщенной проблеме моментов:
¥ . |2 | |2
3(и) = )(Л,)н -ак,0\ + {и,Лкл)н -ак,1 ® и єи. (13)
к=1
Для описания сопряженного оператора А* вводится сопряженная краевая задача
руґ1 + Б А2 у = 0, (ґ, г 0) = (ґ0,Т) X О, (14)
у(ґ,г0,в) = уг (ґ,г00) = 0, ґ0 < ґ < Т,0 < в< 2л, (15)
у(Т,г) = 2 (г,в), у (Т,г) = -2 (г,в), г є (Я,г0), в є [0,2л). (16)
Согласно [5]
А'т = Цё(г,в)у(ґ,г,в)гёгёв є Н = Щ (ґ0,Т), "т = (2,2),
где y — решение
(і4)-(і5). Поэтому jk =Цd(r,в)yk (t,r)rdrdвєH = (t0,T), где yk
решения (14)-(15), соответствующие х(г,в~) = ек (г, в).
В дальнейшем имеет смысл рассматривать только случай с ортонормированным базисом (12). _
В [2] для осесимметричного случая в качестве ортонормированной системы ек, к = 1, 2,...
взята система собственных функций краевой задачи А27к = Якхк, 7(г0) = 0.
Для осесимметричных колебаний собственные функции имеют вид 7к (г) = ак°к (г), к = 1,2,...,
: (г ) = 70 ((кг0 )■■) 0 ((кг ) ^ 0 (Сг0 )10 ((кг ),
где ak — нормирующий множитель: a =
rdr
а I0, J0 — функции Бесселя нулево-
го порядка. Собственные значения Лк, k = 1,2,... являются корнями уравнения
J 0 ( 41kr0 ) 1 0 (41kr0 ) -10 (41kr0 ) J 0 () = °.
В этом случае решениями сопряженной системы являются функции
У к ,0 (t, r) =1 cos [w (T -1 )] zk (r), Wk ,1 (t, r) = -®-‘ sin [wk (T -1 )] zk (r); wk = (kD/p) , k = 1,2,...
Векторы dk, dik определяются в виде dk = (d1k,...dmk), dk = zk (r.), i = 1, 2,..., m.
В частности, в случае точечного распределения по окружностям d(r - rt), i = 1,2,..., m и dik = zk (r), k = 1, 2,..., m , элементы jk0 и jk 1, k = 1,2,... имеют вид
jk ,0 = 41/2 cos [wk (T -1)] zk (r), i = m; jk ,1 (t, r) = -w- sin [wk (T -1)] zk (r). (17)
2
w
W
Далее исходной задаче (7)—(11) при k = 0 ставится в соответствие аппроксимация, получаемая с помощью усечения бесконечного ряда в обобщенной проблеме моментов (13):
N \ |2 I |2
Jn (u) = Z(u,jk,0>H - ak,0\ +(u,jka)H - akA ®inf u eU. (18)
k=1
Для этой задачи вводятся соответствующие функции Лагранжа
m
Ln (ug) = JN (u ) + Xg& (u), u e H, geA = {g > 0, i = 1,2,..., m} и двойственные двумерные за-
i=1
дачи Xn (g = inf Ln (u, g ® sup, g эЛ.
4 7 u"H 4 7
Тогда для регуляризованных задач (16)—(18)
m
Tn (u ) = Jn (u ) + aN% (u) ® inf, u eU, g (u) = X gi (u), aN > 0, N = 1,2,..., a ® 0, N ®¥
i=1
функции Лагранжа и двойственные задачи получаются заменой множеств А на
Л N ={g > aN, i = 1,2,..., m} :
m
ln(u,g=jn (u)+X g-g-(u),u e H’ ge an, ; (19)
i=1
Xn g) =inf Ln (u, g ® ^ g eLN. (20)
4 7 ueH 4 7
Так как функция Лагранжа сильно выпукла при фиксированном g э An , то существует единственный элемент uN(g) э U такой, что inf LN (u,g = LN (uN (g),g). Из равенства нулю
градиента функции Лагранжа J'N (u) + 2
= 0 получим систему для определения этих эле-
ментов:
)(((,0)н -ак,0),0 +(Лк(Н -ак,1),1 + у,и, = °. к=1
Если ввести дополнительные переменные
ук,0 = (и,Лк,0)Н -ак,0, ук,1 = {и,Лк,1)Н -ак,l, то приходим к эквивалентной системе относительно управлений иі (ґ) и чисел ук 0,
ук1, к = 1,2,..., N:
N , ,
) ук ,0лк ,0 + У Л ,1 + Уіиі = 0і = и—т; (21)
к=1
(и,Лк,<))я -Ук,0 = ак^ к=1,2,...,^; (22)
(и,Лкд)Н -ук,1 = aк,l, к = 1,2,...,^. (23)
N
Решения этой системы UN (*;у) имеют вид UN (т) = £ ик,0Лк,0 (*) + иклЛкл (). Подставив эту
к=1
сумму в (2і)-(2З), получим
N
,0 + ru ,0) ,0 +(yk ,і + ru ,і )k ,і = 0l=1,2,..., m; (24)
k=і
N
>Uk,0 {Pk,G,Plfl)H +Uk,і {PkІ,P,fi)H - Ук,0 = ak^ l = 1,2,...,N; (25)
I Н ,1 \ Л',1 *5^/Н
к=1
N
£ик,0 (ЛкдЛд)Н +ик,1 (ЛкдЛд)Н -¥к,0 = ак» = 1,2,...,N. (26)
к=1
Воспользовавшись видом системы (17) рассмотрим множество индексов
11 ={к = 1,2,...,N: ёк ф 0} . Так как подсистема Лк0, Лк1, к е 11 линейно независима, то система
(24)-(26) эквивалентна следующей системе:
ук,0 + Ггик,0 = 0 ук,1 + Г,ик,1 = 0, к е 1 = 1, 2, ..., т; (27)
£ ик,0 {Лк^ л,0 )Н +ик,1 (Лк,1, л,0 )Н -Ук,0 = ак,0, »е А; (28)
к э /1
£ ик,0 {Лк^Л ,1)Н +ик,1 (Лк,1,Лц)Н -¥к,0 = ак,1,» э/1; (29)
к э /1
¥к,0 = ак,0,ук,1 = ак,1>1 г ^ (30)
При у е А система (27)-(30) является линейной относительно 2 (5 + N) неизвестных, где 5 — число элементов в множестве /1.
Двойственная задача (19), (20) решается приближенно, например с помощью метода проекции градиента [6]. В этой двойственной задаче целевая функция двух переменных Х^/ (у), 7 е А вогнута и непрерывно дифференцируема, причем х^ (у) = g(uN (у)).
Пусть произвольно взята точка у° е AN . Другие точки 7kN, к = 1,2,... , М (N) определяются из равенств у^1 = 7^ + РN = Р (У + 8(uN (У )))-7^ где Рк - оператор проектирования на множество АН : Ру = тах {а1^ ;у} , а Ь е (0,1] — шаг по направлению ркы . Этот про-
цесс сходящийся, и через некоторое число шагов М (Ы) приводит к равенству
7 - Р 7М + 8 (uN 7М )))| £ eN, , где последовательность % такова, что е < 0, е1^ ® 0 при N . Положим у}^ = уМ(N^. При переходе к следующей (N +1) -ой итерации имеет смысл положить у№+1 = у1^.
Получив решение в нулевом приближении (фактически решив задачу для круговой пластинки с отверстием, что является новым результатом), перейдем к решению в первом приближении, для которого граничные условия на некруговом контуре (6) принимают следующий вид
Ж1 =-008 у в • Я2 ^ + яп^в-^;
1 * 2 дг * дв
dW, w —L dr
dw0 1 dw0 d w0 d w0
b —1 + g0-----1 + cosg(9-R—r° - smg(9-------
dr r d9 dr drd9
(31)
где by =(1 - s) cos (s +1)9, g0 =(1 + s)sin (s +1)9, gs = s + 1.
Частоты колебаний некруговой пластинки с жестко защемленным контуром определятся в первом приближении по формуле
W = /0 n + w , где = ~г~1.
gh0
Величина 114 определится из выражения [3]
,4 1 rf dV2W| dw0 dV2w0 „2 dW. V
1 = ^-------jl w0--------1 - V2W----- W---------1 + V2w0-----1 ds.
jj w02 dF j [ dr dr dr dr d
F
При этом искомая функция прогиба разыскивается в виде суммы [3]
w = W0 (r ) + / (r ) + ejn (r ) COs gs9 , (32)
F r 4
где W0 (r )= 64D ’ /0 (r ) = A0r 'ln r + B0r 2 + C0ln r + ^ j (r ) = E11r + ^11r+ M11r 3 + N11r ~3.
64 D
Произвольные постоянные A0, B0, C0, D0, Eu, Ku,Mn, Nu определяются из граничных условий (31).
Данной функции w соответствуют следующие формулы для изгибающих и крутящих моментов, а также перерезывающих сил:
Si = S^(r) + eS^1(r)cosgs9, i = 1,2,4; S. = eS^1(r)sings9, i = 3,5,
где
Mr = Sx, M9 = S2, Hr9 = S3, Nr = S4, N9 = S5;
S(0) =-D j A0 [3 + n + 2 (1 + v)ln r ] + 2 (1 + v)B0 + C0 (n- 1)r ^ + 4 (3 + v)64d j;
S^1V>=-D (е^ ( -1)(1 -V)-2 + К^ ( +1)(1 -у)г-2+ ^
+ми [(( + 2)( +1 + п)- У>]гУ + Nll [(2 - У*)( + п - У*)- У>]}
S20)=-D|Л, [1 + 3п + 2(1 -Піпг] + 2Б, (1+ П + С0 (1 -у)г+ 4(Эу + 1)|^|;
[Е11 (1 - У* )(1 - П )-2 - К11 (1 + У* )(1 - у)г-2) ] у* + +М11 [(2 + уs )(1 + У + *0] ) + Nll [(2 - У, )(1 - У + п)- УІ] г г S311)= D(1 -у)У, [Е11 ( -1) гУ-2 -К11 (1 + У*)г-2) + ; +ми (1+уs ) + ^1 (1 - уs К
(0)
S(11)=-D
S411) =-Dу2 ёМ11 ( +1)--1 + N11 ( - 1)г-(-1)];
S511) = Dу2 [М11 ( +1)-1 -N11 ( - 1)г-1)] .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ковырягин М. А., Овчинников И. Г. Управляемые конструкции (в мостостроении). Саратов: Сарат. гос. техн. унт, 2003, 96 с.
2. Заболотская Е. Н., Заболотский Е. В.,Ишмухаметов А. З. Управление колебаниями упругой круговой пластины // Избранные проблемы математики и механики: Сб. науч. работ «Прикладная и вычислительная математика», посвященный 80-летию Э. И. Григолюка. М.: МАМИ, 2003. С. 127-142.
3. Уздалев А. И. Температурные напряжения в пластинках, ограниченных двухсвязным контуром. Саратов: СГУ, 1975. 176с.
4. Васильев Ф. П., Ишмухаметов А. З., Потапов М. М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. М.: МГУ, 1989. 142 с.
5. Ишмухаметов А. З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: ВЦ РАН, 2001. 120 с.
6. Ишмухаметов А. З. Двойственный регуляризованный метод решения одного класса выпуклых задач минимизации // Ж. вычислительной матем. и матем. физики, 2000. Т.40, №7. С. 1045-1060.
Поступила 16.03.2005 г.
УДК 539.4+539.376
А. Ф. Никитенко, Н. Н. Сивкова
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ НЕРАВНОМЕРНО НАГРЕТЫХ КОЛЬЦЕВЫХ И КРУГЛЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ПЛАСТИН
Выполнено исследование установившейся ползучести неравномерно нагретых кольцевых и круглых осесимметрично нагруженных пластин.
Результаты расчета напряженно-деформированного состояния равномерно нагретых кольцевых и круглых осесимметрично нагруженных пластин в предположении установившейся ползучести их материала достаточно хорошо известны [1-4]. Ниже представлены аналогичные расчеты неравномерно нагретых кольцевых и круглых осесимметрично нагруженных пластин. В основу расчета положена связь между скоростями деформаций ползучести и напряжениями, базирующаяся на гипотезе подобия соответствующих девиаторов и степенной зависимости между интенсивностью скорости деформаций ползучести г)і и интенсивностью напряжений 7і
[1-4]:
Ъ = 3, i, У = Ъ2,3- (1)
2 7
