Установившаяся ползучесть неравномерно нагретых кольцевых и круглых осесимметрично нагруженных пластин Текст научной статьи по специальности «Физика»

S^1V)=-D (е^ ( -1)(1 -у)г7--2 + К7 (Гх +1)(1 ~у)г-2+ ^

+Мп [(( + 2)( +1 + у)- 7>]гП + Мп [(2 - 7,)(1 + у - 7,)- 7>\)

S2(0)=-D|Л0 [1 + 3у + 2(1 -Піпг] + 2Б0 (1+ П + С0 (1 -у)г-2 + 4(3п1)6^|:

[Е11 (1 - 7, )(1 - у) )-2 - Кп (1 + 7, )(1 - у) г_(7,-2) \ 7, +

+М11 [(2 + 7* )(1 + 7 + П] ) + Мп [(2 - 7, )(1 - 7 + у) - 7І \ г г S311)= D(1 -у)7,[Е11 ( -1)г7,-2 -К11 (1 + 7,)г-2) + ^

+м11 (1 + 7, ) + М„ (1 - 7, )

(0)

S211) = -D

S411) =-D72 [М11 ( +1)--1 + Мц ( - 1)г-1)];

S511) = D72 [Мц ( + 1)-1 - Ми ( - 1)г-1)] .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ковырягин М. А., Овчинников И. Г. Управляемые конструкции (в мостостроении). Саратов: Сарат. гос. техн. унт, 2003, 96 с.

2. Заболотская Е. Н., Заболотский Е. В.,Ишмухаметов А. З. Управление колебаниями упругой круговой пластины // Избранные проблемы математики и механики: Сб. науч. работ «Прикладная и вычислительная математика», посвященный 80-летию Э. И. Григолюка. М.: МАМИ, 2003. С. 127-142.

3. Уздалев А. И. Температурные напряжения в пластинках, ограниченных двухсвязным контуром. Саратов: СГУ, 1975. 176с.

4. Васильев Ф. П., Ишмухаметов А. З., Потапов М. М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. М.: МГУ, 1989. 142 с.

5. Ишмухаметов А. З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: ВЦ РАН, 2001. 120 с.

6. Ишмухаметов А. З. Двойственный регуляризованный метод решения одного класса выпуклых задач минимизации // Ж. вычислительной матем. и матем. физики, 2000. Т.40, №7. С. 1045-1060.

Поступила 16.03.2005 г.

УДК 539.4+539.376

А. Ф. Никитенко, Н. Н. Сивкова

УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ НЕРАВНОМЕРНО НАГРЕТЫХ КОЛЬЦЕВЫХ И КРУГЛЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ПЛАСТИН

Выполнено исследование установившейся ползучести неравномерно нагретых кольцевых и круглых осесимметрично нагруженных пластин.

Результаты расчета напряженно-деформированного состояния равномерно нагретых кольцевых и круглых осесимметрично нагруженных пластин в предположении установившейся ползучести их материала достаточно хорошо известны [1-4]. Ниже представлены аналогичные расчеты неравномерно нагретых кольцевых и круглых осесимметрично нагруженных пластин. В основу расчета положена связь между скоростями деформаций ползучести и напряжениями, базирующаяся на гипотезе подобия соответствующих девиаторов и степенной зависимости между интенсивностью скорости деформаций ползучести г)і и интенсивностью напряжений 7і

[1-4]:

Ъ = 3 — Зу, и і = 1,2,3 (1)

2 7

Обозначения в (1) общепринятые: г/у , ®у — компоненты тензоров скоростей деформаций ползучести и напряжений; sjj = а^ - а08^ есть компоненты девиатора напряжений, °о = аы8ы /3 — гидростатическая составляющая тензора напряжений, 8Ш - символ Кронекера. Очевидно, что = 0, то есть соотношения (1) описывают поведение несжимаемого в про-

цессе ползучести материала. В (1) ради простоты и обозримости получаемых результатов используется простая зависимость характеристик материала от температуры в [2, 3]: в исследуемом температурном диапазоне от в зависит только коэффициент ползучести В1, а показатель

ползучести п полагаем постоянным.

В дальнейшем температурное поле пластины считаем стационарным и известным: это может быть результат решения уравнения теплопроводности или же результат соответствующего экспериментального исследования этого поля [5]. Получим основные уравнения, позволяющие рассчитать напряженно-деформированное состояние осесимметрично нагруженных неравномерно нагретых кольцевых и круглых пластин.

Пусть г — радиальное направление в пластине, р — окружное, 7 — перпендикулярное

плоскости пластины. Тогда в (1) а11,л11 будут ар, р; а22, л22-аг, лг и а33, щ3-а2, 1]2.

Обозначим (см., например [1-4]) прогиб пластины, толщина которой есть 2Ь, через ш, а угол поворота нормали — V. Тогда ём / ёг = -V. Если у есть скорость поворота нормали, т.е. V = у, то ёМ/ёг = -у, где М — скорость прогиба срединной плоскости пластины. Постулируем общепринятые гипотезы о малости прогибов по сравнению с толщиной пластины, о недеформи-руемости срединной плоскости и справедливости гипотезы Кирхгофа-Лява (эти гипотезы остаются справедливыми для неравномерно нагретых пластин только при некоторых ограничениях на температурное поле [5]). Если и - перемещение любой точки пластины в радиальном направлении, тогда и (г) = zv(г). Учитывая, что при осесимметричной деформации г/г = ёи / ёг, Л р = и / г , получаем [1-4]:

у 1 ём ёу ё2 М

Л р = = -7~-г, Л = 7~Т = -7~гт. (2)

г г ёг ёг ёг

С учетом несжимаемости материала и соотношения (2) интенсивность скорости деформаций ползучести будет

Л =|1уГуЩ''7'=>И. (3)

Полагаем, что в пластине реализуется плоское напряженное состояние (а7 = 0), касательным напряжением в окружном сечении пластины пренебрегаем. С учетом этого и обозначений (2), (3) получаем из (1):

ар = к1-п)/пар | 7 |(1-п)/п 7, аг = ак(1-п)/паг 17 |(1-п)/п 7 . (4)

В (4) введены обозначения:

( 2 Vп+1)/п

а = 1^3 I [[1(в)] 1", в = в (г, 7), а = а(г, 7);

ар=\+ г; у=у(г^ ар=ар(г); (5)

ёу 1 ¥ ^ ч / \

аг =~г+^—, аг = аг(г); к = к(г). ёг 2 г

Интенсивность напряжений с использованием (4) будет:

а =д/а1 -араг + а =:23-ак'п 171 п. (б)

Обозначим интенсивность окружного изгибающего момента на единицу длины радиального сечения через Мр, радиального изгибающего момента на единицу длины окружного сечения через Мг. Они выражаются через компоненты напряжений следующим образом [1-4]:

к/2 к/2

МР = I %7ё7, Мг = | аг7ё7 . (7)

-к/2 -к/2

и должны удовлетворять уравнениям равновесия [1-4]

dMr Мг - q d

—-+----------- = Q, ~r(Qr) = -Pr , (8)

dr r dr

где Q — интенсивность поперечной силы на единицу окружного сечения, p — интенсивность внешней поперечной нагрузки. Подставив (4) в (7), получим

М- = k(1'n)/na D, Mr = K{1'n)lnarD, (9)

где

h/2

D(r) = 2 J a(r,z)z(n+1)/ndz. (10)

0

Соотношения (4) с использованием (9) можно переписать следующим образом:

j lM-, sr = lMr; l(r,z) = -D(~-\ z |(1-n)/n z . (11)

D(r)

Напряжения в (11) выражены так же, как и уравнения равновесия (8), через интенсивности изгибающих моментов. Поэтому целесообразно в соотношениях (1) перейти от s-, sr к

М-, Mr. Применительно к нашему случаю после стандартных операций будем иметь:

—ЦT-l-kж, h M, (12)

- J Dn dM- 'r [л/з J Dn dMr }

I 2 2

где интенсивность si связана с интенсивностью Mt =JMj-MrMj+ Mr равенством

S =lM,.

Выписанная система уравнений (2)-(12) позволяет рассчитать напряженно-деформированное состояние неравномерно нагретых осесимметрично нагруженных круглых и кольцевых пластин. К этой системе необходимо добавить еще граничные условия, которые выписываются применительно к каждой конкретной задаче.

2. Решение ряда практических задач с использованием системы уравнений (12), в которой фигурирует интенсивность изгибающих моментов Mt, связано с определенными математическими трудностями. В системе координат M-,Mr уравнение Mt = const представляет эллипс, главные оси которого наклонены по 45° к осям M-,Mr. В целях простоты и обозримости результатов целесообразна замена эллипса (эллипса Мизеса) вписанным шестиугольником (шестиугольником Треска-Сен-Венана) [1-3].

В качестве примера рассмотрим случай, когда Mt = Mf - Mr, причем Mv> 0, Mr < 0 [1-3]. В соответствии с (12) будем иметь

Dn(M’-M'f, —=11 h=-Ш"' D (M-~ m- )n (13)

Из (13) следует, что r)v +hr = 0. Подставляя сюда (2), получаем:

y(r) = C / r, (14)

где С — константа интегрирования. Из (2) с использованием (14) находим Г- и rr, сопоставляя которые с (13), получаем

Mj - Mr —

Ci/nDr-2,n. (15)

Подставляя (15) в первое уравнение равновесия (8) и интегрируя, будем иметь

(Vи+1)/*

Mr (r) — Mr (a) + Ci/n

І я(ОГ2/и-1^ + б(г). (16)

а

Здесь Мг (а) считается заданным из граничных условий на внутреннем радиусе пластины

Г

г = а, а есть Q(г) = |Q(Z) . Считаем также заданным из граничных условий значение МГ на

а

внешнем радиусе пластины г = Ь . С учетом этого из (16) находим, что

C1 n —[Mr (b) - Mr (a) - Q(b)]

f 3 \(n+i)/nb

V J D(r) r ~2/n-i dr

2

V У

(іУ)

Таким образом, вычислив из (17) C1n, из (14), (2) и (3) определяем деформированное состояние пластины, а из (11) с использованием (16), (15), (5) и (10) — напряженное состояние.

Если пластина равномерно нагрета, то Bx = const, a = (Bx)-1/n(2/л/3)(п+1)/п , при этом

h/2

D = -J, где J = 2 J z(n+1)/ndz;

0

b

C1 n = [Mr (b) -Mr (a) - Q(b)]b1 n / JJj, где J = Jr~2/n-1dr;

a

Mr (r) = Mr (a) + Mr (b) - Mr (a) - Q(b) J Г2/ n-1dZ + Q(r);

J1 a

M -M = Mr (b) -Mr (a) - Q(b) r-2/n .

1V1- 1V1r J ’

J1

l =\z \(1-n)/n z/ J .

Теперь легко вычислить из (11) напряженное состояние пластины, а из (14), (2) и (3) — деформированное. Полученные результаты совпадают с известными [1-3].

Аналогичным образом можно рассмотреть случаи [1-3], когда Mf >Mr > 0 и Mt = M-;

Mr > Mf > 0 и Mt = Mr. Перебор ряда других вариантов подробно изложен, например, в [3].

Располагая расчетными формулами, полученными выше, можно без особого труда рассчитать напряженно-деформированное состояние круглых и кольцевых пластин при различных краевых условиях и нагрузках. Пластины широко примененяются в строительстве, авиации, машиностроении и других областях промышленности, что свидетельствует о достаточно широком разнообразии краевых условий и нагрузок [6].

В заключении отметим, что в расчетной практике стали использоваться следующие экспериментально установленные зависимости коэффициента ползучести от температуры [2, 3, 7]:

Bx = B0ecq, Bx = B0e~c/q, Bx = B00k .

Заслуживает внимания факт, что коэффициент теплового расширения в решении задачи отсутствует (в отличие от аналогичного решения с использованием закона Гука). Записав гипотезу суммируемости деформаций и переходя к скоростям деформаций, получаем, что скорости тепловых деформаций обращаются в нуль ввиду того, что температурное поле является стационарным. Таким образом, температурные расширения, как следует из решения, не оказывают влияния на распределение напряжений и скоростей деформаций ползучести. Возникающие в начальный момент времени температурные напряжения очень быстро релаксируют в процессе ползучести, что дает возможность пренебрегать ими при анализе общей картины напряженного состояния элементов конструкций [2, 7]. При анализе картины деформированного состояния можно учесть термоупругие деформации, тем более что методы решения задач термоупругости применительно, в частности, к круглым и кольцевым пластинам достаточно хорошо разработаны [5]. В большинстве случаев этими деформациями на фоне развитых деформаций ползучести можно пренебречь [2, 7].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Малинин Н. Н. Исследование установившейся ползучести круглых и кольцевых осесимметрично нагруженных пластин // Расчеты на прочность. М: Машгиз, 1963. Вып. 9. С. 173-195.

2. Качанов Л. М. Теория ползучести. М.: Физматгиз, 1960. 456 с.

3. РаботновЮ. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.

4. Писаренко Г. С., Можаровский Н. С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести / Справочное пособие. Киев: Наук. думка, 1981. 496 с.

5. Коваленко А. Д. Основы термоупругости. Киев: Наук. думка, 1970. 308 с.

6. Вайнберг Д. В., ВайнбергЕ. Д. Расчет пластин. Киев: Будивельник, 1970. 436 с.

7. БойлДж., СпенсДж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. 360 с.

Поступила 8.04.2005 г.