Решение задач по определению напряженно-деформированного состояния двухсвязных подкрепленных пластин в виде, удобном для регулирования Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

М.А. Ковырягин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ДВУХСВЯЗНЫХ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИН В ВИДЕ, УДОБНОМ ДЛЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ

Публикуются полученные в аналитической форме решения задач определения внутренних силовых факторов, нормальных напряжений и перемещений в замкнутых некруговых кривых брусьях. В аналогичной форме приведены решения задач по определению плоского напряженного состояния и изгиба двухсвязных некруговых пластин с подкрепленным краем. Результаты численных исследований представлены в виде графиков и таблицы.

PROBLEMS SOLUTION FOR TWO-CONNECTED SUPPORTED PLATES STRESS-DEFORMED STATE DETERMINATION IN SUITABLE FORM FOR ADJUSTMENT

Solutions of problems determination intrinsic strings factors, normal stresses and displacements in noncircular rings in analytical form are considered in this article. By analogy with there solutions of determination state of plane stress and bend two-connected supported plates are considered here. The numerical results are in forms of plots and tables.

Как отмечено [1], в настоящее время все большую актуальность приобретают вопросы управления напряженно-деформированным состоянием и динамическим поведением конструкций, подверженных экстремальным воздействиям. Для описания процесса регулирования были получены решения разрешающих уравнений в аналитическом виде. Это позволит упростить процедуру синтеза регулятора и создать систему активного управления с заданными характеристиками.

Запишем в аналитическом виде решение задачи об определении внутренних силовых факторов в замкнутых некруговых брусьях, используемых для подкрепления, при различных видах нагружения:

а) равномерно-распределенная к контуру нагрузка

б) периодически изменяющаяся нагрузка в виде одного из членов ряда Фурье q, cos,S + ip, sin£&, (, = 2,4,...N), где действительная часть выражения характеризует нормальную к контуру нагрузку, а мнимая - касательную ( q,, p, - постоянные величины).

M.A. Koviriagin

(1)

N = R£ sk £ ( cos X j0 + Bj cos |д;e),

k=0 j=0

Q = R £ sk £ (CA cos X j0 + Djjcos |Д j0) (2)

k=0 j=0

1 k

M = R£sk £(( cos X;0 + Fkj cos |д;0);

k=0 j=0

в) нагрузка имеет вид двух равных и противоположно направленных сил, приложенных по оси симметрии контура

k С dW Л

W = -£ ( AkW + 'Bk-d^j a„ + (CH + C, )p-»,

k (B12 b + *

„=i уn 2 '

Mk = R£ a„ + _Nk + mk; (3)

г) нагрузка имеет вид двух противоположно направленных сосредоточенных моментов, приложенных симметрично к контуру

Wk =-£a„

n=1

(AWk-n + B

d0

+ (C1k + iC2k )e-

V

Г J ^ Н

Мк = л^+ -Мк + «к, . (4)

и=1 уп 2

Постоянные интегрирования, входящие в формулы (1)-(4), приведены в статьях из списка литературы [1].

Результаты расчетов по формулам (1) представлены на рис.1 и 2.

Результаты расчетов, выполненных по формулам (2), представлены на рис. 3 и 4. Расчеты, произведенные по формулам (3), представлены в виде графиков на рис. 5 и 6. Формулы (4) позволили рассчитать величины внутренних силовых факторов, представленных в виде графиков на рис. 7 и 8.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. З

Рис. 4

Рис. 7

Рис. В

На рис. 1-7 для различных видов нагрузок приняты следующие обозначения:

ч 14< М

а) равномерно-распределенная нагрузка М =--------,

ГЧ 14' М

б) периодически изменяющаяся нагрузка М = -

Ч 14' м

в) сосредоточенные силы M = - р- .

г) сосредоточенные моменты M' = -

qíF M(R - 0,5h)

МИ

Нормальные напряжения в поперечном сечении замкнутых некруговых кривых брусьев качественно повторяют представленные здесь графики. Интересным нам видится аналитическое выражение величин напряжений и перемещений в подкрепленных отверстиях некругового очертания.

Формулы, определяющие напряженно-деформированное состояние в пластинках, имеют вид:

dW Í 3/\ к-1

Wk- —W=R г а (qicos 70+psin /0) - Ъ

d0 n=o

AW - idWk-n B AnWk-n d0 Bn

Q B dMk-n + hNk-n ^k-n n d0 2 d0

Щі- - V = І,, ^ + и„ =Фі . (5)

да да

Граничные условия на некруговом контуре представляются в виде:

к 3

£ ЬА-« (°г ) + 5 1к-2(°Є ) + 2£ ® А-« (ТЮ ) = Чк2) ,

п=0 «=1

к 3 _

¿V „!,-„ (тге ) + £®А-„ К-°г ) = . (6)

«=0 «=1

Входящие в записанные выражения (5) и (6) коэффициенты определены в [2].

Условия контактирования пластинки и бруса в к-м приближении имеют следующий вид:

ик = ик бр, Ук = Ук бр , (7)

где ик и Кк - перемещения по нормали и касательной в пластинке, а ик бр, ¥к бр - в брусе. Функции ик и Ук связаны с о(гк), аЄк), т^-1 соотношениями [2]:

еи

t=і («■) -VO0k)),

—R E

—k U = — (к) -Vcfk))

—0 R R E[ 0 R h

1_—UL + —VL - VL = 2(1 + v) t( k)

f______ _ _ ^ Oft •

R —0 —R R E

Граничные условия для пластинки преобразуются к виду:

ar0) = q¡ cos /Q , t(,0) = pt sin /Q ,

a<k) = 0 , тГ0) = o , k = 1, 2, 3 ... n . (8)

Граничные условия (6) можно записать иначе [2]:

°(г] = #-[„°(/-п) +Е^„4-п(ог)+ык-2Ю+2Еш„4-„(тг6)], = 4" ) -[ЕА п Т([-"} + ^ „4-и (0+Е® А-и К -^Г )] .

Формулы, определяющие перемещения, примут вид

ик = Е [) С08(/ - „у)е + ик2) С08(/ + „у)е] а„ ,

п=0

ик = Е[ 81П(/ -„у)е + ^ вт(/ + „у)е] ап,

п=0

“кк)=-Лт (4г )[(1 - ^р1п р- (1+^р]+)(1 - ^р- ск)(1+^р-1}, }=0,

Л2 Е

“кП =

1 + У

Л2 Е

- *,£1 У1 + гКП У1 +12 - г -

1 + у

IУ+1 +| 2 + г -

1 + у

-г+1

1 + У

Л Е

1„Е','п)р‘- + 'л',:,,У'-' + (4 + г - у-4-Jм>n)p'+1 + (г - 4 +1+^N1,)р

г+1

('=1, 2) .(10)

Описанными выше преобразованиями поставленная задача об определении плоского напряженного состояния в двухсвязных пластинках с некруговым подкрепленным краем сведена к ряду задач для кольцевых пластинок с подкрепленным краем. Решение осуществляется последовательно в нулевом, первом и т.д. приближениях. В нулевом приближении вид функции напряжений выбирается так, чтобы удовлетворять граничным условиям при к=0. Неизвестными в этом случае являются постоянные ^0, В0, С0, П0, определяющие напряженно-деформированное состояние в пластинке, а также коэффициенты qk, рк, входящие в формулы для отыскания контактных напряжений. Эти неизвестные находятся из шести уравнений: двух уравнений, являющихся граничными условиями на круговом контуре, и четырех уравнений, описывающих контакт по усилиям и перемещениям между пластинкой и ребром жесткости.

Значения напряжений в круглой пластинке с квадратным подкрепленным отверстием

(нагрузка приложена к круговому контуру)

4

4

0 л/4

О стг /ж сте/ж стг/ж сте/ж

стг = сое 4О

0 -0,104 -0,687 -0,187 0,380

1 -0,29 -0,078 -0,378 0,500

2 -0,209 -0,032 -0,444 0,471

+ / тй = сое 4О + I в1п 4О

0 -0,175 -0,966 -0,256 0,429

1 -0,921 0,124 -0,516 0,596

2 -0,703 0,080 -0,471 0,550

тю = э1п 4О

0 -0,071 -0,279 -0,070 0,049

1 -0,530 0,047 -0,139 0,096

2 -0,440 0,120 -0,176 0,110

у ^

^ = --------:т_

qhR И

Методика решения задачи в последующих приближениях ничем не отличается от описанной. Только вместо коэффициентов А0, В0, С0, В0 находятся коэффициенты Е, К, М, N.

Результаты решения поставленной задачи приведены в таблице и в виде эпюр напряжений на рис. 9.

1. Ковырягин М.А.Управляемые конструкции (в мостостроении) / М.А. Ковырягин, И.Г. Овчинников. Саратов: СГТУ, 2003. 96 с.

2. Уздалев А.И. Температурные напряжения в пластинках, ограниченных двухсвязным контуром / А.И. Уздалев. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. 176 с.

Ковырягин Михаил Алексеевич -

кандидат технических наук, доцент кафедр «Высшая математика и механика»

Энгельсского технологического института (филиала)

Саратовского государственного технического университета и «Вычислительный эксперимент в механике»

Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Рис. 9

ЛИТЕРАТУРА

Статья поступила в редакцию 14.03.06, принята к опубликованию 10.10.06