CC BY
9
Проблемы теории упругости
ОБ ОЦЕНКЕ ТОЧНОСТИ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО -ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ НЕКРУГОВЫХ КОЛЕЦ И ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПО НЕКРУГОВОМУ КОНТУРУ ДВУХСВЯЗНЫХ ПЛАСТИН С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА МАЛОГО ПАРАМЕТРА
М.А. КОВЫРЯГИН, канд. техн. наук, доцент
Энгелъсскш технологический институт (филиал) Саратовского государственного технического университета
Получающее в настоящее время все более широкое распространение регулирование напряженно-деформированного состояния элементов конструкций [1] требует новых методик расчета внутренних силовых факторов, напряжений и перемещений. Повсеместно используемый сейчас метод конечного элемента предполагает использование мощных компьютеров в системе регулирования, что нецелесообразно с экономической точки зрения и значительно усложняет процесс выработки регулирующего воздействия. Методология регулирования при использовании аналитических решений значительнее эффективнее численных методов. Предложенный в [2] способ определения требуемых параметров для широкого класса некруговых колец и двухсвязных пластин с подкрепленным некруговым контуром требует оценки точности полученных результатов. Выяснению данного вопроса посвящена настоящая статья.
Рассмотрим задачу определения изгибающего момента в некруговых кольцах при некоторых видах рассматриваемых в статье [2] нагрузках с помощью общепринятого в инженерных кругах метода сил [3] и сравним результаты с полученными с использованием метода малого параметра. Рассматриваются некруговые кольца постоянной ширины в плане, один из контуров которых описывается уравнениями:
х = я{со&в + е соэ тв\ у - ^(зт 9 — е эт тв), (1)
где х,у — декартовые координаты, Я,т,е - постоянные, определяющие форму
и размеры контура, в - параметр контура. Примеры таких колец при различных значениях т изображены на рис. 1.
Для сравнения аппроксимируем замкнутые контуры ломаными линиями и выразим длины этих ломанных через радиус приведенной окружности Я уравнения (1). Такая аппроксимация позволяет сравнить полученные результаты с приведенными в статье [4]. Несовпадение контуров, описываемых уравнениями (1) и аппроксимируемых ломанными достигает для эллиптического кольца 0,01 Я, для замкнутого некругового бруса треугольного очертания с закругленными углами - 0,02 Я , и для кривого бруса с наружным контуром в форме квадрата с закругленными углами - 0,01 Я . Размеры отрезков для полукольца следующие: эллипс - (0,1174 Я; 0,1274 Я; 0,2228 Я ; 0,2679 Л ; 0,3082 Я ; 0,3358 Л ; 0,2315 Я ; 0,2315 Л ; 0,3358 Я ; 0,3082 Я ; 0,2679 Я ; 0,2228 Я ; 0,1274 Я; 0,1174 Я), треугольник - (0,87?; 0,326 Я; 0,326 Я ; 1,6/?; 0,326 Я), квадрат - (0,082 Я ; 1,598 Л ; 0,164 Я ; 1,598 Я; 0,082 Я).
Симметрия рассчитываемых замкнутых контуров позволила использовать для определения изгибающего момента методы параллельного переноса осей и приведения к центру фиктивных упругих сил [3]. В этом случае система из
трех канонических уравнений метода сил распадается на три независимых уравнения следующего вида:
ад, +ар =о, - о, ад3 = о,
где Х2 - сила, перенесенная в центр фиктивных упругих сил, координаты которого определяются по формуле с--д{Ъ18гг, с? = <523 /333.
Результаты определения изгибающего момента в рассматриваемого вида некруговых кольцах при действии сосредоточенных сил и равномерной погонной нагрузки приведены в таблице 1. Для удобства сравнения в этой таблице представлены также результаты вычисления соответствующих моментов по формулам статьи [2]:
р
1) две силы - М = — т
4
Ш . . И . , — + — \smm9—ът\т + 2в) т 2) 2
+ Щ,
для т нечетных и ш — 0 для ш четных;
2л V т т + 2)
Рт(2К т + \
- I--Г ¡1 -
2 ж\т т + 2
2) равномерно-распределенная нагрузка - М = Яд(К -к/2)со${т + \)в .
Таблица 1
Изгибающие моменты М'
Метод сил Метод малого парам.
Вид нагрузки Град\ 5 15 25 5 15 25
г— Р -«' •сз> 0 -1,7 -5,1 -8,5 -1,77 -5,31 -8,85
45 0,7 0,21 0,35 0,05 0,15 0,25
90 0,3 0,9 1,5 0,28 0,85 1,42
0 -1,6 -4,8 -8,0 -1,26 -3,78 -6,3
45 1,65 4,95 8,25 1,63 4,9 8,2
90 1,04 3,13 5,22 1,22 3,66 6,1
60 0,04 0,11 0,18 0,03 0,1 0,17
120 1,2 3,6 6,0 1,1 3,3 5,5
180 -1,52 -4,57 -7,62 -1,51 -4,53 -7,55
0 -1,18 -3,54 -5,9 -0,26 -2,89 -4,82
90 0,55 1,65 2,75 0,57 1,72 2,87
0 -1,95 -5,85 -9,75 -2,05 -6,15 -10,2
90 1,43 4,3 7,17 1,14 3,43 5,72
0 -3,58 -32,2 -89,4 -3,42 -31,7 -88,5
о 45 3,25 29,3 81,3 2,98 30,4 86,3
0 6,55 59,5 166 5,23 53,2 151
60 -6,25 -56,3 -156 -5,98 -55,4 -155
0 9,2 85,5 238 7,27 71,8
90 -8,17 -75,4 -209 -7,72 -73,2 -205
В таблице 1 приняты обозначения: М'-М/^, г = Я/И, М' = М/Р/г. Анализ таблицы показывает, что наибольшее совпадение результатов достигается на прямолинейных или близких к прямолинейным участках контуров. В этом случае относительное несовпадение результатов достигает 1-5%. В угловых сечениях это несовпадение достигает при действии сосредоточенной на-
грузки 30%, а при действии равномерно распределенной погонной нагрузки 15-20%. При необходимости уточнения изгибающего момента в закруглениях требуется разбиение этого закругления на большее количество участков. Это вызывает резкое увеличение вычислений. Поэтому предложенные формулы для определения изгибающего момента являются более удобными и их использование в рассмотренных случаях несравненно проще применения метода сил.
Перейдем к сравнению результатов определения нормальных напряжений в сечении двумя возможными способами. Первый описан в статье [2] и с учетом разложения в ряд по степеням £ всех величин, зависящих от точек контура, формула для определения:
сг = M[d0 + sdu cos yd\'2Fkh , (2)
где М- изгибающий момент, F- площадь поперечного сечения, h- высота сечения,
к = \\ + 2ЬхЬг1{Ъх+Ь2)г\т, F = h{b]+b2)/2, у = т +1, d0 ={klh±R)/(R + 0,5h),
dn = [-3mR + 0,5hm(m -1)-hm{m -1)+ 3mR]/(R + 0,5/г), jfc, = 2k + \, и ¿2 - длины оснований трапеции.
Верхний знак в формулах относится к напряжениям на наружном контуре, а нижний - на внутреннем.
Второй способ заключается в использовании формулы для определения нормальных напряжений вида:
(v) М Pv-р„ , N <* - — -<-ч— + — > v = 1,2; (3)
F \Po-Pn)Pv F
(l) (2)
где аКЧ, аК > - нормальные напряжения в краиних наружном и внутреннем волокнах бруса; - изгибающий момент и нормальная сила, действующие в рассматриваемом поперечном сечении с площадью F; р„ (s), р0 (5) - соответственно радиусы кривизн нейтральной и геометрической осей; Р\ (5)> Рг (5) ~ радиусы кривизн соответственно наружного и внутреннего контуров бруса.
В формуле (3) радиусы кривизн для исследуемого сечения определяются соотношениями
Рг =Р\-К Ро - Р\ -А/2, рп =h/\n(Pl/р2) . (4)
Входящий в формулу (4) логарифм вычислялся для конкретных значений радиусов по таблицам [4]. Заметим, что при вычислении логарифма 1п(р, / р2) для бруса малой кривизны необходимо обеспечить высокую точность результата (порядка четырех значащих цифр). Изгибающий момент и продольная сила в сечении определяются с использованием метода малого параметра [2].
Для сравнения ограничимся случаем равномерной нагрузки. Результаты вычислений приведены в таблице 2.
В таблице приняты обозначения: сг' = <tF/qh, г = R/h .
Анализ таблицы показывает, что наибольшее несовпадение результатов наблюдается в точках наименьшей кривизны контура и достигает 3% при г = 20 на внутреннем контуре.
Заметим, что для тех сечений, где кривизна достаточно мала, возможно применение формулы для определения нормальных напряжений в балке. Так, например, для эллиптического кольца при г = 20 в сечении в - я / 2 величина
безразмерного нормального напряжения, вычисленная по формуле для балки равна <т'тзх = ±790, что отличается от результатов, полученных описанными способами менее чем на 1%.
Таблица 2
Нормальные напряжения в крайних волокнах некруговых колец при дейст-
вии равномерно-распределенной нагрузки интенсивностью д
т контур 1 способ 2способ
ч\ г 10 15 20 10 15 20
наружн. 0 -156 -384 -712 -154 -381 -708
Я-/2 197 445 793 202 466 810
1 внутр. 0 221 481 890 225 484 845
л 12 -189 -443 -777 -194 -441 -801
наружн. 0 -99 -261 -497 -96 -255 -477
_ /Л 71 и 1 С Л 1 1 ЛП спо иио 1 с л 1 ~>-г -5/1Л и сс\п ии /
2 внутр. 0 185 386 663 190 395 680
ж! 3 -139 -321 -578 139 317 577
наружн. 0 -52 -143 -276 -50 -138 -270
я-/4 93 203 356 92 200 356
3 внутр. 0 109 226 386 113 230 ь 395
п! 4 -75 -179 -321 -75 -174 -321
Предложенная в [2] методика позволяет по построенному решению исследовать напряженное состояние в круглых пластинках различного вида с некруговыми подкрепленными отверстиями. Существующие численные методы (например, метод конечного элемента) требуют решения задачи в полном объеме для каждого вида контура. Для сравнения полученных в [2] результатов определим напряжения для одного вида нагрузки и некругового подкрепленного контура с помощью метода конечного элемента.
Рассмотрим круглую пластинку с центральным отверстием в виде квадрата с закругленными углами. Отверстие подкреплено ребром жесткости. Нагрузка приложена к круговому контуру и изменяется по закону аг где
2 = 1 Мн/м2, 3 - параметр. Размеры рассматриваемого элемента конструкции следующие: К2 / И -10, Л, = 2м, Ц = 0,1л<, ¿2 = 0,3м.
Здесь /, и - толщины соответственно пластинки и подкрепляющего контур бруса.
Определим напряжения в пластинке и подкрепляющем брусе. Поскольку конструкция и нагрузка обладают симметрией, выберем для расчетов % часть, выделенную на рис.2. Исследуемая часть конструкции была представлена в виде совокупности 144 элементов, как изображено на рис.3. Нагрузка согласно требованиями метода конечного элемента была заменена сосредоточенными силами, приложенными в узлах по внешнему контуру пластинки. Замену распределенной нагрузки сосредоточенными силами поясним на рис.4, где приняты следующие обозначения: Ц - контур пластинки, Ь2- эпюр нагрузки,р-радиус кривизны контура 1Х.
После разбиения области на элементы вся длина контура аппроксимировалась отрезками прямых линий между узлами а, б, в, г, ... Далее из узлов проводились прямые линии - продолжение радиусов до пересечения с кривой Ь2.
; „пл.
'1С К
Рис.2
Рис.3
Рис.4
Таким образом эпюра нагрузки делилась на части. Затем были определены площади этих частей и их центы тяжести. Дальнейшие преобразования проводились в предположении, что нагрузка, действующая, например, на участке аб эквивалентна силе Р} = , приложенной в центре тяжести площади и действующей по направлению к центру кривизны контура Ьх. В соответствии с условием равновесия сила Рх представлялась в виде сумм сил РХа и РХ6. Линии действия этих сил проектировались на оси декартовой системы координат х и у и алгебраически складывались с проекциями нагрузки смежного участка. В результате получилось, что на каждый узел действуют две силы Рх и Р . Величи-
ны этих сил указаны в таблице 3. В ней также указаны координаты узлов.
Таблица 3.
__Преобразованная нагрузка_
Номера узлов Координаты узлов Величина сил нагрузки
х, м у, м Рх, Мн Ру, Мн
1 2,0 2,0 0,00859 0,12855
6 1,7368 1,9824 0,02735 0,21902
11 1,4824 1,9324 0,03032 0,12288
16 1,2368 1,8484 -0,00255 0,00147
21 1,0 1,7320 -0,06656 -0,11002
36 0,7808 1,5852 -0,13577 -0,17454
41 0,5858 1,4142 -0,17892 -0,17892
46 0,4148 1,2191 -0,17454 -0,13577
51 0,2679 1,0 -0,11002 -0,06656
64 0,1516 0,7632 0,00147 -0,00255
69 0,0681 0,5178 0,12288 0,03032
74 0,0176 0,2632 0,21902 0,02735
79 0,0 0,0 0,12855 0,00859
Описанные преобразования позволили применить процедуру метода конечного элемента. Она связана с минимизацией потенциальной энергии системы при отыскании узловых значений вектора перемещений. После определения перемещений в узловых точках вычислялись компоненты тензоров деформаций и напряжений. Алгоритмы вычислений соответствуют решению задач теории упругости. Результаты вычислений сведены в таблицу 4.
Как видно из таблицы, погрешность вычисления напряжений на круговом контуре, то есть погрешность удовлетворения граничным условиям оказалась в пределах 6%. Разность результатов вычисления напряжений на некруговом контуре по методу конечного элемента и методу малого параметра составила не
более 5% относительно уровня задаваемой нагрузки в сечении 0 = 0°, что соизмеримо с погрешностью вычислений.
Таблица 4
Напряжения в пластине, вычисленные с помощью метода конечного элемента
Номер узла 1 5 41 45 79 83
-1,029 0,1082 Л ¿CO/1 UjOw'Z.-r 0,0992 -0,9438 -0,0321
-0,8253 -0,03264 -0,7855 0,0399 -0,6017 -0,00339
Сравнивая процедуры решения задачи с помощью метода малого параметра и метода конечного элемента можно сделать вывод о том, что применение первого метода в данном случае рациональнее в силу его универсальности и простоты расчетов.
Литература
1. Абовский Н.П. Управляемые конструкции/ Н.П. Абовский. - Красноярск: Крас-ГАСА, Í998. -433с.
2. Ковырягин М.А. Решение задач по определению напряженно-деформированного состояния двухсвязных подкрепленных пластин в виде, удобном для регулирования/ М.А. Ковырягин // Вестник СГТУ, №1, Вып.1, 2007. - Саратов, СГТУ, 2007. - С.20-26.
3. Смирнов А.Ф. Строительная механика. Динамика и расчет сооружений/ А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Н.Н. Шапошников, Б.Я. Лащеников. - М.: Стройиздат, 1984.-415с.
4. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений/ И.С. Град-штейн, И.М.Рыжик. - М., Физматгиз. - 1971. - 415с.
ON ACCURACY OF STRESS-STRAIN STATE ANALYSIS OF NON-CIRCULAR RINGS AND DOUBLE-CONNECTED PLATES WITH APPLICATION OF METHOD OF SMALL PARAMETER
M.A.Koviriagin
The author showed the advantage of a small parameter method in congruence with a method of forces and finite element method by setting a problem of stress-strain state.
Hb 4b
О МОДЕЛИРОВАНИИ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ ВЗРЫВНОЙ ВОЛНЫ НА
СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ
МУСАЕВ В.К., д-р техн. наук, профессор Российский университет дружбы народов, Москва
Рассматриваются вопросы численного моделирования задачи о воздействии сосредоточенной взрывной волны на свободной поверхности упругой полуплоскости. Задача решается с помощью метода конечных элементов в перемещениях. Приводятся напряжения в характерных точках около полуплоскости.
Проведенные в работе исследования имеют как фундаментальное, так и прикладное значение.
Численное моделирование волновых воздействий на некоторые объекты рассмотрены в работах [1-4].
Рассмотрим задачу о воздействии сосредоточенной взрывной волны (рис. 3) перпендикулярной свободной поверхности упругой полуплоскости (рис. 1).
