CC BY
18
УДК 539.3
М.А. Ковырягин ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ДВУХСВЯЗНЫХ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИН В ВИДЕ, УДОБНОМ ДЛЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ
В полуаналитической форме ставятся задачи определения внутренних силовых факторов, нормальных напряжений и перемещений в замкнутых некруговых брусьях. С использованием метода малого параметра задачи определения плоского напряженно-деформированного состояния и изгиба двухсвязных некруговых подкрепленных пластин сведены в аналитической форме к ряду задач для круговых областей.
M.A. Koviriagin ASSIGNED TASKS ON DETERMINATION OF STRESSED AND DEFORMED CONDITION OF TWO-CONNECTED SUPPORTED PLATES IN THE WAY
CONVENIENT TO REGULATE
Intrinsic strings factors problems determination, normal stresses and displacements in noncircular rings in analytical form are considered in this article. The problems of determination state of plane stress and bend two-connected supported plates are accounted in analytical form to series problems for circular scopes with the help of small parameter method.
В настоящее время все большую актуальность приобретают вопросы управления напряженно-деформированным состоянием и динамическим поведением конструкций, подверженных экстремальным воздействиям [1]. Для описания процесса регулирования необходимо получение решения разрешающих уравнений в аналитическом виде. Это позволяет упростить процедуру синтеза регулятора и создать систему активного управления с заданными характеристиками.
Сформулируем в аналитическом виде задачи об определении напряженно-деформированного состояния и изгиба подкрепленных двухсвязных пластин сложного очертания.
Постановка задач об определении плоского напряженного состояния двухсвязных пластин с подкрепленным краем
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние некруговых колец
переменного поперечного сечения, один из контуров которых описывается уравнениями:
х = R2(cos9 + s cosm9), y = R2(sin0-s sinm9) , (1.1)
где х, y - декартовы координаты; R2, m, s - постоянные, определяющие форму и размеры контура; 9 - параметр контура. Примеры таких колец при различных значениях m изображены на рис. 1.
Рис. 1
Они используются в качестве усиливающей жесткость окантовки по одному из контуров в двухсвязных пластинах.
Уравнения равновесия элемента бруса имеют вид [2]:
ттг • dW ( . Л dM hdN ттг лт
W - ір—— = p(q + lp), —----------——-------Q = 0, W = N - I Q.
d s
ds 2 ds
(1.2)
Здесь ds - элемент дуги контура бруса; N0, Q(s), М(я) - соответственно нормальная и поперечная силы, изгибающий момент, в сечении; h(s) - ширина сечения бруса в плане; р -радиус кривизны контура бруса; q, p - внешние усилия, направленные по нормали и касательной к контуру и действующие на единицу длины в срединной плоскости бруса; і -мнимая единица.
Напряжения, действующие по нормали к поперечному сечению, определяем по формуле [3] для бруса большой кривизны
V = 1, 2
(1.3)
F (ц -Рн) 17
где а(1), а(2) - соответственно напряжения на наружном и внутреннем контурах; F -площадь поперечного сечения; рн, Рц - радиусы кривизны соответственно нейтральной и центральной осей бруса; ру - радиус кривизны наружного (у=1) или внутреннего (у=2) контуров бруса.
Касательные напряжения в поперечном сечении определяются по формуле сопротивления материалов. Вектор перемещения любой точки контура можно представить [3]:
и = ип + vт , (1.4)
где п , т - единичные орты, определяющие направление нормали и касательной к контуру. Он связан с величиной относительной деформации в направлении линии контура 8о и углом поворота нормали 0о геометрическим соотношением
du d я
= єЛ -0л п .
Здесь 8о и 0о отыскиваются по формулам
м
Ер (Ро -Рн)
(1.5)
где а - напряжения, действующие по нормали к сечению; Е - модуль упругости первого рода; ф - центральный угол; С0 - произвольная постоянная интегрирования.
Так как в общем случае задания контура и, V, п , т являются функциями 5, то (1.4) можно представить в виде
йи du _ йп йт
----=-----п + и----1---т + V— .
Є
о
На основании формул Серре-Френе
dn _ т dт ds p ’ ds
n
p
получена следующая система уравнении
du v
- „ dv u
--------- -9o , ~T + ~ - so
ds p ds p
(1.6)
2. Основные уравнения плоского напряженного состояния двухсвязных пластин
с подкрепленным краем
Рассмотрим двухсвязную пластину сложного очертания, например, круглую с центральным некруговым подкрепленным отверстием или некруговую пластинку с подкрепленным краем и круговым отверстием в центре (рис. 2). Некруговой контур задается уравнениями (1.1). Подкрепление представим в виде замкнутого некругового кривого бруса, повторяющего очертания некругового контура. Нагрузку считаем приложенной к круговому контуру и изменяющейся по закону
ar + i тг0 - gl cos19 + ip¡ sin19 , (2.1)
где l - период нагрузки; i - мнимая единица; g1 иp1 - постоянные.
Такая нагрузка имеет математически вид одного из членов ряда Фурье. Нагрузка же самого общего вида может быть представлена в виде тригонометрического ряда Фурье, как сумма нагрузок (2.1) с различными значениями l. Поэтому, если нам удастся получить решение при нагрузке, которая имеет вид одного из членов ряда Фурье, то задачу об исследовании напряженно-деформированного состояния двухсвязных пластин с подкрепленным краем под действием распределенной нагрузки можно в принципе считать решенной.
Подкрепляюший брус считаем свободным от нагружения. Напряжения и перемещения в пластинке и подкреплявшем брусе определяются на основании известных соотношений теории плоского напряженного состояния пластинок и уравнений изгиба некруговых колец
[4].
Задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений
т„ . dW ( г\ dM hdN „ _
W - i p----p(gl cos19 + ip¡ sin 19), V2V2F - 0,--------------Q - 0
ds ds 2 ds
(2.2)
где F - функция напряжений в пластине; V - оператор Лапласа - V2 -
, W - N -iQ .
д2
- + —
1 д 1 д2
+
дr2 r dr r2 д92
б
а
Рис. 2
Пусть L1 - круговой контур пластинки; L2 - контур контакта пластинки и ребра. Дифференциальные уравнения для определения проекций перемещений имеют вид (1.6). Решение системы (2.2) должно удовлетворять следующим граничным условиям: на круговом контуре L1 условиям (2.1) на наружном контуре бруса
ür - а и Tr9 - 0 , (2.3)
а также условиям контактирования на контуре L2
ür cos2 (n, r) + a9 cos2 (n, 9) + 2тг9 cos (n, r) cos (n, 9) - gl cos (n, r) ,
(a9 - or) cos (n, r) cos (n, 9) + Tr9 [cos2 (n, r) - cos2 (n, 9)] - т1 sin (n, 9) ,
u - u v - v üпласт.) - _(бруса) т(тжт.) - т(бруса)
пласт. бруса пласт. брусам ^r r э lr9 lr9 5
где cos (и, r) = -, cos (n, 9) =- , ds = VdX^Tdy2 -элемент дуги.
ds ds
Величины x, y, а также дифференциалы dx, dy находятся в точках некругового контура из уравнения (1.1).
Компоненты напряжений и перемещений в пластинке выражаются через функцию F по известным формулам
П-----г 1 дF 1 д2 F д2 F д2 (F
r-VX + y , ür ----2—T, ü9 -—^ Tr9 - -
г дг г д92 дг дг 59^ г
Заметим, что уравнения (2.3) являются нелинейными дифференциальными уравнениями в силу нелинейной зависимости радиуса кривизны контура контакта от координат точек контура.
3. Постановка задач и основные уравнения изгиба двухсвязных пластин
с подкрепленным краем
Рассмотрим двухсвязную пластинку, один из контуров которой описывается уравнениями (1.1). По этому контуру пластинка подкреплена ребром жесткости. Ребро представляется в виде некругового плоского упругого кольца, все жесткостные характеристики которого приведены к средней линии. Растяжимостью кольца пренебрегаем. Кольцо расположено симметрично относительно срединной плоскости пластинки. Задача сводится к совместному решению уравнения для функции прогиба пластинки и уравнений равновесия подкрепляющего элемента при выполнении условий сопряжения между кольцом и пластинкой, а также удовлетворения граничным условиям для пластинки. Условиями сопряжения являются равенство угла закручивания бруса и угла поворота нормали пластинки по линии контакта и контактного крутящего момента по линии сопряжения кольца и пластины. Они имеют вид:
dw ^ Л г dHtr. ,.
— = -9 , ы = урЄбра , Мп = т , Ып + -^ = Яр . (31)
Здесь Мп, Нп - изгибающий и скручивающий моменты в пластине; Ып - перерезывающая сила, действующая в пластине на площадке с нормалью п; уребра - перемещения точек бруса по вертикали; ы - прогиб пластины; т - результирующий погонный момент, приложенный к брусу.
Граничные условия для пластинки при различных способах закрепления имеют следующий вид:
r^dw
а) жесткое защемление ы = 0, — = 0;
dn
б) край шарнирно оперт ы = 0, Мп = 0; (3.2)
в) край свободен Мп = 0, Ып +
dH
ш
dS
= 0.
Уравнения для функции прогиба пластинки и уравнения равновесия подкрепляющего элемента (рис. 3-5) имеют вид
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
У2У2 = -
В
р
dM dM
+М - Qр = 0 , р—— - Мп + т = 0
ds
ds
dQ
Р~Г + ЯР = 0 ds
М^+9 ^9 = Мкр (3
ds ЕЗх р ’ ds 03 кр р
где V - оператор Лапласа; д - интенсивность равномерно-распределенной нагрузки, приложенной по нормали к поверхности пластинки; В - жесткость пластинки на изгиб; Мп, Мкр, Q - соответственно изгибающий и крутящий моменты, поперечная сила в брусе; т - результирующий погонный момент, приложенный к брусу; р - радиус кривизны центральной оси бруса; 9 - угол закручивания; ф - угол поворота сечения вокруг бинормали; яр - погонное поперечное усилие на границе контакта.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ковырягин М. А. Управляемые конструкции (в мостостроении) /
М. А. Ковырягин, И.Г. Овчинников. Саратов: СГТУ, 2003. 96 с.
2. Уздалев А.И. Расчет замкнутого некругового кривого бруса / А.И. Уздалев, М. А. Ковырягин // Известия вузов. Машиностроение. 1976. № 2. С. 12-16.
3. Ковырягин М. А. К вопросу об учете деформаций элементов карданова подвеса при изменении температуры / М. А. Ковырягин, Г. А. Волков // Известия вузов. Приборостроение. 1977. № 9. С. 85-89.
4. Ковырягин М. А. Регулируемое напряженно-деформируемое состояние двухсвязных пластин с подкрепляющим ребром по некруговому контуру / М. А. Ковырягин // VIII Всерос. съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 23-29 августа 2001 г.) / УрО РАН: Екатеринбург, 2001. С. 33б.
Ковырягин Михаил Алексеевич -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Высшая математика и механика» Энгельсского технологического института (филиала)
Саратовского государственного технического университета
