Управление динамическим поведением двухсвязных подкрепленных пластин некругового очертания Текст научной статьи по специальности «Математика»

и3о и вРемя Т, используя построенные аналитические решения дифференциальных уравнений краевых задач и заданные краевые условия. В общем случае это достаточно сложная задача.

• »ор

В частном случае, когда п30 = 0, Ь2 = О, Q = О, из второго уравнения системы (8) находим, что е = е0 = 0, т.е. u=z^X. Поэтому с учётом граничных условий общее решение уравнений для фазовых переменных краевых задач оптимизации примет компактный вид

Г-Т rn,Lt , Хг-Х0соз[(/Т)/(2Л)] Lt

Л — Л.А COS--1--Р-=-sin—,

2 A sm[(LT)l(2A)] 2 А Ua, /а7, если ¿,°р = пу, /(4Аа2),

[Lap (г = 1,2) в остальных случаях.

5. Заключение. Дана новая постановка задачи построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента динамически симметричного КА, использующая удобные кватернионные модели углового движения КА. Задача актуальна в связи с созданием современных систем ориентации КА, использующих в качестве исполнительных устройств гиродины. Сформулированы краевые задачи оптимизации для двух функционалов качества, найдены первые интегралы задач. Построены общие аналитические решения полученных нелинейных дифференциальных уравнений краевых задач, имеющих размерность, равную девяти.

УДК.539.3

М. А. Ковырягин

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМ ПОВЕДЕНИЕМ ДВУХСВЯЗНЫХ ПОДКРЕПЛЁННЫХ ПЛАСТИН НЕКРУГОВОГО ОЧЕРТАНИЯ

Управление динамическим поведением элементов конструкций в виде пластин различной формы является актуальной задачей, привлекающей внимание исследователей как в России [1, 3, 5], так и за рубежом [2, 4, 6].

При решении таких задач придерживаются следующих принципов управления для смешанных начально-краевых задач теории тонких пластин малого прогиба [2]: а) управление с минимальным временем, б) возбуждение с минимальным временем, в) управление на фиксированном временном интервале.

Рассмотрим случай в) для пластинки с круговым внутренним контуром L\, заданным уравнениями

х - Rf cosS, у = .ft] sin Э, (1)

а внешним L2 - некруговым, описываемым уравнениями

х = Я2 (сое 9 + в соя т9), у = Я2 (ят 9 + е бш т&).

(2)

Здесь 9 - параметр, определяющий положение точки на контуре; постоянные Я\,Я2,т,г характеризуют размеры и форму контура; |е|<1.

Заделка внутреннего контура - жёсткая, а внешнего контура - свободная, причём закрепление не вызывает появления продольных сил.

Если пренебречь влиянием сил в срединной плоскости, то динамическое уравнение теории пластин малых прогибов будет иметь вид

ТУ,'»-'

оег-о- <3)

где £> - жёсткость пластинки постоянна, с/ - суперпозиция управляющей и возмущающей нагрузок.

Полная энергия пластины в этом случае равна сумме потенциальной и кинетической энергий, представляемых в следующем виде:

и = -с1Ы-, (4)

дс )

с1§с1г.

(5)

В [2] доказано, что для уравнений вида (3) существует оптимальное управление на фиксированном временном интервале.

Используя метод возмущений, представим функцию РУ в виде ряда по степеням параметра е:

(6)

к = О

Граничные условия на внутреннем круговом контуре будут иметь

вид

ч>к = 0, ^^ = О при г = К]. дг

(7)

Преобразованные граничные условия с некругового контура в условия, которые имеют место на окружности радиуса г = Л2 > имеют вид

«=о

дг

Ьп

п=О

+ Уо

X

1 ды

дуу,

к-п

— + У А

¿—А '

дг ¿=)

дм,

к-п-1

дг

к-\

к-\

ае

+ ХА<

;=1

1

ае

при г = Л2 (8)

к = 0,1,2,...,и

где Р0 = 1, 0, = (1 - т)со% ув2, (32=-т, у0=у2 «п у92,

Д, =созу^9- /?2 —-5ту26---, У2 =т + 1, Хп = О, X =1 при п> 1.

сг дг

Нагрузка и управляющее воздействие, входящие в правую часть уравнений (3), представляются также в виде рядов по степеням параметра е:

'= 2У<7*

к=О

(9)

Таким образом, задача об интегрировании уравнений (3) для области с некруговым контуром ¿2 сведена к ряду задач для кольцевых пластин, колебания которых описываются уравнениями вида

э2г.

к= О

О

к=о

III

дг2

Б

(10)

*=0

Здесь q0= <?0(в), Мо=Мо(0), цк=0, Мк=0 при Л=1,2.....и .

Согласно алгоритму по синтезу регулятора напряжённо-деформированного состояния двухсвязной пластины, предложенному в работе [5], уравнения движения такой системы должны быть представлены в виде

¿(0=(Ч)

где

о

-лгЧЦ

о /

«(0-

-л/

о

-чо^).

Здесь х(/) - и-мерный вектор (л = 1) геометрического положения объектов;

С(^) и К(£) - матрицы размерностью 1x1, определяющие соответственно массу, демпфирование и упругость по каждому элементу матрицы х(/) в зависимости от р-размерного (р= 1) вектора характеризующего параметры конструкции; /(/) - вектор возмущающих систему сил нагрузки; С(^) - матрица размерностью 1x1 (т <п), определяющая пространственное распределение активных элементов, которые вместе с т-размерным (т=1) вектором управляющих воздействий ы(/) описывают возможности активного управления конструкцией.

Одновременно с созданием наилучшей управляющей силы учитывается поддержание значений вектора состояния £, в допустимых пределах. Таким образом, основной задачей создания оптимальной системы управления является отыскание таких £ и и(?), которые минимизировали бы интеграл вида

= + «Ге2и + (12)

где Q =

, - неотрицательная функция оценки, зависящая в

"во О

О ви

целом от а не от t.

Матрицы Qq.Q],Q2 - обычные весовые матрицы с соответствующими данной системе управления параметрами.

Решая матричное уравнение (11) при одновременном удовлетворении (12), находят Кроме того, величины Е, должны удовлетворять условиюЕ, > , где ct соответствует состоянию конструкции при статическом нагружении.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Абовский Н. П., Белобородова Т. В., Максимова О. В. Нейросетевое моделирование в задачах теории пластин и оболочек // Изв. вузов. Сер. Строительство. 2001. №8. С. 20-27.

2. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем. М.: Мир, 1975. 160 с.

3. Сторожев В. И.. Вайс Г. Б. Симметричные формы изгибных колебаний кольцевой пластины из прямолинейно ортотропного материала с жёстко закреплёнными краями. Горловка, 1994. 13 с. Деп. в ГНТБ Украины 20.6.94. 1123-Ук 94.

4. Тгшошенко С. П., Янг Д. X.. Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение, 1985. 472 с.

5. Ковырягин М. А., Никулин С. В., Овчинников С. В. Задача синтеза регулятора напряжённо-деформированного состояния мостовой конструкции // Вест. Самар. гос. тех. ун-та. Сер. Физико-математические науки. 2003. № 19. С. 80 - 85.

6. Dongchang S.. Ligong Т., Dagin W. Vibration control of plates using discretely distributed piezoelectric quasi-modal actuators/sensors // AIAA J. 2001. Vol. 39, № 9. P. 1766-1772.

УДК 539.3

В. И. Конкина, Т. Н. Володина

ИЗГИБ АНИЗОТРОПНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПЛИТЫ НОРМАЛЬНОЙ НАГРУЗКОЙ, ПРИЛОЖЕННОЙ К ЕЁ КРАЮ

В статье методом обобщённых комплексных переменных [1] решена задача об изгибе тонкой анизотропной эллиптической плиты, ослабленной одним эллиптическим отверстием. Центры плиты и отверстия совпадают. Будем считать, что внутренний контур пластинки жёстко защемлен. Внешний контур подкреплён абсолютно жёстким кольцом, которое может перемещаться в направлении, перпендикулярном срединной плоскости плиты. Пластинка изгибается под действием усилий постоянной интенсивности р, приложенных к внешнему контуру и нормальных к недеформи-рованной срединной плоскости пластинки.