CC BY
19
где Q =
, - неотрицательная функция оценки, зависящая в
"во О
О ви
целом от а не от t.
Матрицы Qq.Q],Q2 - обычные весовые матрицы с соответствующими данной системе управления параметрами.
Решая матричное уравнение (11) при одновременном удовлетворении (12), находят Кроме того, величины Е, должны удовлетворять условиюЕ, > , где ct соответствует состоянию конструкции при статическом нагружении.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Абовский Н. П., Белобородова Т. В., Максимова О. В. Нейросетевое моделирование в задачах теории пластин и оболочек // Изв. вузов. Сер. Строительство. 2001. №8. С. 20-27.
2. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем. М.: Мир, 1975. 160 с.
3. Сторожев В. И.. Вайс Г. Б. Симметричные формы изгибных колебаний кольцевой пластины из прямолинейно ортотропного материала с жёстко закреплёнными краями. Горловка, 1994. 13 с. Деп. в ГНТБ Украины 20.6.94. 1123-Ук 94.
4. Тгшошенко С. П., Янг Д. X.. Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение, 1985. 472 с.
5. Ковырягин М. А., Никулин С. В., Овчинников С. В. Задача синтеза регулятора напряжённо-деформированного состояния мостовой конструкции // Вест. Самар. гос. тех. ун-та. Сер. Физико-математические науки. 2003. № 19. С. 80 - 85.
6. Dongchang S.. Ligong Т., Dagin W. Vibration control of plates using discretely distributed piezoelectric quasi-modal actuators/sensors // AIAA J. 2001. Vol. 39, № 9. P. 1766-1772.
УДК 539.3
В. И. Конкина, Т. Н. Володина
ИЗГИБ АНИЗОТРОПНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПЛИТЫ НОРМАЛЬНОЙ НАГРУЗКОЙ, ПРИЛОЖЕННОЙ К ЕЁ КРАЮ
В статье методом обобщённых комплексных переменных [1] решена задача об изгибе тонкой анизотропной эллиптической плиты, ослабленной одним эллиптическим отверстием. Центры плиты и отверстия совпадают. Будем считать, что внутренний контур пластинки жёстко защемлен. Внешний контур подкреплён абсолютно жёстким кольцом, которое может перемещаться в направлении, перпендикулярном срединной плоскости плиты. Пластинка изгибается под действием усилий постоянной интенсивности р, приложенных к внешнему контуру и нормальных к недеформи-рованной срединной плоскости пластинки.
Внешний контур плиты обозначим /.0, внутренний — Ц ; полуоси соответствующих эллипсов - а0, Ь0, и ах, Ь\\ срединную плоскость, ограниченную контурами Ь0 и Ь\, — 8.
Эту задачу можно рассматривать как задачу определения в областях Sj (здесь и далее / = 1,2), полученных из рассматриваемой области 5 известным афинным преобразованием, аналитических функций И^Дг.) из граничных условий [2]:
_ __на ¿п и ¿1. (1)
Здесь Гу - контурные точки; коэффициенты £т1 (га = 1,2,3,4) выражаются
через комплексные параметры изгиба по известным формулам [2].
Прогиб, моменты и перерезывающие силы определяются по известным соотношениям [1].
Искомые функции представим в виде [2]
СО А < 00
г;(2;.) = м/гу \rizj + X Хад(0)(^)> (2)
где £ связаны с неявными зависимостями [2]
(3)
Параметры и ту, характеризуют форму и размеры эллиптических контуров в плоскостях 2 - [2]. Комплексные параметры М■ определяются из соответствующей системы [2], где главный вектор Рл усилий, приложенных к контуру /,0, следует искать в виде
Рг]=-4рЕ(е 0),
здесь Е(е0) = Е( ¡1 - (--)2;—) - полный эллиптический интеграл II рода. V ао 2
Комплексные постоянные А^к, С¡к подлежат определению из граничных условий (1).
Поступая аналогично тому, как это сделано в работе [3], для определения неизвестных Ак, С¡к получим следующую бесконечную систему линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами;
30 СО 00
А¡к + ™)\ X + кз] X «1*/С1/ + к,1X «2*/С2/ = 5 /« . / = 1 / = 1 / = |
— к — — к к ~ С]к +к]\(СхкЩ0 +Т^шАи) + кЛС2кт20 +Х«2Й^2/) = 5Д0 . (4) /=1 /=1
Здесь приняты следующие обозначения:
5,п =
5Л0=-
впх+м]клтп 1п/г;., +кз1мхкпыкп+клм2к21\пк2у
1п Луо + (дп о + М\К\ ош\ о1пК\ о> ■+
+ ^1(5210+М2т20Л201пЛ2(р],
Ъ]к\=~В]к\> 3]к0=<кДВМ+кПВ2к0'>> В]\п = М,т}пк]п" ¿ + 1 £ + 1 (-1) 2 Я . т -1 В)кп=Ш]-к2 }П (5 = 1,3; ' = 2'4; и = 0'1;
Численные расчёты для прогиба, моментов и перерезывающих сил в точках действительной и мнимой осей и в точках контуров плиты проведены для случая, когда круглая плита с круговым отверстием изготовлена из СВАМа, физические характеристики которого приведены в работе [3].
При приближённом решении система (4) урезалась, что можно сделать в силу ее квазирегулярности [2], в ней осталось 12 уравнений. При решении системы учитывалась зависимость между коэффициентами к = А/с > (-2к = Си, М2 = М1, которая следует из условия ц2 = ~р1 > вы~ полняющегося для ортотропного материала. Значения прогиба, моментов и перерезывающих сил в точках контуров Ь0 и Ц при а0 = Ь0 = 5, ах=Ь, = 1 приведены с точностью до р в табл. 1. В табл. 2 приведены значения аналогичных величин в некоторых точках горизонтального и вертикального диаметров такой же плиты.
Таблица 1
Контур Угол ]¥ Мг М1 нп N1
¿1 0 0.0000 -9.03346 -0.23377 0.0000 3.97018 0.0000
30 0.0000 -7.38839 -2.28518 3.55122 3.07853 -4.03430
60 0.0000 -4.26711 -5.37351 2.99631 9.49964 -10.3825
90 0.0000 -2.78812 -0.87248 0.0000 -0.72931 0.0000
и 0 21.4203 7.30425 0.19015 0.0000 3.50669 0.0000
30 21.4193 2.66217 0.82375 -0.27932 1.45293 -0.95960
60 21.4187 0.20340 0.25212 -0.14003 -0.07824 -0.31448
90 21.4179 0.04005 0.00421 0.0000 -0.26612 0.0000
Таблица 2
Оси Точки IV Мх Му Мх
X 1.0 0.0000 -9.03346 -0.21111 3.97018 0.0000
2.6 8.02553 -1.20426 -0.47891 4.36824 0.0000
5.0 21.4203 7.30425 0.19015 3.50669 0.0000
У 1.0 0.0000 -0.87248 -2.78812 0.0000 -0.72931
2.6 13.4823 -1.77075 0.30972 0.0000 0.39774
5.0 21.4179 0.00421 0.04005 0.0000 -0.26612
Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие выводы:
1. Граничные условия на контурах ¿0 и I, выполняются достаточно
точно.
2. Прогиб достигает максимального значения на загруженном контуре Ь0, что соответствует физической постановке задачи.
3. Максимальным оказался изгибающий момент Мг на контуре отверстия.
4. Результаты, приведённые в табл. 1, не противоречат результатам, приведённым в табл. 2.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М., 1957. 463 с.
2. Меглинский В. В. Некоторые задачи изгиба тонких анизотропных плит // Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений и деформации упругих тел. Саратов, 1967. Вып. 3. С. 97- 127.
3. Коппина В. И., Томиловский С. В. Изгиб анизотропной эллиптической плиты с отверстием // Механика деформируемых сред: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов, 1997. Вып. 13. С. 36-41
УДК 533.6.0116:532.529
А. А. Матутин
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕФРАКЦИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ С ОБРАЗОВАНИЕМ УДАРНОЙ ВОЛНЫ, ЗАМЫКАЮЩЕЙ ЗОНУ РАЗРЕЖЕНИЯ
\А У
м д И
При взаимодействии плоской (падающей) ударной волны (УВ) ВК
интенсивности е = Рю под углом а со свободной поверхностью ОВ, которая разделяет две газожидкостные среды (Г'ЖС) с давлением р0 и массовыми газосодержаниями у+ и у", возможны следующие виды взаимодействия: регулярное, нерегулярное и с образованием ударной волны, замыкающей зону разрежения (рис. 1) [1]. Последний пред-
Рис. 1
ставляет наибольший интерес, так как является наименее изученным на данный момент.
