Изгиб эллиптической плиты с отверстием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Анализ получившихся значений показывает, что граничные и контактные условия выполняются, максимального значения функция прогиба достигает в центре плиты, максимальным изгибающим моментом является Mq на контуре плиты при г - а .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Александров А. Я. Решение осесимметричных задач теории упругости при помощи аналитических функций// Докл. АН СССР. 1959. Т. 129, №4. С. 754-757.

2. Беленький М. Я. Некоторые осесиммегричные задачи теории упругости // Прикл. математика и механика. 1960. Т. XXIV, вып. 3. С. 582 - 584.

3. Мусхелишвши Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.

УДК 539.3

В. И. Когшина, А. С. Щербаков ИЗГИБ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПЛИТЫ С ОТВЕРСТИЕМ

Рассмотрим упругое равновесие тонкой эллиптической анизотропной плиты, ослабленной одним эллиптическим отверстием, которое подкреплено эллиптическим кольцом из другого анизотропного материала. Центр отверстия совпадает с центром плиты. Толщина кольца равна толщине плиты /г; ширина кольца достаточная, чтобы к кольцу можно было применить теорию изгиба плит.

Плита находится под действием изгибающих моментов интенсивности М, равномерно распределенных по внешнему контуру. Внутренний контур составной плиты свободен. Определим НДС такой плиты. Считаем материал пластинки анизотропным, обладающим одной плоскостью упругой симметрии, параллельной срединной плоскости плиты. Выберем систему координат следующим образом: пусть плоскость ХОУ совпадает со срединной плоскостью плиты, ось 02 направлена вертикально вниз.

Обозначим:

¿0(у| - внешний контур у-го кольца - эллипс с полуосями аоУ\ ¿>о(У) (здесь и далее V = I, П );

¿1,7) - внутренний контур у-го кольца - эллипс с полуосями Ь\у).

Задача об изгибе такой плиты сводится к определению функций IV {У\х,у), представляющих прогиб срединной плоскости у-го кольца.

Искомые функции РУм(х,у) удовлетворяют однородным дифференциальным уравнениям в частных производных 4-го порядка [ 1 ]:

дХ4 dX38Y " ' BX28Y

= 0 (1)

и следующим граничным и контактным условиям [1]:

1) на контуре ¿ilII):

(II)

М,/11' = 0, N—- = 0; (2)

dS

2) на контуре .¿о(|):

(3)

oS

3) на контуре спая ¿0(11) = /,,(п :

= г(I). = . = m. о,) = (0

5« <?«

В уравнении (1) D¿/v) - жесткости материалов, из которых изготавливаются кольца. В граничных условиях (2) - (4) п - внешняя нормаль к соответствующим контурам; M„(v) - изгибающий момент, действующий на площадке с нормалью п в соответствующем кольце; N„w' перерезывающая сила, действующая в v-м кольце на площадке с нормалью я;

сН м

N„(у) + —— - обобщённая перерезывающая сила, действующая в

dS

v-м кольце на площадке с нормалью п.

Для решения поставленной задачи используем метод комплексных потенциалов, предложенный С. Г. Лехницким. Согласно этому методу, искомые функции líAv'(x,y) могут быть представлены в виде [1]

И^>(х,у) = 2 Re[ + W^(z^) ] (j =1,2; v = I, II). (5)

Здесь Wjv\z/v)) - произвольные аналитические функции, определенные в соответствующих плоскостях zf*\ Тогда функции Wjx) (z/v>) будут удовлетворять следующим граничным и контактным условиям [2]:

LW J

2R e[9fvV1M'(/J) + 9ívV2(v>'(í2)]=F2{v); (б)

здесь на ¿0{I)v=l, F}(¡) =-Му, F2W = -Мх; на L,<11) v=2, F,(n)=F2(lI)=0; 2Re [W<]y (ti) + W'f (í2)] = 2Re[^(n)' (7,) + fV¡"y (t2 )],

2Re[^I>ÍF10)'a1) + Iii1V2ÍI,'(í2) ] = 2Re[^^'¡")'(íl) + H™r2í,1)'(Í2) ], (7)

2 Re

„(I) „(0 i „CU niuj

itx) + ^W?>\t2) =2Re + ">(t2)

Mi t-l2 J LW P-2

„(II)

2Re туре спая.

Согласно В. В. Меглинскому, искомые функции выбираем

так. чтобы их производные имели вид

V*

(8)

Здесь <4,/"', - комплексные постоянные, подлежащие определению из граничных условий.

Поступая аналогично В. В. Меглинскому, поставленную задачу можно снести к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений:

«ЙЦфМ^

Гос.

(I)

1 к т\0

1

а

(О

и=1

2_4>2к1л2! 2к 20 ■

./=1 2

+ 1а1лЧ* Н 2п 2к г"Ли' ~ (I) ' /2 _ > Уц - " 7 > Г12 _ 7 ' ; кп -->> П-1,4,

1=1 ы

¡к + 1!

/=1

р^1

(П)

ы

,(П>

= 0;

ру1 . (¡1) ' ру2 . " 1.-4.

(9)

/=1

4М + УшМГ(1')т(у)* 1=\

I /=1

°1я ¿Фи/ +Ч*

(у+1) Лу+1) ,^+1)^+1)*

I/

'10

у = 1; и = 1,2,3,4;

(V)

я'.*).-!- (V). Р/_. = М М. ,, _ 1 2

-1' /2 -М-/ . О уз - (V)' у 4 - Ч] ■

Численные результаты были получены для случая, когда материалы колец ортотропные и различные. В этом случае ц^'1 =~Д|<У'> тогда коэффициенты в представлении искомых функций связаны следующими соотношениями: А%> = т%> = (¿=0,1); жесткости а6м=£>2/">=0; ПГЧ^-, ОГЧ^+Ю^-

°1и Ч* °2я ~и'

Вследствие этого количество неизвестных решаемой задачи уменьшится в 2 раза. Для получения численных результатов поставленной задачи система уравнений (9) была сокращена до 24 уравнений, что соответствует к- 5. Это можно сделать, так как эта система квазирегулярна. Используя полученное решение, по известным формулам можно определить прогибы и изгибающие моменты в некоторых точках рассматриваемой плиты [2].

В качестве примера была рассмотрена плита, составленная из двух вложенных друг в друга круглых колец. При этом предполагалось, что внешнее кольцо изготовлено из СВАМа [2], а внутреннее из материала, жесткости которого в два раза больше соответствующих жесткостей СВАМа. Часть полученных результатов приведена в таблице.

Кон гур е И' Мг Мв

0° -3.1233 0.9985 0.9967

г (I) ¿0 45° -3.1317 0.995 7 0.5001

90° -3.1790 0.9927 -0.9976 ,—

0° -0.0890 1.5142 0.8051

-0.0890 1.5142 1.4681

ит>7 45° -0.0719 1.3356 1.0760

<1 -0.0681 1.3418 1 4506

90° -0.0457 0.3871 -0.8969

-0.0420 0.4000 -1.4736

0° -0.0160 0.0073 3.7380

1 45° -0.0187 0.0010 2.5632

90" -0.0293 0.0032 -2.5851

Анализ полученных результатов показывает, что граничные условия на внутреннем и внешнем контурах, а также на контуре спая выполняются с достаточной степенью точности. Прогиб достигает своего наибольшего значения в точках загруженного контура ¿П(П Максимальное значение изгибающий момент принимает на контуре отверстия, и этим моментом является момент Л/е.

Таким образом, можно считать, что полученные результаты соответствуют физической постановке задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехиздат. 1975.

2. Меглинский В В. Некоторые задачи изгиба тонких многосвязных анизотропных плит // Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений и деформаций упругих тел. Саратов: Изд-во С'арат. ун-та, 1967. Вып. 3. С. 97 - 127.